Apostila Cálculo Limites e Derivadas

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Apostila 2013 
 
 
Objetivo(s): Contextualizar o conceito de Cálculo Limites e Derivadas, dando ênfase as técnicas 
especiais de derivação e suas principais aplicações na Engenharia. 
 
 
Professora: Ana Flávia Guedes Greco 
 
Curso: Engenharia Disciplina: Cálculo Limites e Derivadas 
 
Aula 1: 
Introdução à Limites 
 
1.1 Noção Intuitiva 
Antes de apresentarmos a definição de limite, vamos mostrar de maneira intuitiva sua essência. 
Vamos investigar o comportamento da função 
1
1
)(
2



x
x
xg
quando x = 1. 
 
 
 
??
0
0
11
11
)1(
2



g
 
Como a variável x não pode assumir o valor 1 na função g, vamos estudar o comportamento 
desta função quando x está muito próximo de 1, em outras palavras, queremos responder a 
seguinte pergunta: 
 Qual o comportamento da função g quando x assume valores muito próximos (ou numa 
vizinhança) de 1, porém diferentes de 1? 
 A princípio o estudo do limite visa estabelecer o comportamento de uma função numa 
vizinhança de um ponto (que pode ou não pertencer ao seu domínio). No caso da função g, 
qualquer valor atribuído a x determina imagem única, sem problema algum. Mas na função g, 
existe o ponto x = 1 que gera a indeterminação. 
Estudemos os valores da função 
1
1
)(
2



x
x
xg
quando x assume valores próximos de 1, mas 
diferente de 1. Para isto vamos utilizar as tabelas de aproximações. 
 
0/0 simboliza uma indeterminação matemática. Outros 
tipos de indeterminações matemáticas serão tratados 
mais a adiante. 
 
 
 
 
 
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Observação: Podemos nos aproximar do ponto 1: 
 
 
Da tabela vemos que quando x estiver próximo de 1 (de qualquer lado de 1), g(x) tenderá a 2. 
De fato, parece que podemos tornar os valores de g(x) tão próximos de 2 quanto quisermos 
tornando x suficientemente próximo de 1. 
Expressamos isso dizendo que “o limite da função 
1
1
)(
2



x
x
xg
 quando x tende a 1 é igual a 
2”. A notação para isso é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
1
1
lim
2
1 



x
x
x
 
 
 
 
 
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1.2 Definição 
 
De uma maneira bem simples, podemos então definir “limite” como o valor que uma função 
assume quando sua variável “x” se aproxima de um determinado valor “a”. 
 
1.3 Propriedades 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLOS: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Aula 2: 
Limites: Indeterminações 
 
2.1 Expressões Indeterminadas 
 
 
 
 
 
 
 
Estas expressões são definidas como operações indefinidas. Alguns matemáticos as chamam 
de indeterminações, porém todas são determináveis, dependendo somente dos termos que 
compõem cada uma delas. 
 
Para resolver expressões indeterminadas, seguiremos os seguintes passos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0
0 , 

 , 

, 
 .0
, 00 ,  0 ,  1 
1º Passo: Aplique o limite e verifique se há uma indeterminação. 
2º Passo: Caso haja uma indeterminação, tente eliminá-la, para isso fatore e simplifique 
ao máximo a expressão. Observação: Cada expressão requer uma técnica de fatoração 
diferente. 
3º Passo: Aplique o limite na função simplificada e recalcule o limite. 
 
 
 
 
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EXEMPLOS: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Aula 3: 
Limites: Indeterminações (continuação) 
 
3.1 Limites no Infinito 
 
 
 
 
 
ou 
 
 
3.2 Igualdades Simbólicas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 xxlim
  xxlim 
 
 
 
 
 
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Observação: Na função polinomial se x → ± ∞ basta colocar em evidência o termo de maior 
grau. 
 
EXEMPLOS: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Aula 4: 
Derivadas 
 
4.1 Introdução 
 
O Cálculo Diferencial e Integral criado por Leibniz e Newton no século XVII tornou-se logo de 
início um instrumento precioso e imprescindível para a solução de vários problemas relativos à 
Matemática e a Física. Na verdade, é indispensável para investigação não elementar tanto nas 
ciências naturais como humanas. 
 
 
 
 
 
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Na biologia, por exemplo, a derivada é aplicada na pesquisa da taxa de crescimento de 
bactérias de uma cultura, na eletricidade ela serve para descrever a variação da corrente num 
circuito elétrico, na física, para definir a velocidade e aceleração de uma partícula, na economia 
ela serve para estudar a receita, o custo e o lucro marginal, na medicina ela é usada para 
verificar se um medicamento aplicado em um paciente está ou não fazendo o efeito esperado 
em certo intervalo de tempo. 
 
Desta forma, podemos verificar que o formalismo matemático do Cálculo que à primeira vista 
nos parece abstrato e fora da realidade, está internamente relacionado com o raciocínio usado 
pelas pessoas em geral na resolução de problemas cotidianos. 
 
 
4.2 Interpretação Geométrica 
 
Seja f uma função representada no gráfico abaixo: 
 
 
 
 
 
Gostaríamos de encontrar a inclinação da reta tangente a este gráfico em um determinado 
ponto, vamos supor P(x, f(x)). 
Sabemos que o coeficiente angular da reta nos dá a inclinação desta. Sendo assim, devemos 
encontrar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico em P (x, f(x)). 
 
 
 
Seja P(x, f(x)) e Q (x + h, f(x +h)) dois pontos da função f onde h representa a diferença entre as 
abscissas de P e Q. É fácil determinar o coeficiente angular da reta PQ utilizando os conceitos 
de trigonometria no triângulo retângulo. 
Seja s a reta secante ao gráfico de f pelos pontos P e Q. 
 
 
 
 
 
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Sabemos que o coeficiente angular mPQ da reta secante é dado por 
 
 
 
Podemos tomar no gráfico pontos Q1, Q2, Q3 , ..., Qn cada vez mais próximos de P, e desta 
forma a reta s(PQ) secante a curva, tende a posição de tangência em P e o acréscimo h, tende 
a zero. 
 
 
 Logo: 
 
 
onde m representa o coeficiente angular da reta tangente. Esse limite quando existe é chamado 
de Derivada. Em outras palavras, calcular a derivada de uma função significa determinar a 
inclinação da reta tangente a curva no ponto P quando x tende a zero. 
 
 
4.3 Definição 
 
De uma maneira geral podemos definir a derivada de uma função da seguinte maneira, 
chamaremos também de definição clássica: 
 
 
 
 
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Seja uma função f: D → R, e seja D’ o conjunto de todos os valores x tal que exista f’(x). 
Chama-se função derivada de f a função f: D’ → R tal que: 
 
 
 
 
 
 
4.4 Notação 
 
Por questões históricas e práticas, várias notações para representar a derivada, são usadas. 
Um dos co-inventoresdo cálculo foi Gootfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716) e introduziu a 
notação 
dx
dy , que significa derivada de y em relação à x. 
Outro co-inventor foi Sir Issac Newton (1642-1727) e introduziu a notação .
y
, que tem o mesmo 
significado. 
 
Outras notações são: 
 
 
 
 
4.5 Cálculo de Derivada (Definição Clássica) 
 
O cálculo da derivada pela definição clássica de f se faz mediante o seguinte procedimento em 
quatro etapas: 
Regra: 
1. Calcule 
)( hxf 
 
2. Forme a diferença 
)()( xfhxf 
 
3. Forme o quociente 
h
xfhxf )()( 
 
4. Calcule 
h
xfhxf
xf
h
)()(
lim)('
0



 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXEMPLO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Aula 5: 
Derivadas: Regras de Derivação 
 
A função derivada, como vimos na Introdução da Aula 4, tem diversas aplicações nas mais 
diversas áreas do conhecimento. Se tivéssemos que fazer todo esse cálculo que mostramos 
anteriormente, para determinar a função derivada, gastaríamos muito tempo e trabalho. 
 
Vamos aqui apresentar algumas fórmulas (teoremas) para a determinação de algumas funções 
derivadas. É óbvio que tais fórmulas foram obtidas a partir da definição que mostramos 
anteriormente. 
 
Algumas funções são compostas pela combinação de outras. 
 
5.1 Derivadas Imediatas (Teoremas) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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O gráfico da função constante 
cxf )(
 é uma reta horizontal com a inclinação nula em todos 
os pontos. 
 
Vamos observar agora a função 
nxxf )(
, onde n é um valor inteiro positivo. 
 
Outro tipo de função bastante usada é a função exponencial, que é escrita da seguinte forma: 
 
 
No que foi visto em derivadas, temos: 
 
 A derivada da soma de funções é a soma das derivadas dessas funções. 
 A derivada do produto é o produto e quociente das derivadas? 
 
A resposta é NÃO. Para estes tipos funções existe uma característica específica, conforme 
apresentado a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXEMPLOS: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5.2 Derivadas de Grau Superior 
 
Em algumas aplicações precisamos derivar uma função mais de uma vez. Se uma função y = 
f(x) for derivável, isto é, existe f’(x), podemos pensar na derivada de f’(x) e assim 
sucessivamente. 
 
Definimos e denotamos as deriva das sucessivas de uma função y = f(x) de acordo com a tabela 
abaixo: 
 
 
 
 
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Justificativa para as notações: 
 
 
 
EXEMPLO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Aula 6: 
Derivadas: Regra da Cadeia 
 
Até o momento sabemos derivar a função 
3)( xxg 
e também a função 
12)(  xxf
. 
Considere agora a função composta 
 312))(()(  xxfgxgof
. Como poderemos obter a 
derivada da função composta 
)(xgof
sem desenvolver o Binômio? A regra que veremos agora 
estabelece uma forma de obter a derivada da função composta em termos das funções 
elementares f e g. 
 
 
6.1 Definição 
Se y = g(u), u = f(x) e as derivadas 
du
dy e 
dx
du existem, então a função composta y = gof(x) = 
g(f(x)) tem derivada dada por: 
 
 
 
 ou ou 
 
 
 
As três formas acima são equivalentes, mudam apenas as notações. 
 
 
EXEMPLOS: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
dx
du
du
dy
dx
dy
.
 
)(').(')(' xuuyxy 
 
)(')).((')(' xfxfgxgof 
 
 
 
 
 
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Aula 7: 
Derivadas: Aplicações 
 
Nesta e nas próximas aulas, estudaremos algumas aplicações de derivadas nas áreas da 
Engenharia e Física. A noção de derivada é uma das mais importantes e poderosas ferramentas 
da Matemática. 
 
7.1 Pontos Críticos (Máximos e/ou Mínimos Relativos - Absolutos) 
 
Para obter pontos de máximo ou de mínimo de uma função, basta construir o gráfico da função 
e identificar tais pontos. O problema é a dificuldade em construir os gráficos de muitas funções, 
razão pela qual, utilizamos as derivadas das funções para facilitar a nossa vida. 
 
 
7.1.1 Ponto Crítico de uma Função Derivável 
 
 
 
Resumidamente, se uma função f(x) tem derivada nos pontos de máximo ou de mínimo, a 
tangente à curva nesses pontos será paralela ao eixo x, isto é, a função só poderá ter valores 
extremos (máximo ou mínimo) unicamente nos pontos onde a função se anula. 
Um ponto crítico de uma função f é qualquer ponto x no domínio de f tal que f’(x) = 0 ou 
f’(x) não exista. 
 
 
 
 
 
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Para encontrar o(s) ponto(s) críticos vamos utilizar os seguintes procedimentos: 
Regra: 
1. Calcule f’(x) e f”(x). 
2. Encontre todos os pontos críticos de f nos quais f’(x) = 0. 
3. Calcule f’’(c) para cada um dos pontos críticos c: 
 a) se f”(c) < 0, então f tem um máximo relativo em c. 
 b) se f”(c) > 0, então f tem um mínimo relativo em c. 
 c) se f”(c) = 0, o teste falha; isto é, é inconclusivo. 
 
Observação: Uma função y = f(x) pode admitir num intervalo (a,b) mais do que um ponto de 
extremo relativo. O maior valor da função num intervalo é chamado de valor máximo 
absoluto. Analogamente, o menor valor é chamado de valor mínimo absoluto. 
 
 
 
 
7.2 Problemas de Otimização 
 
Dentre as aplicações mais notáveis do Cálculo estão aquelas em que se buscam valores 
máximo ou mínimo de funções. 
 
O dia a dia está cheio de tais problemas e é natural que os matemáticos e outras pessoas os 
considerem interessantes e importantes. Um homem de negócios procura maximizar lucros e 
minimizar custos. Um engenheiro ao projetar um novo automóvel deseja maximizar a eficiência. 
Um piloto de uma linha área tenta minimizar o tempo de voo e o consumo de combustível. Em 
ciência, nós, muitas vezes, achamos que a natureza age de maneira a maximizar ou minimizar 
certa quantidade. Por exemplo, um raio de luz atravessa um sistema de lentes ao longo de uma 
trajetória que minimiza o tempo total de percurso; um fio flexível suspenso assume uma forma 
que minimiza a energia potencial em virtude da gravidade. 
 
Sempre que utilizamos palavras como o maior, o menor, o máximo, o mínimo, o melhor e assim 
por diante, é razoável conjecturar que alguma espécie de problema de máximo ou mínimo esta 
por perto. Quando esse problema puder ser expresso em termos de variáveis e funções – o que 
nem sempre é possível –, os métodos do Cálculo estarão disponíveis para nos ajudar a 
compreendê-los e resolvê-los. 
 
 
 
 
 
 
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Muitos dos nossos exemplos e problemas abordam a ideias geométricas porque valores máximo 
e mínimo aparecem, muitas vezes, com vigor particular em contextos geométricos. Para estarem 
preparados para enfrentar esses problemas, os estudantes devem ter certeza de que conhecem 
as fórmulasde áreas e volumes de figuras/sólidos geométricos. 
 
Os extremos absolutos (máximo absoluto ou mínimo absoluto) de uma função são aplicados 
para resolver estes tipos de problemas. Vejamos alguns exemplos: 
 
 
EXEMPLOS: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Aula 8: 
Derivadas: Aplicações (continuação) 
 
8.1 Aplicações na Física 
 
 
Vamos interpretar a derivada do ponto de vista da cinemática, que estuda o movimento dos 
corpos. Veremos que a velocidade e a aceleração de um corpo podem ser determinadas através 
das derivadas de primeira e segunda ordem, respectivamente, quando conhecemos a função 
horária do movimento do corpo. 
 
8.1.1 Velocidade 
 
Considere um corpo que se move em linha reta e seja s = s(t) a sua função horária. Isto é, o 
espaço percorrido em função do tempo. O deslocamento do corpo no intervalo de tempo t e t + 
Δt é definido por Δs = s(t + Δt) – s(t). 
 
A velocidade média do corpo neste intervalo de tempo é definida por 
 
 
 
 
 
 
 
 
A velocidade média do corpo não dá uma informação precisa sobre a velocidade em cada 
instante do movimento no intervalo t e t + Δt. Para obtermos a velocidade instantânea do corpo 
no instante t, precisamos calcular a velocidade média em intervalos de tempo cada vez 
menores, isto é, fazendo Δt → 0. 
 
A velocidade instantânea do corpo no instante t é definida por 
 
 
 
 
 
 
Assim, 
 
 
 
 
 
 
A velocidade instantânea v(t) representa a primeira derivada da função horária s(t). 
 
 
 
 
 
 
 
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8.1.2 Aceleração 
 
De forma análoga ao conceito de velocidade vem o de aceleração: 
 
A aceleração média do corpo no intervalo de tempo t e t + Δt é definida por 
 
 
 
 
 
 
 
 
A aceleração instantânea do corpo no instante t é definida por 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, 
 
 
 
 
 
 
A aceleração instantânea a(t) representa a segunda derivada da função horária s(t). 
 
RESUMINDO... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXEMPLOS: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Aula 9: 
Derivadas: Aplicações (continuação) 
 
 
9.1 Determinação da Equação da Reta Tangente à uma Curva 
 
Na Aula 4, vimos que calcular a derivada de uma função significa determinar a inclinação da 
reta tangente a curva no ponto P0 quando x0 tende a zero, conforme ilustrada na figura a seguir: 
 
 
 
Assim, sabendo que a equação geral de uma reta no ponto P0 = (x0, y0) é dada por: 
 
 
 
 
 
Temos que a equação da reta t, tangente à curva y = f(x) no ponto P0 = (x0, y0) = (x0, f(x0)) é 
dada por: 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Aula 10: 
Derivadas: Aplicações (continuação) 
 
10.1 Regra de L’Hospital - Introdução 
 
Vamos estudar, nesta aula, outra aplicação das derivadas, que consiste num modo bastante útil 
de calcular limites de formas indeterminadas, a chamada Regra (ou Teorema) de L’Hospital*,e 
que nos permite levantar indeterminações do tipo 
0
0 e 

 estudadas na Aula 2 e 3, 
provenientes do cálculo do limite do quociente de duas funções deriváveis. 
 
10.2 Definição 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXEMPLOS: