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Resolução de sistemas Lineares Métodos Iterativos: - Método de Jacobi - Método de Gauss-Seidel 1 Disciplina: Cálculo Numérico – MAT042 Professor Vinícius Barbosa de Paiva • Em certas condições, tais métodos são melhores que os exatos/diretos, por exemplo, quando a matriz dos coeficientes é uma matriz esparsa (muitos elementos iguais a zero). Introdução • Um método é iterativo quando fornece uma sequência de aproximantes da solução, cada uma das quais obtidas das anteriores pela repetição do mesmo tipo de passo. • No caso dos métodos iterativos, precisamos saber se a sequência que estamos obtendo está convergindo ou não para a solução desejada. 2 Métodos Iterativos 3 Método Gauss-Jacobi 4 5 6 7 Exemplo 1 Método de Gauss-Jacobi 8 Método Gauss-Seidel 9 Exemplo 1 Método de Gauss-Seidel 10 Interpretação geométrica caso 2x2 Método Gauss-Jacobi 11 12 Método Gauss-Seidel Observação • Embora a ordem das equações de um sistema linear não mude a sua solução, as sequências geradas pelos métodos de Gauss-Seidel e de Gauss-Jacobi dependem fundamentalmente da disposição das equações. • Nos exemplos anteriores podemos verificar que as sequências de soluções está convergindo para a solução exata do sistema linear que é (1.5, 1.5), tanto para o Método de Gauss-Jacobi quanto para o método de Gauss- Seidel. 13 Considere o sistema linear abaixo obtido permutando-se as linhas 1 e 2. 14 15 Exemplo: Resolva o sistema abaixo pelo método de Gauss-Seidel com precisão de 0,050 e 5 iterações. 16 17 Convergência dos Métodos Iterativos: 18 a) Critério das linhas: É condição suficiente para que um sistema linear convirja usando um método iterativo que: 19 b) Critério das colunas: É condição suficiente para que um sistema linear convirja usando um método iterativo que: 20 C) Critério de Sassenfeld: Seja Exemplo: Verificar se há garantia de convergência do sistema a seguir usando um método iterativo: 21 22 23 Observações: 1ª) Os critérios apresentados são apenas suficientes, pois: gera uma sequência convergente e no entanto: O critério de Sassenfeld não é satisfeito. 24 2ª) Podemos permutar as linhas e as colunas de um sistema linear de modo que consigamos atender a um dos critérios. 25 Referências Bibliográficas: • CAMPOS FILHO, Frederico F. Algoritmos numéricos. 2. ed. Rio de Janeiro : LTC, 2007. • FRANCO, N. B. Cálculo numérico. São Paulo : Prentice Hall, 2006. • BARROSO, L.; BARROSO, M. M. de A.; CAMPOS FILHO, F. F. Cálculo numérico com aplicações. 2. ed. São Paulo : Harbra, 1987. • PUGA, L.; PUGA PAZ, A.; TÁRCIA, J. H. M. Cálculo numérico. Rio de Janeiro : LTC, 2008. • RUGGIERO, M. A. G.; LOPES, V. L. R. Cálculo Numérico :aspectos teóricos e computacionais. 2. ed. São Paulo : Makron Book, 1996. • Métodos Numéricos, Notas de aula, 2011 -Departamento de Computação, Universidade Federal de Ouro Preto. • FERREIRA, J. Á. T. - Cálculo Numéricos – Notas de aulas – Resolução de Sistemas de Equações Lineares Simultâneas - Departamento de Computação, Universidade Federal de Ouro Preto. 26
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