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Lista 3 Calculo Vetorial

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FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA 
 
 
Curso de Engenharia Elétrica 
Profs. Álvaro Fernandes e Maurício Brandão 
 
 
 
 
 
 
 
 A figura da esquerda ilustra a interseção do cilindro de equação 1yx 22 =+ com o plano 
de equação 2zy =+ . A figura da direita ilustra a elipse de equação vetorial 
( ) ( ) ( ) ( )( ) [ ]pi20ttsen2tsenttr , , , ,cos ∈−=r , que foi obtida pela interseção dessas superfícies. 
 
 
 
Última atualização: 12/10/2011 
 
 1
1. A posição de uma partícula em movimento no plano xy, no instante t , é dada pelas equações 
paramétricas ( ) tetx = e ( ) ty t t e= ⋅ . 
 
a) Determine a função vetorial ( )tfr que descreve o movimento desta partícula; 
 
b) Determine a posição da partícula no instante 0t = e em 2t = ? 
 
2. Esboçar as curvas definidas pelas seguintes funções vetoriais, identificando-as: 
 
a) ( ) ( ) ( ) [ ] a t 4 t i 2t j , t 0, 2= − + ∈r rr . 
 
d) ( ) d t 2 i 4 j t k , t= ⋅ + ⋅ + ⋅ ∈ℜr rr r . 
 
b) ( ) ( ) ( ) [ ] b t 3cos t i 3sen t j k , t 0, 2= + + ∈ pir rr r . 
 
 
c) ( ) ( ) ( ) [ ] 2c t 2cos t i 4 j 4sen t k , t 0,= + ⋅ + ∈ pirr rr . 
 
 
 
3. a) Considere as funções vetoriais ( ) 2f t t a t b= ⋅ + ⋅r rr e ( ) ( ) ( )g t t i sen t j cos t k= ⋅ + + rr rr , com 
a i j= +r rr e b 2 i j= ⋅ −
r r r
; pi≤≤ 2t0 . Calcule: 
 
i) ( ) ( )tgtf rr + . 
 
iii) ( ) ( )tgtf rr × . 
 
ii) ( ) ( )f t g t⋅r r . iv) ( ) ( )a f t b g t⋅ + ⋅r rr r . 
 
b) Dadas as funções vetoriais ( )f t t i j= ⋅ −r r r e ( )g t i t j= + ⋅r rr , esboçar o gráfico de ( ) ( )tgtf rr × , 
[ ]1,0t ∈∀ . 
 
4. Uma partícula se desloca no espaço. No instante 0t > o seu vetor posição é dado por 
( ) 1r t i t j t k−= + ⋅ + ⋅ rr rr . 
 
a) Determinar a posição da partícula no instante t 1 2= e 1t = ; 
 
b) Esboçar a trajetória da partícula. 
 
 
 
 2
 
5. Determinar a derivada das seguintes funções vetoriais: 
 
a) ( ) ( ) ( ) ( )3 2f t cos t i tg t j sen t k= + +r rr r . c) ( ) ( )t 2tf t e i 1 e j k−= ⋅ + +r rr r . 
 
b) ( ) ( ) ( ) 2tf t sen t cos t i e j−= ⋅ + ⋅r r r . d) ( ) ( )25t 2f t i ln 1 t j 5 k2t 1
− 
= + − + ⋅ + 
r rr r
. 
 
6. Responda: 
a) Mostre que o gráfico da função vetorial ( ) ( ) ( ) [ ] 1 1 3f t sen t , cos t , , t 0,
2 2 2
 
= ⋅ ⋅ ∈ pi  
 
r
, está sobre a 
superfície esférica de raio unitário e centro na origem. 
 
Obs.: Lembre-se que a equação geral da esfera de centro ( )c,b,a e raio r é: 
( ) ( ) ( ) 2222 rczbyax =−+−+− . 
 
b) Apenas uma das funções vetoriais abaixo tem o gráfico totalmente contido sobre a superfície do 
parabolóide 22 yxz += . Identifique-a. 
 
i) ( ) ( )3t,0,t2tf += r . ii) ( ) ( )4t2,t,2ttg 2 ++= r . iii) ( ) ( ) ( )( )4,tsen2,tcos2th =r . 
 
7. Seja ( ) ( ) ( )r t 2cos t i 5sen t j 3 k= + + ⋅ rr rr o vetor posição de uma partícula em movimento no espaço. 
Determine os vetores velocidade e aceleração para qualquer instante t . Determine, ainda, o módulo 
destes vetores no instante 4t pi= . 
 
8. Se ( ) ( ) ( )r t cos 3t i sen 3t j= +r rr é o vetor posição de uma partícula em movimento, mostre que o 
vetor velocidade da partícula é ortogonal a ( )trr . 
 
9. Seja ( ) ( ) ( )r t 2cos wt i 4 sen wt j= +r rr , onde w é uma constante não nula. Verifique se 
2
2
2
d r
w r
dt
= − ⋅
r
r
. 
 
 
10. Um ponto move-se no espaço sobre uma curva C de modo que o vetor posição ( )trr é igual ao vetor 
velocidade ( )t'rr , 0t ≥ . Encontre as equações paramétricas de C, sabendo-se que ( ) ( )3,2,10r =r . 
 
 
 
 3
11. Determine a função vetorial ( )trr sujeita às seguintes condições: 
 
( ) ( ) ( ) ( )2 3r ' t t i 6t 1 j 8t k= + + + rr rr ; ( )r 0 2 i 3 j k= ⋅ − ⋅ + rr rr . 
 
 
12. Determine o vetor posição ( )trr de uma partícula em movimento no espaço, conhecendo-se: 
 
• Seu vetor velocidade: ( ) ( ) ( )( ) ( )2tv t 1 e i 2 sen 3t j 2t k= + + + + rr rr , 0t ≥ ; 
 
• Sua posição inicial: ( )r 0 i j k= + + rr rr . 
 
13. Determine uma representação paramétrica da reta que passa pelo ponto ( )0,2,1A − , na direção do 
vetor v 5 i 2 j 5 k= ⋅ − ⋅ + ⋅
rr rr
. 
 
14. Determine uma parametrização da reta representada pela interseção dos planos: 
 



=−
=+−
4xy
4zy5x2
. 
 
15. Encontrar uma equação vetorial das curvas definidas pelas superfícies de equação: 
 
a) 4z,4yx 22 ==+ . 
 
b) 32 xz,x2y == . 
 
c) ( ) 2z,10y1x2 22 ==++ . 
 
d) xy ez,ex == . 
 
e) 03y5x2yx 22 =−+−+ . 
 
16. Determine uma equação vetorial da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados: 
 
a) ( ) ( ) ( )( ) ( )0, 1, Ptsen2, tcostr o=r . 
 
b) ( ) ( ) ( )( ) ( )34, 3, 1, Pt4, tsen2, tcos2tr o pi−−=r . 
 
c) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 or t t i t j, P 4, 8= + −r rr . 
 
d) ( ) ( ) 0, t2t3, , eetr ot3t3 == −r . 
 
17. Determine o(s) ponto(s) em que a curva ( ) ( ) ( ) ( )2 2r t t 1 i t 1 j 3t k= − + + + rr rr intercepta o plano de 
equação 07zy2x3 =+−− . 
 
 
 
 4
Respostas 
 
 
1. a) ( ) t tf t e i te j= ⋅ + ⋅r r r . b) ( ) ( )0,10f =r e ( ) ( )22 e2,e2f =r . 
 
2. a) segmento de reta. b) circunferência. 
 
 
 
 
 
2. c) arco de elipse. d) reta vertical. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5
3. a) i) ( ) ( )( ) ( ) 2 22 t t i t t sen t j cos t k , 0 t 2+ + − + + ≤ ≤ pirr r . 
 
 ii) ( ) ( ) 2 3 2t 2t t t sen t , 0 t 2+ + − ≤ ≤ pi . 
 
 iii) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 3 2 2t t cos t i t 2t cos t j t t 2t sen t tsen t k , 0 t 2− − + + − + + ≤ ≤ pirr r . 
 
 iv) ( ) 2t 4t sen t , 0 t 2+ − ≤ ≤ pi . 
 
 
 
 b) ( ) ( ) ( )2f t g t 1 t k× = +r rr , [ ]1,0t ∈∀ . 
 
 (veja o esboço gráfico ao lado). 
 
 
 
 
 
4. a) ( ) ( )2,21,121r =r e ( ) ( )1,1,11r =r . 
 
 b) semi-hipérbole (veja o gráfico ao lado). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 23cos t sen t i sec t j 2sen t cos t k− + + rr r . b) ( ) ( )( )2 2 2tcos t sen t i 2e j−− − ⋅r r . 
 
 c) t 2te i 2e j− −− ⋅ − ⋅r r . d) ( )2 2
9 2ti j
1 t2t 1
   
  −   
− + 
r r
. 
 
6. a) Mostre que fr satisfaz a equação da superfície esférica [ ]pi∈∀ ,0t . b) A função é ( )thr . 
 
7. ( ) ( ) ( ) ( ) v t 2sen t i 5 cos t j ; v 4 29 2= − + pi =r rr r ; 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) a t 2 cos t i 5sen t j ; a 4 29 2= − − pi =r rr r . 
 
9. sim. 
 
 
10. x = 1et; y = 2et; z = 3et, 0t ≥ . 
 
Segmento de 
reta vertical 
 
 
 
 6
 
11. a) ( )trr = ( (t3/3) + 2 ) i⋅ r + ( 3t2 + t − 3 ) j⋅ r + ( 2t4 + 1 ) k⋅ r ; 
 
 
12. O vetor posição é ( ) ( ) ( )2t 2cos 3te 1 4r t t i 2t j t 1 k2 2 3 3
  
= + + + − + + +  
   
rr rr
. 
 
 
13. 
x 1 5t
y 2 2t , t
z 5t
= − +

= − ∈

=
� . 
 
14. 
x t
y 4 t , t
z 24 3t
=

= + ∈

= +
� , existem outras. 
 
15. a) ( ) ( ) ( )( ) [ ]pi∈= 2,0t,4, tsen2, tcos2tr r . 
 
 b) ( ) ( )32 , tt2t, tr =r . 
 
 c) ( ) ( ) ( )( ) [ ]pi∈+−= 2,0t,2, tsen10, tcos51tr r . 
 
 d) ( ) ( )( ) 0t,, etlnt, tr t >= r . 
 
 e) ( ) ( ) ( )41 5 41r t 1 cos t , sen t
2 2 2
 
= + ⋅ − + ⋅  
 
r
. Circunferência de centro ( )1, 5 2− e raio 41 2 . 
 
16. a) ( ) ( )q t i 2t j= +r rr . 
 
 b) ( ) ( ) ( ) 4q t 1 t 3 i 3 t j 4t k3pi = + + − + + − +  
rr rr
. 
 
 c) ( ) ( ) ( )q t 4 4t i 8 12t j= − + − +r rr . 
 
 d) ( ) ( ) ( ) ( )q t 1 3t i 1 3t j 3t 2 k= + + − + rr rr . 
17. ( ) ( )3, 2, 0 6, 5, 3 e

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