Lista2 Calculo Numerico - grazielle ufscar

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Universidade Federal de Sa˜o Carlos - Departamento de Matema´tica
083020 - Ca´lculo Nume´rico - Turma C: Segunda Lista de Exerc´ıcios
Profa Grazielle Feliciani Barbosa 13 de setembro de 2017
1. Resolva a equac¸a˜o
4 cos(x)− e−k(0.3x) = 0,
usando todos os me´todos vistos com � = 0.1. Localize graficamente (Teorema do Anulamento)
uma vizinhanc¸a para as ra´ızes. Assuma k o terceiro d´ıgito do seu R.A.
2. Resolva a equac¸a˜o
3x3 − cos(x) = 0
usando:
(a) Me´todo da Bissec¸a˜o, com � = 0.1,
(b) Me´todo de Newton, com � = 0.001.
3. Seja f(x) = x2 − 7.8. Localize graficamente uma vizinhanc¸a das ra´ızes e considere o seguinte
processo iterativo:
xi+1 =
1
3
[
x2i + 3xi − 7.8
]
.
(a) A sequeˆncia gerada pelo processo iterativo acima e´ convergente para a raiz negativa de
f(x)? Justifique usando a condic¸a˜o de convergeˆncia do M.A.S.
(b) Caso a resposta do item anterior seja afirmativa, determine a raiz negativa usando processo
iterativo dado com � = 0.01.
(c) A sequeˆncia gerada pelo processo iterativo acima seria convergente para a raiz positiva de
f(x)? Justifique.
4. Considere a func¸a˜o f(x) = 3x2+sin(x)−6. Localize graficamente uma vizinhanc¸a para as ra´ızes
de f(x).
(a) Determine a raiz negativa de f(x) usando Me´odo de Newton, com � = 0.001.
(b) Determine a raiz positiva usando o Me´todo das Secantes, com � = 0.1.
5. Resolva a seguinte a equac¸a˜o
x− sin(x) = 0.3
usando:
1
(a) Me´todo das Aproximac¸o˜es Sucessivas, com � = 10−2,
(b) Me´todo das Secantes, com � = 10−2.
(c) Me´todo da Bissec¸a˜o, com � = 10−1.
6. Seja f(x) = (4.6)x − tan(x). Determine a primeira raiz negativa de f(x) usando o Me´todo das
Secantes, com � = 0.01.
7. Resolva as equac¸o˜es abaixo, usando qualquer um dos me´todos vistos, com � = 0.01 :
(a) e−0.5x + x2 − 3.1 = 0
(b) 2x+ sin(x)− 7 = 0
(c) x2 − 2− log(x) = 0
8. Considere a func¸a˜o f(x) = x2 − x− 2 e os seguintes processos iterativos:
(a) xi+1 = φ(xi) = x
2
i − 2
(b) xi+1 = φ(xi) = 1 +
2
xi
(c) xi+1 = φ(xi) = (2 + xi)
0.5
Fac¸a ana´lise de convergeˆncia em cada um dos itens acima. Em caso afirmativo para algum dos
itens, determine x¯ tal que f(x¯) = 0, usando M.A.S., com � = 10−2.
9. Determine um ponto da func¸a˜o f(x) = 3x4−8x3−2x−3, em que a primeira derivada da func¸a˜o
f(x) se anula, usando o Me´todo de Newton com � = 0.001. O ponto encontrado e´ um ponto de
mı´nimo de f? Justifique suas afirmac¸o˜es.
10. Mostre que o processo iterativo
xn+1 =
1
p
[
(p− 1)xn + a
xp−1n
]
,
e´ obtido por aplicar o Me´todo de Newton na resoluc¸a˜o da equac¸a˜o xp − a = 0, com a > 0.
11. A concentrac¸a˜o de bacte´rias poluentes C em um lago diminui de acordo com a seguinte func¸a˜o:
C(t) = 75 e−1.5 t + 20 e−0.075 t
(a) Esboce um gra´fico da func¸a˜o C(t).
(b) Usando o Me´todo de Newton determine o tempo necessa´rio para que a concentrac¸a˜o de
bacte´rias seja reduzido ao valor de 15, com � = 0.001. Tome como soluc¸a˜o inicial um ponto
no gra´fico obtido anteriormente.
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12. Usando o Software Matlab(ou qualquer outro que construa gra´ficos), localize graficamente uma
vizinhanc¸a para as ra´ızes das func¸o˜es abaixo e, determine uma raiz tomando como soluc¸a˜o inicial
um ponto nas vizinhanc¸as da raiz.
(a) f(x) = ex − cos(x)− (5.79)k
(b) f(x) = x3 − kx2 − 7x+ 16.7
(c) f(x) = (1.3)kx3 − cos(x)− 3.9
Assuma k o primeiro d´ıgito do seu R.A.
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