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Gestão Financeira apostila

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MMBBAA EEXXEECCUUTTIIVVOO EEMM 
NNEEGGÓÓCCIIOOSS FFIINNAANNCCEEIIRROOSS 
 
 
 
GESTÃO FINANCEIRA 
INTRODUÇÃO 
 
 
 
 
 
Coordenador: Prof. Luiz Eduardo Teixeira Brandão 
Autores: Prof. Ricardo Bordeaux 
 Prof. Sergio Caldas 
 Prof. Luís Filipe Rossi 
 Prof. Luiz Eduardo Teixeira Brandão 
 
 
 
 
 
 
Tutoria a Distância 
IAG – A Escola de Negócios da PUC-Rio • Gestão Financeira • Introdução 2 
ÍNDICE GERAL 
Introdução às Finanças Corporativas – Tema A ....................................................9 
Objetivos .................................................................................................................9 
Introdução ...............................................................................................................9 
1. Processo de Planejamento Financeiro..............................................................12 
2. A Empresa e Seus Parceiros: Clientes, Fornecedores, Acionistas e Credores 13 
3. Fontes de Financiamentos................................................................................16 
4. Valor da Empresa .............................................................................................17 
5. Custo de Capital da Empresa ...........................................................................18 
Resumo do Tema..................................................................................................19 
Termos-Chave ......................................................................................................19 
Bibliografia Consultada .........................................................................................19 
 
Matemática Financeira - Tema B............................................................................22 
Caso Introdutório...................................................................................................22 
Objetivos ...............................................................................................................22 
Introdução .............................................................................................................22 
Juros .....................................................................................................................22 
1. Juros Simples....................................................................................................23 
2. Juros Compostos ..............................................................................................27 
3. Taxas de Juros..................................................................................................32 
4. Série Uniforme – Prestações Iguais..................................................................41 
5. Valor Presente Líquido e Taxa Interna de Retorno ...........................................47 
6. Equivalência de Fluxos de Caixa e Sistemas de Amortização..........................62 
Resumo do Tema..................................................................................................64 
Termos - Chave ....................................................................................................64 
Bibliografia Consultada .........................................................................................64 
 
Análise das Demonstrações Financeiras –Tema C..............................................67 
1. Demonstrações Contábeis ................................................................................67 
2 Análises Horizontal e Vertical.............................................................................77 
3. Índices Econômico-Financeiros de Empresas ..................................................82 
Exercício: Indústrias Alphabeta Ltda.....................................................................84 
Solução .................................................................................................................86 
Bibliografia Básica.................................................................................................87 
Bibliografia Complementar....................................................................................87 
 
Alavancagem Operacional e Financeira – Tema D...............................................90 
Objetivos ...............................................................................................................90 
Introdução .............................................................................................................90 
1. Alavancagem Operacional ................................................................................91 
2. Análise do Ponto de Equilíbrio ..........................................................................95 
3. Alavancagem Financeira...................................................................................97 
4. Alavancagem Combinada ou Total ...................................................................99 
Resumo do Tema................................................................................................100 
Termos-Chave ....................................................................................................100 
IAG – A Escola de Negócios da PUC-Rio • Gestão Financeira • Introdução 3 
Bibliografia Consultada .......................................................................................100 
Decisões de Investimento de Capital – Tema E..................................................103 
Objetivos deste tema ..........................................................................................103 
Introdução ...........................................................................................................104 
Valoração de Ativos ............................................................................................106 
Princípios básicos para aplicação de capital.......................................................108 
Método do Fluxo de Caixa Descontado ..............................................................110 
Opções Reais......................................................................................................116 
Resumo do Tema................................................................................................118 
Termos-Chave ....................................................................................................119 
Bibliografia ..........................................................................................................119 
 
Fluxo de Caixa de Projetos – Tema F ..................................................................122 
Objetivos deste tema ..........................................................................................123 
Introdução ...........................................................................................................123 
Fluxo de Caixa Incremental ................................................................................125 
Erros de Previsão................................................................................................133 
Análise de Risco .................................................................................................135 
Métodos de Avaliação de Risco de Projetos.......................................................137 
Resumo do Tema................................................................................................143 
Termos-Chave ....................................................................................................143 
Estudo de Caso...................................................................................................144 
 
Custo de Capital – Tema G...................................................................................150 
Objetivos deste tema ..........................................................................................151 
Introdução ...........................................................................................................151Custo de Capital de Terceiros.............................................................................152 
Custo de Capital Próprio .....................................................................................153 
Custo Médio Ponderado de Capital (WACC) ......................................................158 
Custo Marginal de Capital ...................................................................................158 
Custo de Capital no Brasil...................................................................................159 
Economic Value Added (EVA) ............................................................................164 
EVA e Market Value Added (MVA) .....................................................................165 
Resumo do Tema................................................................................................169 
Termos-Chave ....................................................................................................169 
Bibliografia ..........................................................................................................169 
Anexo 1...............................................................................................................170 
Anexo 2...............................................................................................................172 
 
Estrutura de Capital – Tema H .............................................................................175 
Objetivos Deste Tema.........................................................................................175 
Introdução ...........................................................................................................175 
Modigliani e Miller ...............................................................................................176 
Considerações adicionais ...................................................................................183 
Conclusão ...........................................................................................................184 
Resumo do Tema................................................................................................184 
Termos-Chave ....................................................................................................184 
Bibliografia ..........................................................................................................185 
Anexo 1...............................................................................................................185 
Estudo de Caso...................................................................................................187 
 
IAG – A Escola de Negócios da PUC-Rio • Gestão Financeira • Introdução 4 
Fontes de Financiamento de Longo Prazo – Tema I ..........................................193 
Captação de Longo Prazo ..................................................................................193 
Objetivos do Capítulo..........................................................................................194 
Introdução: ..........................................................................................................194 
Capital Próprio ....................................................................................................194 
Mercados Primário e Secundário ........................................................................208 
Títulos de Renda Fixa .........................................................................................213 
Debêntures .........................................................................................................217 
Sistema BNDES..................................................................................................220 
Resumo do Tema................................................................................................226 
Termos-Chave ....................................................................................................226 
Bibliografia: .........................................................................................................226 
“Sites” de Internet:...............................................................................................226 
 
Administração Financeira de Curto Prazo – Tema J..........................................229 
Objetivos deste tema ..........................................................................................229 
Introdução ...........................................................................................................229 
Administração do Capital de Giro........................................................................230 
Administração do Caixa ......................................................................................234 
Resumo do Tema................................................................................................235 
Termos-Chave ....................................................................................................235 
Estudo de Caso...................................................................................................236 
Estudo de Caso: Solução....................................................................................238 
 
Exercícios de Auto-Avaliação ..............................................................................240 
 
Resposta dos Exercícios de Auto-Avaliação......................................................272 
IAG – A Escola de Negócios da PUC-Rio • Gestão Financeira • Introdução 5 
GESTÃO FINANCEIRA 
EMENTA 
ntrodução às finanças corporativas. Matemática financeira: juro simples, 
desconto, juro composto, series uniformes, valor presente liquido e taxa 
interna de retorno, equivalência de fluxos de caixa e sistemas de amortização. 
Análise das demonstrações financeiras: demonstrações contábeis, análises 
horizontal e vertical e índices econômico-financeiros das empresas. Alavancagem 
operacional e financeira. Decisão de Investimento de Capital: métodos de avaliação. 
- Fluxo de caixa de projetos: estimativas de fluxo de caixa, análise de risco. - Custo 
de Capital: custo de capital próprio e de terceiros, custo médio ponderado de capital, 
valor econômico agregado. - Estrutura de Capital: Modigliani e Miller. Teorias da 
estrutura de capital, risco do negócio e risco financeiro, estrutura de capital ótima. - 
Fontes de financiamento de longo prazo: capital próprio, títulos de renda fixa, 
debêntures, operações bancárias e BNDES. - Administração Financeira de Curto 
Prazo: administração de caixa e necessidade de capital de giro. 
CARGA HORÁRIA 
60 horas. 
I 
IAG – A Escola de Negócios da PUC-Rio • Gestão Financeira • Introdução 6 
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 
 Tema 
Tema A 
2 horas Introdução as Finanças Corporativas 
Tema B 
10 horas 
Matemática Financeira J 
Juros Simples e Compostos 
Taxas de Juros 
Séries Uniformes 
Valor Presente Líquido e TIR 
Equivalência de Fluxos de Caixa 
Sistemas de Amortização 
Tema C 
10 horas 
Análise de Demonstrações Financeiras 
Demonstrações Contábeis 
Análise Horizontal e Vertical 
Índices Econômico Financeiros 
Tema D 
4 horas Alavancagem Operacional e Financeira 
Tema E 
6 Horas 
A Decisão de Investimento de Capital 
Tipos de Investimento 
Métodos de Avaliação: Payback, TIR, IL, VPL 
Tema F 
6 Horas 
Fluxo de Caixa de Projetos 
Estimativas de Fluxo de Caixa 
Fluxo de Caixa Incremental 
Análise de Risco 
Tema G 
6 Horas 
Custo de Capital 
Capital de Terceiros 
Capital Próprio, Modelos de Dividendos, CAPM 
Custo Médio Ponderado de Capital (WACC) 
Valor Econômico Agregado (EVA), Valor Agregado pelo Mercado 
(MVA) 
Tema H 
6 Horas 
Estrutura de Capital 
Modigliani e Miller 
Risco do Negócio e Risco Financeiro 
Estrutura Ótima de Capital 
Tema I 
6 Horas 
Fontes de Financiamentode Longo Prazo 
Capital Próprio, mercados primários e secundários 
Títulos de renda fixa, debêntures 
Operações bancárias, BNDES 
Tema J 
4 Horas 
Administração Financeira de Curto Prazo 
Administração do Caixa 
Necessidade de Capital de Giro 
CRITÉRIO DE AVALIAÇÃO 
Os alunos serão avaliados com base nos seguintes critérios: 
40% avaliação a distância. 
60% avaliação presencial. 
 
 
MMBBAA EEXXEECCUUTTIIVVOO EEMM 
NNEEGGÓÓCCIIOOSS FFIINNAANNCCEEIIRROOSS 
 
 
 
GESTÃO FINANCEIRA 
TEMA A 
 
 
 
 
 
Coordenador: Prof. Luiz Eduardo Teixeira Brandão 
Autor: Prof. Ricardo Bordeaux 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tutoria a Distância 
IAG – A Escola de Negócios da PUC-Rio • Gestão Financeira • Tema A 8 
ÍNDICE 
Introdução às Finanças Corporativas – Tema A ....................................................9 
Objetivos..................................................................................................................9 
Introdução................................................................................................................9 
1. Processo de Planejamento Financeiro ..............................................................12 
2. A Empresa e Seus Parceiros: Clientes, Fornecedores, Acionistas e Credores .13 
3. Fontes de Financiamentos.................................................................................16 
4. Valor da Empresa ..............................................................................................17 
5. Custo de Capital da Empresa ............................................................................18 
Resumo do Tema ..................................................................................................19 
Termos-Chave .......................................................................................................19 
Bibliografia Consultada..........................................................................................19 
IAG – A Escola de Negócios da PUC-Rio • Gestão Financeira • Tema A 9 
INTRODUÇÃO ÀS FINANÇAS CORPORATIVAS – TEMA A 
OBJETIVOS 
ompreender o papel do administrador financeiro na geração de valor para 
os acionistas. Conhecer as decisões de finanças corporativas e a 
importância estratégica da decisão de financiamento. 
INTRODUÇÃO 
O ADMINISTRADOR FINANCEIRO 
A figura do administrador financeiro é fundamental para a gestão de uma 
empresa. Ocupa, geralmente, cargo de diretoria ou alta gerência. 
O objetivo da administração financeira é a maximização do valor da 
empresa para os acionistas. Para atingir esse objetivo, a empresa necessita de um 
administrador apto a tomar decisões acertadas. Esse executivo deve colocar o 
interesse da empresa acima de seus próprios interesses pessoais, evitando conflitos 
de interesses. 
É importante ressaltar que a maximização de valor é algo a ser perseguido a 
longo prazo, sem se preocupar com lucros imediatos apenas. Toda e qualquer 
decisão deve ser tomada no sentido de gerar aumentos de riqueza sustentáveis, 
sem que decisões gerenciais de curto prazo, visando à elevação de lucros, venham 
a implicar perdas no futuro. Por exemplo, o não-pagamento de leis sociais aos 
empregados pode gerar resultados no curto prazo, mas expõe a empresa a passivos 
de longo prazo, que poderão acarretar importantes perdas aos acionistas no futuro. 
O trabalho de gestão financeira de uma companhia é bastante complexo e 
deve ser encarado dentro da ótica de maximização do valor para o 
acionista/proprietário. A seguir, alguns aspectos importantes: 
• Planejamento estratégico e suas implicações para o planejamento financeiro: 
toda empresa deve ter um objetivo estratégico a ser atingido. Esse objetivo 
tem conseqüências na administração financeira da empresa. Cabe ao 
administrador financeiro organizar seu trabalho para que os objetivos maiores 
da empresa sejam atingidos da forma mais eficiente possível. 
• Demonstrativos financeiros e avaliação de performance: a utilização de 
indicadores financeiros obtidos de fontes tais como balanços e 
demonstrativos gerenciais permite ao administrador financeiro acompanhar o 
desempenho da empresa e direcionar ações corretivas para que seus 
objetivos sejam atingidos. 
• Administração do capital de giro: clientes, fornecedores, funcionários e 
impostos: o dia-a-dia da empresa envolve recebimentos e pagamentos. Uma 
empresa que pague seus compromissos antes de receber suas vendas pode 
enfrentar dificuldades de caixa. O capital de giro proporciona a folga 
financeira para que todos os compromissos sejam saldados e a empresa 
C 
IAG – A Escola de Negócios da PUC-Rio • Gestão Financeira • Tema A 10 
possa comprar matérias-primas, produzir, estocar e vender sem passar por 
dificuldades. 
• Decisões de investimento: sem investimento a empresa não cresce, deixando 
espaço para que os concorrentes o façam. Para investir, entretanto, faz-se 
necessário avaliar o retorno, levando em conta o risco incorrido. É um 
momento crucial na administração financeira: obter no mínimo o justo prêmio 
pelo risco que se corre em um investimento. 
• Decisões de estrutura de capitais: equacionamento das proporções de dívida 
e de capital próprio. As empresas pagam impostos. A utilização de capital de 
terceiros (dívida) pode ser vantajosa para as empresas, já que elas podem 
deduzir os juros pagos da sua renda tributável. Esse fator torna relevante a 
determinação do grau de endividamento da empresa, de modo a se obter o 
benefício fiscal. 
• Decisões de financiamento: o financiamento depende do relacionamento com 
bancos, investidores, agências governamentais. A empresa deve ser capaz 
de fornecer as informações que permitam sua análise de risco para a 
obtenção de linhas de financiamento ou investimento direto por meio da 
compra de ações. 
• Política de dividendos: os acionistas se preocupam com a rentabilidade de 
seu investimento. Dessa forma, a obtenção de bons lucros e dividendos pesa 
na sua decisão de investir nesta ou naquela empresa. Uma política clara de 
distribuição de lucros torna o relacionamento com os acionistas mais claro e 
estável, evitando oscilações bruscas nas cotações das ações da empresa. 
• Criação de valor para o acionista: além dos dividendos, o ganho de capital, 
resultado da valorização das ações em bolsa, é importante para os acionistas. 
Entretanto, para que o mercado avalie bem uma companhia, é necessário 
que ela gere valor em suas atividades. O reinvestimento de lucros, por 
exemplo, pode ser uma forma de geração de valor, já que os resultados dos 
novos investimentos deverão gerar maiores lucros no futuro, remunerando 
melhor os acionistas. 
• Avaliação de negócios para aquisição: há circunstâncias em que as empresas 
em expansão necessitam adquirir outras empresas. O administrador 
financeiro deve ter muito cuidado nesse momento, na avaliação dos negócios 
a serem adquiridos. Um preço elevado demais pode reduzir o valor da 
empresa, em vez de ser um bom negócio. 
O estudo de finanças corporativas abrange as decisões a serem tomadas 
pelo administrador financeiro. As principais decisões podem ser resumidas na Figura 
a.1 a seguir: 
IAG – A Escola de Negócios da PUC-Rio • Gestão Financeira • Tema A 11 
Investimento Financiamento 
 
 
Dividendos 
 
Figura a.1 - Decisões de Finanças Corporativas 
Decisão de Investimento: como distribuir os recursos da empresa dentre as 
várias alternativas de investimento possíveis; 
Decisão de Financiamento: como obter os recursos necessários para os 
projetos; 
Decisão de Dividendos: que proporção dos resultados deve ser reinvestida ou 
distribuída aos acionistas. 
As decisões de financiamento e investimento são interdependentes. Por 
exemplo, se uma empresa tiver acesso a recursos do BNDES, terá mais facilidade 
de realizarinvestimentos do que outra que somente possua recursos próprios. Por 
outro lado, se uma empresa tiver ações negociadas em bolsa de valores, terá 
acesso a investidores que participarão do seu capital, facilitando a obtenção de 
recursos para investimentos. 
O administrador financeiro deve decidir que projetos realizar, onde e como 
captar os recursos e quanto distribuir aos acionistas dos lucros obtidos. Essa 
proporção de lucros reinvestidos apresenta dois aspectos: se for muito pequena, 
sinaliza falta de projetos atraentes; se for muito grande, afasta os investidores 
interessados em dividendos. 
Exemplo a.1: A empresa Gama teve um lucro líquido de R$ 20 milhões. A lei 
determina que ao menos 25% desse lucro sejam distribuídos na forma de 
dividendos. Isso significa que, no mínimo, R$ 5 milhões devem ser distribuídos aos 
acionistas. O diretor financeiro anuncia a distribuição de R$ 10 milhões como 
dividendos. Em sua exposição de motivos ele afirma que as necessidades de capital 
para investimentos serão preenchidas pelo reinvestimento de R$ 10 milhões e por 
um empréstimo de R$ 10 milhões junto ao BNDES. 
Análise: os recursos obtidos junto ao BNDES geram um benefício fiscal, já 
que são dedutíveis da renda tributável da empresa. Dessa forma, o custo de capital 
da empresa, taxa utilizada para analisar a viabilidade do investimento, se torna 
menor ao se mesclarem capital próprio e de terceiros. Há de se observar que o 
custo de capital de terceiros é sempre menor do que o de capital próprio, pois a 
dívida tem risco menor, possuindo garantias que os acionistas não têm. De fato, o 
que se observa no mercado de capitais é que anúncios de captação de recursos por 
meio de dívida para investimentos costumam causar a elevação das cotações das 
ações das empresas. 
Exemplo a.2: A empresa Alfa tinha, ano passado, 200 milhões de ações em 
poder do público. O lucro líquido naquele exercício foi de R$ 200 milhões. Resolveu 
realizar uma emissão de R$ 50 milhões de ações para obter recursos para um 
investimento. Você é acionista da empresa e possui 1.000 ações. Você resolve não 
IAG – A Escola de Negócios da PUC-Rio • Gestão Financeira • Tema A 12 
adquirir nenhuma ação da emissão. Após o investimento realizado, o lucro líquido 
apurado foi de R$ 220 milhões. 
Pergunta: o investimento realizado foi bom para você? Por quê? 
Solução: o importante é apurar o lucro por ação antes e depois da emissão e 
investimento: 
Lucro por ação antes = (R$ 200 milhões)/(200 milhões de ações) = R$ 1,00 
por ação 
Lucro por ação após = (R$ 220 milhões)/(250 milhões de ações) = R$ 0,88 
por ação 
Analisando os números, podemos perceber que, segundo o critério de lucro 
por ação, o investimento realizado não beneficiou o acionista. Entretanto, esse pode 
não ser o único critério de geração de valor, já que não se analisou o impacto do 
investimento nos lucros futuros da empresa. O administrador financeiro, ao tomar as 
decisões de financiamento e investimento, nesse caso, deve ter realizado projeções 
de resultados futuros que o levassem a maximizar valor para os acionistas. 
1. PROCESSO DE PLANEJAMENTO FINANCEIRO 
Durante o planejamento financeiro, ocorre a análise das interações de 
investimento e de financiamento disponíveis para a empresa. Deve-se buscar a 
melhor proporção de capital próprio e de terceiros para definir os recursos a serem 
empregados nos projetos de investimento. Nesse momento, a disponibilidade de 
recursos de agências governamentais em áreas incentivadas pode assumir um 
papel relevante, já que elas podem direcionar a decisão para projetos fora da região 
original da empresa. 
O administrador financeiro deve projetar as futuras conseqüências das 
decisões atuais de investimento e financiamento. Para tanto, o desenvolvimento de 
cenários pode ser utilizado, realizando simulações de inflação, crescimento 
econômico, taxas de juros entre outros. Isso visa a evitar surpresas, analisando o 
impacto das variáveis escolhidas nos resultados dos projetos. A compreensão dos 
riscos envolvidos direciona a análise para os aspectos mais sensíveis, dando maior 
segurança à tomada de decisão. 
Uma vez tomada a decisão de investimento, o gestor financeiro deve definir 
um plano estratégico e um orçamento para o acompanhamento de seu projeto. 
Balizas com metas parciais devem ser criadas para que se possa avaliar a 
performance com relação às metas traçadas no plano estratégico. 
As decisões a serem tomadas devem respeitar os prazos: 
• Curto prazo: decisões referentes a capital de giro, horizonte máximo de 
12 meses. 
• Longo prazo: decisões de investimento e financiamento com horizonte de 
vários anos. 
A seguir, serão apresentados a empresa e seu relacionamento com os 
parceiros. 
IAG – A Escola de Negócios da PUC-Rio • Gestão Financeira • Tema A 13 
2. A EMPRESA E SEUS PARCEIROS: CLIENTES, FORNECEDO-
RES, ACIONISTAS E CREDORES 
Para uma empresa operar ela precisa se relacionar com clientes e 
fornecedores. É fundamental que o administrador financeiro conheça bem esses 
parceiros, já que o relacionamento com eles envolve risco. 
A Figura a.2 a seguir apresenta o esquema de relacionamentos. 
 Matéria-prima Produto 
 Contas a Pagar Contas a Receber 
Figura a.2 - Relacionamento com Clientes e Fornecedores 
As matérias-primas (produtos ou serviços) são fornecidas à empresa e se 
tornam contas a pagar. A empresa as processa e vende aos clientes, gerando as 
contas a receber. O risco está presente em cada passo dessas operações: se o 
fornecedor receber um adiantamento para produzir e não entregar à empresa no 
prazo, ou com a qualidade requerida, ela terá sérios problemas. Além disso, se o 
cliente receber o produto ou serviço e atrasar o pagamento à empresa, isso gerará 
uma necessidade de capital de giro, acarretando problemas de caixa. 
A seguir, serão apresentados esquematicamente os balanços e 
demonstrativos de resultados. 
Fornecedor 
Empresa 
• Estoques 
• Máquinas e 
equipamentos 
• Funcionários 
CLIENTE 
IAG – A Escola de Negócios da PUC-Rio • Gestão Financeira • Tema A 14 
 
ATIVOS PASSIVOS 
Figura a.3 - Balanços e Demonstrativos de Resultados 
As chamadas contas circulantes são as de curto prazo, relacionadas ao 
capital de giro. O capital de giro existe para fazer frente aos descasamentos de 
pagamentos e recebimentos de curto prazo, dando folga financeira à empresa. 
As fontes de financiamento de longo prazo devem ser aplicadas em 
investimentos ou imobilizações necessárias à operação da empresa. 
A boa aplicação dos recursos em projetos gera resultados, que são apurados 
em demonstrativos de resultados, apresentados a seguir. 
• Caixa e aplicações 
financeiras 
• Contas a receber de 
clientes 
• Estoques 
Capital de 
Giro 
• Contas a pagar para 
fornecedores 
• Impostos e taxas a 
pagar ao Governo 
• Dividendos a pagar 
aos acionistas 
• Outras contas a pagar 
• Máquinas, 
equipamentos e 
prédios 
• Investimentos 
• Diferido (benfeitorias 
em imóveis 
alugados, por 
exemplo) 
Fontes de 
Financiamento
Ativo 
Permanente 
• Debêntures (títulos de 
dívida de longo prazo)
• Financiamentos de 
longo prazo – BNDES 
• Patrimônio Líquido 
(capital dos sócios) 
IAG – A Escola de Negócios da PUC-Rio • Gestão Financeira • Tema A 15 
 
Vendas Líquidas = Vendas – impostos diretos + 
Custo de Produto Vendido = Matéria-prima + mão-de-obra + 
insumos diversos + outros custos 
relativos aos produtos 
 
(-) 
Margem Bruta = 
Despesas Operacionais = Gastos com vendas + despesas 
administrativas + despesas gerais 
+ depreciação + despesas 
financeiras 
 
(-) 
Margem Operacional 
= 
Receitas/Despesas Não 
Operacionais 
outras despesas , despesas não 
recorrentes, etc. 
 
+/- 
Lucro Antesdo IR (LAIR) 
= 
Imposto de Renda (-) 
Lucro Líquido = 
Figura a.4 - Demonstrativo de Resultados 
Exemplo a.3: Uma empresa tem vendas de R$ 1.200.000,00. Seus custos 
variáveis = 16% das vendas. Seus custos fixos são de R$ 92 mil. Os equipamentos 
da empresa geram uma depreciação de R$ 850 mil. A alíquota de IR é de 35%. 
Calcular o Lucro Antes do IR (LAIR) e o Fluxo de Caixa. 
Solução: 
Vendas 1.200.000 
Custos variáveis = 0,16 x vendas 192.000 
Custos Fixos 92.000 
Depreciação 850.000 
LAIR = vendas-CV-CF-Deprec 66.000 
IR 35% 23.100 
Lucro Líquido = LAIR - IR 42.900 
Fluxo de Cx =LL + Depreciação 892.900 
 
 
A depreciação é uma despesa dedutível para fins de imposto de renda, mas 
que não tem efeito caixa (não há desembolso de depreciação). Assim, para apurar o 
fluxo de caixa gerado pela empresa, soma-se a depreciação ao lucro líquido. 
A partir do demonstrativo de resultados pode-se montar o demonstrativo de 
origens e aplicações de recursos da empresa (DOAR). 
IAG – A Escola de Negócios da PUC-Rio • Gestão Financeira • Tema A 16 
O DOAR auxilia na determinação das origens e destinações de recursos das 
empresas. É um instrumento gerencial que o administrador financeiro deve utilizar 
para formular suas políticas de curto e longo prazo. Ele deve definir suas fontes de 
financiamentos adequadas aos dispêndios que realizará. A seguir, veremos as 
fontes de financiamentos. 
3. FONTES DE FINANCIAMENTOS 
A necessidade de capital para o financiamento das operações de longo prazo 
das empresas é suprida pela captação de recursos ou pela utilização de recursos 
gerados internamente. As empresas utilizam várias maneiras distintas de 
financiamento: 
1. Financiamento Interno – retenção de lucros; 
2. Financiamento Externo por meio de dívida – capital de terceiros; 
3. Financiamento Externo por meio de emissão de ações – mercado de 
capitais: emissões primárias, particulares ou públicas; 
4. Financiamento Externo por meio de instrumentos híbridos, que mesclam 
dívida e capital próprio (obrigações conversíveis em ações, por exemplo). 
Imobilizações para aumento 
ou manutenção da 
capacidade produtiva 
Caixa para fazer frente a 
alterações de capital de 
giro 
Lucro Líquido 
Depreciação 
Investimentos 
Necessidade de Capital de 
Giro = 
 
• Caixa Operacional (+) 
• Clientes (+) 
• Estoques (+) 
• Fornecedores (-) 
• Impostos (-) 
• Outras Contas (+/-) 
Resultado Final 
Item de despesa que 
não impacta o caixa 
(gera benefício fiscal) 
IAG – A Escola de Negócios da PUC-Rio • Gestão Financeira • Tema A 17 
O tipo de financiamento está relacionado ao estágio da empresa em seu ciclo 
de vida: 
1. Início – Capital Próprio: as empresas ou negócios começam com o capital 
dos empreendedores. Como não podem dar garantias, dificilmente obtêm 
empréstimos para seus investimentos iniciais. 
2. Crescimento – Venture Capital (Capital de Risco); Abertura de Capital 
(IPOs – Initial Public Offerings): o capitalista de risco surge quando as 
empresas começam a crescer e necessitam intensamente de recursos. 
Como ainda não têm acesso a crédito, geralmente buscam nos 
capitalistas de risco sócios com capacidade financeira para realizar os 
aportes necessários. 
3. Amadurecimento – Lucros Retidos, Dívida (Capital de Terceiros): na 
maturidade, os resultados se tornam mais previsíveis e as empresas 
passam a investir em ativos, que podem ser dados em garantia de 
empréstimos. 
4. Declínio – Poucos Projetos, Menor Necessidade de Capital: recompra de 
ações, dividendos extraordinários (desinvestimento). Poucos projetos 
levam as empresas a destinar um percentual maior dos lucros como 
dividendos, ou mesmo a realizar recompra de ações. 
Muito se falou aqui em maximização de valor para os acionistas. A seguir será 
apresentado o conceito de valor da empresa. 
 
4. VALOR DA EMPRESA 
O valor da empresa pode ser apresentado de diversas formas: 
1. Valor contábil: é o patrimônio líquido contábil; 
2. Valor de mercado: é o valor que o mercado paga pela empresa, quer em 
bolsa de valores, mercado de balcão, ou venda direta a interessados; 
3. Valor presente líquido: é o valor presente obtido após o desconto dos 
futuros fluxos de caixa esperados a uma taxa que corresponda ao custo 
do capital da empresa; 
4. Valor de liquidação: é o valor dos ativos da empresa no caso de 
encerramento do negócio, após o pagamento de todas as suas 
obrigações. 
As empresas que possuem uma visibilidade maior no mercado, geralmente de 
capital aberto, negociadas em bolsa de valores, são mais facilmente avaliadas. 
Dessa forma, seus acionistas têm melhor noção de valor de seu investimento. 
Para a obtenção de valor, é necessário que se saiba o custo do capital da 
empresa. 
 
 
 
IAG – A Escola de Negócios da PUC-Rio • Gestão Financeira • Tema A 18 
5. CUSTO DE CAPITAL DA EMPRESA 
Um investimento com risco deve proporcionar um retorno que remunere o 
investidor pelo risco incorrido. Dessa forma, o custo de capital de um investimento 
com risco deverá dar como retorno a soma de dois componentes: 
Retorno Exigido = Retorno de um investimento “sem Risco” + prêmio pelo 
risco incorrido. 
Não faz sentido, portanto, o desconto de projetos a uma taxa de caderneta de 
poupança, se eles apresentarem um risco maior. Muitos empreendedores que não 
conhecem os fundamentos de finanças corporativas utilizam taxas de títulos do 
governo ou caderneta de poupança como baliza para seus investimentos. 
Procedendo dessa forma, eles correm grande risco de aceitarem maus projetos, 
julgando-os bons. 
Além da questão do risco, o custo de capital de uma empresa deve levar em 
conta as fontes de financiamento. Dessa forma, os recursos de acionistas têm um 
custo e os recursos de terceiros têm outro. Para que se obtenha o custo de capital 
adequado é preciso que se faça a média ponderada pelo tipo de fonte de 
financiamento, entre as respectivas taxas. Esse tipo de taxa é chamado de custo 
médio ponderado de capital, que será objeto de aprofundamento futuro. 
Exemplo a.4: Um empreendedor está analisando um projeto de investimento, 
cujo retorno está estimado em 10% ao ano. Ele trabalha somente com capital 
próprio. Ele pede sua ajuda para decidir e fornece os seguintes dados: 
Taxa da poupança, onde ele guarda seu dinheiro: 7% ao ano. 
Prêmio pelo risco do negócio: 5,5% ao ano. 
Ele deve ou não fazer o investimento? 
Solução: Custo do capital próprio do empreendedor: 7% + 5,5% = 12,5% ao 
ano. Como o custo de capital próprio é maior do que a rentabilidade do projeto, ele 
deve recusá-lo. 
Mas, se ele comparasse com a poupança apenas, não seria bom? Pareceria 
bom, pois a taxa da poupança é menor do que a rentabilidade do projeto, mas não 
seria suficiente para remunerar todo o risco envolvido (que está contado no prêmio 
pelo risco). 
Esse é um cuidado que todo administrador financeiro deve levar em conta: o 
risco envolvido em cada projeto. 
Exemplo a.5: Uma empresa trabalha com 50% de capital próprio e 50% de 
capital de terceiros de longo prazo. Seu custo do capital próprio é de 12,5% ao ano; 
seu custo do capital de terceiros, após os impostos (já descontado o benefício 
fiscal), é de 8% ao ano. Ela estuda um projeto de investimento com rentabilidade de 
11% ao ano. Deve realizá-lo ou não? 
Solução: Custo médio ponderado de capital da empresa = (12,5%)/2 + (8%)/2 
= 10,25% ao ano. Como a rentabilidade é melhor do que o custo de capital da 
empresa, o projeto deve ser realizado. 
Note-se que, se a empresa trabalhasse somente com recursos próprios, ela 
iria recusar o projeto, pois não conseguiria remunerar seu capital a 12,5% ao ano. 
IAG – A Escola de Negócios da PUC-Rio • Gestão Financeira • Tema A 19 
Neste capítulo, foi apresentada a função objetivo de finanças corporativas,que trata da maximização de valor para os acionistas. Observou-se que a visão do 
gestor financeiro deve ser de longo prazo na maximização de valor. Foram 
apresentadas as principais decisões de finanças corporativas: investimento, 
financiamento e dividendos. Os principais instrumentos contábeis de 
acompanhamento foram listados. Pode-se perceber a importância do risco, bem 
como da diversidade de fontes de financiamento, na gestão financeira. O 
administrador deve estar apto a realizar escolhas entre fontes de financiamento para 
maximizar valor. 
Nos próximos capítulos essas questões serão aprofundadas, de modo a dotar 
o leitor de um sólido conhecimento em finanças corporativas. 
RESUMO DO TEMA 
Neste tema vimos que o objetivo da empresa é a maximização de valor para 
os seus acionistas. Para essa maximização, a empresa deve otimizar a captação de 
recursos de modo a permitir seus investimentos. Foram apresentadas as decisões 
de finanças corporativas e a importância estratégica da decisão de financiamento. 
TERMOS-CHAVE 
1. Maximização de Valor para os Acionistas 
2. Decisão de financiamento 
3. Balanço 
4. Ciclo de vida da empresa 
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA 
GITMAN, L. J. Princípios de administração financeira. 7. ed. São Paulo: Harbra, 1997. 
ROSS, S.; WESTERFIELD, R. W.; JORDAN, B. D. Princípios de administração 
financeira. 2. ed. São Paulo: Atlas, 2003. 
 
 
MMBBAA EEXXEECCUUTTIIVVOO EEMM 
NNEEGGÓÓCCIIOOSS FFIINNAANNCCEEIIRROOSS 
 
 
 
GESTÃO FINANCEIRA 
TEMA B 
 
 
 
 
 
Coordenador: Prof. Luiz Eduardo Teixeira Brandão 
Autor: Prof. Ricardo Bordeaux 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tutoria a Distância 
IAG – A Escola de Negócios da PUC-Rio • Gestão Financeira • Tema B 21 
ÍNDICE 
Matemática Financeira - Tema B............................................................................22 
Caso Introdutório ...................................................................................................22 
Objetivos................................................................................................................22 
Introdução..............................................................................................................22 
Juros......................................................................................................................22 
1. Juros Simples ....................................................................................................23 
1.1 Características Gerais................................................................................................. 23 
1.2 Notações Gerais.......................................................................................................... 23 
1.3 Capitalização Simples................................................................................................. 24 
1.4 Taxa de Desconto “Por Dentro” ou Racional, Taxa de Rentabilidade .................... 25 
1.5 Taxa de Desconto “Por Fora” ou Comercial.............................................................. 25 
1.6 Relação entre as Taxas “Por Dentro” e “Por Fora”................................................... 26 
2. Juros Compostos...............................................................................................27 
2.1 Características Gerais................................................................................................. 27 
2.2 Capitalização Composta............................................................................................. 27 
2.3 Desconto “Por Dentro” ou Racional ........................................................................... 28 
2.4 Utilização da HP-12C e da Planilha Excel para Obtenção de FV a Partir de PV... 29 
2.5 Desconto “Por Fora”.................................................................................................... 31 
3. Taxas de Juros ..................................................................................................32 
3.1 Taxa Efetiva ................................................................................................................. 32 
3.2 Taxas Proporcionais – Juros Simples........................................................................ 33 
3.3 Taxas Equivalentes – Juros Compostos ................................................................... 33 
3.4 Taxa Nominal............................................................................................................... 35 
3.5 Tabela Price................................................................................................................. 37 
3.6 Comparação entre Taxas Anuais e Equivalentes..................................................... 38 
3.7 Outras Denominações................................................................................................ 38 
4. Série Uniforme – Prestações Iguais ..................................................................41 
4.1 Dado PMT, Achar FV.................................................................................................. 41 
4.2 Dado FV, Achar PMT.................................................................................................. 42 
4.3 Dado PMT, Achar PV.................................................................................................. 43 
4.4 Dado PV, Achar PMT.................................................................................................. 44 
4.5 Prestações Perpétuas................................................................................................. 47 
5. Valor Presente Líquido e Taxa Interna de Retorno............................................47 
5.1 O Método do Valor Presente Líquido (VPL).............................................................. 47 
5.2 Método da Taxa Interna de Retorno (TIR) ................................................................ 54 
6. Equivalência de Fluxos de Caixa e Sistemas de Amortização ..........................62 
Resumo do Tema ..................................................................................................64 
Termos - Chave .....................................................................................................64 
Bibliografia Consultada..........................................................................................64 
 
IAG – A Escola de Negócios da PUC-Rio • Gestão Financeira • Tema B 22 
MATEMÁTICA FINANCEIRA - TEMA B 
CASO INTRODUTÓRIO 
m empresário necessita financiar um importante cliente. Se não der um 
prazo mínimo de 120 dias para o pagamento das vendas, perderá um 
contrato milionário. O custo de oportunidade do empresário é uma aplicação em 
títulos do governo, com liquidez diária. Ele possui folga financeira para fazer o 
financiamento. Como deve analisar o problema? 
Análise: ele deve cobrar do cliente, no mínimo, o valor da venda corrigido pelo 
custo de oportunidade, no vencimento daqui a 120 dias. 
O valor do dinheiro no tempo é muito importante na tomada de decisão em 
finanças. 
OBJETIVOS 
É objetivo deste módulo a fixação dos conceitos de juros simples e 
compostos, bem como a compreensão do importante conceito de valor do dinheiro 
no tempo. Além disso, são discutidos os seguintes tópicos: conceitos de valor 
presente, futuro e desconto de contas a receber; capitalização em períodos; 
prestações uniformes; análise e comparação de fluxos de caixa; sistemas de 
amortização. 
Os juros são também utilizados para a tomada de decisão de investimentos. 
Serão apresentados o método da Taxa Interna de Retorno e o do Valor Presente 
Líquido. 
INTRODUÇÃO 
O Brasil é um País em que os juros são muito elevados. Nas operações de 
curto prazo, especialmente, os juros são elevadíssimos. Existe uma acentuada 
assimetria entre o que se pode auferir aplicando recursos próprios em fundos de 
curto prazo oucaderneta de poupança e o que se paga de juros em cheque 
especial, cartões de crédito etc. Dessa forma, o estudo de matemática financeira é 
muito importante na formação dos executivos que lidam com captação e aplicação 
de recursos. 
JUROS 
Juros: O que representam? Estão associados ao risco de um investimento. O 
conceito de risco está sempre presente em finanças. A possibilidade de desvios em 
relação às previsões realizadas constitui o risco. Um investidor que aplique seus 
recursos em um produto financeiro deve analisar a solidez da instituição antes de 
tomar sua decisão. Juros elevados, acima do mercado, freqüentemente são sinal de 
U 
IAG – A Escola de Negócios da PUC-Rio • Gestão Financeira • Tema B 23 
problemas na captação de recursos. Os juros são, portanto, remuneração paga 
pelas instituições financeiras sobre o capital dos investidores. 
Quando alguém toma emprestado recursos de um terceiro para realizar um 
investimento, paga juros pela utilização do capital que não é seu. Dessa forma, os 
juros constituem a remuneração do capital empregado em atividades produtivas. Os 
juros podem ser simples ou compostos. A seguir, será apresentado o conceito de 
juros simples. 
1. JUROS SIMPLES 
1.1 CARACTERÍSTICAS GERAIS 
Principal: capital sobre o qual incide a taxa de juros cobrada. 
No caso dos juros simples, o cálculo dos juros é feito apenas sobre o principal 
– capital inicial. Os juros simples não são somados ao capital para o cálculo dos 
novos juros dos períodos seguintes. Desse modo, o crescimento do capital é linear. 
Não há capitalização – os juros não se transformam em capital. 
A Figura b.1 ilustra a situação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura b.1 - Capitalização Simples de um Principal de R$ 100 a 10% ao Ano por 
10 Anos 
1.2 NOTAÇÕES GERAIS 
n: no de períodos de capitalização de juros – dias, meses, trimestres, 
semestres, anos etc. 
 n = 0 hoje, ou início do 1o período. 
 n = 1 final do 1o período 
i: taxa de juros por período de capitalização (%) 
 ex: i = 10% a.a = 10% ao ano = 10/100 = 0,10 
Capitalização Simples
100
110
120 130
140
150
170
180
190
200
160
0
50
100
150
200
250
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Anos
C
ap
ita
l (
R
$)
IAG – A Escola de Negócios da PUC-Rio • Gestão Financeira • Tema B 24 
PV: Present Value = Valor Presente = valor do Capital Inicial 
FV: Future Value = Valor Futuro = Valor acumulado ao final de n períodos de 
capitalização, à taxa de juros i. 
PMT: Periodic PayMenT = Valor de cada prestação da série uniforme, que 
ocorre ao final de cada período. 
Premissas Fundamentais: 
• Os intervalos de tempo são todos iguais. 
• A unidade de tempo da taxa de juros deve coincidir com a utilizada para 
definir o número de períodos “n”. 
1.3 CAPITALIZAÇÃO SIMPLES 
 
Juros de cada período = iPV × (equação b.1) 
Juros de n períodos = iPVn ×× (equação b.2) 
Valor Futuro = )1( niPVFV ×+= (equação b.3) 
Valor presente = 
ni
FVPV ×+= 1 (equação b.4) 
Exemplo b.1: Qual o valor futuro de uma aplicação, a juros simples de 1% ao 
mês, de R$ 1.000, por dois anos? 
Solução: n = 24 meses; i = 0,01; PV = 1.000, FV = ? 
A partir da fórmula b.3, temos: 
FV = 1.000x(1+ 0,01x24) = 1.240 
Observação: sempre que forem utilizadas fórmulas para a solução dos 
problemas de matemática financeira, as taxas deverão ser decimais, já que a 
notação percentual não se aplica nesses casos. 
Exemplo b.2: Que valor deve ser aplicado hoje, a 1,5% ao mês, juros 
simples, para que produza um montante de R$ 1.000 em um ano? 
Solução: n = 12 meses; i = 0,015; FV = 1.000, PV = ? 
A partir da fórmula 1.4, temos: 
PV = (1000)/(1+0,015x12) = R$ 847,46 
PV FV 
i i i i i i 
0 1 2 ... n-2 n-1 n 
IAG – A Escola de Negócios da PUC-Rio • Gestão Financeira • Tema B 25 
1.4 TAXA DE DESCONTO “POR DENTRO” OU RACIONAL, TAXA DE RENTABILIDADE 
São denominações para a taxa de juros “i”: taxa de rentabilidade ou taxa de 
desconto “por dentro”. 
nPV
FVi 11 ×

 −= (equação b.5) 
O valor do desconto “por dentro” em dinheiro, Dd, é dado pela equação b.6: 
PVFVDd −= (equação b.6) 
Observação: o importante nesta seção é o conceito de desconto. Em busca 
de liquidez, os comerciantes necessitam trocar cheques ou contas a receber por 
dinheiro imediato. Dessa forma, são levados a conceder um desconto em seus 
recebíveis, que, em dinheiro, vale a diferença entre o valor a receber no futuro e o 
recebido antecipadamente: 
Desconto = FV – PV. 
Exemplo b.3: Um comerciante tem um cheque de R$ 1.800 pré-datado para 
daqui a 60 dias. Ele necessita hoje de recursos para saldar compromissos. Procura 
um banco que desconta (por dentro) cheques a 4% ao mês, juros simples. Qual o 
valor que ele receberá? Qual o desconto “por dentro” em reais que ele concedeu? 
Solução: PV = (1800)/[1+(0,04x2)] = R$ 1.666,67 
Dd = FV – PV = 1.800 – 1.666,67 = R$ 133,33 
1.5 TAXA DE DESCONTO “POR FORA” OU COMERCIAL 
É uma taxa aplicada a um valor futuro para obter um valor presente. Na 
atividade comercial, muitas vezes se aplica um desconto “por fora”, ou seja, sobre o 
valor futuro, para se obter o valor presente. O diagrama a seguir explica o conceito. 
 
Juros Simples: descontos incidem sobre o FV ou montante e têm o mesmo 
valor em todos os períodos. 
Observação: a taxa de desconto d (“por fora”) é aplicada sobre o valor futuro 
FV para produzir o valor presente PV, enquanto a taxa de desconto i (“por dentro”), 
ou taxa de rentabilidade, é aplicada sobre o valor presente PV para produzir o valor 
futuro FV. 
ndFVDf ××= (equação b.7) 
O valor presente, PV, resultante do desconto “por fora” sobre o montante FV, 
a uma taxa de desconto, “d”, será: 
PV FV 
d d d d d d
n 1 2 ... n-2 n-1 0 
d
IAG – A Escola de Negócios da PUC-Rio • Gestão Financeira • Tema B 26 
PV = Montante – Descontos = FV (1 - d x n) (equação b.8) 
De (b.8), obtém-se a taxa de desconto “por fora” ou comercial: 
nFV
PVd 11 ×

 −= (equação b.9) 
Exemplo b.4: Se o comerciante do exemplo anterior fosse a outro banco que 
realizasse o desconto “por fora” a 3,8% ao mês, qual seria o valor recebido? Qual 
seria o desconto em dinheiro? 
Solução: FV = 1.800; n = 2 meses; d = 3,8% ao mês. Utilizando a fórmula b.8, 
temos: 
PV = 1.800[1-(0,038x2)] = R$ 1.663,20, e o desconto em dinheiro, Df = 1.800 
–1663,20 = 136,80. 
Observação: note que, apesar de a taxa “por fora” ser menor (3,8% ao mês) 
do que a taxa do outro banco, que é de 4% ao mês (por dentro), o desconto foi 
maior. Isso se explica pelo fato de a taxa “por fora” ser aplicada ao montante (valor 
futuro), que é maior do que o valor presente, em que incide a taxa “por dentro”. A 
importância da fixação desses conceitos reside na confusão que se origina nas 
negociações do dia-a-dia. 
1.6 RELAÇÃO ENTRE AS TAXAS “POR DENTRO” E “POR FORA” 
nd
di ×−= 1 (equação b.10) 
Exemplo b.5: Nos dois exemplos anteriores, qual é a taxa por fora do 
primeiro banco (Exemplo b.3) e a por dentro do Exemplo b.4? 
ni
id ×+= 1 (equação b.11) 
Solução: 
no Exemplo b.3, utilizando-se a fórmula b.9, 
d = (1- (1666,67/1.800))x1/2 = 0,03704 = 3,704% ao mês 
ou, utilizando-se a fórmula b.10, 
d = 0,04/[1+(0,04x2)] = 0,03704 = 3,704% ao mês 
no Exemplo b.4, utilizando-se a fórmula b.5, 
i = [(1800/1663,20) –1]x1/2 = 0,04113 = 4,113% ao mês 
ou, utilizando-se a fórmula b.10, 
i = 0,038/[1-(0,038x2)] = 0,04113 = 4,113% ao mês. 
A seguir, será apresentado o conceito dos juros compostos. 
IAG – A Escola de Negócios da PUC-Rio • Gestão Financeira • Tema B 27 
2. JUROS COMPOSTOS 
2.1 CARACTERÍSTICAS GERAIS 
Os juros de cada período são somados ao capital para o cálculo de novos 
juros nos períodos seguintes. Denomina-se capitalização dos juros – capitalizaçãocomposta. É o sistema mais utilizado no mercado em financiamentos ou aplicações. 
A Figura 2 apresenta o gráfico do crescimento de um capital de R$ 100 
mediante a aplicação, a juros compostos de 10% ao ano, por 10 anos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 - Capitalização Composta de um Principal de R$ 100 a 10% ao Ano por 
10 Anos 
Observação: o capital apresenta crescimento exponencial, diferentemente da 
Figura 1, em que apresentava crescimento linear. A seguir será apresentado o 
raciocínio da capitalização composta. 
2.2 CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
 
PV FV 
i i i i i i 
0 1 2 ... n-2 n-1 n 
i 
Capitalização Composta
100 110
121
133
146
161
177
195
214
236
259
0
50
100
150
200
250
300
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Anos
C
ap
ita
l (
R
$)
IAG – A Escola de Negócios da PUC-Rio • Gestão Financeira • Tema B 28 
Expressão Genérica – dedução: 
1o período de capitalização n = 1 
capital no início do período = PV 
juros do período = PV x i 
capital do final do período = FV = PV + PVx i = PV (1+i) 
2o período de capitalização n = 2 
capital no início do período = PV (1+i) 
juros do período = PV (1+i) x i 
capital do final do período = FV = PV (1+i) + PV (1+i)x i = 
PV (1+i)(1+i) 
 
( )21 iPVFV += 
Sucessivamente, para o terceiro período, n = 3 e 
( )31 iPVFV += 
para o enésimo período de capitalização, 
( )niPVFV += 1 (equação b.12) 
Exemplo b.6: Se você aplicar R$ 2.000 em um título de renda fixa, a juros 
compostos de 1,25% ao mês, líquido de impostos, durante três anos, quanto obterá? 
Solução: Utilizando a fórmula b.12, 
FV = 2.000(1+0,0125)36 = R$ 3.127,89 
Exemplo b.7: Qual o valor do resgate de um título que paga juros compostos 
de 1,3% ao mês, por um prazo de dois anos e meio? O valor aplicado hoje no título 
é de R$ 1.500. 
Solução: FV = 1.500(1+0,013)30 = R$ 2.209,91. 
Também, no caso dos juros compostos, existem os descontos “por dentro” e 
“por fora”. 
2.3 DESCONTO “POR DENTRO” OU RACIONAL 
A partir de (b.12), pode-se obter: 
( )ni
FVPV += 1 (equação b.13) 
o valor do desconto ”por dentro” ou racional é dado por: 
( )
( )n
n
d i
iFVPVFVD +
−+=−=
1
]11[
 (equação b.14) 
Exemplo b.8: Um varejista necessita de recursos para quitar suas obrigações 
com um fornecedor. Ele possui cheques para 90 dias em um total de R$ 3.850. Ele 
procura o banco com que trabalha que desconta, “por dentro”, a juros compostos de 
IAG – A Escola de Negócios da PUC-Rio • Gestão Financeira • Tema B 29 
3,8% ao mês. Quanto deverá receber pelo desconto dos cheques? Qual o valor do 
desconto em dinheiro? 
Solução: Utilizando-se a fórmula b.13: 
( ) 46,442.3$038,01
00,3850
3 RPV =+= 
Valor do Desconto em R$ = 3.850,00 – 3.442,46 = R$ 407,54 
A seguir será apresentada a utilização da HP-12C e da Planilha Eletrônica 
Excel para facilitar os cálculos de juros compostos. 
2.4 UTILIZAÇÃO DA HP-12C E DA PLANILHA EXCEL PARA OBTENÇÃO DE FV A 
PARTIR DE PV 
Situação 1: Dado PV, achar FV. 
n i PV PMT FV 
x x,xx xx.xxx 0 xx.xxx 
 
Observações: 
• PMT não participa deste problema, devendo ter o valor registrado como zero. 
• FV está em destaque porque este é o parâmetro que buscamos. 
• Na HP-12C esta célula indica que a tecla referente a FV é a última a ser 
acionada. 
• Na planilha Excel esta célula é a que recebe o “=FV”. 
• Assume-se que tanto a HP quanto o Excel estão ajustados para série PMT, 
postecipada (pagamentos ou recebimentos ao final de cada período – para 
isso, basta pressionar na HP a tecla azul g END). 
• Na HP, é sempre recomendável, antes de iniciar cálculos com as teclas 
financeiras, pressionar a tecla amarela f CLEAR FIN. Isso garante que 
números que haviam sido arquivados na memória da máquina, relativos a 
exercícios anteriores, sejam erroneamente utilizados no novo cálculo. 
• Entradas de caixa (+) e saídas de caixa (-). 
Exemplo b.9: Qual o valor acumulado ao final de cinco anos, capitalizado a 
juros compostos, com taxa de 10% a.a. a partir de investimento inicial de R$ 1200? 
n = 5 anos; i = 10%a.a.; PV = R$ 1.200 
PMT = 0 
FV = ? 
n i PV PMT FV 
5 10 -1.200 0 1.932,61 
 
O resultado é R$ 1.932,61. Tanto na HP como no Excel, os sinais de PV e FV 
são opostos. 
 
 
IAG – A Escola de Negócios da PUC-Rio • Gestão Financeira • Tema B 30 
Situação 2: Dado FV, achar PV. 
n i PV PMT FV 
x x,xx xx.xxx 0 xx.xxx 
 
• De forma análoga, a célula marcada indica o parâmetro a ser calculado. 
• Na HP-12C, esta é a última tecla a ser acionada para acionar o cálculo. 
• No Excel, esta é a célula na qual são inseridos o (=) e “PV”. 
Exemplo b.10: Qual o valor do principal que deve ser aplicado, a juros 
compostos, com taxa de 1,5% ao mês para produzir um total acumulado de R$ 
1.100 ao final de um ano? Qual o valor do desconto” por dentro” expresso em reais? 
n = 12 meses; i = 1,5% ao mês; FV = R$ 1.100; PMT = 0; PV = ?; Dd = ? 
n i PV PMT FV 
12 1,50 920,03 0 -1.100 
 
PV = R$ 920,03 
Desconto “por dentro”: 
Dd = FV – PV = 1.100 – 920,03 = R$ 179,97 
Exemplo b.11: No diagrama a seguir, o montante de R$ 1.000 colocado no 
final do quarto mês deve ser capitalizado e descontado à taxa de 1,5% ao mês, no 
regime de juros compostos. 
 
a. Qual o valor acumulado no sétimo mês pela capitalização do montante de 
$ 1.000 indicado? 
b. Que valor deve ser investido ao final do primeiro mês para se obter o 
montante de $ 1.000 indicado? 
$ = ? 
0 1 2 3 4 5 6 7 meses 
$=? 
1.000 
IAG – A Escola de Negócios da PUC-Rio • Gestão Financeira • Tema B 31 
Soluções: 
a. Deve-se tratar o problema a partir de uma nova escala de tempo que se 
inicia em (4), no instante em que o montante é aplicado. Este passa a ser 
o PV (valor presente), que precisa ser aplicado por três meses para atingir 
o final do sétimo mês. 
 
Utilizando-se a HP-12C ou a planilha Excel: 
n i PV PMT FV 
3 1,50 -1.000 0 1.045,68 
 
b. Montante no final do primeiro mês: o problema pode ser visto como no 
diagrama a seguir, em que o PV será o ponto zero da nova escala de 
tempo, conforme indicado: 
 
 PV = ? FV = $ 1.000 
 
 
0 1 2 3 4 5 6 7 meses 
 (0) (1) (2) (3) (nova escala) 
 
Na nova escala, $ 1.000 fica colocado no ponto 3 e deve ser tratado como um 
valor FV, que deve ser descontado três meses para atingir o final do primeiro mês 
(mês 0 na nova escala). 
Utilizando-se a HP-12C ou a planilha Excel, temos: 
n i PV PMT FV 
3 1,50 956,32 0 -1.000 
A seguir, será apresentado o conceito de desconto “por fora” para juros 
compostos. 
2.5 DESCONTO “POR FORA” 
( )ndFVPV −= 1 (equação b.15) 
Exemplo b.12: Um comerciante com um título a receber no valor de R$ 
10.000, com 60 dias para o seu vencimento, procura um banco para descontá-lo. A 
taxa de desconto “por fora” é de 3,5% ao mês, sob o regime de juros compostos. 
Determinar o valor presente do título e o valor do desconto composto, 
expresso em $. 
 (+) $ 1.000 FV = ? 
 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 meses 
 (0) (1) (2) (3) 
IAG – A Escola de Negócios da PUC-Rio • Gestão Financeira • Tema B 32 
Solução: FV = $ 10.000; n = 60 dias = 2 meses; d = 3,5% ao mês = 0,035 a.m. 
PV = ?; Df = ? 
PV é obtido a partir da equação (b.15): 
( ) 25,312.9$035,01000.10 2 RPV =−= 
Valor do desconto “por fora”, em $: 
Df = FV – PV = $ 10.00 – $ 9.312,25 = $ 687,75 
Exemplo b.13: No exemplo anterior, se a taxa de desconto “por dentro” fosse 
de 3,5% ao mês, quais seriam os valores do recebido pelo comerciante e do 
desconto dado? 
Solução: da equação b.13, temos: 
( ) 11,335.9$035,01
00,000.10
2 RPV =+= 
Dd = FV – PV = R$ 664,89Nota-se, novamente, aqui, a importância do domínio desses conceitos, já que 
taxas com o mesmo valor (3,5% ao mês), porém com conceitos divergentes, 
apresentam resultados diferentes. 
Foi visto, anteriormente, que as taxas devem sempre ser referidas na mesma 
unidade de tempo dos períodos de capitalização. Entretanto, isso não ocorre sempre 
na prática. Dessa forma, é necessário que se saiba lidar com as diversas 
denominações e necessárias conversões de taxas de juros. 
3. TAXAS DE JUROS 
A premissa das funções financeiras utilizadas na HP-12C e no Excel é a de 
que a unidade referencial de tempo das taxas de juros e dos períodos de 
capitalização seja a mesma. 
Por exemplo, uma taxa de 6% ao ano pressupõe que a capitalização se dê 
em períodos de um ano. Se fosse ao mês, a capitalização deveria ser mensal. 
Entretanto, as taxas nem sempre são apresentadas de modo a satisfazer 
essa condição. Quando isso ocorre, é necessária uma adequação, como veremos a 
seguir. 
3.1 TAXA EFETIVA 
É a taxa que satisfaz a condição de coincidência entre sua unidade de tempo 
e o período de capitalização: 
• 1,3% ao mês, capitalizados mensalmente; 
• 3% ao trimestre, capitalizados trimestralmente; 
• 11% ao ano, capitalizados anualmente. 
É a taxa utilizada nas calculadoras financeiras, planilhas eletrônicas e tabelas 
financeiras. 
IAG – A Escola de Negócios da PUC-Rio • Gestão Financeira • Tema B 33 
3.2 TAXAS PROPORCIONAIS – JUROS SIMPLES 
São fornecidas em unidades de tempo diferentes que, quando aplicadas a um 
mesmo principal durante um mesmo prazo, produzem um mesmo montante 
acumulado, no regime de juros simples. 
Exemplo b.14: Determinar os montantes ao final de três anos a partir de um 
principal de $ 1.000, no regime de juros simples, com as seguintes taxas: 
12% ao ano; 6% ao semestre; 1% ao mês 
Solução: usando a expressão b.3, genérica de crescimento do dinheiro no 
regime de juros simples, temos, para PV = 1.000, para cada taxa de juros: 
a. i = 12% ao ano; n = 3 anos; 
 FV = PV[1+(i x n)] = 1.000[1+(12% x 3)] = 1.000 [1+(0,12 x3)] = 1.360 
b. i = 6% ao semestre; n = 6 semestres 
 FV = PV[1+(i x n)] = 1.000[1+(6% x 6)] = 1.000 [1+(0,06 x 6)] = 1.360 
c. i = 1% ao mês; n = 36 meses 
FV = PV[1+(i x n)] = 1.000[1+(1% x 36)] = 1.000 [1+(0,01 x36)] = 1.360 
As três taxas são ditas proporcionais, pois obtêm o mesmo montante ($ 
1.360) ao serem aplicadas ao mesmo principal ($ 1.000), no mesmo prazo (três 
anos), para juros simples. 
Fórmulas Relacionando Taxas Proporcionais 
No regime de juros simples, as fórmulas que permitem o cálculo de taxas 
proporcionais são: 
3601242 ×=×=×=×= dmtsa iiiii (equação b.16) 
onde 
ia = taxa de juros anual 
is = taxa de juros semestral 
it = taxa de juros trimestral 
im = taxa de juros mensal 
id = taxa de juros diária 
3.3 TAXAS EQUIVALENTES – JUROS COMPOSTOS 
São análogas às proporcionais dos juros simples. Fornecidas em unidades de 
tempo diferentes, quando aplicadas a um mesmo principal, durante um mesmo 
prazo, produzem um mesmo montante acumulado, no regime de juros compostos. 
IAG – A Escola de Negócios da PUC-Rio • Gestão Financeira • Tema B 34 
Exemplo b.15: Determinar os montantes acumulados no final de quatro anos 
a partir de um principal de $ 1000 no regime de juros compostos, com as seguintes 
taxas de juros: 
a. 12,6825% ao ano 
b. 6,1520% ao semestre 
c. 1% ao mês 
Solução: usando a expressão (2.1) para o crescimento genérico do dinheiro 
no tempo a juros compostos, temos: 
a. 
I = 12,6825% ao ano; n = 4 anos; PV = $ 1.000 
( ) ( )41 1.000 1 0,126825 1.000 1,6122 1.612,23nFV PV i= + = + = × = 
Utilizando a HP-12C ou a planilha Excel: 
n i PV PMT FV 
4 12,6825 -1.000 0 1.612,23 
 
b. i = 6,1520 % ao semestre; n = 8 semestres; PV = $ 1.000 
Com a HP-12C ou Excel: 
n i PV PMT FV 
8 6,152 -1.000 0 1.612,23 
 
c. i = 1,0 % ao mês; n = 48 meses; PV = $ 1.000 
( ) ( )481 1.000 1 0,01 1.000 1,6122 1.612,23nFV PV i= + = + = × = 
Com a HP-12C ou Excel: 
n i PV PMT FV 
48 1 -1.000 0 1.612,23 
 
As taxas de 12,6825% ao ano, 6,1520% ao semestre e 1,00% ao mês são 
chamadas de taxas equivalentes, pois produzem o mesmo montante quando 
aplicadas sobre o mesmo principal pelo mesmo prazo. 
IAG – A Escola de Negócios da PUC-Rio • Gestão Financeira • Tema B 35 
Fórmulas Relacionando Taxas Equivalentes 
( ) ( ) ( ) ( )2 4 12 360(1 ) 1 1 1 1a s t m di i i i i+ = + = + = + = + (equação b.17) 
onde 
taxa de juros anual
taxa de juros semestral
taxa de juros trimestral
taxa de juros mensal
taxa de juros diária
a
s
t
m
d
i
i
i
i
i
=
=
=
=
=
 
 
Exemplo b.16: Determine a taxa mensal que é equivalente a 10% ao ano: 
Da equação (b.17), temos: 
( ) ( ) ( ) 10,110,0111 12 =+=+=+ am ii 
( ) %7974,0007974,01007974,1110,1 12/1 ==−=−=mi ao mês 
Com a HP-12C ou Excel, temos: 
n i PV PMT FV 
12 0,7974 -100 0 110 
3.4 TAXA NOMINAL 
É a taxa de juros em que a unidade referencial não coincide com a unidade 
de tempo dos períodos de capitalização. É fornecida sempre em termos anuais, e os 
períodos de capitalização podem ser semestrais, trimestrais, mensais ou diários. 
A taxa efetiva é a taxa de juros a ser aplicada em cada período de 
capitalização. 
Exemplo b.17: Calcule as taxas efetivas a partir das taxas nominais a seguir: 
a. 12% ao ano, capitalizados mensalmente: 12%/12 meses = 1% ao mês 
b. 10% ao ano, capitalizados trimestralmente: 10%/4 trimestres = 2,5% ao 
trimestre 
A partir daí devemos calcular tudo no regime de juros compostos, com os 
valores das taxas efetivas correspondentes. 
Fórmulas: ano comercial de 360 dias 
iN = taxa de juros nominal anual implícita (em % ao ano) 
iS = taxa de juros semestral efetiva implícita (em % ao semestre) 
iT = taxa de juros trimestral efetiva implícita (em % ao trimestre) 
im = taxa de juros mensal efetiva implícita (em % ao mês) 
id = taxa de juros diária efetiva implícita (em % ao dia) 
IAG – A Escola de Negócios da PUC-Rio • Gestão Financeira • Tema B 36 
Entende-se por taxa efetiva implícita aquela que é obtida a partir de uma 
transformação feita na taxa nominal. A seguir são apresentadas as fórmulas que 
transformam as taxas nominais em efetivas. 
Taxas efetivas para os períodos de capitalização de iN: 
Diária: 360 capitalizações por ano 
360
N
d
ii = 
Mensal: 12 capitalizações por ano 
12
N
m
ii = 
Trimestral: 4 capitalizações por ano 
4
N
t
ii = 
Semestral: 2 capitalizações por ano 
2
N
s
ii = 
Exemplo b.18: Determine as taxas efetivas anuais que são equivalentes a 
uma taxa nominal de 9% ao ano, com capitalização mensal, trimestral e semestral. 
Solução: 
a. iN = 9% ao ano; capitalização mensal – taxa efetiva mensal: 
im = 9/12 = 0,75% ao mês; de (b.17), temos: 
 
Com a HP-12C ou Excel: 
n i PV PMT FV 
12 0,75 -100 0 109,3807 
Como, ao se aplicar 100, obter-se-á 109,3807, a taxa efetiva anual implícita 
para capitalização mensal é de 9,3807% ao ano. 
b. iN = 9% ao ano; capitalização trimestral – taxa efetiva trimestral: 
im = 9/4 = 2,25% ao trimestre; de (b.17), temos: 
( ) ( ) ( )
( )
4 4
4
1 1 1 0,0225%
1,0225 1 1,09308 1 0,09308 9,308% .
a t
a
i i
i a a
+ = + = +
= − = − = =
 
Com a HP-12C ou Excel: 
n i PV PMT FV 
4 2,25 -100 0 109,308 
 
( ) ( ) ( )
( ) anoaoi
ii
a
ma
%3807,9093807,01093807,110075,1
%75,0111
12
1212
==−=−=
+=+=+
IAG – A Escola de Negócios da PUC-Rio • Gestão Financeira • Tema B 37 
Ao se aplicar 100 a 2,25% ao trimestre, obtém-se 109,308, e a taxa efetiva 
anual implícita para capitalização trimestral é então de 9,308% ao ano. 
c. iN = 9% ao ano; capitalização semestral – taxa efetiva semestral: 
im = 9/2 = 4,5% ao semestre; de (b.17), temos:( ) ( ) ( )
( )
2 2
12
1 1 1 4,5%
1,045 1 1,09203 1 0,09203 9,203% . .
a s
a
i i
i a a
+ = + = +
= − = − = =
 
Com a HP-12C ou Excel: 
n i PV PMT FV 
2 4,5 -100 0 109,203 
 
Como, ao se aplicar 100, obtemos 109,203, a taxa efetiva anual implícita para 
capitalização semestral é de 9,203% ao ano. 
Observação: pode-se constatar que, a partir da taxa nominal, quanto menor 
for o período de capitalização, mais capitalizações ocorrerão, e maior será a taxa 
anual efetiva implícita. Portanto, deve-se tomar o cuidado, ao fechar uma operação 
com base em taxas anuais, de verificar qual a taxa efetiva implícita. 
3.5 TABELA PRICE 
Utilizada geralmente para financiamentos imobiliários. 
Para a tabela de 12% ao ano capitalizados mensalmente, por exemplo, 
temos: 
• a taxa de entrada na Tabela Price é a taxa nominal anual, mas a 
capitalização é mensal; 
• os períodos correspondem a meses; 
• a taxa utilizada nos cálculos é a taxa efetiva de 1% ao mês, que 
representa, em termos equivalentes, 12,68% ao ano. 
 
Exemplo b.19: Monte a tabela que obtenha as taxas anuais efetivas 
implícitas a partir das taxas anuais nominais de 5, 10, 12, 15, 18, 20 e 30%. 
 
Solução: a tabela a seguir é a solução. A partir da fórmula que relaciona taxas 
nominais anuais com efetivas mensais, obtém-se a segunda coluna. A terceira é 
obtida a partir da fórmula 3.2, relacionando taxa mensal com taxa anual equivalente. 
Faz-se para a primeira linha im = 5/12 = 0,41667% ao mês. A partir daí, 
encontra-se a taxa anual equivalente pelo seguinte procedimento: 
( ) ( ) ( )
( )
12 12
12
1 1 1 0,41667%
1,0041667 1 1,05116 1 0,05116 5,12%
a m
a
i i
i ao ano
+ = + = +
= − = − = =
 
IAG – A Escola de Negócios da PUC-Rio • Gestão Financeira • Tema B 38 
Todas as outras linhas são resolvidas da mesma forma. 
 
Taxa anual 
nominal iN (%) 
Taxa mensal efetiva = 
iN/12 (%) 
Taxa anual 
equivalente 
5 0,41667 5,12 
10 0,83333 10,47 
12 1,00000 12,68 
15 1,25000 16,08 
18 1,50000 19,56 
20 1,66667 21,94 
30 2,50000 34,49 
 
 
3.6 COMPARAÇÃO ENTRE TAXAS ANUAIS E EQUIVALENTES 
A tabela a seguir apresenta as diferenças entre as taxas anuais obtidas a 
juros simples e as equivalentes, obtidas por meio da capitalização mensal a juros 
compostos. 
 
Taxas efetivas 
mensais 
Taxas anuais 
proporcionais (juros 
simples) % 
Taxas anuais 
equivalentes (juros 
compostos) % 
1,00% 12 12,68 
3,00% 36 42,58 
5,00% 60 79,59 
7,00% 84 125,22 
10,00% 120 213,84 
12,00% 144 289,60 
15,00% 180 435,03 
20,00% 240 791,61 
 
 
3.7 OUTRAS DENOMINAÇÕES 
Taxa Bruta e Taxa Líquida: a taxa bruta não leva em conta o desconto de 
imposto de renda, considerando apenas o valor da aplicação e o resgate bruto. A 
taxa líquida leva em conta o valor de aplicação e o de resgate líquido de impostos. 
Exemplo b.20: Uma aplicação em um fundo de investimentos está sujeita à 
tributação de 22,5% sobre o ganho auferido. Você aplicou R$ 100.000 por seis 
meses e teve um rendimento bruto de 6,784% ao final do período. Quanto vai 
resgatar liquidamente? 
Qual foi o rendimento líquido do período? 
 
 
 
IAG – A Escola de Negócios da PUC-Rio • Gestão Financeira • Tema B 39 
Solução: 
a. Cálculo do imposto de renda: FV = 106.784; PV = 100.000; diferença = 
6.784; IR = 0,225 x 6.784 = 1.526,40; 
b. A partir daí, calcula-se o rendimento líquido: 6.784 – 1.526,40 = 5.257,60 
c. A rentabilidade líquida no período será: 
Rentabilidade = taxa líquida = (105.257,60-100.000)/(100.000) = 0,05258 
= 5,258% ao semestre. 
Taxa Real e Nominal: a taxa real de juros é calculada descontado o efeito da 
inflação, e a nominal inclui a inflação. A expressão a seguir define a situação: 
 
 
inf
(1 )(1 )
(1 )
n
n N
R n
ii
i
++ = + (equação b.18) 
 
em que iR é a taxa real, iN é taxa nominal e iinf é a taxa de inflação, todas 
referidas ao mesmo período de tempo, n. 
Exemplo b.21: Uma aplicação prefixada promete um rendimento mensal de 
1,2%, líquido de impostos. Você vai realizar a aplicação de R$ 50.000 por 180 dias. 
A taxa de inflação no período será de 0,55% ao mês. Qual a taxa mensal real de 
rentabilidade de seu investimento após o resgate? 
Solução: utilizando-se a equação b.18: 
6
6
6
(1 0,012)(1 ) 1,0394
(1 0,0055)R
i ++ = =+ 
o que equivale a dizer que 
( ) 16(1 ) 1,0394 1,00646 e 0,00646 0,646%R Ri i aomês+ = = = = 
Essa é a taxa real mensal da aplicação após o seu resgate. 
Observação: note que a taxa obtida é diferente do resultado da subtração da 
taxa de rendimento e da de inflação. O procedimento correto é o proposto 
anteriormente. O exemplo seguinte ajudará a elucidar melhor a questão. 
 
Exemplo b.22: No problema anterior, se analisássemos apenas um período, 
qual seria a taxa real da aplicação, descontado o efeito da inflação? 
Solução: novamente recorremos à equação b.18: 
(1 0,012)(1 ) 1,00646
(1 0,0055)R
i ++ = =+ 
 
o que dará, novamente, iR = 0,00646 = 0,646% ao mês. 
 
Exemplo b.23: Um plano de previdência paga um pecúlio a partir de uma só 
aplicação após um período acertado de tempo. A instituição que o administra 
IAG – A Escola de Negócios da PUC-Rio • Gestão Financeira • Tema B 40 
promete uma rentabilidade de 1,2% ao mês. Se você aplicar R$ 50.000 hoje, quanto 
obterá daqui a 10 anos? Se a inflação mensal durante esse período for de 0,6%, 
qual o valor real do seu pecúlio em moeda de hoje? Qual a taxa real de rentabilidade 
da aplicação nos 10 anos? Qual a taxa real mensal de rentabilidade da aplicação? 
Solução: 
a. Primeiramente, o cálculo do valor do pecúlio daqui a 10 anos: FV = 
50.000 (1+0,012)120 = R$ 209.233,64. 
b. Para que se possa obter o valor real do pecúlio hoje, deve-se trazê-lo a 
valor presente pela taxa da inflação: 
29064102
00601
64233209
120
,.$
),(
,. RPV =
+
= 
c. Recorrendo à equação b.18: 
120
120
120
(1 0,012)(1 ) 2,04129
(1 0,006)R
i ++ = =+ 
Isso significa que a rentabilidade real foi de 2,04129 –1 = 1,04129 = 
104,129% para o período de 10 anos. 
d. Fazendo para um mês, por meio da equação b.18: 
005961
00601
012011 ,
),(
),()( =
+
+=+ Ri
 
logo, a taxa mensal real de rentabilidade é de 0,596% ao mês. 
A seguir, será apresentado o conceito de prestações iguais. 
IAG – A Escola de Negócios da PUC-Rio • Gestão Financeira • Tema B 41 
4. SÉRIE UNIFORME – PRESTAÇÕES IGUAIS 
Também denominada modelo Price, no qual todas as prestações têm o 
mesmo valor, representado por PMT. Subdivide-se este capítulo em quatro 
subseções, cada uma contemplando um tipo de problema: obter o valor futuro a 
partir da prestação, a prestação a partir do valor futuro, o valor presente a partir da 
prestação e esta a partir do valor presente. 
4.1 DADO PMT, ACHAR FV 
 
 
 
 
 
( )1 1niFV PMT
i
 + −=    
 Equação b.19 
A expressão pode ser calculada na HP-12C ou Excel a partir de i, n e PMT. 
 
Exemplo b.24: Que valor futuro você obterá a partir do depósito de seis 
prestações anuais, iguais e sucessivas de R$ 5.000 em um fundo que rende 10% ao 
ano? 
 
 0 1 2 3 4 5 6 
 
 
 
PMT=$5.000 
Solução: 
n = 6 anos; i = 10% ao ano; PMT = $ 5.000; PV = 0 
FV = ? 
Com HP-12C ou Excel: 
n i PV PMT FV 
6 10 0 -5.000 38.578,05 
 
Observação: o sinal negativo de –R$ 5.000 é obtido a partir da utilização da 
tecla CHS (change sign – troca de sinal) da HP-12C. O FV é de $ 38.578,05 
imediatamente após o último depósito. 
FV=? 
PMT´s 
0 1 2 n
IAG – A Escola de Negócios da PUC-Rio • Gestão Financeira • Tema B 42 
4.2 DADO FV, ACHAR PMT

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