RESUMO 14. MAX E MIN (3)

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UNIVERSIDADE SÃO JUDAS TADEU 
 
DATA: 
CURSO: ENGENHARIA TURMA: 
 
 
 
Nº DE ORDEM: 
DISCIPLINA: CÁLCULO I Prof. Ms Rogério Lobo 
 
 
 
 
 
 
 
DERIVADA 
 RESUMO 14 
 
FUNÇÕES CRESCENTES E 
DECRESCENTES 
 
 
 
Teorema 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
Determinando os intervalos em que uma 
função é crescente ou decrescente 
 
 
 
Concavidade 
 
 
 
Exemplo 
 
 
Teorema 
 
 
 
Determinando os Intervalos de Concavidade 
de f 
 
 
Ponto de Inflexão 
 
 
 
Exemplo: 
 
Encontrando Pontos de Inflexão 
 
 
 
 
MÁXIMOS E MÍNIMOS 
 
Observe a função y = f(x), contínua e derivável, 
cujo gráfico está representado abaixo. A função 
no ponto A passa de crescente para 
decrescente e no ponto B de decrescente para 
crescente. 
O ponto A é chamado de ponto de máximo 
relativo ou máximo local de f(x). 
O ponto B é chamado de ponto de mínimo 
relativo ou mínimo local de f(x). 
 
Os pontos A e B são os extremos da função y = 
f(x). 
Nos extremos, a primeira derivada é nula: 
 
 
Para saber se o ponto é máximo ou mínimo, 
calcule-se a 2ª derivada: 
 
Ponto de máximo: f´(x)=0 e f´´(x)<0 
Ponto de mínimo: f´(x)=0 e f´´(x)>0 
 
Na figura acima, o ponto C indica um ponto de 
inflexão. A curva no ponto de inflexão muda a 
concavidade. 
 
Ponto de inflexão: f´´(x) = 0 e f´´´(x)

0 
 
Dizemos que uma função admite pontos críticos 
se tiver pontos de máximo, mínimo ou inflexão. 
 
Exemplos: 
 
1) estudar a função 
.33)( xxxf 
 
Solução: 
 
Pontos extremos: 
)2,1(
)(06)1´´(1
)2,1(
)(06)1´´(1
6)´´(
10323323)´(






MIN
mínimoFX
MAX
máximafx
xxf
xxxxf
 
Ponto de inflexão: 
)0,0(
006)´´(
INF
xxxf  
 
 
 
2) De todos os retângulos de perímetros igual a 
2p, ache o que tem área máxima. 
 
Solução: 
 
S = x h 
2x + 2h = 2p

 h = p – x 
 
Substituindo-se em S = x h: 
 
S = x(p – x) = px - 2x 
S`= p – 2x = 0

 x =
2
p
 e S`` = -2 
A altura h = p - 
2
p
= 
2
p
 
A área S = 
4
2p 
 
Exercícios 
 
SUGESTÃO: Confira suas respostas no 
Geogebra 
 
1. Calcule o extremo de cada função, indicando 
se o ponto é máximo ou mínimo. 
a) 
122  xxy
 
b) 
xxy 62 
 
c) 
742  xxy
 
d) 
82  xy
 
e) 
xxy 102 
 
f) 
xxy 22 
 
 
2. Quais são os pontos de inflexão, máximo e 
mínimo de
?263)( xxxf 
 
 
3. Encontre os pontos de máximo, mínimo e 
inflexão da função 
.93)( 23 xxxxf 
 
 
4. Para que valor de a, a função 
12  axxy
, 
terá ponto de mínimo em x = 1? 
 
5. Para que valor de a, a função 
xaxxxf 18232)( 
 admite extremo em x = - 
1? 
 
6. Quais são os extremos de 
?133)(  xxxf
 
 
7. Dada a função 
315293)(  xxxxf
, 
quais são as coordenadas dos pontos de 
máximo, de mínimo e inflexão? 
 
8. Ache as coordenadas dos pontos de máximo, 
mínimo e inflexão da função 
103263  xxxy
. 
 
9. Determine os intervalos em que as funções a 
seguir são côncavas para cima ou para baixo: 
 
a-) ( ) 
 
 
 
 
b-) ( ) √ 
 
 
 
c-) ( ) √ 
 
d-) ( ) 
 
 
 
 
e-) ( ) 
 
 
 
 
f-) ( ) 
 ( )
 
 
 
g-) ( ) 
 
10. Encontre o(s) intervalo(s) em que cada 
função é crescente ou decrescente: 
 
a-) ( ) 
 
b-) ( ) 
 
 
 
 
c-) ( ) √ 
 
d-) ( ) √ 
 
 
 
e-) ( ) 
 
f-) ( ) 
 ( )
 
 
 
11. Encontre o ponto de inflexão das seguintes 
funções: 
 
a-) ( ) 
 
b-) ( ) 
 
 
 
c-) ( ) √ 
 
 
 
d-) ( ) ( ). 
 
e-) ( ) ( ) 
 
12. Encontre os extremos absolutos das 
seguintes funções: 
 
a-) ( ) 
 
 em [-1,1] 
 
b-) ( ) 
 em [-2, 2] 
 
c-) ( ) 
 
 em [0,2] 
 
13. Prove que os seguintes conjuntos admitem 
máximo ou mínimo: 
 
a)






 2
2
1
/
12 x
x
xA
 
b) 








 22/
1 2
x
x
x
A
 
c) 









 11/
1 2
2
x
x
xx
A
 
 
14.Seja 
 ]1;1[:f
 dada por 
2
2
1
)(
x
xx
xf



. 
a-)Prove que 
)1(f
 é o valor máximo de 
f
. 
b-)Prove que existe 
1x
 ]-1;0[ tal que 
)( 1xf
 é 
o valor mínimo de 
f
. 
 
15. Qual é a área máxima do retângulo de 
perímetro igual a 20m? 
 
16. A partir de uma chapa quadrada com 12 dm 
de lado, quer-se construir uma caixa sem 
tampa, cortando-se um quadrado em cada 
canto da chapa e depois dobrando-se 
convenientemente. Qual deve ser o tamanho 
dos quadrados a serem cortados para que a 
caixa encerre o maior volume possível? 
 
17. Determine o número real positivo cuja 
diferença entre ele e seu quadrado seja 
máxima? 
 
18. A Cia. Preço Bom Ltda. produz determinado 
produto e vende-o a um preço unitário de R$ 
13,00. Estima-se que o custo total 
c
 para 
produzir e vender 
q
 unidades é dado por 
.243 23  qqqc
Supondo que toda a 
produção seja absorvida pelo mercado 
consumidor, que quantidade deverá ser 
produzida para se ter lucro máximo? 
 
19. Dois números estritamente positivos têm 
soma 60. Quais são esses números se o 
produto de um deles pelo quadrado do outro é o 
máximo possível? 
 
20. Determinar dois números positivos cujo 
produto seja 16 e a soma seja a menor 
possível. 
 
21. Quer-se construir um cercado retangular 
aproveitando-se uma parede já existente. Se 
existe material suficiente para se construir 100 
m de cerca, quais as dimensões do cercado 
para se ter a maior área cercada possível? 
 
Algumas Respostas: 
 
1. a) Min(1, 0) b) Min (3,-9) 
 c) Max (2, 11) d) Min (0,-8) 
 e) Max (5, 25) f) Max (1, 1) 
2) (2,-16) 
3) Não existem 
4) – 2 
5) – 6 
6) Max (- 1,3);Min(1,-1) 
7) Max (1, 10);Min(5,-22) 
8)(2,0) 
 
9) 
b-)Côncava para baixo em ( ) ( ) 
c-)Côncava para baixo em ( ) 
d-)Côncava para baixo em ( ); Côncava 
para cima ( ) 
e-)Côncava para baixo em ( ) ( ) 
 
15.25 2m 
16.2 dm