Lista5 Valor Esperado hwgrQlq

Prévia do material em texto

1
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia da Paraíba 
Coordenação de Matemática e suas Tecnologias 
Disciplina: Estatística 
Cursos: CST em Sistemas de Telecomunicações / Bacharelado em Engenharia Elétrica 
Professor: Alberto Barros 
 
 
Lista de Exercícios – Valor Esperado e Variância (Aula 5) 
 
 
1. Seja X uma variável aleatória com a seguinte função de distribuição de probabilidade: 
 
x -2 -1 0 1 2 
P(X = x) 0,1 0,3 0,1 0,2 0,3 
 
a) Obtenha o valor esperado e a variância de X. 
b) Seja Y = X2 + 1. Obtenha E(Y) e Var(Y). 
 
2. Seja X uma variável aleatória discreta com a seguinte distribuição de probabilidades: 
 
X 1-2k k-1 k 2k 
P(X = x) p 3p p p 
 
a) Sabendo que E(X) = 1/3 calcule o valor de p e k. 
b) Obtenha Var(X). 
c) Se Y = X2, obtenha E(Y). 
 
3. De um lote com 20 peças, das quais 4 são defeituosas são escolhidas 3 ao acaso. Seja X 
o número de peças defeituosas encontradas. Calcule o valor esperado e o desvio padrão 
de X, supondo que as peças são escolhidas: 
 
a) sem reposição; 
b) com reposição; 
 
4. A função de probabilidade de uma variável aleatória X é P(X = x) = 1/6 para x = 1, 2, 3, 
4, 5, 6. 
 
a) Calcule E(X) e E(X2); 
b) Utilize as propriedades do valor esperado e da variância para obter E[(X-3)2] e 
Var(3X + 2); 
 
5. Um fornecedor de um produto de laboratório tem uma capacidade de armazenamento 
de 150 kg. No início de cada mês é reposto o estoque até a capacidade máxima de 
armazenamento. As vendas mensais deste produto em centenas de kg são dadas por 
uma variável aleatória X, cujo comportamento é bem descrito pela seguinte função 
densidade de probabilidade: 
 2
 
f(x) = 





≤<
≤≤
 xde valoresoutros para 0,
 1,5 x 1 se 1,
1 x 0 se ,x
 
 
a) Qual é o valor médio mensal das vendas do produto? 
b) O lucro, Y , da venda do referido produto é função de vários fatores. Considere a 
seguinte expressão (simplificada) do lucro em função das vendas Y = 50X− 25. 
Qual o valor esperado do lucro mensal? Qual a probabilidade de, num dado mês, 
não haver prejuízo? 
 
6. O diâmetro X de um cabo elétrico é uma variável aleatória contínua com função 
densidade dada por: 
 
f(x) =



><
≤≤−
1 ou x 0 x se 0,
1x0 se ),xk(2x 2
 
 
a) Determine o valor de k; 
b) Obtenha E(X) e Var(X); 
c) Seja Y = 3X. Obtenha E(Y) e Var(Y) 
 
7. Considere a seguinte função de distribuição acumulada da variável aleatória contínua X 
 
F(x) =





>
≤<
≤
3 x se 1,
 3 x 1 se ,1)-k(x
1 x se ,0
2
 
 
a) obtenha a função densidade f(x); 
b) obtenha o valor esperado, a variância e o desvio padrão de X; 
 
 
8. Uma certa liga é formada pela reunião da mistura em fusão de 2 metais. A liga 
resultante contém uma certa percentagem de chumbo X, que pode ser considerada como 
uma variável aleatória. Suponha que X tenha a seguinte função densidade: 
 
100x0 se x),x(10010
5
3
 f(x) 5- ≤≤−= 
 
Suponha que P, o lucro líquido obtido pela venda dessa liga (por libra), seja a seguinte 
função da percentagem de chumbo contida: P = C1 + C2X. Calcule o lucro líquido 
esperado (por libra). 
 
 
 
 3
9. Suponha que a variável aleatória contínua X tenha função densidade f(x) = 8/x3, x > 2. 
Seja Y = X/3. Ache o valor esperado de Y de 2 formas: 
 
a) Achando a função densidade de Y, e depois utilizando-a para obter E(Y); 
b) Diretamente, sem usar a função densidade de Y; 
 
10. Uma corrente elétrica oscilante I pode ser considerada uma variável aleatória contínua 
com a seguinte função densidade: 
 
f(i) = 1/2, se 9 ≤ i ≤ 11 
 
Se essa corrente passar em um resistor de 2 ohms, qual será o valor esperado da 
potência P= 2I2? 
 
11. Num grupo de casais em que ambos os elementos estão empregados, a distribuição de 
probabilidade conjunta do salário da mulher (X) e do homem (Y), em euros, é dada 
por: 
 
Y 
X 1000 1500 2000 
 
500 
 
0,05 0,1 0,15 
 
1000 
 
0,1 0,2 0,1 
 
1500 
 
0,15 0,1 0,05 
 
Seja Z = (X + Y)/2. Determine o valor esperado de Z. 
 
12. Suponha que a tabela seguinte represente a distribuição de probabilidade conjunta da 
variável aleatória discreta (X,Y). Ache o valor esperado da variável Z, onde Z = XY. 
 
X 
Y 1 2 3 
 
1 
 
 
0 
 
2 
 
0 
 
 
3 
 
 
 4
13. Se X tiver densidade g(x) = 2x, 0 ≤ x ≤ 1 e Y tiver densidade h(y) = y2/9, 0 ≤ y ≤ 3 e 
forem independentes, encontre o valor esperado de Z = XY. 
 
14. Quando uma corrente I (em ampéres) passa através de um resistor R (em ohms), a 
potência gerada é dada por W = I2R (em watts). Suponha que I e R sejam variáveis 
aleatórias independentes, com as seguintes funções densidades: 
 


 ≤≤
=
 valoresoutrosquaisquer para 0, 
1 i 0 para i),-6i(1
f(i) :I
 
 


 <<
=
 valoresoutrosquaisquer para 0, 
1 r 0 para 2r,
g(r) :R
 
 
 Encontre o valor esperado e a variância da variável W. 
 
15. Suponha que X seja uma variável aleatória contínua tal que E(X) = 5 e Var(X) = 25/3. Utilize 
a Desigualdade de Tchebycheff para calcular um limite superior para P[|X – 5| ≥ 4] 
 
16. Suponha que X é uma variável aleatória cuja média e variância são ambas iguais a 20. 
O que podemos afirmar sobre a P( 0 < X < 40)? 
 
17. A partir de experiências passadas, um professor sabe que a nota de um exame final da 
sua disciplina é uma variável aleatória com média 75 e variância igual a 25. O que 
podemos dizer sobre a probabilidade da nota da prova ser maior que 65 e menor que 
85? 
 
18. Um cliente de uma livraria pode fazer encomendas de livros estrangeiros em inglês e 
francês que não existam em estoque. O número de livros em inglês e francês 
encomendados semanalmente é a variável aleatória bidimensional (X,Y) com a 
seguinte distribuição de probabilidades: 
 
Y 
X 1 2 3 4 
 
0 
 
0,01 0,02 0,04 0,03 
 
1 
 
0,05 0,10 0,20 0,15 
 
2 
 
0,04 0,08 0,16 0,12 
 
a) Seja Z = X + Y. Obtenha E(Z) 
b) Calcule o coeficiente de correlação entre as variáveis X e Y. 
 
 5
19. Seja (X,Y) a variável aleatória bidimensional contínua com a seguinte função 
densidade conjunta: 
 



 >>
=
y e x de valoresoutros os para 0, 
0 y 0, x para ,4xyey)f(x,
22 y--x
 
 
Obtenha o coeficiente de correlação entre as variáveis X e Y. 
 
20. Para a variável discreta bidimensional da questão 12, obtenha E(X|Y = 3) e E(Y|X = 2) 
 
21. Seja (X,Y) uma variável aleatória contínua com função densidade conjunta dada por: 
 
 f(x,y) = 
64
yx +
, 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 4 
a) Obtenha E(X|y) e E(Y|x). 
b) Obtenha E(X| Y = 3) e E(Y | X = 2) 
 
22. Admita que X e Y representem a duração da vida de duas lâmpadas fabricadas por 
processos diferentes. Suponha que X e Y sejam variáveis aleatórias independentes, com 
funções densidades respectivamente g e h dadas por: 
 
g(x) = e-x, x ≥ 0 h(y) = 2e-2y, y ≥ 0 
 
Obtenha E(X|y) e E(Y|x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 6
Banco de Fórmulas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Valor Esperado e Variância 
 
 



 =
=
∫
∑
∞
∞−
contínuafor X se ,xf(x)dx
discretafor X se ,x)xP(X
E(X)Var(X) = E(X2) – E2(X) onde 
 
 



 =
=
∫
∑
∞
∞−
contínuafor X se ,f(x)dxx
discretafor X se ,x)P(Xx
)E(X
2
2
2
 
 
 
Desigualdade de Tchebycheff 
 
 
2
2 c)E(X
ε
1
ε] |cXP[| −≤≥− 
 
Caso particular: c = µ 
 
 
2
ε
Var(X)
ε] |μXP[| ≤≥− 
 
 
Coeficiente de Correlação 
 
 
Y)Var(X)Var(
E(X)E(Y)E(XY)
ρ
−
= 
 
Valor Esperado de uma Função 
de uma Variável Aleatória 
 
 




=
∫
∑
∞
∞−
contínuafor X se ,H(x)f(x)dx
discretafor X se ,H(x)p(x)
E[H(X)] 
 
 
Valor Esperado de uma de uma 
Variável Aleatória Bidimensional 
 







=
∫ ∫
∑∑
∞
∞
∞
∞−
∞
=
∞
=
contínuafor Y)(X, se ,y)dxdyy)f(x,H(x,
discretafor Y)(X, se ,)y,)p(xy,H(x
Y)]E[H(X,
-
1i 1j
jiji
 
 
Valor Esperado Condicionado 
 
 






=
∫
∑
∞
∞−
∞
=
contínuafor X se ,y)dx|xg(x
discretafor X se ,)y|p(xx
y)|E(X 1i jii 
 






=
∫
∑
∞
∞−
∞
=
contínuafor Y se ,x)dy|yh(y
discretafor Y se ,)x|q(yy
x)|E(Y 1j ijj