Integração Parte I Regra dos Trapézios

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Integração Numérica
Regra do Trapézio
Disciplina: Cálculo Numérico – MAT042
Professor Vinícius Barbosa de Paiva 
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• No Cálculo Diferencial e Integral estuda-se o conceito de
integral definida e como calculá-la por meio de processos
analíticos.
• Os resultados obtidos correspondem a áreas ou volumes de
figuras geométricas, dependendo do tipo de integral.
Introdução
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• Sabemos do Teorema Fundamental do Cálculo Diferencial e
Integral, que:
 
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)
onde 𝐹 𝑥 é uma primitiva de 𝑓(𝑥), isto é, F′ x = 𝑓(𝑥).
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Na determinação numérica de uma integral, várias situações
podem ocorrer:
• A determinação da primitiva 𝐹 pode ser “difícil”;
• A função 𝑓 a integrar pode não possuir um primitiva 𝐹.
• Exemplo:
 𝑎
𝑏
𝑒−𝑥
2
𝑑𝑥
• A função 𝑓 pode ser conhecida apenas pelos seus pontos
(𝑥𝑖 , 𝑓(𝑥𝑖)) e não pela sua expressão analítica.
• A ideia básica para a integração numérica será substituir a
função no intervalo [a,b] por um polinômio que a aproxime,
reduzindo o problema a uma simples integração polinomial.
Fórmulas de Newton-Côtes
• São fórmulas que empregam valores de 𝑓(𝑥) onde os
valores de 𝑥 são igualmente espaçados.
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Regra dos Trapézios – Simples
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• Se usarmos a fórmula de Lagrange para expressar
o polinômio 𝑝1(𝑥) que interpola 𝑓(𝑥) em [a,b] temos:
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Erro - Regra dos Trapézios Simples
• O sinal do erro é negativo se 𝑓" > 0, cometemos um erro por
excesso – a área encontrada é maior que a exata;
• Mas se 𝑓" < 0 , cometemos um erro por falta – a área
encontrada é menor que a exata.
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Erro - Regra dos Trapézios Simples
• Erro é a diferença entre o valor da área gerada por
𝑓(𝑥) e pelo polinômio interpolador 𝑝1(𝑥).
Erro
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Regra dos Trapézios – Simples
Exemplo
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• O exemplo anterior mostra que a regra do trapézio
em determinadas situações é muito fraca.
• Para obter um resultado mais precioso vamos
aplicar o método 𝑛 vezes no mesmo intervalo, ou
seja, subdividir o intervalo [a,b] em intervalos
menores e iguais.
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Regra dos Trapézios Composta
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Erro - Regra dos Trapézios Composta
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Regra dos Trapézios – Composta
Exemplos
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Referências Bibliográficas:
• CAMPOS FILHO, Frederico F. Algoritmos numéricos. 2. ed. Rio de Janeiro : 
LTC, 2007.
• FRANCO, N. B. Cálculo numérico. São Paulo : Prentice Hall, 2006.
• BARROSO, L.; BARROSO, M. M. de A.; CAMPOS FILHO, F. F. Cálculo
numérico com aplicações. 2. ed. São Paulo : Harbra, 1987.
• PUGA, L.; PUGA PAZ, A.; TÁRCIA, J. H. M. Cálculo numérico. Rio de Janeiro
: LTC, 2008.
• RUGGIERO, M. A. G.; LOPES, V. L. R. Cálculo Numérico :aspectos teóricos e
computacionais. 2. ed. São Paulo : Makron Book, 1996.
• FERREIRA, J. Á. T. - Cálculo Numérico – Notas de aulas – Integração
Numérica - Departamento de Computação, Universidade Federal de Ouro
Preto.