Aula 05 Cálculo Vetorial 2011.2

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Aula 05 1
Curvas
Definição. Sejam 
funções contínuas de uma variável real . Chamamos 
de curva o conjunto de todos os pontos 
determinados por estas equações.
z(t)z e y(t)y x(t),x ===
b][a,t∈
z)y,(x,
 vetorialEquação
 
aparamétric Equação 
z(t)z
y(t)y
x(t)x
→→→→
++=





=
=
=
ktzjtyitxtfC
C
)()()()(:
:
Notação:
Aula 05 2
Reta
Uma reta é determinada por um ponto do espaço e por um vetor 
que indique sua direção.
Aula 05 3
Exemplo. Determine a equação da reta que passa pelo 
ponto e é paralela ao vetor3)(1;2;A −= (1;1;3)u =→
Aula 05 4
Exemplo. Determine a equação da reta que passa pelos 
pontos e 3)(1;2;A −= (0;3;1)=B
Aula 05 5
Exemplos de curvas





=
=
=
3z
2sen(t)y
2cos(t)x
: a) λ
Faça o esboço de curva abaixo identificando-as em seguida.
Aula 05 6





=
=
=
2sen(t)z
2y
2cos(t)x
: b) λ
Aula 05 7





=
=
=
1z
3sen(t)y
6cos(t)x
: c) λ
Aula 05 8





=
=
=
t2z
2sen(t)y
cos(t)2x
: d) λ
Aula 05 9
Uma curva pode ser definida pela interseção entre duas 
superfícies.
Exemplo. Faça o esboço dos gráficos e determine uma 
parametrização de cada curva abaixo.




+=
=+
22
22
z
4x
:a)C
yx
y
Aula 05 10



+=
=+
2z
4x
:b)C
22
y
y
Aula 05 11
Função vetorial de uma variável real
Definição. Chamamos de função vetorial de uma variável real t 
a função que a cada valor da variável real t num intervalo I 
associa um vetor do R3.
)( tff →→ =Notação:
→f
A função vetorial é escrita considerando a base 
ortonormal . },,{
→→→
kji
→→→→
++= ktfjtfitftf )()()()( 321 ou
( ))()(,)( tftftf 321 , 
Aula 05 12
Operações com funções vetoriais
→→→→
++= ktfjtfitftf )()()()( 321
→→→→
++= ktgjtgitgtg )()()()( 321
Sejam as funções vetoriais
definidas para . Definimos:It∈
→→→
→→→
±+±+±=
±=
ktgtfjtgtfitgtf
tgtftha
))()(())()(())()((
)()()()
332211
 
Aula 05 13
( ) ( )
( )→
→→→
→→→
→→→
−+
−+−=
=×=
ktgtftgtf
jtgtftgtfitgtftgtfw
tgtgtg
tftftf
kji
tgtftwb
)()()()(
)()()()()()()()(
)()()(
)()()()()()()
1221
31132332
321
321 
)()()()()()(
)()()()
tgtftgtftgtf
tgtfthc
332211
 
++=
•=
→→→
Aula 05 14
( ) ( ) ( )→→→
→→
++=
=
ktftpjtftpitftp
tftptwd
)()()()()()(
)().()()
321
 
Onde p(t) é uma função escalar
Aula 05 15
Exemplo. Dadas as funções
1)(
 e )( ,5)(
2
32
−=
+=++=
→→→→→→→
tth
jittgkjtittf
)()()()
)()()
)()()
)()()
tgtfthd
tgtfc
tgtfb
tgtfa
→→
→→
→→
→→
•





×
−
+
2
Determine:
Aula 05 16
Definição. Seja uma função vetorial. Sua
derivada é a função vetorial definida por:
)( tff →→ =
t
tfttf
tf
t ∆
∆
∆
)()(
lim)('
→→
→
→
−+
=
0
Derivada
)(' tf
→
Para todo , tal que o limite existe.Rt∈
Aula 05 17
É consequência imediata da definição que se 
→→→→
++= ktfjtfitftf )()()()( 321
então 
→→→→
++= ktfjtfitftf )()()()( '''' 321
Interpretação geométrica
)t(f:C
→
Seja uma curva definida pela equação e
P a extremidade do vetor . Então é um vetor 
tangente à curva C no ponto P.
)( tf→
→→
≠ 0)(' tf
C
Aula 05 18
Interpretação física
)()( trtf →→ =Considerando que é, fisicamente, o vetor 
posição de uma partícula, quando é derivável, a
velocidade instantânea da partícula é dada por:
)(' trv
→→
=
)( tr
→
Aula 05 19
Definição. Dizemos que C é uma curva suave ou regular se 
somente se C admite uma parametrização 
, que tem derivada contínua eI t(t),r ∈
→ (t)r'
→ →→
≠ 0(t)r'
Seja C uma curva suave representada por
a extremidade livre do vetor conforme a figura abaixo
),,( 0000 e zyxPkz(t)jy(t)ix(t)(t)rC: =++=
→→→→
)(tr 0
→
Reta tangente 
Aula 05 20
A equação da reta tangente à curva no 
ponto é dada por0P
)(tr'tPP 00
→
+=
Exemplo. Determine a equação da reta tangente à curva
de equação no ponto 
.
→→→
+= j2sen(t)i2cos(t)(t)r
); 22(A =
Aula 05 21
Exemplo. Determine a equação da reta tangente à curva
de equação no 
ponto .
→→→→
++= kt2jsen(t)3icos(t)3(t)r
);; π(aA b=