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UNIVERSIDADE SÃO JUDAS TADEU DATA: CURSO: ENGENHARIA TURMA: Nº DE ORDEM: DISCIPLINA: CÁLCULO I Prof. Ms Rogério Lobo DERIVADA RESUMO 14 FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES Teorema Exemplo: Determinando os intervalos em que uma função é crescente ou decrescente Concavidade Exemplo Teorema Determinando os Intervalos de Concavidade de f Ponto de Inflexão Exemplo: Encontrando Pontos de Inflexão MÁXIMOS E MÍNIMOS Observe a função y = f(x), contínua e derivável, cujo gráfico está representado abaixo. A função no ponto A passa de crescente para decrescente e no ponto B de decrescente para crescente. O ponto A é chamado de ponto de máximo relativo ou máximo local de f(x). O ponto B é chamado de ponto de mínimo relativo ou mínimo local de f(x). Os pontos A e B são os extremos da função y = f(x). Nos extremos, a primeira derivada é nula: Para saber se o ponto é máximo ou mínimo, calcule-se a 2ª derivada: Ponto de máximo: f´(x)=0 e f´´(x)<0 Ponto de mínimo: f´(x)=0 e f´´(x)>0 Na figura acima, o ponto C indica um ponto de inflexão. A curva no ponto de inflexão muda a concavidade. Ponto de inflexão: f´´(x) = 0 e f´´´(x) 0 Dizemos que uma função admite pontos críticos se tiver pontos de máximo, mínimo ou inflexão. Exemplos: 1) estudar a função .33)( xxxf Solução: Pontos extremos: )2,1( )(06)1´´(1 )2,1( )(06)1´´(1 6)´´( 10323323)´( MIN mínimoFX MAX máximafx xxf xxxxf Ponto de inflexão: )0,0( 006)´´( INF xxxf 2) De todos os retângulos de perímetros igual a 2p, ache o que tem área máxima. Solução: S = x h 2x + 2h = 2p h = p – x Substituindo-se em S = x h: S = x(p – x) = px - 2x S`= p – 2x = 0 x = 2 p e S`` = -2 A altura h = p - 2 p = 2 p A área S = 4 2p Exercícios SUGESTÃO: Confira suas respostas no Geogebra 1. Calcule o extremo de cada função, indicando se o ponto é máximo ou mínimo. a) 122 xxy b) xxy 62 c) 742 xxy d) 82 xy e) xxy 102 f) xxy 22 2. Quais são os pontos de inflexão, máximo e mínimo de ?263)( xxxf 3. Encontre os pontos de máximo, mínimo e inflexão da função .93)( 23 xxxxf 4. Para que valor de a, a função 12 axxy , terá ponto de mínimo em x = 1? 5. Para que valor de a, a função xaxxxf 18232)( admite extremo em x = - 1? 6. Quais são os extremos de ?133)( xxxf 7. Dada a função 315293)( xxxxf , quais são as coordenadas dos pontos de máximo, de mínimo e inflexão? 8. Ache as coordenadas dos pontos de máximo, mínimo e inflexão da função 103263 xxxy . 9. Determine os intervalos em que as funções a seguir são côncavas para cima ou para baixo: a-) ( ) b-) ( ) √ c-) ( ) √ d-) ( ) e-) ( ) f-) ( ) ( ) g-) ( ) 10. Encontre o(s) intervalo(s) em que cada função é crescente ou decrescente: a-) ( ) b-) ( ) c-) ( ) √ d-) ( ) √ e-) ( ) f-) ( ) ( ) 11. Encontre o ponto de inflexão das seguintes funções: a-) ( ) b-) ( ) c-) ( ) √ d-) ( ) ( ). e-) ( ) ( ) 12. Encontre os extremos absolutos das seguintes funções: a-) ( ) em [-1,1] b-) ( ) em [-2, 2] c-) ( ) em [0,2] 13. Prove que os seguintes conjuntos admitem máximo ou mínimo: a) 2 2 1 / 12 x x xA b) 22/ 1 2 x x x A c) 11/ 1 2 2 x x xx A 14.Seja ]1;1[:f dada por 2 2 1 )( x xx xf . a-)Prove que )1(f é o valor máximo de f . b-)Prove que existe 1x ]-1;0[ tal que )( 1xf é o valor mínimo de f . 15. Qual é a área máxima do retângulo de perímetro igual a 20m? 16. A partir de uma chapa quadrada com 12 dm de lado, quer-se construir uma caixa sem tampa, cortando-se um quadrado em cada canto da chapa e depois dobrando-se convenientemente. Qual deve ser o tamanho dos quadrados a serem cortados para que a caixa encerre o maior volume possível? 17. Determine o número real positivo cuja diferença entre ele e seu quadrado seja máxima? 18. A Cia. Preço Bom Ltda. produz determinado produto e vende-o a um preço unitário de R$ 13,00. Estima-se que o custo total c para produzir e vender q unidades é dado por .243 23 qqqc Supondo que toda a produção seja absorvida pelo mercado consumidor, que quantidade deverá ser produzida para se ter lucro máximo? 19. Dois números estritamente positivos têm soma 60. Quais são esses números se o produto de um deles pelo quadrado do outro é o máximo possível? 20. Determinar dois números positivos cujo produto seja 16 e a soma seja a menor possível. 21. Quer-se construir um cercado retangular aproveitando-se uma parede já existente. Se existe material suficiente para se construir 100 m de cerca, quais as dimensões do cercado para se ter a maior área cercada possível? Algumas Respostas: 1. a) Min(1, 0) b) Min (3,-9) c) Max (2, 11) d) Min (0,-8) e) Max (5, 25) f) Max (1, 1) 2) (2,-16) 3) Não existem 4) – 2 5) – 6 6) Max (- 1,3);Min(1,-1) 7) Max (1, 10);Min(5,-22) 8)(2,0) 9) b-)Côncava para baixo em ( ) ( ) c-)Côncava para baixo em ( ) d-)Côncava para baixo em ( ); Côncava para cima ( ) e-)Côncava para baixo em ( ) ( ) 15.25 2m 16.2 dm
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