Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
1 Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia da Paraíba - IFPB Coordenação de Matemática e Estatística Disciplina: Estatística Cursos: Bacharelado em Engenharia Elétrica / CST em Sistemas de Telecomunicações Professor: Alberto Barros Lista de Exercícios – Principais Distribuições Discretas (Slide 6) Obs: nas perguntas sobre qual a distribuição de probabilidade da variável aleatória, citar na resposta o nome da distribuição e o valor do(s) parâmetro(s) envolvido(s). 1. Quinze portadores de uma determinada doença são selecionados para se submeter a um tratamento. Sabe-se que este tratamento é eficaz na cura da doença em 80% dos casos. Suponha que os indivíduos submetidos ao tratamento curam-se (ou não) independentemente uns dos outros, e considere X o número de curados dentre os 15 pacientes submetidos ao tratamento. a) Qual a distribuição de probabilidade de X? b) Qual a probabilidade de que os 15 pacientes sejam curados? c) Qual a probabilidade de que pelo menos 2 não sejam curados? 2. Um estudante preenche por adivinhação um exame de múltipla escolha com 5 respostas possíveis (das quais uma é correta) para cada uma de 10 questões. a) Qual é a distribuição de probabilidade do número de respostas corretas entre as 10 questões preenchidas? b) Qual é a probabilidade de que o estudante obtenha 9 ou mais respostas corretas? c) Qual é a probabilidade de que acerte pelo menos duas questões? 3. Em 1693, Samuel Pepys escreveu uma carta para Isaac Newton propondo-lhe um problema de probabilidade, relacionado a uma aposta que pretendia fazer. Pepys perguntou o que é mais provável: obter pelo menos um 6 quando 6 dados são lançados, obter pelo menos dois 6 quando 12 dados são lançados, ou obter pelo menos três 6 quando 18 dados são lançados. Newton escreveu três cartas a Pepys e finalmente o convenceu de que o primeiro evento é o mais provável. Calcule as três probabilidades. 4. Um aluno estuda 12 exercícios, dos quais o professor vai escolher 6 aleatoriamente para uma prova. O estudante sabe resolver 9 dos 12 problemas. Seja X o número de exercícios resolvidos por ele na prova. a) Qual é a distribuição de probabilidade de X? b) Calcule a probabilidade de que o aluno resolva ao menos 5 exercícios da prova. 2 5. Um lote de componentes eletrônicos contém 20 itens, dos quais 5 são defeituosos. Seleciona-se ao acaso uma amostra de 5 itens. Calcule a probabilidade de que a amostra contenha no máximo 1 item defeituosos se a amostragem é feita a) com reposição; b) sem reposição; 6. Setenta por cento da população de uma certa cidade têm computador em casa. Se um pesquisador decide parar ao acaso habitantes desta cidade na rua até encontrar uma pessoa que tenha computador em casa, qual a probabilidade de que ele precise a) de exatamente 4 tentativas? b) de pelo menos 4 tentativas? 7. Um vendedor de porta em porta consegue realizar a venda em 40% das visitas que faz.. Ele planeja efetuar no mínimo duas vendas por dia. Seja X o número de visitas feitas até que a segunda venda seja efetuada. a) Qual a distribuição de probabilidade de X? b) Calcule a probabilidade do vendedor fazer no máximo 6 visitas para concluir as duas vendas. 8. O número de erros tipográficos de numa página de determinado livro é uma variável aleatória com distribuição de Poisson de parâmetro 1/2. Encontre a probabilidade de que haja 3 ou mais erros tipográficos nesta página. Calcule esta probabilidade dado que há pelo menos um erro nesta página. 9. Um contador Geiger registra o número de partículas emitidas por um material radioativo. Suponha que o número de partículas que o material emite por segundo é uma variável aleatória com distribuição de Poisson de parâmetro 3.Obtenha a probabilidade de que, em um segundo, sejam registradas a) no máximo duas partículas. b) no mínimo duas partículas. 10. A probabilidade de que um bit seja transmitido com erro por um canal de transmissão digital é 0,1. Assuma que as transmissões sejam ensaios independentes. a) Seja X o número de bits transmitidos até que ocorra o primeiro erro. Determine a distribuição de probabilidade de X. b) Determine a probabilidade de se precisar observar mais que 5 ensaios de transmissão. c) Determine a probabilidade de se precisar observar mais que 5 ensaios de transmissão, após já se ter observado 3 ensaios, sem que ocorresse erro. d) Determine o número esperado de ensaios até o primeiro erro. e) Seja Y o número de transmissões até a ocorrência do quarto erro. Determine a distribuição de probabilidade de Y. 3 f) Determine a probabilidade de se precisar observar no máximo 6 ensaios de transmissão g) Determine o número esperado de ensaios até o quarto erro. 11. O número X de acidentes de trabalho que ocorrem em uma fábrica por semana segue uma distribuição de Poisson. Sabendo que a porcentagem de semanas em que ocorre um acidente é um terço da porcentagem de semanas em que não acontece nenhum, calcule: a) o parâmetro da distribuição. b) a probabilidade de que ocorra um acidente em uma semana e também um na semana seguinte. A partir de uma data, a direção da fábrica vai registrar o número Y de semanas decorridas até uma semana com ao menos um acidente. c) Qual a distribuição de probabilidade de Y? d) Obtenha a probabilidade de que a semana com acidente seja a quarta na contagem. 12. Sabe-se que 0,6% dos parafusos produzidos por uma fábrica são defeituosos. Estime a probabilidade de que, em um pacote com 1000 parafusos, a) haja exatamente 4 parafusos defeituosos. b) não haja mais que 4 parafusos defeituosos. c) Encontrem-se pelo menos 3 parafusos defeituosos. 13. Doze por cento da população é canhota. Aproxime a probabilidade de que haja pelo menos 20 canhotos em uma escola com 200 alunos. Esclareça as suas suposições. 14. Se apenas 10% das pessoas conseguem perceber a diferença entre 2 marcas de cerveja, estime a probabilidade de que, em uma amostra aleatória de 196 pessoas, mais de 29 consigam distingui-las. 15. Um produtor de sementes as vende em pacotes com 50 unidades. Suponha que cada semente germina com probabilidade 0,99, independentemente das demais. O produtor promete substituir, sem custo para o comprador, qualquer pacote com 3 ou mais sementes que não germinem. Use a aproximação da binomial pela Poisson para estimar a probabilidade de que um pacote precise ser substituído. 16. Considere uma urna contendo 4 bolas vermelhas e 6 pretas. Suponha que 3 bolas sejam retiradas da urna. Seja X a variável aleatória que representa o número de bolas vermelhas entre as 3 retiradas. Obtenha P(X = 1) considerando que as bolas são retiradas: a) com reposição. b) sem reposição. 4 17. A probabilidade de um bem sucedido lançamento de foguete é 0,8. Suponha que tentativas de lançamento sejam feitas até que tenham ocorrido 3 lançamentos bem sucedidos. a) Qual é a probabilidade de que exatamente 6 tentativas sejam necessárias? b) Qual é a probabilidade de que menos de 6 tentativas sejam necessárias? c) Se cada tentativa de lançamento custa 5.000 unidades monetárias e se um lançamento falho custa 500 unidades monetárias adicionais, determine o custo esperado da operação. 18. Uma urna tem 10 bolas brancas e 40 bolas pretas. Qual a probabilidade de que a 6ª bola retirada com reposição seja a 1ª bola branca? 19. A probabilidade de que um sinal de trânsito esteja aberto numa esquina é 0,20. Qual a probabilidade de que seja necessário passar pelo local 10 vezes para encontrá-lo aberto pela 4ª vez? 20. Em uma sala, temos cinco rapazes e quatro moças. São escolhidos três pessoas,uma após a outra, sem reposição. Seja X a variável aleatória: número de rapazes entre as 3 pessoas escolhidas. Obtenha a distribuição de probabilidade de X. 21. Os seguintes eventos podem ocorrer com um pacote enviado pelo correio: chegar em perfeito estado, chegar danificado ou perder-se pelo caminho. As probabilidades desses eventos são, respectivamente , e . Foram enviados recentemente pacotes pelo correio. Qual a probabilidade de chegarem corretamente ao destino, serem perdidos e os outros avariados? 22. Uma caixa contendo bolas, das quais são vermelhas, brancas e azuis. Suponha que seja retirada bolas ao acaso e com reposição. Qual a probabilidade de que sejam retiradas bolas vermelhas, brancas e azul. 5 Banco de Fórmulas Distribuição Binomial P(X = x) = xnx p)(1p x n − − x = 0, 1, ..., n onde x)!(nx! n! x n − = : E(X) = np Var(X) = np(1-p) Distribuição de Poisson P(X = x) = x! λe x-λ x = 0, 1, 2, ... onde λ = E(X) = Var(X) Valores de e-λλλλ para diferentes valores de λλλλ λ 0,2 0,4 0,5 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 e-λ 0,8187 0,6703 0,6065 0,5488 0,4493 0,3679 0,3012 0,2466 λ 1,6 1,8 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 e-λ 0,2019 0,1653 0,1353 0,0821 0,0498 0,0302 0,0183 0,0111 λ 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 8,0 9,0 10,0 e-λ 0,0067 0,0041 0,0025 0,0015 0,0009 0,0003 0,0001 0,0000 Distribuição Geométrica P(X = k) = qk-1p k = 1, 2, .... 2p qVar(X) e p 1 E(X) == onde q = 1 – p 6 Distribuição de Pascal ... 1,r r, k ,p)(1p 1-r 1-k k)P(Y rkr +=− == − onde r)!(k1)!(r 1)!(k 1))!(r1)((k1)!(r 1)!(k 1-r 1-k −− − = −−−− − = 2p rqVar(X) e p r E(X) == com q = 1 – p Distribuição Hipergeométrica ... 2, 1, 0, k , n N k-n r-N k r k)P(X = == E(X) = np, onde p = r/N 1-N n-N npqVar(X) = Distribuição Multinomial k1 n k n 1 k21 kk2211 p ...p!!...nn!n n!)nX ..., ,nX ,nP(X ====
Compartilhar