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Algebra Linear A Simone Moraes UFBA

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Universidade Federal de Bahia
Instituto de Matema´tica - IM
Departamento de Matema´tica - DMat
Anotac¸o˜es de Aula
MAT A07 - A´lgebra Linear A
Professora: Simone Moraes
Salvador
Bahia - Brasil
Maio/2017
1
SUMA´RIO
1 Matrizes e Sistemas Lineares 4
1.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Tipos de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.2 Operac¸o˜es com Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.3 Matrizes Sime´tricas, Anti-Sime´tricas e Ortogonais . . . . . . . . . . . 17
1.1.4 Matrizes Hermitianas, Anti-Hermitianas e Unita´rias . . . . . . . . . . 21
1.2 Determinante de uma Matriz Quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.2.1 Ca´lculo de Determinante de uma Matriz Quadrada de ordem 2 . . . . 27
1.2.2 Ca´lculo de Determinante de uma Matriz Quadrada de ordem 3 . . . . 28
1.2.3 Propriedades de Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.3 Inversa de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.3.1 Matriz Adjunta e a Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.3.2 Propriedades da Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.4 Operac¸o˜es Elementares sobre as Linhas de uma Matriz . . . . . . . . . . . . 38
1.4.1 Matriz Linha Equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.4.2 Matriz na Forma Escalonada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.4.3 Matriz na Forma Escalonada Reduzida ou na Forma Escada . . . . . 40
1.4.4 Matriz Inversa atrave´s de Operac¸o˜es Elementares . . . . . . . . . . . 41
1.5 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.5.1 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.5.2 Soluc¸a˜o de um Sistema Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.5.3 Classificac¸a˜o de Sistemas de Equac¸o˜es Lineares . . . . . . . . . . . . 46
1.5.4 Sistema Linear Homogeˆneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.5.5 Sistemas Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.5.6 Operac¸o˜es Elementares sobre as Equac¸o˜es de um Sistema Linear . . . 48
1.6 Resoluc¸a˜o de Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.6.1 Me´todos de Resoluc¸a˜o de Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . 49
1.6.2 Teorema do Posto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2
SUMA´RIO 3
2 Espac¸os Vetoriais 55
2.1 Espac¸os Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.1.1 Exemplos de Espac¸os Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.2 Subespac¸os Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.3 Combinac¸a˜o Linear e Subespac¸o Gerado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.4 Soma, Soma Direta e Intersecc¸a˜o de Subespac¸os . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.5 Dependeˆncia e Independeˆncia Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.6 Base e Dimensa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.7 Coordenadas de um Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.8 Matriz Mudanc¸a de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.9 Base Ortonormal e Base Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.9.1 Produto Interno e Vetores Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.9.2 Norma e Vetores Ortonormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
2.9.3 Processo de Ortogonalizac¸a˜o de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . 112
3 Transformac¸o˜es Lineares 115
3.1 Transformac¸o˜es Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.2 Matriz de uma Transformac¸a˜o Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.3 Nu´cleo e Imagem de uma Transformac¸a˜o Linear . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.3.1 Teorema do Nu´cleo e da Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.4 Transformac¸o˜es Lineares Injetoras e Sobrejetoras . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.5 Inversa de uma Transformac¸a˜o Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.5.1 Isomorfismo e Automorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4 Diagonalizac¸a˜o de Operadores Lineares 141
4.1 Autovalor e Autovetor de um Operador Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.1.1 Autoespac¸o associado a um Autovalor . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.2 Polinoˆmio Caracter´ıstico de um Operador Linear . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.2.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.2.2 Polinoˆmio Caracter´ıstico de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.3 Diagonalizac¸a˜o de Operadores Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4.4 Operadores Auto-Adjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
4.5 Aplicac¸a˜o a` Sistemas Dinaˆmicos Discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Bibliografia 184
CAPI´TULO 1
MATRIZES E SISTEMAS
LINEARES
1.1 Matrizes
Definic¸a˜o 1.1. Uma matriz e´ uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas, em
geral esses elementos sa˜o entes matema´ticos, tais como: nu´meros, func¸o˜es, etc.
Representamos uma matriz de m linhas e n colunas, denotada por A ou por Am×n, da
seguinte maneira:
A =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 · · · amn
 ou A =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 · · · amn
 .
Observac¸o˜es:
1. Cada elemento de uma matriz A e´ tambe´m chamado uma entrada de A.
2. O elemento aij ∈ A esta´ localizado na i-e´sima linha e na j-e´sima coluna de A, por
exemplo a32 e´ o elemento da terceira linha e da segunda coluna.
3. Ale´m da notac¸a˜o acima tambe´m utilizamos:
A = [aij]m×n ou A = (aij)m×n ou A = (aij), com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n.
A tabela abaixo representa as distaˆncias entre as capitais do norte do pais indicadas (em
quilometros):
4
CAP. 1 • MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 5
Bele´m Boa Vista Macapa´ Manaus Porto Velho Rio Branco
Bele´m 0 1432 329 1292 1886 2333
Boa Vista 1432 0 1110 661 1335 1626
Macapa´ 329 1110 0 1054 1724 2159
Manaus 1292 661 1054 0 761 1149
Porto Velho 1886 1335 1724 761 0 449
Rio Branco 2333 1626 2159 1149 449 0
.
Em forma de matriz essas distaˆncias podem ser representadas por:
0 1432 329 1292 1886 2333
1432 0 1110 661 1335 1626
329 1110 0 1054 1724 2159
1292 661 1054 0 761 1149
1886 1335 1724 761 0 449
2333 1626 2159 1149 449 0

.
Ordem de uma Matriz
Uma matriz A de m linhas e n colunas e´ chamada matriz de ordem m por n e indicada
por m× n.
Exemplos:
1. A =
[
5
]
e´ uma matriz de ordem 1× 1
2. A =
 −1 0 3 134 −7 1 2
5 6 −3 0
 e´ uma matriz de ordem 3× 4.
3. A =
[
0 2 −5
−3 7 5
]
e´ uma matriz de ordem 2× 3.
4. A =

1 −1
3 7
0 2
−4 −3
 e´ uma matriz de ordem 4× 2.
SEC¸A˜O 1.1 • MATRIZES 6
Observac¸o˜es:
1. O conjunto de todas matrizes de ordem m×n com entradas nu´meros reais e´ denotado
por Mm×n(IR), ou seja,
Mm×n(IR) =
{
A = [aij]m×n; aij ∈ IR para todo i e todo j
}
.
2. Analogamente, o conjunto de todas matrizes de ordem m × n com entradas nu´meros
complexos e´ dado por
Mm×n(C) =
{
A = [aij]m×n; aij ∈ C para todo i e todo j
}
.
Matriz Quadrada
Uma matriz A com n linhas e n colunas e´ chamada matriz quadrada de ordem n.
Observac¸a˜o: Uma matriz A e´ quadrada se, e somente se, o nu´mero de linhas de A e´ igual
ao nu´mero de colunas de A.
Exemplos:
1. A =
[
3 5
−1 8
]
e´ uma matriz