Aula 06 Cálculo Vetorial 2011.2

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Aula 06 1
Campo Escalar e Campo vetorial
Definição. Sejam e uma função
escalar a três variáveis, . A região 
juntamente com os valores de em cada um de seus 
pontos é chamado de campo escalar.
Rf:D→
f
D
3RD ⊂
Exemplo: Rf:R →3
zyxzyxf 52),,( 2 ++=
f
Aula 06 2
Definição. Sejam e uma função
vetorial a três variáveis, . A região 
e os vetores dados pela constituem um
campo vetorial sobre o .
3R:Ef →
→
→
f
E
3RE ⊂
→
f
3R
Aula 06 3
a)
),(),(
22
yxyxf
R:Rf
=
→
→
→
Exemplo: Represente graficamente os campos vetoriais.
Aula 06 4
)0,(),(
22
xyxf
Rf:R
=
→
→
b) 
Aula 06 5
Derivadas Parciais
Seja um campo vetorial. A derivada 
parcial de em relação a , que denotamos por é definida 
por
x
zyxfzyxxf
x
f
x ∆
−∆+
=
∂
∂
→→
→∆
→
),,(),,(lim
0
),,( zyxff
→→
=
para todo tal que o limite exista.
→
f x
x
f
∂
∂
→
( )zyx ,,
Aula 06 6
Pode-se mostrar que
→→→
→
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂ k
x
fj
x
fi
x
f
x
f 321
Analogamente, definimos .
z
f
y
f
∂
∂
∂
∂
→→
 ,
→→→
→
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂ k
y
fj
y
fi
y
f
y
f 321
→→→
→
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂ k
z
fj
z
fi
z
f
z
f 321
Aula 06 7
Exemplo. Determine as derivadas parciais de 1ª ordem das funções 
abaixo.
( )vuueb
kexyzxa
v
yz
2
2
,v)(u,f)
4jiz)y,(x,f)
=
++=
→
→→→→
Aula 06 8
Derivadas Parciais sucessivas
As derivadas parciais de 1ª ordem são funções vetoriais passíveis 
de nova derivação e assim sucessivamente.
Exemplo. Seja . 
Determine .
→→→→
++= kxzyyx 3j2i3z)y,(x,f 22
zx
f
 ,
xz
f
 ,
yx
f
2
322
∂∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
Aula 06 9
Gradiente de um campo escalar
Definição. Dado um campo escalar , o 
gradiente de ( ) é definido pelo 
campo vetorial
f )( fgrad
Rf:R →3
→→→
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= k
z
fj
y
fi
x
ffgrad )(






∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
z
f
y
f
x
ffgrad ;;)(
Aula 06 10
Exemplo:Determine o gradiente das funções abaixo.
xyxyxfd
zxxyxzyxfc
zyxzyxfb
yzxzyxfa
+=
++=
−+=
+=
→
2
2
2
2
),( )
);;(),,( )
342),,( )
3),,( )
Aula 06 11
Propriedades
2
)(.).()4
)(.).().()3
)()()()2
)()()1
g
ggradfgfgrad
g
fgrad
ggradfgfgradgfgrad
ggradfgradgfgrad
fKgradKfgrad
−
=





+=
+=+
=
Aula 06 12
Divergente de um campo vetorial
Definição. Dado um campo vetorial , 
o divergente de , ( ), é definido pelo 
campo escalar
→
f )(
→
fdiv
33 R:Rf →
→
z
f
y
f
x
ffdiv
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
321)(
Aula 06 13
Exemplo:Determine o divergente de cada campo abaixo.
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )→→→
→
→→→→
+=
=
+++++=
jxyixyyxfc
zyexzyxfb
kzxjyzxiyxzyxfa
z
2
2
22
32),( )
;);cos(),,( )
3),,( )
Aula 06 14
O operador (lê-se: nabla) ∇
→→→
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇ k
z
j
y
i
x






∂
∂
∂
∂
∂
∂
=∇
zyx
;;
ffgrad ∇=)(
→→
•∇= ffdiv )(
Aula 06 15
Propriedades
)()()()2
)()()()1
→→→
→→→→
•∇+=
±=±
fhfhdivfhdiv
gdivfdivgfdiv
Supondo que existam as derivadas parciais de 2ª 
ordem de f , podemos determinar )( fdiv ∇
. de Laplaciano de chamado é2 ff −∇
Aula 06 16
Rotacional de um campo escalar
Definição. Dado um campo vetorial , 
o rotacional de ( ) é definido por
→
f )(
→
frot
);;( 321 ffff =
→






∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
=
→
y
f
x
f
x
f
z
f
z
f
y
ffrot 123123 ;;)(
→
→→→
→
×∇=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
= f
fff
zyx
kji
frot
321
)(
Aula 06 17
Exemplo: Determine o rotacional dos campos abaixo.
( ) ( ) ( )
( )xzyxsenxyzyxfb
kyzxjyxiyxzyxfa
);(;),,( )
2),,( ) 2
=
++++=
→
→→→→