Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA Curso de Engenharia Elétrica Profs. Álvaro Fernandes e Maurício Brandão A figura da esquerda ilustra a interseção do cilindro de equação 1yx 22 =+ com o plano de equação 2zy =+ . A figura da direita ilustra a elipse de equação vetorial ( ) ( ) ( ) ( )( ) [ ]pi20ttsen2tsenttr , , , ,cos ∈−=r , que foi obtida pela interseção dessas superfícies. Última atualização: 12/10/2011 1 1. A posição de uma partícula em movimento no plano xy, no instante t , é dada pelas equações paramétricas ( ) tetx = e ( ) ty t t e= ⋅ . a) Determine a função vetorial ( )tfr que descreve o movimento desta partícula; b) Determine a posição da partícula no instante 0t = e em 2t = ? 2. Esboçar as curvas definidas pelas seguintes funções vetoriais, identificando-as: a) ( ) ( ) ( ) [ ] a t 4 t i 2t j , t 0, 2= − + ∈r rr . d) ( ) d t 2 i 4 j t k , t= ⋅ + ⋅ + ⋅ ∈ℜr rr r . b) ( ) ( ) ( ) [ ] b t 3cos t i 3sen t j k , t 0, 2= + + ∈ pir rr r . c) ( ) ( ) ( ) [ ] 2c t 2cos t i 4 j 4sen t k , t 0,= + ⋅ + ∈ pirr rr . 3. a) Considere as funções vetoriais ( ) 2f t t a t b= ⋅ + ⋅r rr e ( ) ( ) ( )g t t i sen t j cos t k= ⋅ + + rr rr , com a i j= +r rr e b 2 i j= ⋅ − r r r ; pi≤≤ 2t0 . Calcule: i) ( ) ( )tgtf rr + . iii) ( ) ( )tgtf rr × . ii) ( ) ( )f t g t⋅r r . iv) ( ) ( )a f t b g t⋅ + ⋅r rr r . b) Dadas as funções vetoriais ( )f t t i j= ⋅ −r r r e ( )g t i t j= + ⋅r rr , esboçar o gráfico de ( ) ( )tgtf rr × , [ ]1,0t ∈∀ . 4. Uma partícula se desloca no espaço. No instante 0t > o seu vetor posição é dado por ( ) 1r t i t j t k−= + ⋅ + ⋅ rr rr . a) Determinar a posição da partícula no instante t 1 2= e 1t = ; b) Esboçar a trajetória da partícula. 2 5. Determinar a derivada das seguintes funções vetoriais: a) ( ) ( ) ( ) ( )3 2f t cos t i tg t j sen t k= + +r rr r . c) ( ) ( )t 2tf t e i 1 e j k−= ⋅ + +r rr r . b) ( ) ( ) ( ) 2tf t sen t cos t i e j−= ⋅ + ⋅r r r . d) ( ) ( )25t 2f t i ln 1 t j 5 k2t 1 − = + − + ⋅ + r rr r . 6. Responda: a) Mostre que o gráfico da função vetorial ( ) ( ) ( ) [ ] 1 1 3f t sen t , cos t , , t 0, 2 2 2 = ⋅ ⋅ ∈ pi r , está sobre a superfície esférica de raio unitário e centro na origem. Obs.: Lembre-se que a equação geral da esfera de centro ( )c,b,a e raio r é: ( ) ( ) ( ) 2222 rczbyax =−+−+− . b) Apenas uma das funções vetoriais abaixo tem o gráfico totalmente contido sobre a superfície do parabolóide 22 yxz += . Identifique-a. i) ( ) ( )3t,0,t2tf += r . ii) ( ) ( )4t2,t,2ttg 2 ++= r . iii) ( ) ( ) ( )( )4,tsen2,tcos2th =r . 7. Seja ( ) ( ) ( )r t 2cos t i 5sen t j 3 k= + + ⋅ rr rr o vetor posição de uma partícula em movimento no espaço. Determine os vetores velocidade e aceleração para qualquer instante t . Determine, ainda, o módulo destes vetores no instante 4t pi= . 8. Se ( ) ( ) ( )r t cos 3t i sen 3t j= +r rr é o vetor posição de uma partícula em movimento, mostre que o vetor velocidade da partícula é ortogonal a ( )trr . 9. Seja ( ) ( ) ( )r t 2cos wt i 4 sen wt j= +r rr , onde w é uma constante não nula. Verifique se 2 2 2 d r w r dt = − ⋅ r r . 10. Um ponto move-se no espaço sobre uma curva C de modo que o vetor posição ( )trr é igual ao vetor velocidade ( )t'rr , 0t ≥ . Encontre as equações paramétricas de C, sabendo-se que ( ) ( )3,2,10r =r . 3 11. Determine a função vetorial ( )trr sujeita às seguintes condições: ( ) ( ) ( ) ( )2 3r ' t t i 6t 1 j 8t k= + + + rr rr ; ( )r 0 2 i 3 j k= ⋅ − ⋅ + rr rr . 12. Determine o vetor posição ( )trr de uma partícula em movimento no espaço, conhecendo-se: • Seu vetor velocidade: ( ) ( ) ( )( ) ( )2tv t 1 e i 2 sen 3t j 2t k= + + + + rr rr , 0t ≥ ; • Sua posição inicial: ( )r 0 i j k= + + rr rr . 13. Determine uma representação paramétrica da reta que passa pelo ponto ( )0,2,1A − , na direção do vetor v 5 i 2 j 5 k= ⋅ − ⋅ + ⋅ rr rr . 14. Determine uma parametrização da reta representada pela interseção dos planos: =− =+− 4xy 4zy5x2 . 15. Encontrar uma equação vetorial das curvas definidas pelas superfícies de equação: a) 4z,4yx 22 ==+ . b) 32 xz,x2y == . c) ( ) 2z,10y1x2 22 ==++ . d) xy ez,ex == . e) 03y5x2yx 22 =−+−+ . 16. Determine uma equação vetorial da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados: a) ( ) ( ) ( )( ) ( )0, 1, Ptsen2, tcostr o=r . b) ( ) ( ) ( )( ) ( )34, 3, 1, Pt4, tsen2, tcos2tr o pi−−=r . c) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 or t t i t j, P 4, 8= + −r rr . d) ( ) ( ) 0, t2t3, , eetr ot3t3 == −r . 17. Determine o(s) ponto(s) em que a curva ( ) ( ) ( ) ( )2 2r t t 1 i t 1 j 3t k= − + + + rr rr intercepta o plano de equação 07zy2x3 =+−− . 4 Respostas 1. a) ( ) t tf t e i te j= ⋅ + ⋅r r r . b) ( ) ( )0,10f =r e ( ) ( )22 e2,e2f =r . 2. a) segmento de reta. b) circunferência. 2. c) arco de elipse. d) reta vertical. 5 3. a) i) ( ) ( )( ) ( ) 2 22 t t i t t sen t j cos t k , 0 t 2+ + − + + ≤ ≤ pirr r . ii) ( ) ( ) 2 3 2t 2t t t sen t , 0 t 2+ + − ≤ ≤ pi . iii) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 3 2 2t t cos t i t 2t cos t j t t 2t sen t tsen t k , 0 t 2− − + + − + + ≤ ≤ pirr r . iv) ( ) 2t 4t sen t , 0 t 2+ − ≤ ≤ pi . b) ( ) ( ) ( )2f t g t 1 t k× = +r rr , [ ]1,0t ∈∀ . (veja o esboço gráfico ao lado). 4. a) ( ) ( )2,21,121r =r e ( ) ( )1,1,11r =r . b) semi-hipérbole (veja o gráfico ao lado). 5. a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 23cos t sen t i sec t j 2sen t cos t k− + + rr r . b) ( ) ( )( )2 2 2tcos t sen t i 2e j−− − ⋅r r . c) t 2te i 2e j− −− ⋅ − ⋅r r . d) ( )2 2 9 2ti j 1 t2t 1 − − + r r . 6. a) Mostre que fr satisfaz a equação da superfície esférica [ ]pi∈∀ ,0t . b) A função é ( )thr . 7. ( ) ( ) ( ) ( ) v t 2sen t i 5 cos t j ; v 4 29 2= − + pi =r rr r ; ( ) ( ) ( ) ( ) a t 2 cos t i 5sen t j ; a 4 29 2= − − pi =r rr r . 9. sim. 10. x = 1et; y = 2et; z = 3et, 0t ≥ . Segmento de reta vertical 6 11. a) ( )trr = ( (t3/3) + 2 ) i⋅ r + ( 3t2 + t − 3 ) j⋅ r + ( 2t4 + 1 ) k⋅ r ; 12. O vetor posição é ( ) ( ) ( )2t 2cos 3te 1 4r t t i 2t j t 1 k2 2 3 3 = + + + − + + + rr rr . 13. x 1 5t y 2 2t , t z 5t = − + = − ∈ = � . 14. x t y 4 t , t z 24 3t = = + ∈ = + � , existem outras. 15. a) ( ) ( ) ( )( ) [ ]pi∈= 2,0t,4, tsen2, tcos2tr r . b) ( ) ( )32 , tt2t, tr =r . c) ( ) ( ) ( )( ) [ ]pi∈+−= 2,0t,2, tsen10, tcos51tr r . d) ( ) ( )( ) 0t,, etlnt, tr t >= r . e) ( ) ( ) ( )41 5 41r t 1 cos t , sen t 2 2 2 = + ⋅ − + ⋅ r . Circunferência de centro ( )1, 5 2− e raio 41 2 . 16. a) ( ) ( )q t i 2t j= +r rr . b) ( ) ( ) ( ) 4q t 1 t 3 i 3 t j 4t k3pi = + + − + + − + rr rr . c) ( ) ( ) ( )q t 4 4t i 8 12t j= − + − +r rr . d) ( ) ( ) ( ) ( )q t 1 3t i 1 3t j 3t 2 k= + + − + rr rr . 17. ( ) ( )3, 2, 0 6, 5, 3 e
Compartilhar