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Resolução de Sistemas Lineares Métodos Iterativos Gauss Jacobi e Gauss Seidel

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Resolução de sistemas Lineares 
Métodos Iterativos: 
- Método de Jacobi 
- Método de Gauss-Seidel 
1 
Disciplina: Cálculo Numérico – MAT042 
Professor Vinícius Barbosa de Paiva 
• Em certas condições, tais métodos são melhores que 
os exatos/diretos, por exemplo, quando a matriz dos 
coeficientes é uma matriz esparsa (muitos elementos 
iguais a zero). 
Introdução 
• Um método é iterativo quando fornece uma sequência 
de aproximantes da solução, cada uma das quais 
obtidas das anteriores pela repetição do mesmo tipo de 
passo. 
• No caso dos métodos iterativos, precisamos saber se a 
sequência que estamos obtendo está convergindo ou 
não para a solução desejada. 
2 
Métodos Iterativos 
3 
Método Gauss-Jacobi 
4 
5 
6 
7 
Exemplo 1 
Método de Gauss-Jacobi 
8 
Método Gauss-Seidel 
9 
Exemplo 1 
Método de Gauss-Seidel 
10 
Interpretação geométrica 
 
caso 2x2 
Método Gauss-Jacobi 
11 
12 
Método Gauss-Seidel 
Observação 
• Embora a ordem das equações de um sistema 
linear não mude a sua solução, as sequências 
geradas pelos métodos de Gauss-Seidel e de 
Gauss-Jacobi dependem fundamentalmente da 
disposição das equações. 
• Nos exemplos anteriores podemos verificar 
que as sequências de soluções está 
convergindo para a solução exata do sistema 
linear que é (1.5, 1.5), tanto para o Método de 
Gauss-Jacobi quanto para o método de Gauss-
Seidel. 
13 
Considere o sistema linear abaixo obtido 
permutando-se as linhas 1 e 2. 
14 
15 
Exemplo: Resolva o sistema abaixo pelo método de 
Gauss-Seidel com precisão de 0,050 e 5 iterações. 
16 
17 
Convergência dos Métodos Iterativos: 
18 
a) Critério das linhas: É condição suficiente 
para que um sistema linear convirja usando um 
método iterativo que: 
 
19 
b) Critério das colunas: É condição suficiente 
para que um sistema linear convirja usando um 
método iterativo que: 
 
20 
C) Critério de Sassenfeld: Seja 
Exemplo: Verificar se há garantia de convergência do 
sistema a seguir usando um método iterativo: 
 
21 
22 
23 
Observações: 
1ª) Os critérios apresentados são apenas suficientes, 
pois: 
 
 
gera uma sequência convergente e no entanto: 
 
 
 
 
O critério de Sassenfeld não é satisfeito. 
 
 24 
2ª) Podemos permutar as linhas e as colunas de um 
sistema linear de modo que consigamos atender a 
um dos critérios. 
25 
Referências Bibliográficas: 
• CAMPOS FILHO, Frederico F. Algoritmos numéricos. 2. ed. Rio de Janeiro : 
LTC, 2007. 
• FRANCO, N. B. Cálculo numérico. São Paulo : Prentice Hall, 2006. 
• BARROSO, L.; BARROSO, M. M. de A.; CAMPOS FILHO, F. F. Cálculo numérico 
com aplicações. 2. ed. São Paulo : Harbra, 1987. 
• PUGA, L.; PUGA PAZ, A.; TÁRCIA, J. H. M. Cálculo numérico. Rio de Janeiro 
: LTC, 2008. 
• RUGGIERO, M. A. G.; LOPES, V. L. R. Cálculo Numérico :aspectos teóricos e 
computacionais. 2. ed. São Paulo : Makron Book, 1996. 
• Métodos Numéricos, Notas de aula, 2011 -Departamento de Computação, 
Universidade Federal de Ouro Preto. 
• FERREIRA, J. Á. T. - Cálculo Numéricos – Notas de aulas – Resolução de 
Sistemas de Equações Lineares Simultâneas - Departamento de Computação, 
Universidade Federal de Ouro Preto. 
 
26

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