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Universidade Federal de Bahia Instituto de Matema´tica - IM Departamento de Matema´tica - DMat Anotac¸o˜es de Aula MAT A07 - A´lgebra Linear A Professora: Simone Moraes Salvador Bahia - Brasil Maio/2017 1 SUMA´RIO 1 Matrizes e Sistemas Lineares 4 1.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Tipos de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.2 Operac¸o˜es com Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.3 Matrizes Sime´tricas, Anti-Sime´tricas e Ortogonais . . . . . . . . . . . 17 1.1.4 Matrizes Hermitianas, Anti-Hermitianas e Unita´rias . . . . . . . . . . 21 1.2 Determinante de uma Matriz Quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.2.1 Ca´lculo de Determinante de uma Matriz Quadrada de ordem 2 . . . . 27 1.2.2 Ca´lculo de Determinante de uma Matriz Quadrada de ordem 3 . . . . 28 1.2.3 Propriedades de Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.3 Inversa de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.3.1 Matriz Adjunta e a Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.3.2 Propriedades da Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.4 Operac¸o˜es Elementares sobre as Linhas de uma Matriz . . . . . . . . . . . . 38 1.4.1 Matriz Linha Equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.4.2 Matriz na Forma Escalonada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.4.3 Matriz na Forma Escalonada Reduzida ou na Forma Escada . . . . . 40 1.4.4 Matriz Inversa atrave´s de Operac¸o˜es Elementares . . . . . . . . . . . 41 1.5 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.5.1 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.5.2 Soluc¸a˜o de um Sistema Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1.5.3 Classificac¸a˜o de Sistemas de Equac¸o˜es Lineares . . . . . . . . . . . . 46 1.5.4 Sistema Linear Homogeˆneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 1.5.5 Sistemas Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 1.5.6 Operac¸o˜es Elementares sobre as Equac¸o˜es de um Sistema Linear . . . 48 1.6 Resoluc¸a˜o de Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 1.6.1 Me´todos de Resoluc¸a˜o de Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . 49 1.6.2 Teorema do Posto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2 SUMA´RIO 3 2 Espac¸os Vetoriais 55 2.1 Espac¸os Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.1.1 Exemplos de Espac¸os Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.2 Subespac¸os Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.3 Combinac¸a˜o Linear e Subespac¸o Gerado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.4 Soma, Soma Direta e Intersecc¸a˜o de Subespac¸os . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.5 Dependeˆncia e Independeˆncia Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2.6 Base e Dimensa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.7 Coordenadas de um Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 2.8 Matriz Mudanc¸a de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 2.9 Base Ortonormal e Base Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 2.9.1 Produto Interno e Vetores Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 2.9.2 Norma e Vetores Ortonormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 2.9.3 Processo de Ortogonalizac¸a˜o de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . 112 3 Transformac¸o˜es Lineares 115 3.1 Transformac¸o˜es Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 3.2 Matriz de uma Transformac¸a˜o Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 3.3 Nu´cleo e Imagem de uma Transformac¸a˜o Linear . . . . . . . . . . . . . . . . 125 3.3.1 Teorema do Nu´cleo e da Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 3.4 Transformac¸o˜es Lineares Injetoras e Sobrejetoras . . . . . . . . . . . . . . . . 131 3.5 Inversa de uma Transformac¸a˜o Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 3.5.1 Isomorfismo e Automorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 4 Diagonalizac¸a˜o de Operadores Lineares 141 4.1 Autovalor e Autovetor de um Operador Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 4.1.1 Autoespac¸o associado a um Autovalor . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 4.2 Polinoˆmio Caracter´ıstico de um Operador Linear . . . . . . . . . . . . . . . . 146 4.2.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 4.2.2 Polinoˆmio Caracter´ıstico de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . 148 4.3 Diagonalizac¸a˜o de Operadores Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 4.4 Operadores Auto-Adjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 4.5 Aplicac¸a˜o a` Sistemas Dinaˆmicos Discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 Bibliografia 184 CAPI´TULO 1 MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 1.1 Matrizes Definic¸a˜o 1.1. Uma matriz e´ uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas, em geral esses elementos sa˜o entes matema´ticos, tais como: nu´meros, func¸o˜es, etc. Representamos uma matriz de m linhas e n colunas, denotada por A ou por Am×n, da seguinte maneira: A = a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... . . . ... am1 am2 · · · amn ou A = a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... . . . ... am1 am2 · · · amn . Observac¸o˜es: 1. Cada elemento de uma matriz A e´ tambe´m chamado uma entrada de A. 2. O elemento aij ∈ A esta´ localizado na i-e´sima linha e na j-e´sima coluna de A, por exemplo a32 e´ o elemento da terceira linha e da segunda coluna. 3. Ale´m da notac¸a˜o acima tambe´m utilizamos: A = [aij]m×n ou A = (aij)m×n ou A = (aij), com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n. A tabela abaixo representa as distaˆncias entre as capitais do norte do pais indicadas (em quilometros): 4 CAP. 1 • MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 5 Bele´m Boa Vista Macapa´ Manaus Porto Velho Rio Branco Bele´m 0 1432 329 1292 1886 2333 Boa Vista 1432 0 1110 661 1335 1626 Macapa´ 329 1110 0 1054 1724 2159 Manaus 1292 661 1054 0 761 1149 Porto Velho 1886 1335 1724 761 0 449 Rio Branco 2333 1626 2159 1149 449 0 . Em forma de matriz essas distaˆncias podem ser representadas por: 0 1432 329 1292 1886 2333 1432 0 1110 661 1335 1626 329 1110 0 1054 1724 2159 1292 661 1054 0 761 1149 1886 1335 1724 761 0 449 2333 1626 2159 1149 449 0 . Ordem de uma Matriz Uma matriz A de m linhas e n colunas e´ chamada matriz de ordem m por n e indicada por m× n. Exemplos: 1. A = [ 5 ] e´ uma matriz de ordem 1× 1 2. A = −1 0 3 134 −7 1 2 5 6 −3 0 e´ uma matriz de ordem 3× 4. 3. A = [ 0 2 −5 −3 7 5 ] e´ uma matriz de ordem 2× 3. 4. A = 1 −1 3 7 0 2 −4 −3 e´ uma matriz de ordem 4× 2. SEC¸A˜O 1.1 • MATRIZES 6 Observac¸o˜es: 1. O conjunto de todas matrizes de ordem m×n com entradas nu´meros reais e´ denotado por Mm×n(IR), ou seja, Mm×n(IR) = { A = [aij]m×n; aij ∈ IR para todo i e todo j } . 2. Analogamente, o conjunto de todas matrizes de ordem m × n com entradas nu´meros complexos e´ dado por Mm×n(C) = { A = [aij]m×n; aij ∈ C para todo i e todo j } . Matriz Quadrada Uma matriz A com n linhas e n colunas e´ chamada matriz quadrada de ordem n. Observac¸a˜o: Uma matriz A e´ quadrada se, e somente se, o nu´mero de linhas de A e´ igual ao nu´mero de colunas de A. Exemplos: 1. A = [ 3 5 −1 8 ] e´ uma matrizquadrada de ordem 2. 2. A = 0 −2 51 2 1 −4 10 −9 7 e´ uma matriz quadrada de ordem 3. 3. A = 2 1 −1 1 −3 3 1 −1 0 1 4 0 1 −1 2 3 e´ uma matriz quadrada de ordem 4. Observac¸o˜es: 1. O conjunto de todas matrizes quadradas de ordem com entradas nu´meros reais e´ de- notado por Mn(IR). Assim, Mn(IR) = { A = [aij]n×n; aij ∈ IR com 1 ≤ i, j ≤ n } . 2. Analogamente, Mn(C) = { A = [aij]n×n; aij ∈ C com 1 ≤ i, j ≤ n } . CAP. 1 • MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 7 Matriz Linha e Matriz Coluna Uma matriz que tem uma u´nica linha e´ chamada matriz linha, enquanto que uma matriz que tem uma u´nica coluna e´ chamada matriz coluna. Exemplos: 1. A = [ 6 −5 11 4 3 ] e B = [ −3 5 −1 8 9 ] sa˜o matrizes linha. 2. A = 5 −1 8 −4 e B = 1−1 2 sa˜o matrizes coluna. Matriz Definida por uma Fo´rmula Uma matriz pode ser definida em termos de uma fo´rmula envolvendo seus ı´ndices, neste caso a ordem da matriz deve ser dada. Exemplos: 1. Determine a matriz A = [aij] quadrada de ordem 4 tal que: aij = { 0, se i 6= j 1, se i = j. Neste caso, temos: A = a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 . 2. A matriz A de ordem 3× 4 dada pela fo´rmula aij = { 3i− j2, se i > j − 1 i+ 3j, se i ≤ j − 1 e´ a matriz: A = 2 7 10 135 2 11 14 8 5 0 15 . Igualdade de Matrizes Duas matrizes A = [aij] e B = [bij] sa˜o iguais se, e somente se, (i) A e B teˆm a mesma ordem. (ii) aij = bij para todo i e para todo j. SEC¸A˜O 1.1 • MATRIZES 8 Exemplo: Sejam as matrizes A = [ 1 −1 2 3 4 7 ] e B = [ a −1 b a+ b b2 7 ] , ambas de ordem 2× 3. As matrizes A e B sa˜o iguais se, e somente se, a = 1 b = 2 a+ b = 3 b2 = 4 ⇐⇒ { a = 1 b = 2 . 1.1.1 Tipos de Matrizes Matriz Nula Uma matriz nula e´ uma matriz em que todas as entradas e´ o nu´mero zero. A matriz nula de ordem m× n e´ indicada por 0m×n. Exemplo: A matriz nula de ordem 4× 2 e´ a seguinte: 04×2 = 0 0 0 0 0 0 0 0 . Dentre as matrizes quadradas temos alguns tipos especiais que descreveremos a con- tinuac¸a˜o. Antes pore´m vamos definir diagonal principal e diagonal secunda´ria de uma matriz quadrada. Definic¸a˜o 1.2. Seja A uma matriz quadrada de ordem n, A = a11 a12 · · · a1(n−1) a1n a21 a22 · · · a2(n−1) a2n ... ... . . . ... ... a(n−1)1 a(n−1)2 · · · a(n−1)(n−1) a(n−1)n an1 an2 · · · an(n−1) ann , os elementos aij com i = j constituem a diagonal principal de A. Enquanto que os elementos aij com i+ j = n+ 1 constituem a diagonal secunda´ria de A. Observac¸a˜o: Pela definic¸a˜o acima a diagonal principal de uma matriz quadrada A e´ cons- titu´ıda pelos elementos a11, a22, · · · , ann, e a diagonal secunda´ria de A e´ constitu´ıda pelos elementos a1n, a2(n−1), · · · , a(n−1)2, an1. Na matriz A a seguir: A = a11 a12 · · · a1(n−1) a1n a21 a22 · · · a2(n−1) a2n ... ... . . . ... ... a(n−1)1 a(n−1)2 · · · a(n−1)(n−1) a(n−1)n an1 an2 · · · an(n−1) ann CAP. 1 • MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 9 os elementos em azul constituem a diagonal principal, enquanto que os em vermelho consti- tuem a diagonal secunda´ria. Matriz Diagonal Uma matriz A = [aij] quadrada de ordem n e´ chamada matriz diagonal se, e somente se, os elementos aij = 0 sempre que i 6= j, ou seja, A = a11 0 0 · · · 0 0 a22 0 · · · 0 0 0 a33 · · · 0 ... ... ... . . . ... 0 0 0 · · · ann . Observac¸a˜o: Uma matriz quadrada A e´ diagonal se, e somente se, os elementos externos a` diagonal principal sa˜o todos iguais a zero. Exemplo: A = 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 5 e´ uma matriz diagonal. Matriz Escalar Uma matriz diagonal de ordem n e´ chamada matriz escalar se, e somente se, os elementos da diagonal principal sa˜o todos iguais. Exemplo: As matrizes abaixo sa˜o matrizes escalares: A = [ 3 0 0 3 ] , B = −2 0 00 −2 0 0 0 −2 e C = 7 0 0 0 0 7 0 0 0 0 7 0 0 0 0 7 . Matriz Identidade A matriz identidade de ordem n, indicada por In, e´ a matriz diagonal de ordem n em que os elementos da diagonal principal sa˜o todos iguais a 1. 1. I2 = [ 1 0 0 1 ] e´ uma matriz identidade de ordem 2. 2. I3 = 1 0 00 1 0 0 0 1 e´ uma matriz identidade de ordem 3. SEC¸A˜O 1.1 • MATRIZES 10 3. I4 = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 e´ uma matriz identidade de ordem 4. Matriz Triangular Superior Uma matriz A = [aij] quadrada de ordem n e´ chamada matriz triangular superior se, e somente se, aij = 0 sempre que para i > j, ou seja, A = a11 a12 a13 · · · a1n 0 a22 a23 · · · a2n 0 0 a33 · · · a3n ... ... ... . . . ... 0 0 0 · · · ann . Observac¸a˜o: Uma matriz quadrada A e´ triangular superior se, e somente se, os elementos abaixo da diagonal principal sa˜o todos iguais a zero. Exemplo: A = 1 −5 0 7 0 4 2 −1 0 0 0 3 0 0 0 −2 e´ uma matriz triangular superior. Matriz Triangular Inferior Uma matriz A = [aij] quadrada de ordem n e´ chamada matriz triangular inferior se, e somente se, aij = 0 sempre que para i < j, ou seja, A = a11 0 0 · · · 0 a21 a22 0 · · · 0 a31 a32 a33 · · · 0 ... ... ... . . . ... an1 an2 an3 · · · ann . Observac¸a˜o: Uma matriz quadrada A e´ triangular inferior se, e somente se, os elementos acima da diagonal principal sa˜o todos iguais a zero. Exemplo: A = 8 0 0−1 3 0 5 −2 1 e´ uma matriz triangular inferior. CAP. 1 • MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 11 1.1.2 Operac¸o˜es com Matrizes No que segue consideraremos IF = IR ou IF = C. Adic¸a˜o de Matrizes Definic¸a˜o 1.3. Sejam A e B matrizes emMm×n(IF ), a soma de A e B, denotada por A+B, e´ a matriz em Mm×n(IF ) cujos elementos sa˜o as somas dos elementos correspondentes de A e B, ou seja, se A = a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... . . . ... am1 am2 · · · amn e B = b11 b12 · · · b1n b21 b22 · · · b2n ... ... . . . ... bm1 bm2 · · · bmn , enta˜o A+B = a11 + b11 a12 + b12 · · · a1n + b1n a21 + b21 a22 + b22 · · · a2n + b2n ... ... . . . ... anm1 + bm1 am2 + bm2 · · · amn + bmn . Exemplo: Sejam A = [ −3 8 5 2 4 −5 9 −7 ] 2×4 e B = [ 1 −3 11 −8 2 9 −1 7 ] 2×4 , enta˜o A+B = [ −3 + 1 8 + (−3) 5 + 11 2 + (−8) 4 + 2 −5 + 9 9 + (−1) −7 + 7 ] = [ −2 5 16 −6 6 4 8 0 ] . Propriedades da Adic¸a˜o Sejam A, B e C matrizes em Mm×n(IF ) e 0m×n a matriz nula de ordem m× n, valem: A1) A+B = B + A, propriedade comutativa. A2) (A+B) + C = A+ (B + C), propriedade associativa. A3) A+Om×n = A, propriedade existeˆncia de elemento neutro. Essas propriedades seguem diretamente da propriedades da adic¸a˜o de nu´meros e da igual- dade de matrizes. Multiplicac¸a˜o de uma Matriz por um Escalar Definic¸a˜o 1.4. Sejam A uma matriz em Mm×n(IF ) e κ um nu´mero em IF , a multiplicac¸a˜o de A pelo escalar κ, denotado por κ · A, e´ a matriz em Mm×n(IF ) cujos elementos sa˜o os produtos de κ pelos elementos correspondentes de A, ou seja, se A = a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... . . . ... am1 am2 · · · amn , enta˜o κ · A = κ · a11 κ · a12 · · · κ · a1n κ · a21 κ · a22 · · · κ · a2n ... ... . . . ... κ · am1 κ · am2 · · · κ · amn . SEC¸A˜O 1.1 • MATRIZES 12 Exemplo: Sejam A = 5 8 −4 0 −7 10 −6 3 2 9 5 4 4×3 e κ = 4, enta˜o κ · A = 4A = 4× 5 4× 8 4× (−4) 4× 0 4× (−7) 4× 10 4× (−6) 4× 3 4× 2 4× 9 4× 5 4× 4 = 20 32 −16 0 −28 40 −24 12 8 36 20 16 . Propriedades da Multiplicac¸a˜o por Escalar Sejam A e B matrizes em Mm×n(IF ) e κ e λ nu´meros em IF , valem: ME1) κ · (A+B) = κ · A+ κ ·B. ME2) (κ+ λ) · A = κ · A+ λ · A. ME3) 0︸︷︷︸ nu´mero ·A = Om×n. ME4) 1 · A = A. ME5) (κ · λ) · A = κ · (λ · A). Essas propriedades seguem diretamente da propriedades da multiplicac¸a˜o em IF e da igualdade de matrizes. Observac¸a˜o: Dada uma matriz A em Mm×n(IF ), a matriz −1 ·A, indicada por −A e´ chamada matriz oposta de A, logo −A = [cij]m×n, tal que cij = −aij. A matriz −A e´ o elemento sime´trico de A em relac¸a˜o a` operac¸a˜o adic¸a˜o. De fato, A+ (−A) = [bij]m×n, com bij = aij + (−aij) = 0. Portanto, A+ (−A) = 0m×n e´ a matriz nula de ordem m× n. Multiplicac¸a˜o de Matrizes Definic¸a˜o 1.5. Sejam A = [aij] e B = [bij] matrizes em Mm×k(IF ) e em Mk×n(IF ), respec- tivamente, a multiplicac¸a˜o de A por B, denotada por A ·B, e´ a matriz em Mm×n(IF ): A ·B = [cij], cujos elementos sa˜o da forma cij = ai1b1j+ai2b2j+ · · ·+aikbkj = k∑ p=1 aipbpj. CAP. 1 • MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 13 Observac¸o˜es: 1. De acordo com a definic¸a˜o acima temos, por exemplo: c11 = a11b11 + a12b21 + · · ·+ a1kbk1 e c12 = a11b12 + a12b22 + · · ·+ a1kbk2. 2. A equac¸a˜o que define os elementos de A · B nos diz que o elemento cij desta matriz, localizado na i-e´sima linha e j-e´sima coluna, e´ obtido atrave´s da soma de todos os produtos de cada elemento da i-e´sima linha de A pelo elemento correspondente da j-e´sima coluna de B, ou seja, se A = a11 a12 · · · a1k a21 a22 · · · a2k ... ... ... ... ai1 ai2 · · · aik ... ... ... ... am1 am2 · · · amk m×k e B = b11 b12 · · · b1j · · · b1n b21 b22 · · · b2j · · · b2n ... ... ... ... ... ... bk1 bk2 · · · bkj · · · bkn k×n , enta˜o i-e´sima linha → j-e´sima coluna ↓ c11 c21 ... ci1 ... cm1 c12 c22 ... ci2 ... cm2 · · · · · · ... · · · · · · ... c1j c2j ... cij ... cmj · · · · · · ... · · · · · · ... c1n c2n ... cin ... cmn m×n = A·B, com cij = ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ aikbkj = k∑ p=1 aipbpj. Exemplo: Sejam as matrizes A = −1 7 −5 2 −3 8 5 1 3 0 2 9 4×3 e B = 3 6−5 4 1 2 3×2 , enta˜o o produto de A por B e´ a matriz A·B = (−1)× 3 + 7× (−5) + (−5)× 1 (−1)× 6 + 7× 4 + (−5)× 2 2× 3 + (−3)× (−5) + 8× 1 2× 6 + (−3)× 4 + 8× 2 5× 3 + 1× (−5) + 3× 1 5× 6 + 1× 4 + 3× 2 0× 3 + 2× (−5) + 9× 1 0× 6 + 2× 4 + 9× 2 = −43 12 29 16 13 40 −1 26 4×2 . SEC¸A˜O 1.1 • MATRIZES 14 Observac¸a˜o: Sejam A e B matrizes, o produto A ·B esta´ definido apenas quando o nu´mero de colunas A e´ igual ao nu´mero de linhas de B. Logo, se A ·B esta´ definida nem sempre ocorrera´ o mesmo para B ·A, e mesmo quando A ·B e B · A estiverem definidas podemos ter A ·B 6= B · A. Exemplos: 1. Sejam A = [ −1 5 2 7 0 4 ] 2×3 e B = 1−3 6 3×1 , enta˜o A · B = [ −4 31 ] 2×1 , note que na˜o esta´ definida B · A, pois: nu´mero de colunas de B = 1 6= nu´mero de linhas de A = 2. 2. Sejam A = [ 3 0 1 −2 4 7 ] 2×3 e B = 4 −15 2 −6 3 3×2 , enta˜o A ·B = [ 6 0 −30 31 ] 2×2 . No entanto, B ·A = 14 −4 −311 8 19 −24 12 15 3×3 , ou seja, A ·B e B ·A teˆm ordens diferentes, logo sa˜o diferentes. 3. Sejam A = [ 4 0 6 −3 ] 2×2 e B = [ 5 7 3 −4 ] 2×2 , enta˜o A ·B = [ 20 28 21 54 ] 2×2 e B · A = [ 62 −2 −12 12 ] 2×2 , neste caso A ·B e B · A teˆm a mesma ordem, mas sa˜o diferentes. Propriedades da Multiplicac¸a˜o M1) Se A e´ uma matriz em Mm×n(IF ), enta˜o: (a) A · In = Im · A = A. (b) A · 0n×l = 0m×l e 0l×m · A = 0l×n. M2) Sejam A ∈Mm×p(IF ), B ∈Mp×k(IF ) e C ∈Mk×n(IF ) matrizes, enta˜o:( Am×p ·Bp×k ) m×k · Ck×n = Am×p · ( Bp×k · Ck×n ) p×n, propriedade associativa. M3) (a) Sejam A em Mm×k(IF ), B e C em Mk×n(IF ), enta˜o: A · (B + C) = A ·B + A · C. CAP. 1 • MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 15 (b) Sejam A e Bm×k em Mm×k(IF ) e C em Mk×n(IF ), temos: (A+B) · C = A · C +B · C, propriedade distributiva. M4) Sejam A em Mm×kn(IF ) e B em Mk×n(IF ) e κ um nu´mero em IF , enta˜o: κ · (A ·B) = (κ · A) ·B = A · (κ ·B). Essas propriedades seguem diretamente da propriedades da multiplicac¸a˜o de nu´meros e da igualdade de matrizes. Observac¸o˜es: 1. Dada uma matriz quadrada A em Mn(IF ) a k-e´sima poteˆncia de A, com k ∈ IN∗, denotada por Ak, e´ o produto de A por A k-vezes, ou seja Ak = A · A · · · · · A︸ ︷︷ ︸ k vezes . 2. Se E e´ uma matriz escalar e A matriz quadrada, ambos em Mn(IF ), enta˜o E · A = A · E. De fato, seja E a matriz escalar em Mn(IF ) cujos elementos da diagonal principal sa˜o todos iguais a d ∈ IF e A = [aij], enta˜o E · A = [bij], com bij = d× aij e = A · E = [cij], com cij = aij × d. Transposta de uma Matriz A transposta de uma matriz A = [aij] em Mm×n(IF ), denotada por AT , e´ a matriz cujas respectivas linhas sa˜o as respectivas colunas de A, ou seja, AT = [bij] tal que bij = aji. E´ claro que a ordem de AT e´ n×m. Observac¸a˜o: SeA = a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... . . . ... am1 am2 · · · amn m×n , enta˜o AT = a11 a21 · · · am1 a12 a22 · · · am2 ... ... . . . ... a1n a2n · · · amn n×m . SEC¸A˜O 1.1 • MATRIZES 16 Propriedades da Transposta Segue diretamente da definic¸a˜o de transposta que se A e B sa˜o matrizes em Mm×n(IF ), C e´ uma matriz em Mn×k(IF ) e κ um nu´mero em IF , enta˜o valem as seguintes propriedades: T1) (A T )T = A. T2) (A+B) T = AT +BT . T3) (κ · A)T = κ · AT . T4) (( Am×n · Cn×k )T) k×m = ( (CT )k×n · (AT )n×m ) k×m . Trac¸o de uma Matriz Seja A uma matriz quadrada em Mn(IF ) o trac¸o de A, denotado por tr(A), e´ o nu´mero dado pela soma dos elementos da diagonal principal de A. Assim, se A = [aij]n×n, enta˜o tr(A) = a11 + a22 + · · · + ann. Propriedades do Trac¸o Segue diretamente da definic¸a˜o de trac¸o de uma matriz quadrada, que dadas A e B matrizes quadradas em Mn(IF ) e κ um nu´mero em IF valem: TR1) tr(A) = tr(A T ). De fato, uma matriz quadrada e sua transposta teˆm a mesma diagonal principal. TR2) tr(A+B) = tr(A) + tr(B). De fato, a diagonal principal da soma de duas matrizes quadradas e´ a soma das dia- gonais principais de cada uma das matrizes. TR3) tr(κ · A) = κ · tr(A). De fato, a diagonal principal da matriz κ · A e´ a soma dos elementos da diagonal principal de A previamente multiplicados por κ. TR4) tr(A ·B) = tr(A ·B). De fato, sejam A = [aij] ∈Mm×n(IF ) e B = [bij]inMn×m(IF ), enta˜o: A ·B = [cij] ∈Mm(IF ), com cij = n∑ k=1 aikbkj, para 1 ≤ i, j ≤ m; B · A = [dij] ∈Mn(IF ), com dij = m∑ k=1 bikakj, para 1 ≤ i, j ≤ n. CAP. 1 • MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 17 Logo, tr(A ·B) = c11 + c22 + · · ·+ cmm = a11b11 + a12b21 + · · ·+ a1nbn1 + a21b12 + a22b22 + · · ·+ a2nbn2 + · · ·+ am1b1m + am2b2m + · · ·+ amnbnm = b11a11 + b12a21 + · · ·+ b1mam1 + b21a12 + b22a22 + · · ·+ b2mam2 + · · ·+ bn1a1n + bn2a2n + · · ·+ bnmamn = d11 + d22 + · · ·+ dnn = tr(B · A). 1.1.3 Matrizes Sime´tricas, Anti-Sime´tricas e Ortogonais Matriz Sime´trica Uma matriz quadrada A em Mn(IR) e´ sime´trica se, e somente se, para todo i e para todo j os elementos aij e aji coincidem, ou seja, aij = aji. Observac¸a˜o: Uma matriz A = [aij] em Mn(IR) e´ sime´trica, se e somente se, A = a11 a12 a13 · · · a1na12 a22 a23 · · · a2n a13 a23 a33 · · · a3n ... ... ... . . . ... a1n a2n a3n · · · ann , ou seja, se e somente A coincide com sua transposta. Logo, A ∈Mn(IR) e´ sime´trica se, e somente se, A = AT . Exemplo: A = 3 −2 7 1 −2 5 3 0 7 3 −4 1 1 0 1 −6 e´ uma matriz sime´trica, pois AT = 3 −2 7 1 −2 5 3 0 7 3 −4 1 1 0 1 −6 = A. Matriz Anti-Sime´trica Uma matriz quadrada A em Mn(IR) e´ anti-sime´trica se, e somente se, para todo i e para todo j os elementos aij e aji sa˜o opostos, ou seja, aij = −aji. SEC¸A˜O 1.1 • MATRIZES 18 Observac¸o˜es: 1. Uma matriz A = [aij] ∈Mn(IR) e´ anti-sime´trica, se e somente se, A = 0 a12 a13 · · · a1n −a12 0 a23 · · · a2n −a13 −a23 0 · · · a3n ... ... ... . . . ... −a1n −a2n −a3n · · · 0 , ou seja, se e somente A coincide com a oposta de sua transposta. Logo, A ∈Mn(IR) e´ anti-sime´trica se, e somente se, A = −AT . 2. A diagonal de uma matriz anti-sime´trica e´ nula, pois os elementos devem satisfazer aii = −aii ⇐⇒ aii = 0. Exemplo: A = 0 4 5 −9 −4 0 −7 11 −5 7 0 4 9 −11 −4 0 e´ uma matriz anti-sime´trica, pois −AT = − 0 −4 −5 9 4 0 7 −11 5 −7 0 −4 −9 11 4 0 = 0 4 5 −9 −4 0 −7 11 −5 7 0 4 9 −11 −4 0 = A. Proposic¸a˜o 1.6. Se A e´ uma matriz em Mn(IR), enta˜o: (i) A matriz 1 2 (A+ AT ) e´ sime´trica. (ii) A matriz 1 2 (A− AT ) e´ anti-sime´trica. (iii) Toda matriz quadrada real e´ a soma de uma matriz sime´trica com uma matriz anti- sime´trica. Demonstrac¸a˜o: Seja A uma matriz quadrada real enta˜o temos: (i) ( 1 2 (A+ AT ) )T = 1 2 ( AT + (AT )T ) = 1 2 (A+ AT ), portanto 1 2 (A+ AT ) e´ sime´trica. (ii) ( 1 2 (A−AT ) )T = 1 2 ( AT − (AT )T ) = 1 2 ( AT −A ) = −1 2 (A−AT ), portanto 1 2 (A−AT ) e´ anti-sime´trica. (iii) A = 1 2 ( A+ A+ AT − AT ) = 1 2 (A+ AT )︸ ︷︷ ︸ sime´trica + 1 2 (A− AT )︸ ︷︷ ︸ anti-sime´trica . CAP. 1 • MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 19 Matriz Normal Real Uma matriz quadrada A em Mn(IR) e´ normal se, e somente se, A · AT = AT · A, ou seja, se e somente se, o produto de A por sua transposta AT e´ comutativo. Exemplo: A = 3 1 −5−1 3 −2 5 2 3 e´ uma matriz real normal, pois A · AT = 3 1 −5−1 3 −2 5 2 3 · 3 −1 51 3 2 −5 −2 3 = 35 10 210 14 −5 2 −5 38 = 3 −1 51 3 2 −5 −2 3 · 3 1 −5−1 3 −2 5 2 3 = AT · A. Observac¸o˜es: 1. Toda matriz sime´trica e´ matriz normal, pois A · AT A=AT= A · A A=AT= AT · A. 2. Toda matriz anti-sime´trica e´ matriz normal, pois A · AT AT=−A= A · (−A) A=−AT= (−AT ) · (−A) = AT · A. 3. Se A e´ matriz quadrada em Mn(IR) que e´ a soma de uma matriz anti-sime´trica e uma matriz escalar, enta˜o A e´ matriz normal. De fato, suponhamos que A = E + S, com E matriz escalar e S matriz anti-sime´trica, enta˜o: A · AT = (E + S) · (E + S)T = (E + S) · (ET + ST ) ET=E, ST=−S= (E + S) · (E − S) = E2 + S · E − E · S − S2 ES=SE= E2 − S2. Analogamente, AT · A = E2 − S2. Portanto, A e´ normal. SEC¸A˜O 1.1 • MATRIZES 20 Matriz Ortogonal Uma matriz quadrada A em Mn(IR) e´ ortogonal se, e somente se, A · AT = In. Exemplos: Mostre que as matrizes abaixo sa˜o ortogonais: 1. A = [ cos θ −sen θ sen θ cos θ ] com θ ∈ [0, 2pi); 2. A = 1√ 2 1√ 6 − 1√ 3 0 2√ 6 1√ 3 1√ 2 − 1√ 6 1√ 3 ; 3. A = 1 2 −1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 −1 2 −1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 −1 2 1 2 . Soluc¸a˜o: 1. A · AT = [ cos θ −sen θ sen θ cos θ ] · [ cos θ sen θ −sen θ cos θ ] = [ cos2 θ + sen2θ cos θ sen θ − sen θ cos θ cos θ sen θ − sen θ cos θ sen2θ + cos2 θ ] = [ 1 0 0 1 ] . Portanto, A e´ ortogonal. 2. A · AT = 1√ 2 1√ 6 − 1√ 3 0 2√ 6 1√ 3 1√ 2 − 1√ 6 1√ 3 · 1√ 2 0 1√ 2 1√ 6 2√ 6 − 1√ 6 1√ 3 1√ 3 1√ 3 = 12 + 16 + 13 26 − 13 12 − 162 6 − 1 3 4 6 + 1 3 −2 6 + 1 3 1 2 − 1 6 − 1 3 −2 6 + 1 3 1 2 + 1 6 + 1 3 = 1 0 00 1 0 0 0 1 . Portanto, A e´ ortogonal. 3. A · AT = 1 2 −1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 −1 2 −1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 −1 2 1 2 · 1 2 1 2 −1 2 1 2 −1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 −1 2 1 2 −1 2 1 2 1 2 = 1 4 + 1 4 + 1 4 + 1 4 1 4 + 1 4 − 1 4 − 1 4 −1 4 − 1 4 + 1 4 + 1 4 1 4 − 1 4 − 1 4 + 1 4 1 4 − 1 4 + 1 4 − 1 4 1 4 + 1 4 + 1 4 + 1 4 −1 4 + 1 4 + 1 4 − 1 4 1 4 + 1 4 − 1 4 − 1 4 −1 4 − 1 4 + 1 4 + 1 4 1 4 + 1 4 − 1 4 − 1 4 1 4 + 1 4 + 1 4 + 1 4 −1 4 + 1 4 − 1 4 + 1 4 1 4 − 1 4 − 1 4 + 1 4 1 4 + 1 4 − 1 4 − 1 4 −1 4 + 1 4 − 1 4 + 1 4 1 4 + 1 4 + 1 4 + 1 4 = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 . Portanto, A e´ ortogonal. CAP. 1 • MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 21 Proposic¸a˜o 1.7. Se A ∈M2(IR) e´ uma matriz ortogonal, enta˜o: A = [ cos θ sen θ sen θ − cos θ ] ou A = [ cos θ −sen θ sen θ cos θ ] para algum θ ∈ [0, 2pi). Demonstrac¸a˜o: Se A = [ a b c d ] ∈M2(IR) e´ uma matriz ortogonal, enta˜o A · AT = I2 ⇐⇒ [ a b c d ] · [ a c b d ] = [ 1 0 0 1 ] ⇐⇒ [ a2 + b2 ac+ bd ac+ bd c2 + d2 ] = [ 1 0 0 1 ] ⇐⇒ a2 + b2 = 1 c2 + d2 = 1 ac+ bd = 0 . Como a2 + b2 = 1 existe θ ∈ [0, 2pi) tal que a = cos θ e b = sen θ, da mesma maneira como c2 + d2 = 1 existe φ ∈ [0, 2pi) tal que c = cosφ e d = sen φ. Assim, a equac¸a˜o ac+ bd = 0 pode ser escrita como cos θ cosφ + sen θ sen φ = 0⇐⇒ cos(φ− θ) = 0 ⇐⇒ φ− θ = pi 2 + kpi, com k ∈ ZZ ⇐⇒ φ = θ + pi 2 + kpi, com k ∈ ZZ. Logo, cosφ = cos ( θ + ( pi 2 + kpi )) = ∓sen θ sen φ = sen ( θ + ( pi 2 + kpi )) = ± cos θ. Portanto, A = [ cos θ sen θ sen θ − cos θ ] ou A = [ cos θ −sen θ sen θ cos θ ] para algum θ ∈ [0, 2pi). 1.1.4 Matrizes Hermitianas, Anti-Hermitianas e Unita´rias Conjugada Transposta de uma Matriz Complexa Seja A = [aij] uma matriz em Mm×n(C), a matriz conjugada de A, indicada por A = [aij] e´ matriz cujos elementos sa˜o os respectivos conjugados dos elementos de A. A conjugada transposta de uma matriz complexa A = [aij] ∈Mm×n(C), denotada por A∗, e´ a matriz cujas respectivas linhas sa˜o as respectivas colunas de A, ou seja, A∗ = [bij] tal que bij = aji. E´ claro que a ordem de A∗ esta´ em Mn×m(C). SEC¸A˜O 1.1 • MATRIZES 22 Observac¸a˜o: SeA = a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... . . . ... am1 am2 · · · amn m×n , enta˜o A∗ = a11 a21 · · · am1 a12 a22 · · · am2 ... ... . . . ... a1n a2n · · · amn n×m . Propriedades da Conjugada Transposta Segue diretamente da definic¸a˜o de transposta que para A e B matrizes em Mm×n(C), C matriz em Mn×k(C) e κ um nu´mero complexo valem as seguintes propriedades: CT1) (A ∗)∗ = A. CT2) (A+B) ∗ = A∗ +B∗. CT3) (κ · A)∗ = κ · A∗. CT4) (A · C)∗ = C∗ · A∗. Matriz Hermitiana Uma matriz quadrada A em Mn(C) e´ hermitiana se, e somente se, para todo i e para todo j o elemento aij e o conjugado de aji coincidem, ou seja, aij = aji. Portanto, A e´ hermitiana, se e somente se, A = A∗. Observac¸o˜es:1. Uma matriz A = [aij] quadrada em Mn(C) e´ hermitiana, se e somente se, A = a11 a12 a13 · · · a1n a12 a22 a23 · · · a2n a13 a23 a33 · · · a3n ... ... ... . . . ... a1n a2n a3n · · · ann , ou seja, se e somente se, A coincide com sua conjugada transposta, ou seja, A = A T , com A a matriz conjugada de A. 2. A diagonal de uma matriz hermitiana A = [aij] e´ constitu´ıda apenas por nu´meros reais. De fato, pois os elementos akk de A devem satisfazer: akk = akk ⇐⇒ ak+bki = ak + bki⇐⇒ ak+bki = ak−bki⇐⇒ { ak = ak bk = −bk ⇐⇒ bk = 0. CAP. 1 • MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 23 Exemplo: A = 3 1− 2i i1 + 2i 5 2− i −i 2 + i −6 e´ uma matriz hermitiana, pois A∗ = A T = 3 1− 2i i1 + 2i 5 2− i −i 2 + i −6 T = 3 1 + 2i −i1− 2i 5 2 + i i 2− i −6 T = 3 1− 2i i1 + 2i 5 2− i −i 2 + i −6 = A. Matriz Anti-Hermitiana Uma matriz quadrada A em Mn(C) e´ anti-hermitiana se, e somente se, para todo i e para todo j os elementos aij e aji sa˜o opostos, ou seja, aij = −aji. Portanto, A e´ anti-hermitiana, se e somente se, A = −A∗. Observac¸o˜es: 1. Uma matriz A = [aij] quadrada em Mn(C) e´ anti-hermitiana, se e somente se, A = 0 a12 a13 · · · a1n −a12 0 a23 · · · a2n −a13 −a23 0 · · · a3n ... ... ... . . . ... −a1n −a2n −a3n · · · 0 , ou seja, se e somente se, A coincide com a oposta de sua conjugada transposta, ou seja, A = −AT . 2. A diagonal de uma matriz anti-hermitiana A+[aij e´ constitu´ıda por imagina´rios puros. De fato, os elementos akk da diagonal principal devem satisfazer: akk = −akk ⇐⇒ ak + bki = −(ak + bki)⇐⇒ ak + bki = −(ak − bki)⇐⇒ ak + bki = −ak + bki⇐⇒ { ak = −ak bk = bk ⇐⇒ ak = 0. SEC¸A˜O 1.1 • MATRIZES 24 Exemplo: A = 2i 2− 3i 3 + i−2− 3i −i −1 + 4i −3 + i 1 + 4i 5i e´ uma matriz anti-hermitiana, pois A∗ = A T = 2i 2− 3i 3 + i−2− 3i −i −1 + 4i −3 + i 1 + 4i 5i T = −2i 2 + 3i 3− i−2 + 3i i −1− 4i −3− i 1− 4i −5i T = −2i −2 + 3i −3− i2 + 3i i 1− 4i 3− i −1− 4i −5i = − 2i 2− 3i 3 + i−2− 3i −i −1 + 4i −3 + i 1 + 4i 5i = −A. Proposic¸a˜o 1.8. Se A e´ uma matriz em Mn(C), enta˜o: (i) A matriz 1 2 (A+ A∗) e´ hermitiana. (ii) A matriz 1 2 (A− A∗) e´ anti-hermitiana. (iii) Toda matriz quadrada complexa e´ a soma de uma matriz hermitiana com uma matriz anti-hermitiana. Demonstrac¸a˜o: Seja A uma matriz quadrada complexa enta˜o temos: (i) ( 1 2 ( A+ A∗ ))∗ = 1 2 ( A∗ + (A∗)∗ ) = 1 2 ( A∗ + A ) . Logo, 1 2 (A+ A∗) e´ hermitiana. (ii) ( 1 2 ( A− A∗))∗ = 1 2 ( A∗ − (A∗)∗ ) = 1 2 ( A∗ − A ) = −1 2 ( A− A∗). Logo, ( A− A∗) e´ anti-hermitiana. (iii) A = 1 2 ( A+ A+ A∗ − A∗ ) = 1 2 (A+ A∗)︸ ︷︷ ︸ hermitiana + 1 2 (A− A∗)︸ ︷︷ ︸ anti-hermitiana . Matriz Normal Complexa Uma matriz A quadrada em Mn(C) e´ normal se, e somente se, A · A∗ = A∗ · A, ou seja, se e somente se, o produto de A por sua conjugada transposta A∗ e´ comutativo. CAP. 1 • MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 25 Observac¸o˜es: 1. Toda matriz hermitiana e´ matriz normal, pois A · A∗ A=A∗= A · A A=A∗= A∗ · A. 2. Toda matriz anti-hermitiana e´ matriz normal, pois A · A∗ A∗=−A= A · (−A) A=−A∗= (−A∗) · (−A) = A∗ · A. 3. Se A e´ matriz quadrada em Mn(C) que e´ a soma de uma matriz anti-hermitiana e uma matriz escalar real, enta˜o A e´ matriz normal. De fato, suponhamos que A = E+H, com E matriz escalar eH matriz anti-hermitiana, enta˜o: A · AT = (E +H) · (E +H)∗ = (E +H) · (E∗ +H∗) E∗=E H∗=−H= (E +H) · (E −H) = E2 +H · E − E ·H −H2 EH=HE= E2 −H2. Analogamente, AT · A = E2 −H2. Portanto, A e´ normal. Exemplo: A = i 1 + i 2 3− i −1 + i 5i 4 + 7i −9i −2 −4 + 7i −i 11 −3− i −9i −11 0 e´ uma matriz complexa normal, pois A∗ = −i −1− i −2 −3 + i 1− i −5i −4− 7i 9i 2 4− 7i i −11 3 + i 9i 11 0 = −A. Logo, A e´ anti-hermitiana e, portanto normal. Matriz Unita´ria Uma matriz quadrada A em Mn(C) e´ unita´ria se, e somente se, A · A∗ = In. Exemplos: A matriz A = √ 2 2 i √ 2 2 − √ 2 2 − √ 2 2 i e´ unita´ria. SEC¸A˜O 1.2 • DETERMINANTE DE UMA MATRIZ QUADRADA 26 De fato: A · A∗ = √ 2 2 i √ 2 2 − √ 2 2 − √ 2 2 i · − √ 2 2 i √ 2 2 − √ 2 2 √ 2 2 i T = √ 2 2 i √ 2 2 − √ 2 2 − √ 2 2 i · − √ 2 2 i − √ 2 2 √ 2 2 √ 2 2 i = [ 1 0 0 1 ] . Portanto, A e´ unita´ria. 1.2 Determinante de uma Matriz Quadrada Dada uma matriz quadrada A em Mn(IF ) associamos a A um nu´mero chamado deter- minante de A, denotado por detA, que definiremos de maneira recorrente. 1o Caso: n = 1 Se A = [a11] quadrada em M1(IF ), enta˜o detA = a11, neste caso o determinante e´ o valor nume´rico da u´nica entrada da matriz. Exemplos: 1. A = [−3], enta˜o detA = −3. 2. A = [7], enta˜o detA = 7. Para os casos em que A esta´ em Mn(IF ), com n ≥ 2, necessitamos definir o sinal dos elementos de A: Sinal de um Elemento aij ∈ A Dada uma matriz A = [aij] qualquer em Mn(IF ), a cada elemento de A lhe atribu´ımos um sinal: + ou −, da seguinte maneira: sinal (aij) = { + se i+ j e´ par − se i+ j e´ ı´mpar . Exemplos: 1. Os sinais de uma matriz A em M2(IF ): [ + − − + ] . 2. Os sinais de uma matriz A em M2(IF ): + − +− + − + − + . CAP. 1 • MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 27 Cofator de um Elemento aij Dada uma matriz A = [aij] quadrada em Mn(IF ) o cofator do elemento de aij, denotado por ∆ij, e´ o seguinte nu´mero em IF : ∆ij = sinal (aij) · detAij, com Aij a matriz quadrada em Mn−1(IF ) obtida de A retirando a i-e´sima linha e a j-e´sima coluna. A matriz dos cofatores de A e´ chamada matriz cofatora de A e denotada por cof(A). Exemplo: Encontre os cofatores da matriz A = [ −1 3 4 7 ] . Soluc¸a˜o: ∆11 = sinal (−1) · 7 = 7 ∆12 = sinal (3) · 4 = −4 ∆21 = sinal (4) · 3 = −3 ∆22 = sinal (7) · (−1) = −1. Logo, cof (A) = [ 7 −4 −3 −1 ] . Definic¸a˜o 1.9. Seja A uma matriz quadrada em Mn(IF ), com n ≥ 2, o determinante de A, denotado por detA, e´ o nu´mero dado pela soma dos produtos dos elementos de uma linha ou coluna qualquer de A pelos seus respectivos cofatores. Assim, o ca´lculo de detA pela i-e´sima linha e´: detA = ai1 ·∆i1 + ai2 ·∆i2 + · · ·+ ain ·∆in = n∑ k=1 aik ·∆ik. Enquanto, que o ca´lculo e detA pela j-e´sima coluna e´: detA = a1j ·∆1j + a2j ·∆i2 + · · ·+ anj ·∆nj = n∑ k=1 akj ·∆kj. 1.2.1 Ca´lculo de Determinante de uma Matriz Quadrada de ordem 2 Seja A = [ a11 a12 a21 a22 ] uma matriz quadrada em M2(IF ), o determinante de A, pela primeira linha e´: detA = a11 ·∆11 + a12 ·∆12 = a11 · a22 + a12 · (−a21) = a11 · a22 − a12 · a21. Calculando pela segunda coluna obtemos: detA = a12 ·∆12+a22 ·∆22 = a12 · (−a21)+a22 ·a22 = −a12 ·a21+a22 ·a11 = a11 ·a22−a12 ·a21. Assim, detA = a11 · a22 − a12 · a21, SEC¸A˜O 1.2 • DETERMINANTE DE UMA MATRIZ QUADRADA 28 ou seja, e´ o produto do elemento da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secunda´ria. Exemplo: Calcule o determinante da matriz A = [ −1 3 4 7 ] . Soluc¸a˜o: Pelo desenvolvimento acima temos: detA = (−1) · 7− 3 · 4 = −7− 12 = −19. 1.2.2 Ca´lculo de Determinante de uma Matriz Quadrada de ordem 3 Seja A = a11 a12 a13a21 a22 a23 a31 a32 a33 uma matriz quadrada em M3(IF ), o determinante de A, pela primeira linha e´: detA = a11 ·∆11 + a12 ·∆12 + a13 ·∆13 = a11 · det [ a22 a23 a32a33 ] − a12 · det [ a21 a23 a31 a33 ] + a13 · det [ a21 a22 a31 a32 ] = a11 · ( a22a33 − a23a32 )− a12 · (a21a33 − a23a31)+ a13 · (a21a32 − a22a31) = a11a22a33 − a11a23a32 − a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31. Calculando pela terceira coluna obtemos: detA = a13 ·∆13 + a23 ·∆23 + a33 ·∆33 = a13 · det [ a21 a22 a31 a32 ] − a23 · det [ a11 a12 a31 a32 ] + a33 · det [ a11 a12 a21 a22 ] = a13 · ( a21a32 − a22a31 )− a23 · (a11a32 − a12a31)+ a33 · (a11a22 − a12a21) = a13a21a32 − a13a22a31 − a23a11a32 + a23a12a31 + a33a11a22 − a33a12a21. Assim, detA = a11a22a33 − a11a23a32 − a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31. Exemplo: Calcule o determinante da matriz A = 2 1 11 1 1 2 3 2 . Soluc¸a˜o: Calculando pela terceira linha temos detA = 2 ·∆31 + 3 ·∆32 + 2 ·∆33 = 2 · det [ 1 1 1 1 ] + (−3) · det [ 2 1 1 1 ] + 2 · det [ 2 1 1 1 ] = 2 · (1− 1)− 3 · (2− 1) + 2 · (2− 1) = 0− 3 + 2 = −1. CAP. 1 • MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 29 Calculemos tambe´m pela primeira coluna: detA = 2 ·∆12 + 1 ·∆22 + 2 ·∆32 = 2 · det [ 1 1 3 2 ] + (−1) · det [ 1 1 3 2 ] + 2 · det [ 1 1 1 1 ] = 2 · (2− 3) + (−1) · (2− 3) + 2 · (1− 1) = −2 + 1 + 0 = −1. Observac¸o˜es: 1. Tambe´m indicamos o determinante de A por |A|, assim, por exemplo:∣∣∣∣ −1 34 7 ∣∣∣∣ = −19 e ∣∣∣∣∣∣ 2 1 1 1 1 1 2 3 2 ∣∣∣∣∣∣ = −1. 2. O ca´lculo do determinante de matrizes quadradas em Mn(IF ), com n ≥ 4, e´ feito recorrentemente. (a) No ca´lculo de detA, com A quadrada em M4(IF ), deveremos calcular o determi- nante de 4 matrizes quadradas em M3(IF ). (b) No ca´lculo de detA, com A quadrada em M5(IF ), deveremos calcular o determi- nante de 5 matrizes quadradas em M4(IF ). (c) De modo geral, no ca´lculo de detA, com A quadrada em Mn(IF ), deveremos calcular o determinante de n matrizes quadradas em Mn−1(IF ). Exemplo: Calcule o determinante da matriz A = 1 −1 2 3 2 1 0 1 3 −1 1 2 2 −1 0 1 . Soluc¸a˜o: Calculando pela terceira coluna temos detA = 2 ·∆13 + 0 ·∆23 + 1 ·∆33 + 0 ·∆43 = 2 · (−1)1+3 · det A13︸ ︷︷ ︸ ∆13 +1 · (−1)3+3 · det A33︸ ︷︷ ︸ ∆33 = 2 · ∣∣∣∣∣∣ 2 1 1 3 −1 2 2 −1 1 ∣∣∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣∣ 1 −1 3 2 1 1 2 −1 1 ∣∣∣∣∣∣ = 2 · ( 2 ∣∣∣∣ −1 2−1 1 ∣∣∣∣− ∣∣∣∣ 3 22 1 ∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ 3 −12 −1 ∣∣∣∣)︸ ︷︷ ︸ ca´lculo pela 1a linha + (∣∣∣∣ 1 1−1 1 ∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ 2 12 1 ∣∣∣∣+ 3 ∣∣∣∣ 2 12 −1 ∣∣∣∣)︸ ︷︷ ︸ ca´lculo pela 1a linha = 2 · (2× 1− (−1) + (−1))+ (2 + 0 + 3× (−4)) = 2 · (2 + 1− 1) + (2− 12) = −6. SEC¸A˜O 1.2 • DETERMINANTE DE UMA MATRIZ QUADRADA 30 Logo, ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 −1 2 3 2 1 0 1 3 −1 1 2 2 −1 0 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = −6. 1.2.3 Propriedades de Determinantes Seja A uma matriz quadrada em Mn(IF ), valem as seguintes propriedades: D1) detA = detA T . D2) Se A possui uma linha ou uma coluna com todos os elementos nulo, enta˜o detA = 0. D3) Se A tem duas linhas ou duas colunas iguais (ou proporcionais), enta˜o detA = 0. D4) Se B e´ obtida de A permutando duas linhas ou duas colunas, enta˜o detB = − detA. D5) Se B e´ obtida de A multiplicando todos os elementos de uma linha ou uma coluna por um nu´mero κ, enta˜o detB = κ · detA. D6) Se B e´ obtida de A somando a uma linha (ou coluna) de A a uma outra linha (ou coluna) multiplicada por um nu´mero qualquer, enta˜o detB = detA D7) Se B = κA, com κ ∈ IF , enta˜o detB = κn · detA. D8) Se B tambe´m esta´ em Mn(IF ), enta˜o det(A ·B) = detA · detB. D9) Se A e´ uma matriz diagonal, enta˜o o determinante de A e´ o produto dos elementos da diagonal principal. D10) Se A e´ uma matriz triangular (superior ou inferior), enta˜o o determinante de A e´ o produto dos elementos da diagonal principal. D11) Sejam B = a11 a12 · · · a1n ... ... . . . ... bi1 bi2 · · · bin ... ... . . . ... am1 am2 · · · amn e C = a11 a12 · · · a1n ... ... . . . ... ci1 ci2 · · · cin ... ... . . . ... am1 am2 · · · amn matrizes que diferem apenas na i-e´sima linha. Se A = a11 a12 · · · a1n ... ... . . . ... bi1 + ci1 bi2 + ci2 · · · bin + cin ... ... . . . ... am1 am2 · · · amn , ou seja, A coincide com as matrizes B e C, exceto na i-e´sima linha, nesta linha os elementos de A sa˜o a soma dos elementos da i-e´sima linha de B com os respectivos elementos da i-e´sima linha de C, enta˜o detA = detB + detC. CAP. 1 • MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 31 A propriedade tambe´m e´ va´lida se B e C coincidem exceto na j-e´sima coluna e A coincide com as matrizes B e C, exceto na j-e´sima coluna nesta coluna os elementos de A sa˜o a soma dos elementos da j-e´sima coluna de B com os respectivos elementos da j-e´sima coluna de C. Observac¸a˜o: No que segue dada uma matriz A em Mn(IF ) vamos indicar a i-e´sima linha de A por Li e a j-e´sima coluna de A por Cj. Exemplos: Calcule detA, em cada um dos casos: 1. B = 2 1 21 1 3 1 1 2 ; 2. B = 2 1 70 0 0 5 3 4 ; 3. B = 1 1 53 3 3 2 2 4 ; 4. B = 1 1 12 1 1 2 3 2 ; 5. B = 2 1 11 1 1 −4 −6 −4 ; 6. B = 2 1 11 1 1 0 1 0 ; 7. B = 6 3 33 3 3 6 9 6 ; 8. B = −5 0 0 0 0 8 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 3 ; 9. B = 3 −1 2 1 0 6 −5 0 0 0 −2 7 0 0 0 1 ; 10. B = 1 2 3 4 1 3 4 5 0 0 −1 7 0 0 0 4 . Soluc¸a˜o: Lembrando que vimos acima que se A = 2 1 71 3 2 5 3 4 enta˜o detA = −66. Observemos que as matrizes dos exemplos 1., 4., 5., 6. e 7. foram obtidas da matriz A. 1. detB = ∣∣∣∣∣∣ 2 1 2 1 1 3 1 1 2 ∣∣∣∣∣∣ D1, pois B=AT= −1. 2. detB = ∣∣∣∣∣∣ 2 1 7 0 0 0 5 3 4 ∣∣∣∣∣∣ D2= 0. 3. detB = ∣∣∣∣∣∣ 1 1 5 3 3 −1 2 2 4 ∣∣∣∣∣∣ D3, pois C1=C2= 0. 4. detB = ∣∣∣∣∣∣ 1 3 2 2 1 7 5 3 4 ∣∣∣∣∣∣ D4, pois L1↔L2= −(−1) = 1. SEC¸A˜O 1.2 • DETERMINANTE DE UMA MATRIZ QUADRADA 32 5. detB = ∣∣∣∣∣∣ 2 1 1 1 1 1 −4 −6 −4 ∣∣∣∣∣∣ D5 pois L3→(−2)L3= (−2)× (−1) = 2. 6. detB = ∣∣∣∣∣∣ 2 1 1 1 1 1 0 1 0 ∣∣∣∣∣∣ D6, pois L3→L3−2L2= −1. 7. detB = ∣∣∣∣∣∣ 6 3 3 3 3 3 6 9 6 ∣∣∣∣∣∣ D7, pois B=3A= 33 × (−1) = −27. 8. detB = (−5)× 8× (−1)× 3 = 120, basta aplicar D9, pois B e´ matriz diagonal. 9. detB = 3× 6× (−2)× 1 = −36, basta aplicar D10, pois B e´ matriz triangular. 10. ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 2 3 4 1 3 4 5 0 0 −1 7 0 0 0 4 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ D11= ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 2 3 4 1 2 3 4 0 0 −1 7 0 0 0 4 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 2 3 4 0 1 1 1 0 0 −1 7 0 0 0 4 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ D3 e D10= 0− 4 = −4. Proposic¸a˜o 1.10. (i) Se A ∈Mn(IR) e´ matriz ortogonal, enta˜o detA = 1 ou detA = −1. (ii) Se A ∈Mn(C) e´ matriz unita´ria, enta˜o detA = 1 ou detA = −1. Demonstrac¸a˜o: (i) A ∈Mn(IR) e´ ortogonal se, e somente se, A · AT = In. Logo, det(A · AT ) = det In = 1 =⇒ detA · detAT = 1 D1=⇒ (detA)2 = 1. Portanto, detA = 1 ou detA = −1. (ii) A ∈Mn(C) e´ unita´ria se, e somente se, A · A∗ = In. Logo, det(A · A∗) = det In = 1 =⇒ detA · detA∗ = 1⇐⇒ detA · detAT = 1 D1⇐⇒ detA · detA = 1⇐⇒ detA · detA = 1⇐⇒ | detA|2 = 1. Portanto, detA = 1 ou detA = −1. CAP. 1 • MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 33 1.3 Inversa de uma Matriz Sabemos que multiplicac¸a˜o dos nu´meros reais ou complexos tem elemento neutro, o nu´mero 1, que tambe´m satisfaz a seguinte propriedade: Se a ∈ IF e a 6= 0, enta˜o existe b ∈ IF, b 6= 0 tal que a · b = 1. Denotamos o nu´mero b por b = a−1 = 1 a e este e´ chamado inverso multiplicativo de a. Pela propriedade M1 (a) do produto de matrizes sabemos que dada A uma matriz quadrada de ordem n, temos: A · In = In · A = A, ou seja, a matriz In, identidade de ordem n, e´ o elemento neutro da multiplicac¸a˜o emMn(IR)ou Mn(C). Da´ı e´ natural perguntar: Se A e´ uma matriz quadrada em Mn(IF ), quando existe uma matriz B ∈Mn(IF ) tal que: A ·B = B · A = In. (1.1) Exemplos: Em cada um dos casos, verifique se existe uma matriz B quadrada de ordem 2 tal que A ·B = B · A = I2. 1. A = [ 1 1 2 3 ] ; 2. A = [ 1 −2 −2 4 ] Soluc¸a˜o: 1. Devemos encontrar uma matriz B = [ a b c d ] tal que [ 1 1 2 3 ] · [ a b c d ] = [ a b c d ] · [ 1 1 2 3 ] = [ 1 0 0 1 ] ⇐⇒ [ a+ c b+ d 2a+ 3c 2b+ 3d ] = [ a+ 2b a+ 3b c+ 2d c+ 3d ] = [ 1 0 0 1 ] ⇐⇒ a+ c = 1 b+ d = 0 2a+ 3c = 0 2b+ 3d = 1 e a+ 2b = 1 a+ 3b = 0 c+ 2d = 0 c+ 3d = 1 ⇐⇒ { a+ c = 1 2a+ 3c = 0 { b+ d = 0 2b+ 3d = 1 e { a+ 2b = 1 a+ 3b = 0 { c+ 2d = 0 c+ 3d = 1 . SEC¸A˜O 1.3 • INVERSA DE UMA MATRIZ 34 Observemos que{ a+ c = 1 2a+ 3c = 0 ∼ { 2a+ 2c = 2 2a+ 3c = 0 ⇒ c = −2⇒ a = 3 e { b+ d = 0 2b+ 3d = 1 ∼ { 2b+ 2d = 0 2b+ 3d = 1 ⇒ d = 1⇒ b = −1. Por outro lado,{ a+ 2b = 1 a+ 3b = 0 ⇒ b = −1⇒ a = 3 e { c+ 2d = 0 c+ 3d = 1 ⇒ d = 1⇒ c = −2 Portanto, a matriz B = [ 3 −1 −2 1 ] satisfaz a condic¸a˜o A ·B = B · A = I2. 2. Devemos encontrar uma matriz B = [ a b c d ] tal que[ 1 −2 −2 4 ] · [ a b c d ] = [ a b c d ] · [ 1 −2 −2 4 ] = [ 1 0 0 1 ] ⇐⇒ [ a− 2c b− 2d −2a+ 4c −2b+ 4d ] = [ a− 2b −a+ 4b c− 2d −c+ 4d ] = [ 1 0 0 1 ] ⇐⇒ a− 2c = 1 b− 2d = 0 −2a+ 4c = 0 −2b+ 4d = 1 e a− 2b = 1 −2a+ 4b = 0 c− 2d = 0 −c+ 4d = 1 ⇐⇒ { a− 2c = 1 −2a+ 4c = 0 { b− 2d = 0 −2b+ 4d = 1 e { a− 2b = 1 −2a+ 4b = 0 { c− 2d = 0 −2c+ 4d = 1 . Observemos que o sistema { a− 2c = 1 −2a+ 4c = 0 na˜o tem soluc¸a˜o, pois{ a− 2c = 1 −2a+ 4c = 0 ∼ { 2a− 4c = 2 −2a+ 4c = 0 ⇒ 0 = 2, um absurdo! Portanto, neste caso, na˜o existe uma matriz B, quadrada de ordem 2, que satisfac¸a a condic¸a˜o A ·B = B · A = I2. Os exemplos acima nos mostram que ha´ casos em que resposta a` pergunta da equac¸a˜o 1.1 e´ afirmativa e outros em que na˜o. Antes estabelecer uma condic¸a˜o necessa´ria para a existeˆncia da matriz B que satisfac¸a 1.1 introduziremos mais alguns conceitos. CAP. 1 • MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 35 1.3.1 Matriz Adjunta e a Inversa Definic¸a˜o 1.11. Seja A uma matriz quadrada em Mn(IF ), a matriz adjunta de A, deno- tada por adj(A), e´ a transposta da matriz cofatora de A, ou seja, adj (A) = ( cof (A) )T . Teorema 1.12. Se A e´ uma matriz quadrada em Mn(IF ), enta˜o A · adj (A) = detA · In. Demonstrac¸a˜o: Vamos fazer a demonstrac¸a˜o para n = 3, os outros casos sa˜o ana´logos. Seja A = a11 a12 a13a21 a22 a23 a31 a32 a33 , enta˜o: A · adj (A) = a11 a12 a13a21 a22 a23 a31 a32 a33 · ∆11 ∆12 ∆13∆21 ∆22 ∆23 ∆31 ∆32 ∆33 T = a11 a12 a13a21 a22 a23 a31 a32 a33 · ∆11 ∆21 ∆31∆12 ∆22 ∆32 ∆13 ∆23 ∆33 = [cij]3×3, com c11 = a11∆11 + a12∆12 + a13∆13 pela 1a linha = detA c22 = a21∆21 + a22∆22 + a23∆23 pela 2a linha = detA c33 = a31∆31 + a32∆32 + a33∆33 pela 3a linha = detA c12 = a11∆21 + a12∆22 + a13∆23 Calculando c12: c12 = a11∆21 + a12∆22 + a13∆23 = a11(a13a32 − a12a33) + a12(a11a33 − a13a31) + a13(a12a31 − a11a32) = a11a13a32 − a11a12a33 + a12a11a33 − a12a13a31 + a13a12a31 − a13a11a32 = 0. De maneira ana´loga conclu´ımos que c13 = c21 = c23 = c31 = c32 = 0. Logo, A · adj (A) = detA 0 00 detA 0 0 0 detA = detA · I3. Observac¸a˜o: Pelo teorema 1.12, se detA 6= 0, enta˜o A · ( 1 detA adj (A) ) = In. SEC¸A˜O 1.3 • INVERSA DE UMA MATRIZ 36 Definic¸a˜o 1.13. Seja A uma matriz quadrada em Mn(IF ), dizemos que A e´ invert´ıvel se, e somente se, existe B matriz quadrada em Mn(IF ) tal que A ·B = B · A = In. A matriz B e´ chamada matriz inversa de A e denotada por A−1, assim, A · A−1 = A−1 · A = In. Exemplo: A matriz A = [ 1 1 2 3 ] e´ invert´ıvel e sua inversa e´ a matriz A−1 = [ 3 −1 −2 1 ] . Teorema 1.14. Uma matriz quadrada A em Mn(IF ) e´ invert´ıvel se, e somente se, detA 6= 0. Ale´m disso, se existe A−1, enta˜o A−1 = 1 detA · adj (A). Exemplos: Verifique, em cada um dos casos abaixo, se a matriz A e´ invert´ıvel, em caso afirmativo determine sua inversa. 1. A = 2 1 11 1 1 2 3 2 ; 2. A = 1 −1 2 3 2 1 0 1 3 −1 1 2 2 −1 0 1 ; 3. A = 5 −1 2 −3 7 0 −8 11 12 −9 4 −21 −15 3 −6 9 . Soluc¸a˜o: 1. Vimos na sec¸a˜o 1.2 que detA = −1 6= 0, portanto A e´ invert´ıvel. Devemos determinar adj (A). adj (A) = ∆11 ∆21 ∆31∆12 ∆22 ∆32 ∆13 ∆23 ∆33 = −1 1 00 2 −1 1 −4 1 . Logo, A−1 = 1 −1 · −1 1 00 2 −1 1 −4 1 = 1 −1 00 −2 1 −1 4 −1 . 2. Vimos na sec¸a˜o 1.2 que detA = −6 6= 0, portanto A e´ invert´ıvel. Devemos determinar adj (A). adj (A) = ∆11 ∆21 ∆31 ∆41 ∆12 ∆22 ∆32 ∆42 ∆13 ∆23 ∆33 ∆43 ∆14 ∆24 ∆34 ∆44 = 2 0 −4 2 0 −3 0 3 2 3 −10 11 −4 −3 8 −7 . CAP. 1 • MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 37 Logo, A−1 = −1 6 · 2 0 −4 2 0 −3 0 3 2 3 −10 11 −4 −3 8 −7 . 3. Como L3 = −3L1, logo pela propriedade D3 de determinantes, temos detA = 0. Portanto, A na˜o e´ invert´ıvel. Observac¸a˜o: O exemplo 2. acima nos mostra que a obtenc¸a˜o da inversa usando o teorema 1.14 na˜o e´ eficiente, pois sa˜o necessa´rios muitos ca´lculos. Vamos introduzir um outro mecanismo para determinar a inversa de uma matriz quadrada, quando esta existe. Antes pore´m vamos apresentar as propriedades da inversa. 1.3.2 Propriedades da Matriz Inversa Sejam A e B quadradas em Mn(IF ), valem as seguintes propriedades: MI1) Se A e´ invert´ıvel, enta˜o sua inversa e´ u´nica. De fato, se existissem B e C tais que A · B = A · C = In, multiplicando a igualdade A · C = In por B a` esquerda obtemos B · (A · C) = B · In ⇐⇒ (B · A)︸ ︷︷ ︸ In · C = B ⇐⇒ C = B. MI2) Se A e B sa˜o invert´ıveis enta˜o, A ·B tambe´m o e´. Ale´m disso, (A ·B)−1 = B−1 · A−1. De fato, se A e B sa˜o invert´ıveis enta˜o, detA 6= 0 e detB 6= 0. Logo, det(A ·B) = detA︸ ︷︷ ︸ 6=0 · detB︸ ︷︷ ︸ 6=0 6= 0 e portanto A ·B e´ invert´ıvel. Agora, (A ·B) · (B−1 · A−1) = A · (B ·B−1)︸ ︷︷ ︸ In ·A−1 = A · A−1 = In. MI3) Se A e´ invert´ıvel, enta˜o A T , a transposta de A, tambe´m e´ invert´ıvel (veja propriedade D1). Ale´m disso, ( AT )−1 = ( A−1 )T . MI4) Se A e´ invert´ıvel, enta˜o A −1, a inversa de A, tambe´m e´ invert´ıvel. Ale´m isso, ( A−1 )−1 = A. SEC¸A˜O 1.4 • OPERAC¸O˜ES ELEMENTARES SOBRE AS LINHAS DE UMA MATRIZ 38 Observac¸o˜es: 1. Se A ∈Mn(IR) e´ matriz ortogonal, enta˜o A e´ invert´ıvel e A−1 = AT . De fato, A ∈Mn(IR) e´ ortogonal se, e somente se, A · AT = In. 2. Se A ∈Mn(C) e´ matriz unita´ria, enta˜o A e´ invert´ıvel e A−1 = A∗. De fato, A ∈Mn(C) e´ unita´ria se, e somente se, A · A∗ = In. 1.4 Operac¸o˜es Elementares sobre as Linhas de uma Matriz As operac¸o˜es elementares sobre as linhas (ou colunas) de uma matriz sa˜o: OE1 Permutac¸a˜o de duas linhas (duas colunas), ou seja, permutamos uma i-e´sima linha e uma j-e´sima coluna. Notac¸a˜o: Li ←→ Lj (Ci ←→ Cj). OE2 Substituic¸a˜o de uma linha por ela previamente multiplicada por um nu´mero (real ou complexo) na˜o nulo, ou seja, substitu´ımos uma i-e´sima linha por ela multiplicada por nu´mero na˜o nulo κ . Notac¸a˜o: Li −→ κLi (Ci −→ κCi). OE3 Substituic¸a˜o de uma linha por ela somada com outra linha previamente multiplicadapor um nu´mero (real ou complexo) na˜o nulo, ou seja, substitu´ımos uma i-e´sima linha por ela somada com uma j-e´sima linha multiplicada por nu´mero na˜o nulo κ . Notac¸a˜o: Li −→ Li + κLj (Ci −→ Ci + κCj). Exemplos: Seja A = −1 3 4 12 1 3 −2 5 0 3 −7 , determine a matriz: 1. B obtida de A pela operac¸a˜o elementar L2 ←→ L3. 2. C obtida de A pela operac¸a˜o elementar L1 −→ (−2)L1. 3. D obtida de A pela operac¸a˜o elementar L2 −→ L2 + 2L1. Soluc¸a˜o: 1. B = −1 3 4 15 0 3 −7 2 1 3 −2 L2 ←→ L3 . CAP. 1 • MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 39 2. C = 2 −6 −8 −22 1 3 −2 5 0 3 −7 L1 ←→ (−2)L1 . 3. D = −1 3 4 10 7 11 0 5 0 3 −7 L2 ←→ L2 + 2L1 1.4.1 Matriz Linha Equivalente Dada uma matriz A em Mm×n(IF ), dizemos que B e´ uma matriz linha equivalente a A se, somente se, B e´ obtida efetuando um nu´mero finito de operac¸o˜es elementares sobre as linhas de A. Notac¸a˜o: A ∼ B ou B ∼ A. Exemplo: Nos exemplos acima A ∼ B, A ∼ C e A ∼ D. Observac¸o˜es: 1. Em alguns momentos diremos simplesmente que A e B sa˜o equivalentes nos referindo a linha-equivalentes. 2. Dada A uma matriz quadrada em Mn(IF ), se A e´ uma matriz invert´ıvel e B e´ linha equivalente a A, enta˜o B tambe´m e´ invert´ıvel. 1.4.2 Matriz na Forma Escalonada UmamatrizA emMm×n(IF ) esta´ na forma escalonada se satisfaz as seguintes condic¸o˜es: (1) As linhas na˜o-nulas de A esta˜o acima de qualquer linha nula de A, ou seja, as linhas nulas esta˜o agrupadas nas u´ltimas linhas da matriz. Em outras palavras, se Li e´ linha nula, enta˜o as linhas Lk, com k > i, sa˜o todas linhas nulas. (2) O primeiro elemento na˜o-nulo de uma linha de A ocorre mais a` direita do primeiro elemento na˜o-nulo da linha anterior de A. Em outras palavras, se aij 6= 0 e i > 1, existe algum k, com k < j, tal que a(i−1)k 6= 0. Exemplos: 1. A matriz A = 1 −5 2 −4 0 0 0 −3 1 9 0 0 0 2 6 0 0 0 0 0 esta´ na forma escalonada. SEC¸A˜O 1.4 • OPERAC¸O˜ES ELEMENTARES SOBRE AS LINHAS DE UMA MATRIZ 40 2. A matriz A = 5 −1 7 0 0 0 0 −9 4 0 0 3 na˜o esta´ na forma escalonada, pois falha a condic¸a˜o (1). 3. A matriz A = 1 2 −2 0 0 0 2 −1 0 1 3 0 0 0 0 0 na˜o esta´ na forma escalonada, pois falha a condic¸a˜o (2) entre as linhas L3 e L2. 1.4.3 Matriz na Forma Escalonada Reduzida ou na Forma Escada Uma matriz A emMm×n(IF ) esta´ na forma escalonada reduzida ou na forma escada se esta´ na forma escalonada e satisfaz as demais condic¸o˜es: (3) O primeiro elemento na˜o-nulo de cada linha na˜o-nula de A e´ o nu´mero 1. Em outras palavras, se aij 6= 0 e (j = 1 ou aik = 0 para k < j), enta˜o aij = 1. (4) O primeiro elemento na˜o-nulo de uma linha e´ o u´nico elemento na˜o-nulo de sua coluna. Em outras palavras, se aij 6= 0 e (j = 1 ou aik = 0 para k < j), enta˜o alj = 0 para todo l 6= i. Exemplos: 1. A matriz A = 1 −5 0 0 7 0 0 1 0 −2 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 esta´ na forma escada. 2. A matriz A = 5 0 0 −20 1 0 0 0 0 1 3 na˜o esta´ na forma escalonada, pois falha a condic¸a˜o (3) na primeira linha. 3. A matriz A = 1 0 0 00 1 −1 0 0 0 1 2 na˜o esta´ na forma escalonada, pois falha a condic¸a˜o (4) na terceira coluna. Teorema 1.15. ([1]) Toda matriz e´ equivalente a uma u´nica matriz na forma escada. Observac¸o˜es: CAP. 1 • MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 41 1. Dada uma matriz A a sua equivalente na forma escada, e´ chamada tambe´m de sua reduzida a` forma escada. 2. O teorema acima nos diz que podemos transformar qualquer matriz, efetuando um nu´mero finito de operac¸o˜es elementares, em uma matriz na forma escada. 1.4.4 Matriz Inversa atrave´s de Operac¸o˜es Elementares Seja A uma matriz quadrada A em Mn(IF ), com detA 6= 0, se efetuamos alguma operac¸a˜o elementar em A, a matriz obtida tambe´m tera´ determinante diferente de zero, ou seja, operac¸o˜es elementares transformam matrizes invert´ıveis em matrizes invert´ıveis. De fato, seja A uma matriz invert´ıvel, sabemos que A e´ invert´ıvel se, e somente se, detA 6= 0, assim: 1. Pela propriedade D4 de determinantes, se B e´ obtida de A efetuando uma operac¸a˜o elementar OE1, enta˜o detB = − detA 6= 0, portanto B e´ invert´ıvel. 2. Pela propriedade D5 de determinantes, se C e´ obtida de A efetuando uma operac¸a˜o elementar OE2, enta˜o detC = κ · detA κ 6=0 6= 0, portanto C e´ invert´ıvel. 3. Pela propriedade D6 de determinantes, se D e´ obtida de A efetuando uma operac¸a˜o elementar OE3, enta˜o detD = detA 6= 0, portanto D e´ invert´ıvel. O pro´ximo teorema nos fornece um mecanismo para obter a inversa de uma matriz utilizando operac¸o˜es elementares. Teorema 1.16. ([1]) Seja A uma matriz quadrada em Mn(IF ), se A e´ uma matriz invert´ıvel, enta˜o sua reduzida a` forma escada e´ a identidade In. Ale´m disso, efetuando na identidade In a mesma sequeˆncia de operac¸o˜es elementares que transformou A em In obte´m-se a inversa de A. Exemplos: Obtenha, em cada um dos casos abaixo, a inversa da matriz A utilizando operac¸o˜es elementares sobre as linhas. 1. A = 2 1 11 1 1 2 3 1 ; 2. A = 1 −1 2 3 2 1 0 1 3 −1 1 2 2 −1 0 1 . Soluc¸a˜o: 1. 2 1 1 | 1 0 0 1 1 1 | 0 1 0 2 3 2 | 0 0 1 ∼ 1 1 1 | 0 1 0 L1 ←→ L2 2 1 1 | 1 0 0 2 3 2 | 0 0 1 SEC¸A˜O 1.4 • OPERAC¸O˜ES ELEMENTARES SOBRE AS LINHAS DE UMA MATRIZ 42 1 1 1 | 0 1 0 0 −1 −1 | 1 −2 0 L2 −→ L2 − 2L1 0 2 1 | −1 0 1 L3 −→ L3 − L2 ∼ 1 0 0 | 1 −1 0 L1 −→ L1 + 2L2 0 −1 −1 | 1 −2 0 0 0 −1 | 1 −4 1 L3 −→ L3 + 2L2 ∼ 1 0 0 | 1 −1 0 0 1 1 | −1 2 0 L2 −→ −L2 0 0 1 | −1 4 −1 L3 −→ −L3 ∼ 1 0 0 | 1 −1 0 0 1 0 | 0 −2 1 L2 −→ L2 − L3 0 0 1 | −1 4 −1 . Logo, A−1 = 1 −1 00 −2 1 −1 4 −1 , este resultado coincide com o que obtivemos calculando o determinante pela adjunta. 2. 1 −1 2 3 | 1 0 0 0 2 1 0 1 | 0 1 0 0 L2 −→ L2 − 2L1 3 −1 1 2 | 0 0 1 0 L3 −→ L3 − 3L1 2 −1 0 1 | 0 0 0 1 L4 −→ L4 − L2 ∼ 1 −1 2 3 | 1 0 0 0 0 3 −4 −5 | −2 1 0 0 0 2 −5 −7 | −3 0 1 0 0 −2 0 0 | 0 0 0 1 L4 −→ −1 2 L4 ∼ 1 −1 2 3 | 1 0 0 0 0 3 −4 −5 | −2 1 0 0 L2 ←→ L4 0 2 −5 −7 | −3 0 1 0 0 1 0 0 | 0 1 2 0 −1 2 ∼ 1 −1 2 3 | 1 0 0 0 L1 −→ L1 + L2 0 1 0 0 | 0 1 2 0 −1 2 0 2 −5 −7 | −3 0 1 0 L3 −→ L3 − 2L2 0 3 −4 −5 | −2 1 0 0 L4 −→ L4 − 3L2 CAP. 1 • MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 43 ∼ 1 0 2 3 | 1 1 2 0 −1 2 0 1 0 0 | 0 1 2 0 −1 2 0 0 −5 −7 | −3 −1 1 1 0 0 −4 −5 | −2 −1 2 0 3 2 L4 −→ L4 − 45L3 ∼ 1 0 2 3 | 1 1 2 0 −1 2 0 1 0 0 | 0 1 2 0 −1 2 0 0 −5 −7 | −3 −1 1 1 0 0 0 3 5 | 2 5 3 10 −4 5 7 10 L4 −→ 53L4 ∼ 1 0 2 3 | 1 1 2 0 −1 2 L1 −→ L1 − 3L4 0 1 0 0 | 0 1 2 0 −1 2 0 0 −5 −7 | −3 −1 1 1 L3 −→ L3 + 7L4 0 0 0 1 | 2 3 1 2 −4 3 7 6 ∼ 1 0 2 0 | −1 −1 4 0 1 0 0 | 0 1 2 0 −1 2 0 0 −5 0 | 5 3 5 2 −25 3 55 6 L3 −→ −15L3 0 0 0 1 | 2 3 1 2 −4 3 7 6 ∼ 1 0 2 0 | −1 −1 4 −4 L1 −→ L1 − 2L3 0 1 0 0 | 0 1 2 0 −1 2 0 0 1 0 | −1 3 −1 2 5 3 −11 6 0 0 0 1 | 2 3 1 2 −4 3 7 6 ∼ 1 0 1 0 | −1 3 0 2 3 −1 3 0 1 0 0 | 0 1 2 0 −1 2 0 0 1 0 | −1 3 −1 2 5 3 −11 6 0 0 0 1 | 2 3 1 2 −4 3 7 6 . Logo, A−1 = −1 3 0 2 3 −1 3 0 1 2 0 −1 2 −1 3 −1 2 5 3 −11 6 2 3 1 2 −4 3 7 6 = −16 2 0 −4 2 0 −3 0 3 2 3 −10 11 −4 −3 8 −7 , este resultado coincide com o que obtivemos calculando o determinante pela adjunta. 1.5 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares Equac¸a˜o Linear Uma equac¸a˜o da forma a1x1 + a2x2 + · · · + anxn = b SEC¸A˜O 1.5 • SISTEMAS DE EQUAC¸O˜ES LINEARES 44 e´ uma equac¸a˜o linear em IR ou em C nasvaria´veis x1, x2, · · · , xn, reais ou complexas, com coeficientes a1, a2, · · · , an e termo independente b nu´meros reais ou nu´meros complexos. Exemplos: 1. 2x+ 4y = −3 e´ uma equac¸a˜o linear; 2. cos x+ 3y − z = 7 na˜o e´ uma equac¸a˜o linear; 3. x− 7y = 4z − 6 = 0 e´ uma equac¸a˜o linear. Os valores das varia´veis que transformam a equac¸a˜o linear em identidade, constituem suas soluc¸o˜es. Exemplo: Para a equac¸a˜o linear 2x+4y−3z = 5 os valores x = 0, y = 2 e z = 1 constituem uma soluc¸a˜o, assim como x = −3, y = −1 e z = −5 tambe´m. 1.5.1 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares Um sistema linear real ou complexo e´ um sistema em que todas as equac¸o˜es sa˜o lineares reais ou complexas, ou seja e´ um sistema do tipo: S : a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2 ... am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm , nas varia´veis x1, x2, · · · , xn, com coeficientes a11, a12, · · · , a1n, a21, a22, · · · , a2n, · · · am1, am2, · · · , amn e b1, b2, · · · , bm termos independentes nu´meros reais ou nu´meros complexos. Matricialmente temos: S : a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... ... ... am1 am2 · · · amn ︸ ︷︷ ︸ A · x1 x2 ... xn ︸ ︷︷ ︸ X = b1 b2 ... bm ︸ ︷︷ ︸ B , com A a matriz dos coeficientes de S X a matriz das varia´veis de S B a matriz dos termos independentes de S . Matriz Ampliada de um Sistema Linear A matriz: AM = a11 a12 · · · a1n | b1 a21 a22 · · · a2n | b2 ... ... ... ... ... am1 am2 · · · amn | bm e´ chamada matriz ampliada do sistema S. CAP. 1 • MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 45 1.5.2 Soluc¸a˜o de um Sistema Linear Uma soluc¸a˜o de um sistema linear real ou complexo S : a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2 ... am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm . e´ uma n-upla de nu´meros reais ou complexos λ1, λ2, · · · , λn que ao serem substitu´ıdas nas m equac¸o˜es todas se verificam. A soluc¸a˜o pode ser dada na forma x1 = λ1 x2 = λ2 ... xn = λn ou na forma (λ1, λ2, · · · , λn). Exemplo: x = 3 y = −2 z = 2 e´ uma soluc¸a˜o do sistema S : x+ 4y + 3z = 1 2x+ 5y + 4z = 4 x− 3y − 2z = 5 , pois 3 + 4× (−2) + 3× 2 = 3− 8 + 6 = 1 2× 3 + 5× (−2) + 4× 2 = 6− 10 + 8 = 4 3− 3× (−2)− 2× 2 = 3 + 6− 4 = 5 . Proposic¸a˜o 1.17. Se um sistema linear S como 1.2 tem mais do que uma soluc¸a˜o, enta˜o S tem infinitas soluc¸o˜es. Demonstrac¸a˜o: Sejam (λ1, λ2, · · · , λn) e (µ1, µ2, · · · , µn) soluc¸o˜es distintas do sistema linear 1.2, mostremos que (κ1, κ2, · · · , κn), com κi = αλi + βµi, α e β nu´meros tais que α+ β = 1, tambe´m e´ soluc¸a˜o de 1.2. De fato, como (λ1, λ2, · · · , λn) e (µ1, µ2, · · · , µn) sa˜o soluc¸o˜es do sistema, enta˜o: a11λ1 + a12λ2 + · · ·+ a1nλn = b1 a21λ1 + a22λ2 + · · ·+ a2nλn = b2 ... am1λ1 + am2λ2 + · · ·+ amnλn = bm e a11µ1 + a12µ2 + · · ·+ a1nµn = b1 a21µ1 + a22µ2 + · · ·+ a2nµn = b2 ... am1µ1 + am2µ2 + · · ·+ amnµn = bm Logo, a11(αλ1 + βµ1) + a12(αλ2 + βµ2) + · · ·+ a1n(αλn + βµn) a21(αλ1 + βµ1) + a22(αλ2 + βµ2) + · · ·+ a2n(αλn + βµn) ... am1(αλ1 + βµ1) + am2(αλ2 + βµ2) + · · ·+ amn(αλn + βµn) = α(a11λ1 + a12λ2 + · · ·+ a1nλn) + β(a11µ1 + a12µ2 + · · ·+ a1nµn) α(a21λ1 + a22λ2 + · · ·+ a2nλn) + β(a21µ1 + a22µ2 + · · ·+ a2nµn) ... α(am1λ1 + am2λ2 + · · ·+ amnλn) + β(am1µ1 + am2µ2 + · · ·+ amnµn) SEC¸A˜O 1.5 • SISTEMAS DE EQUAC¸O˜ES LINEARES 46 = αb1 + βb1 αb2 + βb2 ... αbm + βbm = (α+ β)b1 (α+ β)b2 ... (α+ β)bm α+β=1 = b1 b2 ... bm . Portanto, se um sistema linear tem mais do que uma soluc¸a˜o, enta˜o tem infinitas soluc¸o˜es. 1.5.3 Classificac¸a˜o de Sistemas de Equac¸o˜es Lineares Classificamos um sistema linear quanto a`s soluc¸o˜es da seguinte maneira: Sistemas Lineares Compat´ıveis Dizemos que um sistema linear e´ compat´ıvel quando admite alguma soluc¸a˜o, dentre os sistemas lineares compat´ıveis temos: (i) Os sistemas lineares poss´ıveis determinados, que sa˜o aqueles que admitem uma u´nica soluc¸a˜o. (ii) Os sistemas lineares poss´ıveis indeterminados, que sa˜o aqueles que admitem infinitas soluc¸o˜es. Exemplos: 1. S : x+ 4y + 3z = 1 2x+ 5y + 4z = 4 x− 3y − 2z = 5 , e´ um sistema linear compat´ıvel determinado, pois tem uma u´nica soluc¸a˜o: x = 3 y = −2 z = 2 . 2. S : { x+ 2y + z + w = 0 x+ 3y − z + 2w = 0 , e´ um sistema linear compat´ıvel indeterminado, pois tem infinitas soluc¸o˜es dadas por { x = −5z + w y = 2z − w , com z e w variando nos nu´meros reais, por exemplo x = −6 y = 3 z = 1 w = −1 e´ uma soluc¸a˜o do sistema. CAP. 1 • MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 47 Sistemas Lineares Incompat´ıveis Dizemos que um sistema linear e´ incompat´ıvel quando na˜o admite soluc¸a˜o. Exemplo: 1. O sistema linear e´ incompat´ıvel S : 2x+ 3y = 4 x+ y = 6 3x− 4y = 0 , pois na˜o admite soluc¸a˜o, ja´ que das treˆs equac¸o˜es tiramos que −8 = y = 18 7 , um absurdo! 1.5.4 Sistema Linear Homogeˆneo Dizemos que um sistema linear e´ um sistema homogeˆneo quando todos os seus termos independentes sa˜o iguais a zero. Exemplo: 1. O sistema S : { 2x+ 3y − 9z = 0 5x− 8y + 7z = 0 e´ homogeˆneo. Observac¸a˜o: Todo sistema linear homogeˆneo admite pelo menos uma soluc¸a˜o, que e´ aquela em que todas as varia´veis sa˜o iguais a zero, esta soluc¸a˜o e´ chamada soluc¸a˜o trivial. Portanto, um sistema homogeˆneo e´ um sistema compat´ıvel determinado ou um sistema compat´ıvel indeterminado. No exemplo acima a soluc¸a˜o trivial e´ x = y = z = 0. 1.5.5 Sistemas Equivalentes Dois sistemas lineares S e S ′ sa˜o equivalentes se, e somente se, toda soluc¸a˜o de S e´ soluc¸a˜o de S ′ e toda soluc¸a˜o de S ′ e´ soluc¸a˜o de S. Exemplos: 1. S : x+ 4y + 3z = 1 2x+ 5y + 4z = 4 x− 3y − 2z = 5 e S ′ : x+ 4y + 3z = 1 −3y − 2z = 2 7y + 5z = −4 sa˜o equivalentes, pois a u´nica soluc¸a˜o de S e de S ′ e´ x = 3 y = −2 z = 2 . 2. S : { x+ 2y + z + w = 0 x+ 3y − z + 2w = 0 e S ′ : x+ y + z + w = 0 x+ y + z − 2w = 0 x− y + 3z + w = 0 na˜o sa˜o equivalentes, SEC¸A˜O 1.5 • SISTEMAS DE EQUAC¸O˜ES LINEARES 48 pois x = 0 y = 0 z = 0 w = 0 e´ soluc¸a˜o de S e S ′, pore´m x = −6 y = 3 z = 1 w = −1 e´ soluc¸a˜o de S, mas na˜o e´ soluc¸a˜o de S ′. 1.5.6 Operac¸o˜es Elementares sobre as Equac¸o˜es de um Sistema Linear As operac¸o˜es elementares que vimos para matrizes tambe´m sera˜o utilizadas em sistemas lineares, neste caso sa˜o: OE1 Permutac¸a˜o de duas equac¸o˜es, ou seja, permutamos uma i-e´sima equac¸a˜o e uma j-e´sima equac¸a˜o. Notac¸a˜o: Ei ←→ Ej. OE2 Substituic¸a˜o de uma equac¸a˜o por ela previamente multiplicada por um nu´mero (real ou complexo) na˜o nulo, ou seja, substitu´ımos uma i-e´sima equac¸a˜o por ela multiplicada por nu´mero na˜o nulo κ . Notac¸a˜o: Ei −→ κEi. OE3 Substituic¸a˜o de uma equac¸a˜o por ela somada com outra equac¸a˜o previamente multipli- cada por um nu´mero (real ou complexo) na˜o nulo, ou seja, substitu´ımos uma i-e´sima equac¸a˜o por ela somada com uma j-e´sima equac¸a˜o multiplicada por nu´mero na˜o nulo κ . Notac¸a˜o: Ei −→ Ei + κEj, com Ei a i-e´sima equac¸a˜o do sistema linear. Exemplos: Seja S : −x + 3y + 4z = 1 2x + y + 3z = −2 5x + 3z = −7 , determine o sistema linear: 1. S ′ obtido de S pela operac¸a˜o elementar E2 ←→ E3. 2. S ′′ obtida de S pela operac¸a˜o elementar E1 −→ (−2)E1. 3. S ′′′ obtida de S pela operac¸a˜o elementar E2 −→ E2 + 2E1.Soluc¸a˜o: 1. S ′ : −x + 3y + 4z = 1 5x + 3z = −7 2x + y + 3z = −2 E2 ←→ E3 . CAP. 1 • MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 49 2. S ′′ : 2x − 6y − 8z = −2 2x + y + 3z = −2 5x + 3z = −7 E1 −→ (−2)E1 . 3. S ′′ : −x + 3y + 4z = 1 7y + 11z = 0 5x + 3z = −7 E2 −→ E2 + 2E1 Teorema 1.18. Dois sistemas lineares S e S ′ sa˜o equivalentes se, e somente se, S ′ pode ser obtido de S atrave´s de uma nu´mero finito de operac¸o˜es elementares sobre as equac¸o˜es de S. 1.6 Resoluc¸a˜o de Sistemas Lineares Dado um sistema de equac¸o˜es lineares S : a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2 ... am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm , vamos aplicar o teorema 1.18 e utilizar ou a sua matriz dos coeficientes ou a sua matriz ampliada para obter sua(s) soluc¸a˜o(o˜es). Lembremos que a matriz dos coeficientes de S e matriz ampliada de S sa˜o dadas, respec- tivamente, por: A = a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... ... ... am1 am2 · · · amn e AM = a11 a12 · · · a1n | b1 a21 a22 · · · a2n | b2 ... ... ... ... ... am1 am2 · · · amn | bm . 1.6.1 Me´todos de Resoluc¸a˜o de Sistemas Lineares Me´todo de Gauss-Jordan Ome´todo de Gauss-Jordan consiste em efetuar operac¸o˜es elementares sobre as linhas da matriz ampliada do sistema, ate´ obter sua forma reduzida na forma escada. A matriz ampliada reduzida a` forma escada nos fornecera´ a(s) soluc¸a˜o(o˜es) ou alguma incompatibilidade. A vantagem deste processo e´ que um sistema cuja matriz ampliada e´ uma matriz na forma escada tem soluc¸a˜o(o˜es) ou incompatibilidade imediata(s). Me´todo de Gauss ou do Escalonamento Ome´todo de Gauss consiste em efetuar operac¸o˜es elementares sobre as linhas da matriz ampliada do sistema, ate´ que esteja na forma escalonada. SEC¸A˜O 1.6 • RESOLUC¸A˜O DE SISTEMAS LINEARES 50 Apo´s reduzir a matriz ampliada a` forma escalonada devemos fazer as devidas substituic¸o˜es e obter a(s) soluc¸a˜o(o˜es) ou alguma incompatibilidade. A vantagem deste processo e´ que o nu´mero de operac¸o˜es elementares a serem realizadas e´ bem menor do que o me´todo de Gauss-Jordan. Me´todo da Matriz Inversa Este me´todo tem restric¸o˜es de aplicabilidade, que sa˜o as seguintes: (i) Sistema linear quadrado, ou seja, com o nu´mero de equac¸o˜es igual ao nu´mero de varia´veis. (ii) Matriz dos coeficientes do sistema invert´ıvel. Sob as condic¸o˜es acima escrevendo o sistema linear quadrado S : a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2 ... an1x1 + an2x2 + · · ·+ amnxn = bn na forma matricial temos A ·X = B, supondo que A e´ invert´ıvel, enta˜o existe A−1 e portanto resolvemos o sistema da seguinte maneira: A ·X = B ⇐⇒ A−1 · (A ·X) = A−1 ·B ⇐⇒ (A−1 · A)︸ ︷︷ ︸ In ·X = A−1 ·B ⇐⇒ X = A−1 ·B. Assim, a soluc¸a˜o do sistema e´ X = A−1 ·B. Exemplos: Resolva os seguintes sistemas pelo me´todo de Gauss-Jordan: 1. S : x+ 4y + 3z = 1 2x+ 5y + 4z = 4 x− 3y − 2z = 5 ; 2. S : { x+ 2y + z + w = 0 x+ 3y − z + 2w = 0 ; 3. S : 2x+ 3y = 4 x+ y = 6 3x− 4y = 0 Soluc¸a˜o: 1. A matriz ampliada de S e´ 1 4 3 | 12 5 4 | 4 1 −3 −2 | 5 , escalonando obtemos: 1 4 3 | 12 5 4 | 4 1 −3 −2 | 5 ∼ 1 4 3 | 10 −3 −2 | 2 0 −7 −5 | 4 L2 −→ L2 − 2L1 L3 −→ L3 − L1 ∼ 1 4 3 | 10 1 2 3 | −2 3 0 −7 −5 | 4 L2 −→ −13L2 ∼ 1 0 13 | 1130 1 2 3 | −2 3 0 0 −1 3 | −2 3 L1 −→ L1 − 4L2 L3 −→ L3 + 7L2 CAP. 1 • MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 51 ∼ 1 0 13 | 1130 1 2 3 | −2 3 0 0 1 | 2 L3 −→ −3L3 ∼ 1 0 0 | 30 1 0 | −2 0 0 1 | 2 L1 −→ L1 − 13L3L2 −→ L2 − 23L3 . Logo, a soluc¸a˜o do sistema e´ x = 3 y = −2 z = 2 . 2. A matriz ampliada de S e´ [ 1 2 1 1 | 0 1 3 −1 2 | 0 ] , escalonando obtemos: [ 1 2 1 1 | 0 1 3 −1 2 | 0 ] ∼ [ 1 2 1 1 | 0 0 1 −2 1 | 0 ] L2 −→ L2 − L1 ∼ [ 1 0 5 −1 | 0 0 1 −2 1 | 0 ] L1 −→ L1 − 2L1 . Logo, a soluc¸a˜o do sistema e´{ x+ 5z − w = 0 y + 2z − w = 0 ⇐⇒ { x = −5z + w y = −2z + w , com z e w em IR. 3. A matriz ampliada de S e´ 2 3 | 41 1 | 6 3 −4 | 0 , escalonando obtemos: 2 3 | 41 1 | 6 3 −4 | 0 ∼ 1 1 | 62 3 | 4 3 −4 | 0 L1 ←→ L2 ∼ 1 1 | 60 1 | −8 0 −7 | −18 L2 −→ L2 − 2L1 L3 −→ L3 − 3L1 ∼ 1 0 | 140 1 | −8 0 0 | −74 L1 −→ L1 − L2 L3 −→ L3 + 7L2 . Logo, o sistema na˜o tem soluc¸a˜o, pois a u´ltima linha da matriz na forma escada nos diz que 0 = −74 um absurdo! Exemplo: Resolva o sistema 2x+ y + z = 15 x+ y + z = 6 2x+ 3y + 2z = 10 pelo me´todo da matriz inversa. Soluc¸a˜o: SEC¸A˜O 1.6 • RESOLUC¸A˜O DE SISTEMAS LINEARES 52 A forma matricial do sistema acima e´: 2 1 11 1 1 2 3 2 ︸ ︷︷ ︸ A · xy z ︸ ︷︷ ︸ X = 156 10 ︸ ︷︷ ︸ B . Vimos na sec¸a˜o de matriz inversa que a matriz dos coeficientes A = 2 1 11 1 1 2 3 2 e´ invert´ıvel, e sua inversa e´ A−1 = 1 −1 00 −2 1 −1 4 −1 . Logo, pelo me´todo da matriz inversa a soluc¸a˜o do sistema e´: xy z = 1 −1 00 −2 1 −1 4 −1 · 156 10 = 9−2 −1 . Observac¸o˜es: Seja S um sistema linear quadrado com matriz dos coeficientes A temos: 1. Se detA 6= 0, enta˜o S tem uma u´nica soluc¸a˜o. 2. Se detA = 0, enta˜o ou S tem infinitas soluc¸o˜es ou S na˜o tem soluc¸a˜o. 3. Se S e´ homogeˆneo e detA 6= 0, enta˜o a u´nica soluc¸a˜o de S e´ a soluc¸a˜o trivial. 4. Se S e´ homogeˆneo e detA = 0, enta˜o S tem infinitas soluc¸o˜es. Exerc´ıcio: Resolva os seguintes sistemas lineares: 1. 2x+ 4y = 16 5x− 2y = 4 3x+ y = 9 4x− y = −7 ; 2. 2x+ 4y = 16 5x− 2y = 4 10x− 4y = 3 ; 3. 2x+ y + 7z = 3 x+ 3y + 2z = 5 5x+ 3y + 4z = −5 ; 4. { x− 4y + 12z + 9w = 42 2x− 7y + 26z + 21w = 85 ; 5. 4x− 3y = −18 2y + 5z = −8 x− 2y − 3z = 3 ; 6. x+ 4y + 6z = 11 2x+ 3y + 4z = 9 3x+ 2y + 2z = 7 ; 7. { x+ 3y − 3z = 7 3x+ 9y − 4z = 1 ; 8. 3x+ 5y − 4z = 0 −3x− 2y + 4z = 0 6x+ y − 8z = 0 ; CAP. 1 • MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 53 9. x − 2y − z + 3w = 0 −2x+ 4y + 5z − 5w = 3 x − 2y + 2z + 4w = 5 ; 10. 3x + 6y − 4z − w = 0 −5x + 8z + 3w = 0 8x− y + 7w = 0 ; 11. 3x− 7y + 8z − 5w + 8t = 9 3y − 6z + 6w + 4t = −5 3x− 9y + 12z − 9w + 6t = 15 . 1.6.2 Teorema do Posto Definic¸a˜o 1.19. Sejam A uma matriz e B a sua matriz equivalente na forma escada. (i) O posto de A, denotado por p(A), e´ o nu´mero de linhas na˜o nulas de B. (ii) A nulidade de A, denotada por null(A), e´ a diferenc¸a entre o nu´mero de colunas de A e o posto de A, ou seja, null(A) = n− p(A). Exemplos: Em cada caso determine o posto da matriz A e da matriz AM : 1. A = 1 4 32 5 4 1 −3 −2 e AM = 1 4 3 | 12 5 4 | 4 1 −3 −2 | 5 . 2. A = [ 1 2 1 1 1 3 −1 2 ] e AM = [ 1 2 1 1 | 0 1 3 −1 2 | 0 ] . 3. A = 2 31 1 3 −4 e AM = 2 3 | 41 1 | 6 3 −4 | 0 . Soluc¸a˜o: 1. A forma escada deA e´ I3 = 1 0 00 1 0 0 0 1 e a forma escada deAM e´ 1 0 0 | 30 1 0 | −2 0 0 1 | 2 . Logo, p(A) = p(AM) = 3, null(A) = 3− 3 = 0 e null(AM) = 4− 3 = 1. 2. A forma escada deA e´ [ 1 0 5 −1 0 1 −2 1 ] e a forma escada deAM e´ [ 1 0 5 −1 | 0 0 1 −2 1 | 0 ] . Logo, p(A) = p(AM) = 2, null(A) = 4− 2 = 2 e null(AM) = 5− 2 = 3. 3. A forma escada de A e´ 1 00 1 0 0 e a forma escada de AM e´ 1 0 | 140 1 | −8 0 0 | −74 . Logo, p(A) = 2 e p(AM) = 3, null(A) = 3− 2 = 1 e null(AM) = 3− 3 = 0. SEC¸A˜O 1.6 • RESOLUC¸A˜O DE SISTEMAS LINEARES
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