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𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 = 𝑑𝑄 𝑑𝑥 − 𝑑𝑃 𝑑𝑦 𝑑𝐴 𝐹 𝑑𝑟 = 𝑟𝑜𝑡 𝐹 𝑑𝑆 Onde rot. F = | 𝑖 𝑗 𝑘 | 𝑑 𝑑𝑥 𝑑 𝑑𝑦 𝑑 𝑑𝑧 | 𝐹 𝑥 𝐹 𝑦 𝐹 𝑧 𝐹 𝑑𝑆 = 𝑑𝑖𝑣 𝐹 𝑑𝑉 Onde div F = d𝑥 𝑑𝑢 + 𝑑𝑦 𝑑𝑣 + 𝑑𝑧 𝑑𝑤 𝐹. 𝑑𝑟 = 𝐹 𝛾 𝑡 . 𝛾′ 𝑡 𝑑𝑡 𝑏 𝑎 Onde 𝛾(𝑡) é uma curva e 𝐹(𝑥, 𝑦) é o campo vetorial. 𝐹. 𝑑𝑟 = 𝐹 𝛾 𝑡 . 𝛾′ 𝑡 𝑑𝑡 𝑏 𝑎 Onde 𝛾(𝑡) é uma curva e 𝐹(𝑥, 𝑦) é o campo escalar. • Seja F:𝜔 ∁ 𝑅𝑛 → 𝑅𝑛 𝑢𝑚 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑒𝑥𝑜 𝑎𝑏𝑒𝑟𝑡𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎ𝑜𝑠 𝜔 , 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: • 𝐹. 𝑑𝛾 = 0 para toda curva 𝛾 fechada, C¹ por partes com imagem de 𝛾 contida em 𝜔. • 𝐹. 𝑑𝑟 é independente do caminho de integração em 𝜔. • Rot. F = 0. • O campo der simplesmente conexo. • 𝛻𝑓 = 𝐹
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