Resolução de Equações não lineares

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Resolução de Equações Não 
Disciplina: Cálculo Numérico – MAT042
Professor Vinícius Barbosa de Paiva 
Resolução de Equações Não 
Lineares
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•Muitos problemas são modelados por meio de funções e
encontrar as suas raízes significa encontrar o resultado da
equação:
•A função pode ser um polinômio em ou uma função
Introdução
•A função pode ser um polinômio em ou uma função
transcendental (exponenciais, logarítmicas e
trigonométricas).
• Podemos encontrar de forma analítica e exata apenas raízes
de algumas funções, como as polinomiais de 1º e 2º graus e
certas classes de 3º e 4º graus e algumas equações
transcendentes.
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• Como resolver problemas modelados por funções
polinomiais e transcendentes que não podem terpolinomiais e transcendentes que não podem ter
suas raízes determinadas analiticamente?
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•Através de técnicas numéricas, é possível obter uma
solução tão próxima da solução exata, quanto se deseje,
tornando o erro desprezível.
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• Um número real ou é um zero ou raiz da função
se:
Definição
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• Em alguns casos os valores de podem ser reais ou
complexos.
• Estaremos interessados somente nos zeros reais, ou seja:
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• Como obter raízes reais de uma equação
qualquer?
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• Ideia central: partir de uma aproximação
inicial para a raiz e em seguida refinar essa
aproximação através de um processo iterativo.
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• Os métodos constam de duas fases/etapas.
Fases/Etapas para determinar as raízes de uma função:
1ª Etapa: Localização ou isolamento das raízes
Garantir que um intervalo [a, b], contenha uma e
somente uma raiz da função.
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2ª Etapa: Refinamento
Escolhidas as aproximações iniciais no intervalo
encontrado na Etapa I, melhorá-las sucessivamente até se
obter uma aproximação para a raiz dentro de uma precisão
prefixada, ou seja, melhorar o resultado diminuindo o
intervalo aproximando de de forma que seja o
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intervalo aproximando de de forma que seja o
mais próximo possível de zero.
1ª Etapa: Localização ou isolamento das raízes
• Pode ser feita de duas maneiras:
Procedimento I: Através do gráfico da função;
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Procedimento II: Teorema de Bolzano e auxílio de
uma tabela;
Teorema:
Seja f(x) uma função contínua em um intervalo [a,b]. Se
f(a).f(b) < 0, então existe pelo menos um ponto pertencente
ao intervalo [a,b] que é zero de f(x).
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Observação:
Sob as hipóteses do teorema anterior, se f´(x) existir e
preservar o sinal em (a,b), então este intervalo contém um
único zero de f(x).
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f (x) é crescente em [a,b] f (x) é decrescente em [a,b]
Observação:
Se f(a).f(b) > 0, então podemos ter várias situações no
intervalo [a,b], conforme mostram os gráficos:
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Exemplo 1
• Qual o domínio da função?
• A função possui raiz? 
• A raiz é única?
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Exemplo 2
• Qual o domínio da função?
• A função possui raiz? 
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Exemplo 3
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Temos:
f(1).f(2) < 0 e f(4).f(5) < 0 então:
• No intervalo [1,2], temos x’ ≈ 1,5708;
• No intervalo [4,5], temos x’’ ≈ 4,7124.
Exemplo 4
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Construindo a tabela para valores de f(x) e pelo Teorema de Bolzano,
temos:
• f(-3).f(-2) < 0
• f(0).f(1) < 0
• f(1).f(2) < 0
Exemplo 5
a) Qual o domínio da função?
b) Construa a tabela de valores para f(x) e verifique se a 
função possui ao menos uma raiz. 
c) Mostre que a raiz é única.
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A análise gráfica da função f(x) ou da equação f(x)=0 é fundamental
para se obter boas aproximações para a raiz.
• Procedimento I – Fase I – Etapa I: (Geralmente é mais trabalhoso)
- Esboçar o gráfico de y = f(x), com o objetivo de detectar
intervalos que contenham, cada um, uma única raiz.
- Podemos decompor a função y = f(x), se possível, na forma
equivalente f(x) = g(x) – h(x), de modo que os gráficos de y = g(x) e
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equivalente f(x) = g(x) – h(x), de modo que os gráficos de y = g(x) e
y = h(x) sejam conhecidos e mais simples.
Nesse caso, as abscissas dos pontos de interseção dos
gráficos de y = g(x) e y = h(x) são as raízes de f(x) = 0.
Exemplo:
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Se , fazendo temos:
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As raízes pertencem aos 
intervalos: (-3,-2), (0,1) e (1,2)
Exemplo: Fazendo temos:
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Exemplo: Fazendo temos:
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Procedimento II – Fase II – Etapa II:
Refinamento: Métodos numéricos.
(continua)
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(continua)
Referências Bibliográficas:
• BARROSO, L.; BARROSO, M. M. de A.; CAMPOS FILHO, F. F. Cálculo
numérico com aplicações. 2. ed. São Paulo : Harbra, 1987.
• CAMPOS FILHO, Frederico F. Algoritmos numéricos. 2. ed. Rio de Janeiro :
LTC, 2007.
• FERREIRA, J. A. T. - Cálculo Numéricos – Notas de aulas – Resolução de
Equações Não Lineares - Departamento de Computação, Universidade
Federal de Ouro Preto.
• FRANCO, N. B. Cálculo numérico. São Paulo : Prentice Hall, 2006.• FRANCO, N. B. Cálculo numérico. São Paulo : Prentice Hall, 2006.
• RUGGIERO, M. A. G.; LOPES, V. L. R. Cálculo Numérico: aspectos teóricos e
computacionais. 2. ed. São Paulo : Makron Book, 1996.
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