Aula 03 Cálculo Vetorial 2011.2

Prévia do material em texto

Aula 03 1
Cálculo de volume
Vimos que, para , a integral é 
exatamente o volume do sólido delimitado superiormente pelo 
gráfico de , 
inferiormente pela região Re lateralmente pelo cilindro vertical cuja 
base é o contorno R.
0≥),( yxf ∫∫
R
dAyxf ),(
),( yxfz =
Aula 03 2
Exemplo. Determine o volume do sólido limitado pelo gráfico de 
e pela região do plano xy onde
yz −= 4
20 e 30 ≤≤≤≤ yx
Aula 03 3
Exemplo. Determine o volume do cilindro limitado pelo gráfico de 
e pela região do plano xy onde 
224 yxz −−=
0 e 122 ≥≤+ yyx
Aula 03 4
Cálculo de área de regiões planas
Vamos usar a integral dupla para determinar a área de uma região 
plana.
Considere R a região do plano xy dada pela figura abaixo
Aula 03 5
A figura a seguir mostra o sólido limitado pela região R e e pelo 
gráfico da função .1=z
O volume do sólido é dado por:
bb AhAV == . base da área−bA
Aula 03 6
Por outro lado, o mesmo volume pode ser calculado pela integral 
dupla abaixo:
∫∫∫∫ ==
RR
dAdAyxfV ),(
Das igualdades concluímos que ∫∫=
R
b dAA
Aula 03 7
Exemplo. Calcule a área das regiões abaixo por meio de uma 
integral dupla.
Aula 03 8
Aula 03 9
Integral tripla
Seja uma função definida e contínua numa 
região fechada e limitada T do espaço tridimensional.
),,( zyxfw =
Aula 03 10
De forma análoga ao que fizemos com as integrais duplas, vamos 
preencher a região T por uma quantidade finita de paralelepípedos e 
em cada um deles vamos tomar um ponto interno. 
kkkk zyxv ∆∆∆∆ =
Aula 03 11
∑
=
n
k
kkkk vzyxf
1
∆),,(∫∫∫ +∞→=
T
n
dvzyxf lim),,(
Exemplo. Calcule , onde T é a região
limitada pelo prisma de base quadrada contido no plano xy de 
vértices (0,0,0), (1,0,0), (1,1,0) e (0,1,0) e superiormente pelo 
plano de equação .
∫∫∫ +
T
dvyx )(
yxz −−= 5
Aula 03 12
Exemplo. Calcule , onde T é a região
limitada por um prisma. A base é o trapézio definido pela figura 
abaixo. O limite superior é o gráfico da função .
∫∫∫
T
xdv
24 xz −=
Aula 03 13
Exemplo. Calcule , onde T é a região
delimitada pelo cilindro , pelo plano xy e pelo 
plano .
∫∫∫
T
xdv
8=++ zyx
122 =+ yx