Lista 1 Cálculo Vetorial

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FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA 
 
 
 
 
1. Calcule ( )
 
 
R
f x, y dA∫∫ , onde: 
 
a) ( ) ( ){ } e e xy 2f x, y x e R x, y / 1 x 3 0 y 1= ⋅ = ∈ ≤ ≤ ≤ ≤� . 
b) ( ) ( ) ( ){ } e e 2f x, y x cos xy R x, y / 0 x 2 0 y 2= ⋅ = ∈ ≤ ≤ ≤ ≤ pi� . 
c) ( ) ( ) ( ){ } e e 2f x, y 1 x y R x, y / 1 x 2 1 y 2= + = ∈ ≤ ≤ ≤ ≤� . 
 
2. Esboce a região de integração e calcule as seguintes integrais duplas: 
 
a) ( ) 
 
 
1 2 x
0 x
2x 4 y dydx+∫ ∫ c) ( ) 
 
 
21 1 y
0 0
x dxdy
−
∫ ∫ e) ( )
 
 
 
2
1 x
0 x
2xy dydx∫ ∫ 
b) ( )( )
 
 
 
e 1
1 ln x
x dydx∫ ∫ d) ( ) 
 
 
2
2
1 4 x
1 1 x
x dydx
−
− −
∫ ∫ f) ( ) 1 x 2 21 1 x 2 y dydx− − −∫ ∫ 
 
3. Apenas inverta a ordem de integração adequadamente: 
 
a) ( ) 
 
 
4 y 2
0 0
f x, y dxdy∫ ∫ b) ( ) 
 
 
2
3
1 x
0 x
f x, y dydx∫ ∫ c) ( ) 
 
 
x2 e
1 0
f x, y dydx∫ ∫ d) ( )
 
 
 
1 3x
0 2 x
f x, y dydx∫ ∫ 
 
4. Resolva as questões abaixo: 
 
a) Calcule ( )
 
 
R
8 x y dA− −∫∫ , onde R é a região delimitada por y x y= =
2 4 e . 
 
b) Calcule ( )
 
 
R
y ln x
dA
x
 
 
 
∫∫ , onde R é a região retangular ( ){ } e 2x, y / 1 x 2 1 y 1∈ ≤ ≤ − ≤ ≤� . 
 
c) Calcule ( )
 
 
R
x y dA+∫∫ , onde R é a região delimitada por y x + , y x , x x= = − − = − =
2 21 1 1 1 e . 
 
d) Calcule ( )
 
 
R
x y dA+∫∫ , onde R é a região hachurada na figura 1. 
 
e) Calcule 
 
 
21 1 x
0 y
e dxdy∫ ∫ . Observe a região hachurada na figura 2. 
 
f) Calcule 
 
 
R
x dA∫∫ , onde R é a região hachurada na figura 3. 
 
 
 
 
 Figura 1. Figura 2. Figura 3. 
Última atualização: 15/08/2011 
 
11aa LLIISSTTAA DDEE EEXXEERRCCÍÍCCIIOOSS 
ÁREA1 – Faculdade de Ciência e Tecnologia. 
Curso de Engenharia Elétrica. 
Disciplina: Cálculo Vetorial. 
Professores: Álvaro Fernande, Eronildo Souza de Jesus e Maurício Brandão 
Aluno(a): ______________________________. Turma: ______. 
 
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5. Sejam ( ) ( )yqxp e funções contínuas. Se R é a região retangular ( ){ } e 2x, y / a x b c y d∈ ≤ ≤ ≤ ≤� , 
mostre que: 
( ) ( ) ( ) ( ) 
 
 
b d
R a c
p x q y dxdy p x dx q y dy⋅ = ⋅∫∫ ∫ ∫ . 
 
6. Use o resultado do exercício (5) para calcular ( ) ( )
 
 
R
sen x sen y dxdy⋅∫∫ , onde R é a região retangular 
( ){ } e 2R x, y / 0 x 2 0 y 2= ∈ ≤ ≤ pi ≤ ≤ pi� . 
 
 
Integrais duplas em coordenadas polares 
 
7. Calcule ( )
 
 
22 2
R
x y dxdy+∫∫ , onde R é a região hachurada na figura 4. 
 
8. Calcule ( ) 3 2R 2 2
dxdy
1 x y+ +
∫∫ , onde R é a região hachurada na figura 5. 
 
9. Calcule 
 
 
2 2
R
x y dxdy+∫∫ , onde R é a região delimitada por x y
2 2 1+ = e x y2 2 9+ = . 
 
10. Calcule ( )
 R
 8 x y dxdy− −∫∫ , sendo R delimitada por x y
2 2 1+ = . Interprete geometricamente. 
 
11. Calcule: 
 
a) ( )
 
2 2
R
 ln x y dxdy+∫∫ , sendo R o anel delimitado por x y x y
2 2 2 216 25+ = + = e . 
 
b) ( )
 
2 22 x y
R
 e dxdy+∫∫ , sendo R a região circular 4yx
22 ≤+ . 
 
12. Calcule: 
 
a) ( ) 
 
 
24 4 y y 2 2
0 0
x y dxdy
−
+∫ ∫ . 
 
b) 
 
 
2 2a a x 2 2
0 0
x y dydx
−
+∫ ∫ , considere a uma constante real positiva. 
 
13. Calcule 
 R
dxdy∫∫ sendo R a região hachurada na figura 6. 
 
 
 
 
 
 Figura 4. Figura 5. Figura 6. 
 
3
 
Cálculo de volumes 
 
 Sabemos que, para ( ) 0y,xf ≥ , a integral 
 
( )
 R
V f x, y dA= ∫∫ 
 
nos dá o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de ( )y,xfz = , inferiormente pela região R 
(projeção de ( )y,xfz = sobre o plano xy) e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de R. 
 
 
 
14. Calcule o volume do sólido acima do plano xy delimitado pelo parabolóide z x y= − −4 2 22 2 . Esboce o 
sólido. 
 
15. Calcule o volume do sólido acima do plano xy delimitado lateralmente pelo cilindro 1yx 22 =+ e 
superiormente pelo parabolóide 22 yxz += . Esboce o sólido. 
 
16. Prove, usando integral dupla, que o volume do tetraedro da figura 7 é dado por a3/6. 
 
17. Calcule o volume do tetraedro da figura 8, sabendo-se que ele está limitado no primeiro octante pelo plano de 
equação 
z x y
3 2 1
1+ + = . 
 
18. Calcule o volume do sólido no primeiro octante delimitado pelo plano 2yz =+ e pelo cilindro vertical que 
contorna a região plana delimitada por 2xy = e 2yx = . Veja o sólido na figura 9. 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 7. Figura 8. Figura 9. 
 
 
4
19. Mostre, usando integral dupla, que: 
 
a) O volume de um cilindro circular reto de altura h e raio de base a é dado por V a h= pi 2 . 
 
b) O volume de um cone circular reto de raio de base a e altura h é dado por 3haV 2pi= . Use a equação do 
cone ( ) 2 2z h a x y= ⋅ + . Esboce o cone. 
 
Obs. O volume do cone é igual a um terço do volume do cilindro de mesma altura e raio de base. 
 
20. Calcule o volume do sólido delimitado pelas superfícies abaixo. Esboce-os. 
 
a) inferiormente por 0z = , lateralmente por 1yx 22 =+ e superiormente por ( )22 yx4z +−= . 
b) inferiormente pelo plano xy , lateralmente por 4yx 22 =+ e superiormente por 8zy =+ . 
c) inferiormente por 0z = , lateralmente por 16yx 22 =+ e superiormente por x10z += . 
 
Cálculo de áreas 
 
 Se na expressão ( )
 R
 f x, y dA∫∫ fazemos ( ) 1y,xf = , obtemos 
 R
 dA∫∫ que nos dá a área da 
região de integração R: 
 
 
 
• Se R é uma região do tipo I, então ( ) ( )( )
( ) 
 
2
1
b g x
a g x
Área R 1 dydx= ∫ ∫ . 
• Se R é uma região do tipo II, então ( ) ( )( )
( ) 
 
2
1
d h y
c h y
Área R 1 dxdy= ∫ ∫ . 
 
 
 
21. Calcule, usando integral dupla, a área da região R delimitada pelas curvas abaixo. Esboce os gráficos: 
 
a) y x y x y= = − + =3 2 0, e . b) y e y x xx= = =−1 0, e . 
 
c) x y x y= + = − +2 1 3 e . d) ( ) 1yxlny;0, yyx;0, xxy 23 ==≥−=≤= e 
 
( ) ( )
 R
Área R 1 dA= ∫∫ 
 
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22. Calcule a área da região hachurada na figura 10. 
 
23. Determine uma expressão de integral dupla, com limites de integração, que calcula corretamente o valor da 
área sombreada da figura 11. 
 
Obs.: Os valores das coordenadas dos pontos A e B foram aproximados. 
 
 
 
 
 
 Figura 10. Figura 11. 
 
 
Respostas: 
 
1. a) e3-e-2. b) 4/pi. c) 10ln(2)-6ln(3). 
 
2. a) 8/3. b) (e2-3)/4. c) 1/3. d) 0. e) 1/6. f) -1/2. 
 
3. a) ( ) 
 
 
2 4
0 2 x
f x, y dydx∫ ∫ . b) ( ) 
 
 
31 y
0 y
f x, y dxdy∫ ∫ . c) ( ) ( ) 
 
 
2e 2 e 2
0 1 e ln y
f x, y dxdy f x, y dxdy+∫ ∫ ∫ ∫ . 
 d) ( ) ( ) 
 
 
2 y 2 3 1
0 y 3 2 y 3
f x, y dxdy f x, y dxdy+∫ ∫ ∫ ∫ . 
 
4. a) 896/15. b) 0. c) 0. d) 2. e) (e -1)/2. f) 5/6. 
 
6. 1. 
 
7. 32pi/3. 
 
8. ( ) ( )22 1 1 1 a pi − +   
 
9. 52pi/3. 
 
10. 8pi. (Volume do tronco de um cilindro reto de raio de base 1 e limitado superiormente pelo plano de equação yx8z −−= ). 
 
11. a) pi[25ln(25) - 16ln(16) - 9]. b) ( )( )1e2 8 −pi . 
 
12. a) 12pi. b) pia3/6. 
 
13. 27pi/8. 
 
14. 4pi u.v. 
 
15. pi/2 u.v. 
 
17. 1 u.v. 
 
18. 31/60 u.v. 
 
20. a) 7pi/2 u.v. b) 32pi u.v. c) 160pi u.v. 
 
21. a) 3/4 u.a. b) (e -2)/(2e) u.a. c) 9/2 u.a. d) ( ) 43,31213ee 1 ≅+−− u.a. 
 
22. 146/9 u.a. 
 
23. ( ) ( ) 
 
Área 
2 2
x
0 9 x 1,1 9 x
1,6 x 1 0 e
1 dydx 1 dydx
− −
− − +
= +∫ ∫ ∫ ∫ . Existem outras respostas.