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Lista6 Distribuições Discretas ZTfv9NU

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1
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia da Paraíba - IFPB 
Coordenação de Matemática e Estatística 
Disciplina: Estatística 
Cursos: Bacharelado em Engenharia Elétrica / CST em Sistemas de Telecomunicações 
Professor: Alberto Barros 
 
Lista de Exercícios – Principais Distribuições Discretas (Slide 6) 
 
Obs: nas perguntas sobre qual a distribuição de probabilidade da variável aleatória, 
citar na resposta o nome da distribuição e o valor do(s) parâmetro(s) envolvido(s). 
 
1. Quinze portadores de uma determinada doença são selecionados para se submeter a 
um tratamento. Sabe-se que este tratamento é eficaz na cura da doença em 80% dos 
casos. Suponha que os indivíduos submetidos ao tratamento curam-se (ou não) 
independentemente uns dos outros, e considere X o número de curados dentre os 15 
pacientes submetidos ao tratamento. 
 
a) Qual a distribuição de probabilidade de X? 
b) Qual a probabilidade de que os 15 pacientes sejam curados? 
c) Qual a probabilidade de que pelo menos 2 não sejam curados? 
 
2. Um estudante preenche por adivinhação um exame de múltipla escolha com 5 
respostas possíveis (das quais uma é correta) para cada uma de 10 questões. 
 
a) Qual é a distribuição de probabilidade do número de respostas corretas entre as 10 
questões preenchidas? 
b) Qual é a probabilidade de que o estudante obtenha 9 ou mais respostas corretas? 
c) Qual é a probabilidade de que acerte pelo menos duas questões? 
 
3. Em 1693, Samuel Pepys escreveu uma carta para Isaac Newton propondo-lhe um 
problema de probabilidade, relacionado a uma aposta que pretendia fazer. Pepys 
perguntou o que é mais provável: obter pelo menos um 6 quando 6 dados são 
lançados, obter pelo menos dois 6 quando 12 dados são lançados, ou obter pelo 
menos três 6 quando 18 dados são lançados. Newton escreveu três cartas a Pepys e 
finalmente o convenceu de que o primeiro evento é o mais provável. Calcule as três 
probabilidades. 
 
4. Um aluno estuda 12 exercícios, dos quais o professor vai escolher 6 aleatoriamente 
para uma prova. O estudante sabe resolver 9 dos 12 problemas. Seja X o número de 
exercícios resolvidos por ele na prova. 
 
a) Qual é a distribuição de probabilidade de X? 
b) Calcule a probabilidade de que o aluno resolva ao menos 5 exercícios da prova. 
 
 2
5. Um lote de componentes eletrônicos contém 20 itens, dos quais 5 são defeituosos. 
Seleciona-se ao acaso uma amostra de 5 itens. Calcule a probabilidade de que a 
amostra contenha no máximo 1 item defeituosos se a amostragem é feita 
 
a) com reposição; 
b) sem reposição; 
 
6. Setenta por cento da população de uma certa cidade têm computador em casa. Se um 
pesquisador decide parar ao acaso habitantes desta cidade na rua até encontrar uma 
pessoa que tenha computador em casa, qual a probabilidade de que ele precise 
 
a) de exatamente 4 tentativas? 
b) de pelo menos 4 tentativas? 
 
7. Um vendedor de porta em porta consegue realizar a venda em 40% das visitas que 
faz.. Ele planeja efetuar no mínimo duas vendas por dia. Seja X o número de visitas 
feitas até que a segunda venda seja efetuada. 
 
a) Qual a distribuição de probabilidade de X? 
b) Calcule a probabilidade do vendedor fazer no máximo 6 visitas para concluir as 
duas vendas. 
 
8. O número de erros tipográficos de numa página de determinado livro é uma variável 
aleatória com distribuição de Poisson de parâmetro 1/2. Encontre a probabilidade de 
que haja 3 ou mais erros tipográficos nesta página. Calcule esta probabilidade dado 
que há pelo menos um erro nesta página. 
 
9. Um contador Geiger registra o número de partículas emitidas por um material 
radioativo. Suponha que o número de partículas que o material emite por segundo é 
uma variável aleatória com distribuição de Poisson de parâmetro 3.Obtenha a 
probabilidade de que, em um segundo, sejam registradas 
 
a) no máximo duas partículas. 
b) no mínimo duas partículas. 
 
10. A probabilidade de que um bit seja transmitido com erro por um canal de transmissão 
digital é 0,1. Assuma que as transmissões sejam ensaios independentes. 
 
a) Seja X o número de bits transmitidos até que ocorra o primeiro erro. Determine a 
distribuição de probabilidade de X. 
b) Determine a probabilidade de se precisar observar mais que 5 ensaios de 
transmissão. 
c) Determine a probabilidade de se precisar observar mais que 5 ensaios de 
transmissão, após já se ter observado 3 ensaios, sem que ocorresse erro. 
d) Determine o número esperado de ensaios até o primeiro erro. 
e) Seja Y o número de transmissões até a ocorrência do quarto erro. Determine a 
distribuição de probabilidade de Y. 
 3
f) Determine a probabilidade de se precisar observar no máximo 6 ensaios de 
transmissão 
g) Determine o número esperado de ensaios até o quarto erro. 
 
11. O número X de acidentes de trabalho que ocorrem em uma fábrica por semana segue 
uma distribuição de Poisson. Sabendo que a porcentagem de semanas em que ocorre 
um acidente é um terço da porcentagem de semanas em que não acontece nenhum, 
calcule: 
 
a) o parâmetro da distribuição. 
b) a probabilidade de que ocorra um acidente em uma semana e também um na 
semana seguinte. 
 
A partir de uma data, a direção da fábrica vai registrar o número Y de semanas 
decorridas até uma semana com ao menos um acidente. 
 
c) Qual a distribuição de probabilidade de Y? 
d) Obtenha a probabilidade de que a semana com acidente seja a quarta na 
contagem. 
 
12. Sabe-se que 0,6% dos parafusos produzidos por uma fábrica são defeituosos. Estime 
a probabilidade de que, em um pacote com 1000 parafusos, 
 
a) haja exatamente 4 parafusos defeituosos. 
b) não haja mais que 4 parafusos defeituosos. 
c) Encontrem-se pelo menos 3 parafusos defeituosos. 
 
13. Doze por cento da população é canhota. Aproxime a probabilidade de que haja pelo 
menos 20 canhotos em uma escola com 200 alunos. Esclareça as suas suposições. 
 
14. Se apenas 10% das pessoas conseguem perceber a diferença entre 2 marcas de 
cerveja, estime a probabilidade de que, em uma amostra aleatória de 196 pessoas, 
mais de 29 consigam distingui-las. 
 
15. Um produtor de sementes as vende em pacotes com 50 unidades. Suponha que cada 
semente germina com probabilidade 0,99, independentemente das demais. O produtor 
promete substituir, sem custo para o comprador, qualquer pacote com 3 ou mais 
sementes que não germinem. Use a aproximação da binomial pela Poisson para 
estimar a probabilidade de que um pacote precise ser substituído. 
 
16. Considere uma urna contendo 4 bolas vermelhas e 6 pretas. Suponha que 3 bolas 
sejam retiradas da urna. Seja X a variável aleatória que representa o número de bolas 
vermelhas entre as 3 retiradas. Obtenha P(X = 1) considerando que as bolas são 
retiradas: 
 
a) com reposição. 
b) sem reposição. 
 
 4
17. A probabilidade de um bem sucedido lançamento de foguete é 0,8. Suponha que 
tentativas de lançamento sejam feitas até que tenham ocorrido 3 lançamentos bem 
sucedidos. 
 
a) Qual é a probabilidade de que exatamente 6 tentativas sejam necessárias? 
b) Qual é a probabilidade de que menos de 6 tentativas sejam necessárias? 
c) Se cada tentativa de lançamento custa 5.000 unidades monetárias e se um 
lançamento falho custa 500 unidades monetárias adicionais, determine o custo 
esperado da operação. 
 
18. Uma urna tem 10 bolas brancas e 40 bolas pretas. Qual a probabilidade de que a 6ª 
bola retirada com reposição seja a 1ª bola branca? 
 
19. A probabilidade de que um sinal de trânsito esteja aberto numa esquina é 0,20. Qual a 
probabilidade de que seja necessário passar pelo local 10 vezes para encontrá-lo 
aberto pela 4ª vez? 
 
20. Em uma sala, temos cinco rapazes e quatro moças. São escolhidos três pessoas,uma 
após a outra, sem reposição. Seja X a variável aleatória: número de rapazes entre as 3 
pessoas escolhidas. Obtenha a distribuição de probabilidade de X. 
 
21. Os seguintes eventos podem ocorrer com um pacote enviado pelo correio: chegar em 
perfeito estado, chegar danificado ou perder-se pelo caminho. As probabilidades 
desses eventos são, respectivamente , e . Foram enviados recentemente 
 pacotes pelo correio. Qual a probabilidade de chegarem corretamente ao destino, 
 serem perdidos e os outros avariados? 
 
22. Uma caixa contendo bolas, das quais são vermelhas, brancas e azuis. Suponha 
que seja retirada bolas ao acaso e com reposição. Qual a probabilidade de que sejam 
retiradas bolas vermelhas, brancas e azul. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5
Banco de Fórmulas 
 
 
Distribuição Binomial 
 
 
P(X = x) = xnx p)(1p
x
n
−
−





 x = 0, 1, ..., n 
onde 
x)!(nx!
n!
x
n
−
=





 
 
: E(X) = np Var(X) = np(1-p) 
 
 
 
Distribuição de Poisson 
 
P(X = x) = 
x!
λe x-λ
 x = 0, 1, 2, ... 
 
 onde λ = E(X) = Var(X) 
 
Valores de e-λλλλ para diferentes valores de λλλλ 
 
λ 0,2 0,4 0,5 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 
e-λ 0,8187 0,6703 0,6065 0,5488 0,4493 0,3679 0,3012 0,2466 
 
λ 1,6 1,8 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 
e-λ 0,2019 0,1653 0,1353 0,0821 0,0498 0,0302 0,0183 0,0111 
 
λ 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 8,0 9,0 10,0 
e-λ 0,0067 0,0041 0,0025 0,0015 0,0009 0,0003 0,0001 0,0000 
 
 
 
Distribuição Geométrica 
 
 
P(X = k) = qk-1p k = 1, 2, .... 
 
2p
qVar(X) e 
p
1
 E(X) == onde q = 1 – p 
 
 
 6
Distribuição de Pascal 
 
 
... 1,r r, k ,p)(1p
1-r
1-k
k)P(Y rkr +=−





==
−
 
 
onde 
r)!(k1)!(r
1)!(k
1))!(r1)((k1)!(r
1)!(k
1-r
1-k
−−
−
=
−−−−
−
=





 
 
 
2p
rqVar(X) e 
p
r
 E(X) == com q = 1 – p 
 
 
 
Distribuição Hipergeométrica 
 
 
 
... 2, 1, 0, k ,
n
N
k-n
r-N
k
r
k)P(X =


















== 
 
 E(X) = np, onde p = r/N 
 
1-N
n-N
npqVar(X) = 
 
 
Distribuição Multinomial 
 
 
k1 n
k
n
1
k21
kk2211 p ...p!!...nn!n
n!)nX ..., ,nX ,nP(X ====

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