Algebra Linear A Simone Moraes UFBA

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Universidade Federal de Bahia
Instituto de Matema´tica - IM
Departamento de Matema´tica - DMat
Anotac¸o˜es de Aula
MAT A07 - A´lgebra Linear A
Professora: Simone Moraes
Salvador
Bahia - Brasil
Maio/2017
1
SUMA´RIO
1 Matrizes e Sistemas Lineares 4
1.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Tipos de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.2 Operac¸o˜es com Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.3 Matrizes Sime´tricas, Anti-Sime´tricas e Ortogonais . . . . . . . . . . . 17
1.1.4 Matrizes Hermitianas, Anti-Hermitianas e Unita´rias . . . . . . . . . . 21
1.2 Determinante de uma Matriz Quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.2.1 Ca´lculo de Determinante de uma Matriz Quadrada de ordem 2 . . . . 27
1.2.2 Ca´lculo de Determinante de uma Matriz Quadrada de ordem 3 . . . . 28
1.2.3 Propriedades de Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.3 Inversa de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.3.1 Matriz Adjunta e a Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.3.2 Propriedades da Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.4 Operac¸o˜es Elementares sobre as Linhas de uma Matriz . . . . . . . . . . . . 38
1.4.1 Matriz Linha Equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.4.2 Matriz na Forma Escalonada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.4.3 Matriz na Forma Escalonada Reduzida ou na Forma Escada . . . . . 40
1.4.4 Matriz Inversa atrave´s de Operac¸o˜es Elementares . . . . . . . . . . . 41
1.5 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.5.1 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.5.2 Soluc¸a˜o de um Sistema Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.5.3 Classificac¸a˜o de Sistemas de Equac¸o˜es Lineares . . . . . . . . . . . . 46
1.5.4 Sistema Linear Homogeˆneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.5.5 Sistemas Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.5.6 Operac¸o˜es Elementares sobre as Equac¸o˜es de um Sistema Linear . . . 48
1.6 Resoluc¸a˜o de Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.6.1 Me´todos de Resoluc¸a˜o de Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . 49
1.6.2 Teorema do Posto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2
SUMA´RIO 3
2 Espac¸os Vetoriais 55
2.1 Espac¸os Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.1.1 Exemplos de Espac¸os Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.2 Subespac¸os Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.3 Combinac¸a˜o Linear e Subespac¸o Gerado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.4 Soma, Soma Direta e Intersecc¸a˜o de Subespac¸os . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.5 Dependeˆncia e Independeˆncia Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.6 Base e Dimensa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.7 Coordenadas de um Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.8 Matriz Mudanc¸a de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.9 Base Ortonormal e Base Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.9.1 Produto Interno e Vetores Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.9.2 Norma e Vetores Ortonormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
2.9.3 Processo de Ortogonalizac¸a˜o de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . 112
3 Transformac¸o˜es Lineares 115
3.1 Transformac¸o˜es Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.2 Matriz de uma Transformac¸a˜o Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.3 Nu´cleo e Imagem de uma Transformac¸a˜o Linear . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.3.1 Teorema do Nu´cleo e da Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.4 Transformac¸o˜es Lineares Injetoras e Sobrejetoras . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.5 Inversa de uma Transformac¸a˜o Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.5.1 Isomorfismo e Automorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4 Diagonalizac¸a˜o de Operadores Lineares 141
4.1 Autovalor e Autovetor de um Operador Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.1.1 Autoespac¸o associado a um Autovalor . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.2 Polinoˆmio Caracter´ıstico de um Operador Linear . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.2.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.2.2 Polinoˆmio Caracter´ıstico de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.3 Diagonalizac¸a˜o de Operadores Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4.4 Operadores Auto-Adjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
4.5 Aplicac¸a˜o a` Sistemas Dinaˆmicos Discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Bibliografia 184
CAPI´TULO 1
MATRIZES E SISTEMAS
LINEARES
1.1 Matrizes
Definic¸a˜o 1.1. Uma matriz e´ uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas, em
geral esses elementos sa˜o entes matema´ticos, tais como: nu´meros, func¸o˜es, etc.
Representamos uma matriz de m linhas e n colunas, denotada por A ou por Am×n, da
seguinte maneira:
A =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 · · · amn
 ou A =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 · · · amn
 .
Observac¸o˜es:
1. Cada elemento de uma matriz A e´ tambe´m chamado uma entrada de A.
2. O elemento aij ∈ A esta´ localizado na i-e´sima linha e na j-e´sima coluna de A, por
exemplo a32 e´ o elemento da terceira linha e da segunda coluna.
3. Ale´m da notac¸a˜o acima tambe´m utilizamos:
A = [aij]m×n ou A = (aij)m×n ou A = (aij), com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n.
A tabela abaixo representa as distaˆncias entre as capitais do norte do pais indicadas (em
quilometros):
4
CAP. 1 • MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 5
Bele´m Boa Vista Macapa´ Manaus Porto Velho Rio Branco
Bele´m 0 1432 329 1292 1886 2333
Boa Vista 1432 0 1110 661 1335 1626
Macapa´ 329 1110 0 1054 1724 2159
Manaus 1292 661 1054 0 761 1149
Porto Velho 1886 1335 1724 761 0 449
Rio Branco 2333 1626 2159 1149 449 0
.
Em forma de matriz essas distaˆncias podem ser representadas por:
0 1432 329 1292 1886 2333
1432 0 1110 661 1335 1626
329 1110 0 1054 1724 2159
1292 661 1054 0 761 1149
1886 1335 1724 761 0 449
2333 1626 2159 1149 449 0

.
Ordem de uma Matriz
Uma matriz A de m linhas e n colunas e´ chamada matriz de ordem m por n e indicada
por m× n.
Exemplos:
1. A =
[
5
]
e´ uma matriz de ordem 1× 1
2. A =
 −1 0 3 134 −7 1 2
5 6 −3 0
 e´ uma matriz de ordem 3× 4.
3. A =
[
0 2 −5
−3 7 5
]
e´ uma matriz de ordem 2× 3.
4. A =

1 −1
3 7
0 2
−4 −3
 e´ uma matriz de ordem 4× 2.
SEC¸A˜O 1.1 • MATRIZES 6
Observac¸o˜es:
1. O conjunto de todas matrizes de ordem m×n com entradas nu´meros reais e´ denotado
por Mm×n(IR), ou seja,
Mm×n(IR) =
{
A = [aij]m×n; aij ∈ IR para todo i e todo j
}
.
2. Analogamente, o conjunto de todas matrizes de ordem m × n com entradas nu´meros
complexos e´ dado por
Mm×n(C) =
{
A = [aij]m×n; aij ∈ C para todo i e todo j
}
.
Matriz Quadrada
Uma matriz A com n linhas e n colunas e´ chamada matriz quadrada de ordem n.
Observac¸a˜o: Uma matriz A e´ quadrada se, e somente se, o nu´mero de linhas de A e´ igual
ao nu´mero de colunas de A.
Exemplos:
1. A =
[
3 5
−1 8
]
e´ uma matrizquadrada de ordem 2.
2. A =
 0 −2 51
2
1 −4
10 −9 7
 e´ uma matriz quadrada de ordem 3.
3. A =

2 1 −1 1
−3 3 1 −1
0 1 4 0
1 −1 2 3
 e´ uma matriz quadrada de ordem 4.
Observac¸o˜es:
1. O conjunto de todas matrizes quadradas de ordem com entradas nu´meros reais e´ de-
notado por Mn(IR).
Assim, Mn(IR) =
{
A = [aij]n×n; aij ∈ IR com 1 ≤ i, j ≤ n
}
.
2. Analogamente, Mn(C) =
{
A = [aij]n×n; aij ∈ C com 1 ≤ i, j ≤ n
}
.
CAP. 1 • MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 7
Matriz Linha e Matriz Coluna
Uma matriz que tem uma u´nica linha e´ chamada matriz linha, enquanto que uma
matriz que tem uma u´nica coluna e´ chamada matriz coluna.
Exemplos:
1. A =
[
6 −5 11 4 3 ] e B = [ −3 5 −1 8 9 ] sa˜o matrizes linha.
2. A =

5
−1
8
−4
 e B =
 1−1
2
 sa˜o matrizes coluna.
Matriz Definida por uma Fo´rmula
Uma matriz pode ser definida em termos de uma fo´rmula envolvendo seus ı´ndices, neste
caso a ordem da matriz deve ser dada.
Exemplos:
1. Determine a matriz A = [aij] quadrada de ordem 4 tal que: aij =
{
0, se i 6= j
1, se i = j.
Neste caso, temos:
A =

a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
 =

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 .
2. A matriz A de ordem 3× 4 dada pela fo´rmula
aij =
{
3i− j2, se i > j − 1
i+ 3j, se i ≤ j − 1
e´ a matriz:
A =
 2 7 10 135 2 11 14
8 5 0 15
 .
Igualdade de Matrizes
Duas matrizes A = [aij] e B = [bij] sa˜o iguais se, e somente se,
(i) A e B teˆm a mesma ordem.
(ii) aij = bij para todo i e para todo j.
SEC¸A˜O 1.1 • MATRIZES 8
Exemplo: Sejam as matrizes A =
[
1 −1 2
3 4 7
]
e B =
[
a −1 b
a+ b b2 7
]
, ambas de ordem
2× 3.
As matrizes A e B sa˜o iguais se, e somente se,

a = 1
b = 2
a+ b = 3
b2 = 4
⇐⇒
{
a = 1
b = 2
.
1.1.1 Tipos de Matrizes
Matriz Nula
Uma matriz nula e´ uma matriz em que todas as entradas e´ o nu´mero zero. A matriz
nula de ordem m× n e´ indicada por 0m×n.
Exemplo: A matriz nula de ordem 4× 2 e´ a seguinte: 04×2 =

0 0
0 0
0 0
0 0
 .
Dentre as matrizes quadradas temos alguns tipos especiais que descreveremos a con-
tinuac¸a˜o. Antes pore´m vamos definir diagonal principal e diagonal secunda´ria de uma matriz
quadrada.
Definic¸a˜o 1.2. Seja A uma matriz quadrada de ordem n,
A =

a11 a12 · · · a1(n−1) a1n
a21 a22 · · · a2(n−1) a2n
...
...
. . .
...
...
a(n−1)1 a(n−1)2 · · · a(n−1)(n−1) a(n−1)n
an1 an2 · · · an(n−1) ann
 ,
os elementos aij com i = j constituem a diagonal principal de A. Enquanto que os
elementos aij com i+ j = n+ 1 constituem a diagonal secunda´ria de A.
Observac¸a˜o: Pela definic¸a˜o acima a diagonal principal de uma matriz quadrada A e´ cons-
titu´ıda pelos elementos
a11, a22, · · · , ann,
e a diagonal secunda´ria de A e´ constitu´ıda pelos elementos
a1n, a2(n−1), · · · , a(n−1)2, an1.
Na matriz A a seguir:
A =

a11 a12 · · · a1(n−1) a1n
a21 a22 · · · a2(n−1) a2n
...
...
. . .
...
...
a(n−1)1 a(n−1)2 · · · a(n−1)(n−1) a(n−1)n
an1 an2 · · · an(n−1) ann

CAP. 1 • MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 9
os elementos em azul constituem a diagonal principal, enquanto que os em vermelho consti-
tuem a diagonal secunda´ria.
Matriz Diagonal
Uma matriz A = [aij] quadrada de ordem n e´ chamada matriz diagonal se, e somente
se, os elementos aij = 0 sempre que i 6= j, ou seja,
A =

a11 0 0 · · · 0
0 a22 0 · · · 0
0 0 a33 · · · 0
...
...
...
. . .
...
0 0 0 · · · ann
 .
Observac¸a˜o: Uma matriz quadrada A e´ diagonal se, e somente se, os elementos externos a`
diagonal principal sa˜o todos iguais a zero.
Exemplo: A =

2 0 0 0
0 3 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 5
 e´ uma matriz diagonal.
Matriz Escalar
Uma matriz diagonal de ordem n e´ chamada matriz escalar se, e somente se, os
elementos da diagonal principal sa˜o todos iguais.
Exemplo: As matrizes abaixo sa˜o matrizes escalares:
A =
[
3 0
0 3
]
, B =
 −2 0 00 −2 0
0 0 −2
 e C =

7 0 0 0
0 7 0 0
0 0 7 0
0 0 0 7
 .
Matriz Identidade
A matriz identidade de ordem n, indicada por In, e´ a matriz diagonal de ordem n em
que os elementos da diagonal principal sa˜o todos iguais a 1.
1. I2 =
[
1 0
0 1
]
e´ uma matriz identidade de ordem 2.
2. I3 =
 1 0 00 1 0
0 0 1
 e´ uma matriz identidade de ordem 3.
SEC¸A˜O 1.1 • MATRIZES 10
3. I4 =

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 e´ uma matriz identidade de ordem 4.
Matriz Triangular Superior
Uma matriz A = [aij] quadrada de ordem n e´ chamada matriz triangular superior
se, e somente se, aij = 0 sempre que para i > j, ou seja,
A =

a11 a12 a13 · · · a1n
0 a22 a23 · · · a2n
0 0 a33 · · · a3n
...
...
...
. . .
...
0 0 0 · · · ann
 .
Observac¸a˜o: Uma matriz quadrada A e´ triangular superior se, e somente se, os elementos
abaixo da diagonal principal sa˜o todos iguais a zero.
Exemplo: A =

1 −5 0 7
0 4 2 −1
0 0 0 3
0 0 0 −2
 e´ uma matriz triangular superior.
Matriz Triangular Inferior
Uma matriz A = [aij] quadrada de ordem n e´ chamada matriz triangular inferior se,
e somente se, aij = 0 sempre que para i < j, ou seja,
A =

a11 0 0 · · · 0
a21 a22 0 · · · 0
a31 a32 a33 · · · 0
...
...
...
. . .
...
an1 an2 an3 · · · ann
 .
Observac¸a˜o: Uma matriz quadrada A e´ triangular inferior se, e somente se, os elementos
acima da diagonal principal sa˜o todos iguais a zero.
Exemplo: A =
 8 0 0−1 3 0
5 −2 1
 e´ uma matriz triangular inferior.
CAP. 1 • MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 11
1.1.2 Operac¸o˜es com Matrizes
No que segue consideraremos IF = IR ou IF = C.
Adic¸a˜o de Matrizes
Definic¸a˜o 1.3. Sejam A e B matrizes emMm×n(IF ), a soma de A e B, denotada por A+B,
e´ a matriz em Mm×n(IF ) cujos elementos sa˜o as somas dos elementos correspondentes de A
e B, ou seja, se
A =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 · · · amn
 e B =

b11 b12 · · · b1n
b21 b22 · · · b2n
...
...
. . .
...
bm1 bm2 · · · bmn
 ,
enta˜o
A+B =

a11 + b11 a12 + b12 · · · a1n + b1n
a21 + b21 a22 + b22 · · · a2n + b2n
...
...
. . .
...
anm1 + bm1 am2 + bm2 · · · amn + bmn
 .
Exemplo: Sejam A =
[ −3 8 5 2
4 −5 9 −7
]
2×4
e B =
[
1 −3 11 −8
2 9 −1 7
]
2×4
, enta˜o
A+B =
[ −3 + 1 8 + (−3) 5 + 11 2 + (−8)
4 + 2 −5 + 9 9 + (−1) −7 + 7
]
=
[ −2 5 16 −6
6 4 8 0
]
.
Propriedades da Adic¸a˜o
Sejam A, B e C matrizes em Mm×n(IF ) e 0m×n a matriz nula de ordem m× n, valem:
A1) A+B = B + A, propriedade comutativa.
A2) (A+B) + C = A+ (B + C), propriedade associativa.
A3) A+Om×n = A, propriedade existeˆncia de elemento neutro.
Essas propriedades seguem diretamente da propriedades da adic¸a˜o de nu´meros e da igual-
dade de matrizes.
Multiplicac¸a˜o de uma Matriz por um Escalar
Definic¸a˜o 1.4. Sejam A uma matriz em Mm×n(IF ) e κ um nu´mero em IF , a multiplicac¸a˜o
de A pelo escalar κ, denotado por κ · A, e´ a matriz em Mm×n(IF ) cujos elementos sa˜o os
produtos de κ pelos elementos correspondentes de A, ou seja, se
A =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 · · · amn
 , enta˜o κ · A =

κ · a11 κ · a12 · · · κ · a1n
κ · a21 κ · a22 · · · κ · a2n
...
...
. . .
...
κ · am1 κ · am2 · · · κ · amn
 .
SEC¸A˜O 1.1 • MATRIZES 12
Exemplo: Sejam A =

5 8 −4
0 −7 10
−6 3 2
9 5 4

4×3
e κ = 4, enta˜o
κ · A = 4A =
4× 5 4× 8 4× (−4)
4× 0 4× (−7) 4× 10
4× (−6) 4× 3 4× 2
4× 9 4× 5 4× 4
 =

20 32 −16
0 −28 40
−24 12 8
36 20 16
 .
Propriedades da Multiplicac¸a˜o por Escalar
Sejam A e B matrizes em Mm×n(IF ) e κ e λ nu´meros em IF , valem:
ME1) κ · (A+B) = κ · A+ κ ·B.
ME2) (κ+ λ) · A = κ · A+ λ · A.
ME3) 0︸︷︷︸
nu´mero
·A = Om×n.
ME4) 1 · A = A.
ME5) (κ · λ) · A = κ · (λ · A).
Essas propriedades seguem diretamente da propriedades da multiplicac¸a˜o em IF e da
igualdade de matrizes.
Observac¸a˜o:
Dada uma matriz A em Mm×n(IF ), a matriz −1 ·A, indicada por −A e´ chamada matriz
oposta de A, logo
−A = [cij]m×n, tal que cij = −aij.
A matriz −A e´ o elemento sime´trico de A em relac¸a˜o a` operac¸a˜o adic¸a˜o.
De fato,
A+ (−A) = [bij]m×n, com bij = aij + (−aij) = 0.
Portanto, A+ (−A) = 0m×n e´ a matriz nula de ordem m× n.
Multiplicac¸a˜o de Matrizes
Definic¸a˜o 1.5. Sejam A = [aij] e B = [bij] matrizes em Mm×k(IF ) e em Mk×n(IF ), respec-
tivamente, a multiplicac¸a˜o de A por B, denotada por A ·B, e´ a matriz em Mm×n(IF ):
A ·B = [cij], cujos elementos sa˜o da forma cij = ai1b1j+ai2b2j+ · · ·+aikbkj =
k∑
p=1
aipbpj.
CAP. 1 • MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 13
Observac¸o˜es:
1. De acordo com a definic¸a˜o acima temos, por exemplo:
c11 = a11b11 + a12b21 + · · ·+ a1kbk1 e c12 = a11b12 + a12b22 + · · ·+ a1kbk2.
2. A equac¸a˜o que define os elementos de A · B nos diz que o elemento cij desta matriz,
localizado na i-e´sima linha e j-e´sima coluna, e´ obtido atrave´s da soma de todos os
produtos de cada elemento da i-e´sima linha de A pelo elemento correspondente da
j-e´sima coluna de B, ou seja, se
A =

a11 a12 · · · a1k
a21 a22 · · · a2k
...
...
...
...
ai1 ai2 · · · aik
...
...
...
...
am1 am2 · · · amk

m×k
e B =

b11 b12 · · · b1j · · · b1n
b21 b22 · · · b2j · · · b2n
...
...
...
...
...
...
bk1 bk2 · · · bkj · · · bkn

k×n
,
enta˜o
i-e´sima linha →
j-e´sima coluna
↓
c11
c21
...
ci1
...
cm1
c12
c22
...
ci2
...
cm2
· · ·
· · ·
...
· · ·
· · ·
...
c1j
c2j
...
cij
...
cmj
· · ·
· · ·
...
· · ·
· · ·
...
c1n
c2n
...
cin
...
cmn

m×n
= A·B,
com cij = ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ aikbkj =
k∑
p=1
aipbpj.
Exemplo: Sejam as matrizes A =

−1 7 −5
2 −3 8
5 1 3
0 2 9

4×3
e B =
 3 6−5 4
1 2

3×2
, enta˜o o
produto de A por B e´ a matriz
A·B =

(−1)× 3 + 7× (−5) + (−5)× 1 (−1)× 6 + 7× 4 + (−5)× 2
2× 3 + (−3)× (−5) + 8× 1 2× 6 + (−3)× 4 + 8× 2
5× 3 + 1× (−5) + 3× 1 5× 6 + 1× 4 + 3× 2
0× 3 + 2× (−5) + 9× 1 0× 6 + 2× 4 + 9× 2
 =

−43 12
29 16
13 40
−1 26

4×2
.
SEC¸A˜O 1.1 • MATRIZES 14
Observac¸a˜o: Sejam A e B matrizes, o produto A ·B esta´ definido apenas quando o nu´mero
de colunas A e´ igual ao nu´mero de linhas de B.
Logo, se A ·B esta´ definida nem sempre ocorrera´ o mesmo para B ·A, e mesmo quando
A ·B e B · A estiverem definidas podemos ter A ·B 6= B · A.
Exemplos:
1. Sejam A =
[ −1 5 2
7 0 4
]
2×3
e B =
 1−3
6

3×1
, enta˜o A · B =
[ −4
31
]
2×1
, note que
na˜o esta´ definida B · A, pois:
nu´mero de colunas de B = 1 6= nu´mero de linhas de A = 2.
2. Sejam A =
[
3 0 1
−2 4 7
]
2×3
e B =
 4 −15 2
−6 3

3×2
, enta˜o A ·B =
[
6 0
−30 31
]
2×2
.
No entanto, B ·A =
 14 −4 −311 8 19
−24 12 15

3×3
, ou seja, A ·B e B ·A teˆm ordens diferentes,
logo sa˜o diferentes.
3. Sejam A =
[
4 0
6 −3
]
2×2
e B =
[
5 7
3 −4
]
2×2
, enta˜o
A ·B =
[
20 28
21 54
]
2×2
e B · A =
[
62 −2
−12 12
]
2×2
,
neste caso A ·B e B · A teˆm a mesma ordem, mas sa˜o diferentes.
Propriedades da Multiplicac¸a˜o
M1) Se A e´ uma matriz em Mm×n(IF ), enta˜o:
(a) A · In = Im · A = A.
(b) A · 0n×l = 0m×l e 0l×m · A = 0l×n.
M2) Sejam A ∈Mm×p(IF ), B ∈Mp×k(IF ) e C ∈Mk×n(IF ) matrizes, enta˜o:(
Am×p ·Bp×k
)
m×k · Ck×n = Am×p ·
(
Bp×k · Ck×n
)
p×n,
propriedade associativa.
M3) (a) Sejam A em Mm×k(IF ), B e C em Mk×n(IF ), enta˜o:
A · (B + C) = A ·B + A · C.
CAP. 1 • MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 15
(b) Sejam A e Bm×k em Mm×k(IF ) e C em Mk×n(IF ), temos:
(A+B) · C = A · C +B · C,
propriedade distributiva.
M4) Sejam A em Mm×kn(IF ) e B em Mk×n(IF ) e κ um nu´mero em IF , enta˜o:
κ · (A ·B) = (κ · A) ·B = A · (κ ·B).
Essas propriedades seguem diretamente da propriedades da multiplicac¸a˜o de nu´meros e
da igualdade de matrizes.
Observac¸o˜es:
1. Dada uma matriz quadrada A em Mn(IF ) a k-e´sima poteˆncia de A, com k ∈ IN∗,
denotada por Ak, e´ o produto de A por A k-vezes, ou seja
Ak = A · A · · · · · A︸ ︷︷ ︸
k vezes
.
2. Se E e´ uma matriz escalar e A matriz quadrada, ambos em Mn(IF ), enta˜o
E · A = A · E.
De fato, seja E a matriz escalar em Mn(IF ) cujos elementos da diagonal principal sa˜o
todos iguais a d ∈ IF e A = [aij], enta˜o
E · A = [bij], com bij = d× aij e = A · E = [cij], com cij = aij × d.
Transposta de uma Matriz
A transposta de uma matriz A = [aij] em Mm×n(IF ), denotada por AT , e´ a matriz
cujas respectivas linhas sa˜o as respectivas colunas de A, ou seja,
AT = [bij] tal que bij = aji.
E´ claro que a ordem de AT e´ n×m.
Observac¸a˜o: SeA =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 · · · amn

m×n
, enta˜o AT =

a11 a21 · · · am1
a12 a22 · · · am2
...
...
. . .
...
a1n a2n · · · amn

n×m
.
SEC¸A˜O 1.1 • MATRIZES 16
Propriedades da Transposta
Segue diretamente da definic¸a˜o de transposta que se A e B sa˜o matrizes em Mm×n(IF ),
C e´ uma matriz em Mn×k(IF ) e κ um nu´mero em IF , enta˜o valem as seguintes propriedades:
T1) (A
T )T = A.
T2) (A+B)
T = AT +BT .
T3) (κ · A)T = κ · AT .
T4)
((
Am×n · Cn×k
)T)
k×m
=
(
(CT )k×n · (AT )n×m
)
k×m
.
Trac¸o de uma Matriz
Seja A uma matriz quadrada em Mn(IF ) o trac¸o de A, denotado por tr(A), e´ o nu´mero
dado pela soma dos elementos da diagonal principal de A.
Assim, se A = [aij]n×n, enta˜o
tr(A) = a11 + a22 + · · · + ann.
Propriedades do Trac¸o
Segue diretamente da definic¸a˜o de trac¸o de uma matriz quadrada, que dadas A e B
matrizes quadradas em Mn(IF ) e κ um nu´mero em IF valem:
TR1) tr(A) = tr(A
T ).
De fato, uma matriz quadrada e sua transposta teˆm a mesma diagonal principal.
TR2) tr(A+B) = tr(A) + tr(B).
De fato, a diagonal principal da soma de duas matrizes quadradas e´ a soma das dia-
gonais principais de cada uma das matrizes.
TR3) tr(κ · A) = κ · tr(A).
De fato, a diagonal principal da matriz κ · A e´ a soma dos elementos da diagonal
principal de A previamente multiplicados por κ.
TR4) tr(A ·B) = tr(A ·B).
De fato, sejam A = [aij] ∈Mm×n(IF ) e B = [bij]inMn×m(IF ), enta˜o:
A ·B = [cij] ∈Mm(IF ), com cij =
n∑
k=1
aikbkj, para 1 ≤ i, j ≤ m;
B · A = [dij] ∈Mn(IF ), com dij =
m∑
k=1
bikakj, para 1 ≤ i, j ≤ n.
CAP. 1 • MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 17
Logo,
tr(A ·B) = c11 + c22 + · · ·+ cmm
= a11b11 + a12b21 + · · ·+ a1nbn1 + a21b12 + a22b22 + · · ·+ a2nbn2 + · · ·+
am1b1m + am2b2m + · · ·+ amnbnm
= b11a11 + b12a21 + · · ·+ b1mam1 + b21a12 + b22a22 + · · ·+ b2mam2 + · · ·+
bn1a1n + bn2a2n + · · ·+ bnmamn
= d11 + d22 + · · ·+ dnn = tr(B · A).
1.1.3 Matrizes Sime´tricas, Anti-Sime´tricas e Ortogonais
Matriz Sime´trica
Uma matriz quadrada A em Mn(IR) e´ sime´trica se, e somente se, para todo i e para
todo j os elementos aij e aji coincidem, ou seja, aij = aji.
Observac¸a˜o: Uma matriz A = [aij] em Mn(IR) e´ sime´trica, se e somente se,
A =

a11 a12 a13 · · · a1na12 a22 a23 · · · a2n
a13 a23 a33 · · · a3n
...
...
...
. . .
...
a1n a2n a3n · · · ann
 ,
ou seja, se e somente A coincide com sua transposta.
Logo, A ∈Mn(IR) e´ sime´trica se, e somente se, A = AT .
Exemplo: A =

3 −2 7 1
−2 5 3 0
7 3 −4 1
1 0 1 −6
 e´ uma matriz sime´trica, pois
AT =

3 −2 7 1
−2 5 3 0
7 3 −4 1
1 0 1 −6
 = A.
Matriz Anti-Sime´trica
Uma matriz quadrada A em Mn(IR) e´ anti-sime´trica se, e somente se, para todo i e
para todo j os elementos aij e aji sa˜o opostos, ou seja, aij = −aji.
SEC¸A˜O 1.1 • MATRIZES 18
Observac¸o˜es:
1. Uma matriz A = [aij] ∈Mn(IR) e´ anti-sime´trica, se e somente se,
A =

0 a12 a13 · · · a1n
−a12 0 a23 · · · a2n
−a13 −a23 0 · · · a3n
...
...
...
. . .
...
−a1n −a2n −a3n · · · 0
 ,
ou seja, se e somente A coincide com a oposta de sua transposta.
Logo, A ∈Mn(IR) e´ anti-sime´trica se, e somente se, A = −AT .
2. A diagonal de uma matriz anti-sime´trica e´ nula, pois os elementos devem satisfazer
aii = −aii ⇐⇒ aii = 0.
Exemplo: A =

0 4 5 −9
−4 0 −7 11
−5 7 0 4
9 −11 −4 0
 e´ uma matriz anti-sime´trica, pois
−AT = −

0 −4 −5 9
4 0 7 −11
5 −7 0 −4
−9 11 4 0
 =

0 4 5 −9
−4 0 −7 11
−5 7 0 4
9 −11 −4 0
 = A.
Proposic¸a˜o 1.6. Se A e´ uma matriz em Mn(IR), enta˜o:
(i) A matriz
1
2
(A+ AT ) e´ sime´trica.
(ii) A matriz
1
2
(A− AT ) e´ anti-sime´trica.
(iii) Toda matriz quadrada real e´ a soma de uma matriz sime´trica com uma matriz anti-
sime´trica.
Demonstrac¸a˜o: Seja A uma matriz quadrada real enta˜o temos:
(i)
(
1
2
(A+ AT )
)T
=
1
2
(
AT + (AT )T
)
=
1
2
(A+ AT ), portanto
1
2
(A+ AT ) e´ sime´trica.
(ii)
(
1
2
(A−AT )
)T
=
1
2
(
AT − (AT )T
)
=
1
2
(
AT −A
)
= −1
2
(A−AT ), portanto 1
2
(A−AT )
e´ anti-sime´trica.
(iii) A =
1
2
(
A+ A+ AT − AT
)
=
1
2
(A+ AT )︸ ︷︷ ︸
sime´trica
+
1
2
(A− AT )︸ ︷︷ ︸
anti-sime´trica
.
CAP. 1 • MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 19
Matriz Normal Real
Uma matriz quadrada A em Mn(IR) e´ normal se, e somente se,
A · AT = AT · A,
ou seja, se e somente se, o produto de A por sua transposta AT e´ comutativo.
Exemplo: A =
 3 1 −5−1 3 −2
5 2 3
 e´ uma matriz real normal, pois
A · AT =
 3 1 −5−1 3 −2
5 2 3
 ·
 3 −1 51 3 2
−5 −2 3
 =
 35 10 210 14 −5
2 −5 38

=
 3 −1 51 3 2
−5 −2 3
 ·
 3 1 −5−1 3 −2
5 2 3
 = AT · A.
Observac¸o˜es:
1. Toda matriz sime´trica e´ matriz normal, pois
A · AT A=AT= A · A A=AT= AT · A.
2. Toda matriz anti-sime´trica e´ matriz normal, pois
A · AT AT=−A= A · (−A) A=−AT= (−AT ) · (−A) = AT · A.
3. Se A e´ matriz quadrada em Mn(IR) que e´ a soma de uma matriz anti-sime´trica e uma
matriz escalar, enta˜o A e´ matriz normal.
De fato, suponhamos que A = E + S, com E matriz escalar e S matriz anti-sime´trica,
enta˜o:
A · AT = (E + S) · (E + S)T = (E + S) · (ET + ST ) ET=E, ST=−S= (E + S) · (E − S)
= E2 + S · E − E · S − S2 ES=SE= E2 − S2.
Analogamente, AT · A = E2 − S2.
Portanto, A e´ normal.
SEC¸A˜O 1.1 • MATRIZES 20
Matriz Ortogonal
Uma matriz quadrada A em Mn(IR) e´ ortogonal se, e somente se, A · AT = In.
Exemplos: Mostre que as matrizes abaixo sa˜o ortogonais:
1. A =
[
cos θ −sen θ
sen θ cos θ
]
com θ ∈ [0, 2pi);
2. A =

1√
2
1√
6
− 1√
3
0 2√
6
1√
3
1√
2
− 1√
6
1√
3
; 3. A =

1
2
−1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
−1
2
−1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
−1
2
1
2
 .
Soluc¸a˜o:
1.
A · AT =
[
cos θ −sen θ
sen θ cos θ
]
·
[
cos θ sen θ
−sen θ cos θ
]
=
[
cos2 θ + sen2θ cos θ sen θ − sen θ cos θ
cos θ sen θ − sen θ cos θ sen2θ + cos2 θ
]
=
[
1 0
0 1
]
.
Portanto, A e´ ortogonal.
2.
A · AT =

1√
2
1√
6
− 1√
3
0 2√
6
1√
3
1√
2
− 1√
6
1√
3
 ·

1√
2
0 1√
2
1√
6
2√
6
− 1√
6
1√
3
1√
3
1√
3

=
 12 + 16 + 13 26 − 13 12 − 162
6
− 1
3
4
6
+ 1
3
−2
6
+ 1
3
1
2
− 1
6
− 1
3
−2
6
+ 1
3
1
2
+ 1
6
+ 1
3
 =
 1 0 00 1 0
0 0 1
 .
Portanto, A e´ ortogonal.
3.
A · AT =

1
2
−1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
−1
2
−1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
−1
2
1
2
 ·

1
2
1
2
−1
2
1
2
−1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
−1
2
1
2
−1
2
1
2
1
2

=

1
4
+ 1
4
+ 1
4
+ 1
4
1
4
+ 1
4
− 1
4
− 1
4
−1
4
− 1
4
+ 1
4
+ 1
4
1
4
− 1
4
− 1
4
+ 1
4
1
4
− 1
4
+ 1
4
− 1
4
1
4
+ 1
4
+ 1
4
+ 1
4
−1
4
+ 1
4
+ 1
4
− 1
4
1
4
+ 1
4
− 1
4
− 1
4
−1
4
− 1
4
+ 1
4
+ 1
4
1
4
+ 1
4
− 1
4
− 1
4
1
4
+ 1
4
+ 1
4
+ 1
4
−1
4
+ 1
4
− 1
4
+ 1
4
1
4
− 1
4
− 1
4
+ 1
4
1
4
+ 1
4
− 1
4
− 1
4
−1
4
+ 1
4
− 1
4
+ 1
4
1
4
+ 1
4
+ 1
4
+ 1
4

=

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 .
Portanto, A e´ ortogonal.
CAP. 1 • MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 21
Proposic¸a˜o 1.7. Se A ∈M2(IR) e´ uma matriz ortogonal, enta˜o:
A =
[
cos θ sen θ
sen θ − cos θ
]
ou A =
[
cos θ −sen θ
sen θ cos θ
]
para algum θ ∈ [0, 2pi).
Demonstrac¸a˜o: Se A =
[
a b
c d
]
∈M2(IR) e´ uma matriz ortogonal, enta˜o
A · AT = I2 ⇐⇒
[
a b
c d
]
·
[
a c
b d
]
=
[
1 0
0 1
]
⇐⇒
[
a2 + b2 ac+ bd
ac+ bd c2 + d2
]
=
[
1 0
0 1
]
⇐⇒

a2 + b2 = 1
c2 + d2 = 1
ac+ bd = 0
.
Como a2 + b2 = 1 existe θ ∈ [0, 2pi) tal que a = cos θ e b = sen θ, da mesma maneira
como c2 + d2 = 1 existe φ ∈ [0, 2pi) tal que c = cosφ e d = sen φ.
Assim, a equac¸a˜o ac+ bd = 0 pode ser escrita como
cos θ cosφ + sen θ sen φ = 0⇐⇒ cos(φ− θ) = 0
⇐⇒ φ− θ = pi
2
+ kpi, com k ∈ ZZ ⇐⇒ φ = θ + pi
2
+ kpi, com k ∈ ZZ.
Logo,
cosφ = cos
(
θ +
(
pi
2
+ kpi
))
= ∓sen θ
sen φ = sen
(
θ +
(
pi
2
+ kpi
))
= ± cos θ.
Portanto,
A =
[
cos θ sen θ
sen θ − cos θ
]
ou A =
[
cos θ −sen θ
sen θ cos θ
]
para algum θ ∈ [0, 2pi).
1.1.4 Matrizes Hermitianas, Anti-Hermitianas e Unita´rias
Conjugada Transposta de uma Matriz Complexa
Seja A = [aij] uma matriz em Mm×n(C), a matriz conjugada de A, indicada por
A = [aij] e´ matriz cujos elementos sa˜o os respectivos conjugados dos elementos de A.
A conjugada transposta de uma matriz complexa A = [aij] ∈Mm×n(C), denotada por
A∗, e´ a matriz cujas respectivas linhas sa˜o as respectivas colunas de A, ou seja,
A∗ = [bij] tal que bij = aji.
E´ claro que a ordem de A∗ esta´ em Mn×m(C).
SEC¸A˜O 1.1 • MATRIZES 22
Observac¸a˜o: SeA =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 · · · amn

m×n
, enta˜o A∗ =

a11 a21 · · · am1
a12 a22 · · · am2
...
...
. . .
...
a1n a2n · · · amn

n×m
.
Propriedades da Conjugada Transposta
Segue diretamente da definic¸a˜o de transposta que para A e B matrizes em Mm×n(C), C
matriz em Mn×k(C) e κ um nu´mero complexo valem as seguintes propriedades:
CT1) (A
∗)∗ = A.
CT2) (A+B)
∗ = A∗ +B∗.
CT3) (κ · A)∗ = κ · A∗.
CT4) (A · C)∗ = C∗ · A∗.
Matriz Hermitiana
Uma matriz quadrada A em Mn(C) e´ hermitiana se, e somente se, para todo i e para
todo j o elemento aij e o conjugado de aji coincidem, ou seja, aij = aji.
Portanto, A e´ hermitiana, se e somente se, A = A∗.
Observac¸o˜es:1. Uma matriz A = [aij] quadrada em Mn(C) e´ hermitiana, se e somente se,
A =

a11 a12 a13 · · · a1n
a12 a22 a23 · · · a2n
a13 a23 a33 · · · a3n
...
...
...
. . .
...
a1n a2n a3n · · · ann
 ,
ou seja, se e somente se, A coincide com sua conjugada transposta, ou seja, A = A
T
,
com A a matriz conjugada de A.
2. A diagonal de uma matriz hermitiana A = [aij] e´ constitu´ıda apenas por nu´meros reais.
De fato, pois os elementos akk de A devem satisfazer:
akk = akk ⇐⇒ ak+bki = ak + bki⇐⇒ ak+bki = ak−bki⇐⇒
{
ak = ak
bk = −bk ⇐⇒ bk = 0.
CAP. 1 • MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 23
Exemplo: A =
 3 1− 2i i1 + 2i 5 2− i
−i 2 + i −6
 e´ uma matriz hermitiana, pois
A∗ = A
T
=
 3 1− 2i i1 + 2i 5 2− i
−i 2 + i −6

T
=
 3 1 + 2i −i1− 2i 5 2 + i
i 2− i −6
T =
 3 1− 2i i1 + 2i 5 2− i
−i 2 + i −6
 = A.
Matriz Anti-Hermitiana
Uma matriz quadrada A em Mn(C) e´ anti-hermitiana se, e somente se, para todo i e
para todo j os elementos aij e aji sa˜o opostos, ou seja, aij = −aji.
Portanto, A e´ anti-hermitiana, se e somente se, A = −A∗.
Observac¸o˜es:
1. Uma matriz A = [aij] quadrada em Mn(C) e´ anti-hermitiana, se e somente se,
A =

0 a12 a13 · · · a1n
−a12 0 a23 · · · a2n
−a13 −a23 0 · · · a3n
...
...
...
. . .
...
−a1n −a2n −a3n · · · 0
 ,
ou seja, se e somente se, A coincide com a oposta de sua conjugada transposta, ou seja,
A = −AT .
2. A diagonal de uma matriz anti-hermitiana A+[aij e´ constitu´ıda por imagina´rios puros.
De fato, os elementos akk da diagonal principal devem satisfazer:
akk = −akk ⇐⇒ ak + bki = −(ak + bki)⇐⇒ ak + bki = −(ak − bki)⇐⇒
ak + bki = −ak + bki⇐⇒
{
ak = −ak
bk = bk
⇐⇒ ak = 0.
SEC¸A˜O 1.1 • MATRIZES 24
Exemplo: A =
 2i 2− 3i 3 + i−2− 3i −i −1 + 4i
−3 + i 1 + 4i 5i
 e´ uma matriz anti-hermitiana, pois
A∗ = A
T
=
 2i 2− 3i 3 + i−2− 3i −i −1 + 4i
−3 + i 1 + 4i 5i

T
=
 −2i 2 + 3i 3− i−2 + 3i i −1− 4i
−3− i 1− 4i −5i
T
=
 −2i −2 + 3i −3− i2 + 3i i 1− 4i
3− i −1− 4i −5i
 = −
 2i 2− 3i 3 + i−2− 3i −i −1 + 4i
−3 + i 1 + 4i 5i
 = −A.
Proposic¸a˜o 1.8. Se A e´ uma matriz em Mn(C), enta˜o:
(i) A matriz
1
2
(A+ A∗) e´ hermitiana.
(ii) A matriz
1
2
(A− A∗) e´ anti-hermitiana.
(iii) Toda matriz quadrada complexa e´ a soma de uma matriz hermitiana com uma matriz
anti-hermitiana.
Demonstrac¸a˜o: Seja A uma matriz quadrada complexa enta˜o temos:
(i)
(
1
2
(
A+ A∗
))∗
=
1
2
(
A∗ + (A∗)∗
)
=
1
2
(
A∗ + A
)
.
Logo,
1
2
(A+ A∗) e´ hermitiana.
(ii)
(
1
2
(
A− A∗))∗ = 1
2
(
A∗ − (A∗)∗
)
=
1
2
(
A∗ − A
)
= −1
2
(
A− A∗).
Logo,
(
A− A∗) e´ anti-hermitiana.
(iii) A =
1
2
(
A+ A+ A∗ − A∗
)
=
1
2
(A+ A∗)︸ ︷︷ ︸
hermitiana
+
1
2
(A− A∗)︸ ︷︷ ︸
anti-hermitiana
.
Matriz Normal Complexa
Uma matriz A quadrada em Mn(C) e´ normal se, e somente se,
A · A∗ = A∗ · A,
ou seja, se e somente se, o produto de A por sua conjugada transposta A∗ e´ comutativo.
CAP. 1 • MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 25
Observac¸o˜es:
1. Toda matriz hermitiana e´ matriz normal, pois
A · A∗ A=A∗= A · A A=A∗= A∗ · A.
2. Toda matriz anti-hermitiana e´ matriz normal, pois
A · A∗ A∗=−A= A · (−A) A=−A∗= (−A∗) · (−A) = A∗ · A.
3. Se A e´ matriz quadrada em Mn(C) que e´ a soma de uma matriz anti-hermitiana e uma
matriz escalar real, enta˜o A e´ matriz normal.
De fato, suponhamos que A = E+H, com E matriz escalar eH matriz anti-hermitiana,
enta˜o:
A · AT = (E +H) · (E +H)∗ = (E +H) · (E∗ +H∗) E∗=E H∗=−H= (E +H) · (E −H)
= E2 +H · E − E ·H −H2 EH=HE= E2 −H2.
Analogamente, AT · A = E2 −H2.
Portanto, A e´ normal.
Exemplo: A =

i 1 + i 2 3− i
−1 + i 5i 4 + 7i −9i
−2 −4 + 7i −i 11
−3− i −9i −11 0
 e´ uma matriz complexa normal, pois
A∗ =

−i −1− i −2 −3 + i
1− i −5i −4− 7i 9i
2 4− 7i i −11
3 + i 9i 11 0
 = −A.
Logo, A e´ anti-hermitiana e, portanto normal.
Matriz Unita´ria
Uma matriz quadrada A em Mn(C) e´ unita´ria se, e somente se, A · A∗ = In.
Exemplos: A matriz A =

√
2
2
i
√
2
2
−
√
2
2
−
√
2
2
i
 e´ unita´ria.
SEC¸A˜O 1.2 • DETERMINANTE DE UMA MATRIZ QUADRADA 26
De fato:
A · A∗ =

√
2
2
i
√
2
2
−
√
2
2
−
√
2
2
i
 ·

−
√
2
2
i
√
2
2
−
√
2
2
√
2
2
i

T
=

√
2
2
i
√
2
2
−
√
2
2
−
√
2
2
i
 ·

−
√
2
2
i −
√
2
2
√
2
2
√
2
2
i
 =
[
1 0
0 1
]
.
Portanto, A e´ unita´ria.
1.2 Determinante de uma Matriz Quadrada
Dada uma matriz quadrada A em Mn(IF ) associamos a A um nu´mero chamado deter-
minante de A, denotado por detA, que definiremos de maneira recorrente.
1o Caso: n = 1
Se A = [a11] quadrada em M1(IF ), enta˜o detA = a11, neste caso o determinante e´ o
valor nume´rico da u´nica entrada da matriz.
Exemplos: 1. A = [−3], enta˜o detA = −3. 2. A = [7], enta˜o detA = 7.
Para os casos em que A esta´ em Mn(IF ), com n ≥ 2, necessitamos definir o sinal dos
elementos de A:
Sinal de um Elemento aij ∈ A
Dada uma matriz A = [aij] qualquer em Mn(IF ), a cada elemento de A lhe atribu´ımos
um sinal: + ou −, da seguinte maneira:
sinal (aij) =
{
+ se i+ j e´ par
− se i+ j e´ ı´mpar .
Exemplos:
1. Os sinais de uma matriz A em M2(IF ):
[
+ −
− +
]
.
2. Os sinais de uma matriz A em M2(IF ):
 + − +− + −
+ − +
 .
CAP. 1 • MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 27
Cofator de um Elemento aij
Dada uma matriz A = [aij] quadrada em Mn(IF ) o cofator do elemento de aij,
denotado por ∆ij, e´ o seguinte nu´mero em IF :
∆ij = sinal (aij) · detAij,
com Aij a matriz quadrada em Mn−1(IF ) obtida de A retirando a i-e´sima linha e a j-e´sima
coluna.
A matriz dos cofatores de A e´ chamada matriz cofatora de A e denotada por cof(A).
Exemplo: Encontre os cofatores da matriz A =
[ −1 3
4 7
]
.
Soluc¸a˜o:
∆11 = sinal (−1) · 7 = 7 ∆12 = sinal (3) · 4 = −4
∆21 = sinal (4) · 3 = −3 ∆22 = sinal (7) · (−1) = −1.
Logo, cof (A) =
[
7 −4
−3 −1
]
.
Definic¸a˜o 1.9. Seja A uma matriz quadrada em Mn(IF ), com n ≥ 2, o determinante de
A, denotado por detA, e´ o nu´mero dado pela soma dos produtos dos elementos de uma linha
ou coluna qualquer de A pelos seus respectivos cofatores.
Assim, o ca´lculo de detA pela i-e´sima linha e´:
detA = ai1 ·∆i1 + ai2 ·∆i2 + · · ·+ ain ·∆in =
n∑
k=1
aik ·∆ik.
Enquanto, que o ca´lculo e detA pela j-e´sima coluna e´:
detA = a1j ·∆1j + a2j ·∆i2 + · · ·+ anj ·∆nj =
n∑
k=1
akj ·∆kj.
1.2.1 Ca´lculo de Determinante de uma Matriz Quadrada de
ordem 2
Seja
A =
[
a11 a12
a21 a22
]
uma matriz quadrada em M2(IF ), o determinante de A, pela primeira linha e´:
detA = a11 ·∆11 + a12 ·∆12 = a11 · a22 + a12 · (−a21) = a11 · a22 − a12 · a21.
Calculando pela segunda coluna obtemos:
detA = a12 ·∆12+a22 ·∆22 = a12 · (−a21)+a22 ·a22 = −a12 ·a21+a22 ·a11 = a11 ·a22−a12 ·a21.
Assim,
detA = a11 · a22 − a12 · a21,
SEC¸A˜O 1.2 • DETERMINANTE DE UMA MATRIZ QUADRADA 28
ou seja, e´ o produto do elemento da diagonal principal menos o produto dos elementos da
diagonal secunda´ria.
Exemplo: Calcule o determinante da matriz A =
[ −1 3
4 7
]
.
Soluc¸a˜o:
Pelo desenvolvimento acima temos:
detA = (−1) · 7− 3 · 4 = −7− 12 = −19.
1.2.2 Ca´lculo de Determinante de uma Matriz Quadrada de
ordem 3
Seja
A =
 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33

uma matriz quadrada em M3(IF ), o determinante de A, pela primeira linha e´:
detA = a11 ·∆11 + a12 ·∆12 + a13 ·∆13
= a11 · det
[
a22 a23
a32a33
]
− a12 · det
[
a21 a23
a31 a33
]
+ a13 · det
[
a21 a22
a31 a32
]
= a11 ·
(
a22a33 − a23a32
)− a12 · (a21a33 − a23a31)+ a13 · (a21a32 − a22a31)
= a11a22a33 − a11a23a32 − a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31.
Calculando pela terceira coluna obtemos:
detA = a13 ·∆13 + a23 ·∆23 + a33 ·∆33
= a13 · det
[
a21 a22
a31 a32
]
− a23 · det
[
a11 a12
a31 a32
]
+ a33 · det
[
a11 a12
a21 a22
]
= a13 ·
(
a21a32 − a22a31
)− a23 · (a11a32 − a12a31)+ a33 · (a11a22 − a12a21)
= a13a21a32 − a13a22a31 − a23a11a32 + a23a12a31 + a33a11a22 − a33a12a21.
Assim,
detA = a11a22a33 − a11a23a32 − a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31.
Exemplo: Calcule o determinante da matriz A =
 2 1 11 1 1
2 3 2
 .
Soluc¸a˜o:
Calculando pela terceira linha temos
detA = 2 ·∆31 + 3 ·∆32 + 2 ·∆33
= 2 · det
[
1 1
1 1
]
+ (−3) · det
[
2 1
1 1
]
+ 2 · det
[
2 1
1 1
]
= 2 · (1− 1)− 3 · (2− 1) + 2 · (2− 1) = 0− 3 + 2 = −1.
CAP. 1 • MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 29
Calculemos tambe´m pela primeira coluna:
detA = 2 ·∆12 + 1 ·∆22 + 2 ·∆32
= 2 · det
[
1 1
3 2
]
+ (−1) · det
[
1 1
3 2
]
+ 2 · det
[
1 1
1 1
]
= 2 · (2− 3) + (−1) · (2− 3) + 2 · (1− 1) = −2 + 1 + 0 = −1.
Observac¸o˜es:
1. Tambe´m indicamos o determinante de A por |A|, assim, por exemplo:∣∣∣∣ −1 34 7
∣∣∣∣ = −19 e
∣∣∣∣∣∣
2 1 1
1 1 1
2 3 2
∣∣∣∣∣∣ = −1.
2. O ca´lculo do determinante de matrizes quadradas em Mn(IF ), com n ≥ 4, e´ feito
recorrentemente.
(a) No ca´lculo de detA, com A quadrada em M4(IF ), deveremos calcular o determi-
nante de 4 matrizes quadradas em M3(IF ).
(b) No ca´lculo de detA, com A quadrada em M5(IF ), deveremos calcular o determi-
nante de 5 matrizes quadradas em M4(IF ).
(c) De modo geral, no ca´lculo de detA, com A quadrada em Mn(IF ), deveremos
calcular o determinante de n matrizes quadradas em Mn−1(IF ).
Exemplo: Calcule o determinante da matriz A =

1 −1 2 3
2 1 0 1
3 −1 1 2
2 −1 0 1
 .
Soluc¸a˜o:
Calculando pela terceira coluna temos
detA = 2 ·∆13 + 0 ·∆23 + 1 ·∆33 + 0 ·∆43
= 2 · (−1)1+3 · det A13︸ ︷︷ ︸
∆13
+1 · (−1)3+3 · det A33︸ ︷︷ ︸
∆33
= 2 ·
∣∣∣∣∣∣
2 1 1
3 −1 2
2 −1 1
∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣
1 −1 3
2 1 1
2 −1 1
∣∣∣∣∣∣
= 2 ·
(
2
∣∣∣∣ −1 2−1 1
∣∣∣∣− ∣∣∣∣ 3 22 1
∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ 3 −12 −1
∣∣∣∣)︸ ︷︷ ︸
ca´lculo pela 1a linha
+
(∣∣∣∣ 1 1−1 1
∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ 2 12 1
∣∣∣∣+ 3 ∣∣∣∣ 2 12 −1
∣∣∣∣)︸ ︷︷ ︸
ca´lculo pela 1a linha
= 2 · (2× 1− (−1) + (−1))+ (2 + 0 + 3× (−4)) = 2 · (2 + 1− 1) + (2− 12) = −6.
SEC¸A˜O 1.2 • DETERMINANTE DE UMA MATRIZ QUADRADA 30
Logo,
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 −1 2 3
2 1 0 1
3 −1 1 2
2 −1 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = −6.
1.2.3 Propriedades de Determinantes
Seja A uma matriz quadrada em Mn(IF ), valem as seguintes propriedades:
D1) detA = detA
T .
D2) Se A possui uma linha ou uma coluna com todos os elementos nulo, enta˜o detA = 0.
D3) Se A tem duas linhas ou duas colunas iguais (ou proporcionais), enta˜o detA = 0.
D4) Se B e´ obtida de A permutando duas linhas ou duas colunas, enta˜o detB = − detA.
D5) Se B e´ obtida de A multiplicando todos os elementos de uma linha ou uma coluna por
um nu´mero κ, enta˜o detB = κ · detA.
D6) Se B e´ obtida de A somando a uma linha (ou coluna) de A a uma outra linha (ou
coluna) multiplicada por um nu´mero qualquer, enta˜o detB = detA
D7) Se B = κA, com κ ∈ IF , enta˜o detB = κn · detA.
D8) Se B tambe´m esta´ em Mn(IF ), enta˜o det(A ·B) = detA · detB.
D9) Se A e´ uma matriz diagonal, enta˜o o determinante de A e´ o produto dos elementos da
diagonal principal.
D10) Se A e´ uma matriz triangular (superior ou inferior), enta˜o o determinante de A e´ o
produto dos elementos da diagonal principal.
D11) Sejam B =

a11 a12 · · · a1n
...
...
. . .
...
bi1 bi2 · · · bin
...
...
. . .
...
am1 am2 · · · amn
 e C =

a11 a12 · · · a1n
...
...
. . .
...
ci1 ci2 · · · cin
...
...
. . .
...
am1 am2 · · · amn
 matrizes que
diferem apenas na i-e´sima linha.
Se A =

a11 a12 · · · a1n
...
...
. . .
...
bi1 + ci1 bi2 + ci2 · · · bin + cin
...
...
. . .
...
am1 am2 · · · amn
, ou seja, A coincide com as matrizes B
e C, exceto na i-e´sima linha, nesta linha os elementos de A sa˜o a soma dos elementos
da i-e´sima linha de B com os respectivos elementos da i-e´sima linha de C, enta˜o
detA = detB + detC.
CAP. 1 • MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 31
A propriedade tambe´m e´ va´lida se B e C coincidem exceto na j-e´sima coluna e A
coincide com as matrizes B e C, exceto na j-e´sima coluna nesta coluna os elementos
de A sa˜o a soma dos elementos da j-e´sima coluna de B com os respectivos elementos
da j-e´sima coluna de C.
Observac¸a˜o: No que segue dada uma matriz A em Mn(IF ) vamos indicar a i-e´sima linha
de A por Li e a j-e´sima coluna de A por Cj.
Exemplos: Calcule detA, em cada um dos casos:
1. B =
 2 1 21 1 3
1 1 2
; 2. B =
 2 1 70 0 0
5 3 4
; 3. B =
 1 1 53 3 3
2 2 4
;
4. B =
 1 1 12 1 1
2 3 2
; 5. B =
 2 1 11 1 1
−4 −6 −4
; 6. B =
 2 1 11 1 1
0 1 0
;
7. B =
 6 3 33 3 3
6 9 6
; 8. B =

−5 0 0 0
0 8 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 3
;
9. B =

3 −1 2 1
0 6 −5 0
0 0 −2 7
0 0 0 1
; 10. B =

1 2 3 4
1 3 4 5
0 0 −1 7
0 0 0 4
.
Soluc¸a˜o:
Lembrando que vimos acima que se A =
 2 1 71 3 2
5 3 4
 enta˜o detA = −66.
Observemos que as matrizes dos exemplos 1., 4., 5., 6. e 7. foram obtidas da matriz A.
1. detB =
∣∣∣∣∣∣
2 1 2
1 1 3
1 1 2
∣∣∣∣∣∣ D1, pois B=AT= −1.
2. detB =
∣∣∣∣∣∣
2 1 7
0 0 0
5 3 4
∣∣∣∣∣∣ D2= 0.
3. detB =
∣∣∣∣∣∣
1 1 5
3 3 −1
2 2 4
∣∣∣∣∣∣ D3, pois C1=C2= 0.
4. detB =
∣∣∣∣∣∣
1 3 2
2 1 7
5 3 4
∣∣∣∣∣∣ D4, pois L1↔L2= −(−1) = 1.
SEC¸A˜O 1.2 • DETERMINANTE DE UMA MATRIZ QUADRADA 32
5. detB =
∣∣∣∣∣∣
2 1 1
1 1 1
−4 −6 −4
∣∣∣∣∣∣ D5 pois L3→(−2)L3= (−2)× (−1) = 2.
6. detB =
∣∣∣∣∣∣
2 1 1
1 1 1
0 1 0
∣∣∣∣∣∣ D6, pois L3→L3−2L2= −1.
7. detB =
∣∣∣∣∣∣
6 3 3
3 3 3
6 9 6
∣∣∣∣∣∣ D7, pois B=3A= 33 × (−1) = −27.
8. detB = (−5)× 8× (−1)× 3 = 120, basta aplicar D9, pois B e´ matriz diagonal.
9. detB = 3× 6× (−2)× 1 = −36, basta aplicar D10, pois B e´ matriz triangular.
10.
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 3 4
1 3 4 5
0 0 −1 7
0 0 0 4
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
D11=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 3 4
1 2 3 4
0 0 −1 7
0 0 0 4
∣∣∣∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 3 4
0 1 1 1
0 0 −1 7
0 0 0 4
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
D3 e D10= 0− 4 = −4.
Proposic¸a˜o 1.10. (i) Se A ∈Mn(IR) e´ matriz ortogonal, enta˜o detA = 1 ou detA = −1.
(ii) Se A ∈Mn(C) e´ matriz unita´ria, enta˜o detA = 1 ou detA = −1.
Demonstrac¸a˜o:
(i) A ∈Mn(IR) e´ ortogonal se, e somente se, A · AT = In.
Logo,
det(A · AT ) = det In = 1 =⇒ detA · detAT = 1 D1=⇒ (detA)2 = 1.
Portanto, detA = 1 ou detA = −1.
(ii) A ∈Mn(C) e´ unita´ria se, e somente se, A · A∗ = In.
Logo,
det(A · A∗) = det In = 1 =⇒ detA · detA∗ = 1⇐⇒ detA · detAT = 1
D1⇐⇒ detA · detA = 1⇐⇒ detA · detA = 1⇐⇒ | detA|2 = 1.
Portanto, detA = 1 ou detA = −1.
CAP. 1 • MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 33
1.3 Inversa de uma Matriz
Sabemos que multiplicac¸a˜o dos nu´meros reais ou complexos tem elemento neutro, o
nu´mero 1, que tambe´m satisfaz a seguinte propriedade:
Se a ∈ IF e a 6= 0, enta˜o existe b ∈ IF, b 6= 0 tal que a · b = 1.
Denotamos o nu´mero b por b = a−1 =
1
a
e este e´ chamado inverso multiplicativo de a.
Pela propriedade M1 (a) do produto de matrizes sabemos que dada A uma matriz
quadrada de ordem n, temos:
A · In = In · A = A,
ou seja, a matriz In, identidade de ordem n, e´ o elemento neutro da multiplicac¸a˜o emMn(IR)ou Mn(C).
Da´ı e´ natural perguntar:
Se A e´ uma matriz quadrada em Mn(IF ), quando existe uma matriz B ∈Mn(IF ) tal que:
A ·B = B · A = In. (1.1)
Exemplos: Em cada um dos casos, verifique se existe uma matriz B quadrada de ordem 2
tal que A ·B = B · A = I2.
1. A =
[
1 1
2 3
]
; 2. A =
[
1 −2
−2 4
]
Soluc¸a˜o:
1. Devemos encontrar uma matriz B =
[
a b
c d
]
tal que
[
1 1
2 3
]
·
[
a b
c d
]
=
[
a b
c d
]
·
[
1 1
2 3
]
=
[
1 0
0 1
]
⇐⇒
[
a+ c b+ d
2a+ 3c 2b+ 3d
]
=
[
a+ 2b a+ 3b
c+ 2d c+ 3d
]
=
[
1 0
0 1
]
⇐⇒

a+ c = 1
b+ d = 0
2a+ 3c = 0
2b+ 3d = 1
e

a+ 2b = 1
a+ 3b = 0
c+ 2d = 0
c+ 3d = 1
⇐⇒

{
a+ c = 1
2a+ 3c = 0
{
b+ d = 0
2b+ 3d = 1
e

{
a+ 2b = 1
a+ 3b = 0
{
c+ 2d = 0
c+ 3d = 1
.
SEC¸A˜O 1.3 • INVERSA DE UMA MATRIZ 34
Observemos que{
a+ c = 1
2a+ 3c = 0
∼
{
2a+ 2c = 2
2a+ 3c = 0
⇒ c = −2⇒ a = 3
e {
b+ d = 0
2b+ 3d = 1
∼
{
2b+ 2d = 0
2b+ 3d = 1
⇒ d = 1⇒ b = −1.
Por outro lado,{
a+ 2b = 1
a+ 3b = 0
⇒ b = −1⇒ a = 3 e
{
c+ 2d = 0
c+ 3d = 1
⇒ d = 1⇒ c = −2
Portanto, a matriz B =
[
3 −1
−2 1
]
satisfaz a condic¸a˜o A ·B = B · A = I2.
2. Devemos encontrar uma matriz B =
[
a b
c d
]
tal que[
1 −2
−2 4
]
·
[
a b
c d
]
=
[
a b
c d
]
·
[
1 −2
−2 4
]
=
[
1 0
0 1
]
⇐⇒
[
a− 2c b− 2d
−2a+ 4c −2b+ 4d
]
=
[
a− 2b −a+ 4b
c− 2d −c+ 4d
]
=
[
1 0
0 1
]
⇐⇒

a− 2c = 1
b− 2d = 0
−2a+ 4c = 0
−2b+ 4d = 1
e

a− 2b = 1
−2a+ 4b = 0
c− 2d = 0
−c+ 4d = 1
⇐⇒

{
a− 2c = 1
−2a+ 4c = 0
{
b− 2d = 0
−2b+ 4d = 1
e

{
a− 2b = 1
−2a+ 4b = 0
{
c− 2d = 0
−2c+ 4d = 1
.
Observemos que o sistema
{
a− 2c = 1
−2a+ 4c = 0 na˜o tem soluc¸a˜o, pois{
a− 2c = 1
−2a+ 4c = 0 ∼
{
2a− 4c = 2
−2a+ 4c = 0 ⇒ 0 = 2,
um absurdo!
Portanto, neste caso, na˜o existe uma matriz B, quadrada de ordem 2, que satisfac¸a a
condic¸a˜o A ·B = B · A = I2.
Os exemplos acima nos mostram que ha´ casos em que resposta a` pergunta da equac¸a˜o
1.1 e´ afirmativa e outros em que na˜o.
Antes estabelecer uma condic¸a˜o necessa´ria para a existeˆncia da matriz B que satisfac¸a
1.1 introduziremos mais alguns conceitos.
CAP. 1 • MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 35
1.3.1 Matriz Adjunta e a Inversa
Definic¸a˜o 1.11. Seja A uma matriz quadrada em Mn(IF ), a matriz adjunta de A, deno-
tada por adj(A), e´ a transposta da matriz cofatora de A, ou seja,
adj (A) =
(
cof (A)
)T
.
Teorema 1.12. Se A e´ uma matriz quadrada em Mn(IF ), enta˜o
A · adj (A) = detA · In.
Demonstrac¸a˜o: Vamos fazer a demonstrac¸a˜o para n = 3, os outros casos sa˜o ana´logos.
Seja A =
 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
, enta˜o:
A · adj (A) =
 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
 ·
 ∆11 ∆12 ∆13∆21 ∆22 ∆23
∆31 ∆32 ∆33
T
=
 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
 ·
 ∆11 ∆21 ∆31∆12 ∆22 ∆32
∆13 ∆23 ∆33
 = [cij]3×3,
com

c11 = a11∆11 + a12∆12 + a13∆13
pela 1a linha
= detA
c22 = a21∆21 + a22∆22 + a23∆23
pela 2a linha
= detA
c33 = a31∆31 + a32∆32 + a33∆33
pela 3a linha
= detA
c12 = a11∆21 + a12∆22 + a13∆23
Calculando c12:
c12 = a11∆21 + a12∆22 + a13∆23
= a11(a13a32 − a12a33) + a12(a11a33 − a13a31) + a13(a12a31 − a11a32)
= a11a13a32 − a11a12a33 + a12a11a33 − a12a13a31 + a13a12a31 − a13a11a32 = 0.
De maneira ana´loga conclu´ımos que
c13 = c21 = c23 = c31 = c32 = 0.
Logo,
A · adj (A) =
 detA 0 00 detA 0
0 0 detA
 = detA · I3.
Observac¸a˜o: Pelo teorema 1.12, se detA 6= 0, enta˜o A ·
(
1
detA
adj (A)
)
= In.
SEC¸A˜O 1.3 • INVERSA DE UMA MATRIZ 36
Definic¸a˜o 1.13. Seja A uma matriz quadrada em Mn(IF ), dizemos que A e´ invert´ıvel se,
e somente se, existe B matriz quadrada em Mn(IF ) tal que
A ·B = B · A = In.
A matriz B e´ chamada matriz inversa de A e denotada por A−1, assim,
A · A−1 = A−1 · A = In.
Exemplo: A matriz A =
[
1 1
2 3
]
e´ invert´ıvel e sua inversa e´ a matriz A−1 =
[
3 −1
−2 1
]
.
Teorema 1.14. Uma matriz quadrada A em Mn(IF ) e´ invert´ıvel se, e somente se, detA 6= 0.
Ale´m disso, se existe A−1, enta˜o
A−1 =
1
detA
· adj (A).
Exemplos: Verifique, em cada um dos casos abaixo, se a matriz A e´ invert´ıvel, em caso
afirmativo determine sua inversa.
1. A =
 2 1 11 1 1
2 3 2
 ; 2. A =

1 −1 2 3
2 1 0 1
3 −1 1 2
2 −1 0 1
 ; 3. A =

5 −1 2 −3
7 0 −8 11
12 −9 4 −21
−15 3 −6 9
.
Soluc¸a˜o:
1. Vimos na sec¸a˜o 1.2 que detA = −1 6= 0, portanto A e´ invert´ıvel.
Devemos determinar adj (A).
adj (A) =
 ∆11 ∆21 ∆31∆12 ∆22 ∆32
∆13 ∆23 ∆33
 =
 −1 1 00 2 −1
1 −4 1
 .
Logo,
A−1 =
1
−1 ·
 −1 1 00 2 −1
1 −4 1
 =
 1 −1 00 −2 1
−1 4 −1
 .
2. Vimos na sec¸a˜o 1.2 que detA = −6 6= 0, portanto A e´ invert´ıvel.
Devemos determinar adj (A).
adj (A) =

∆11 ∆21 ∆31 ∆41
∆12 ∆22 ∆32 ∆42
∆13 ∆23 ∆33 ∆43
∆14 ∆24 ∆34 ∆44
 =

2 0 −4 2
0 −3 0 3
2 3 −10 11
−4 −3 8 −7
 .
CAP. 1 • MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 37
Logo,
A−1 = −1
6
·

2 0 −4 2
0 −3 0 3
2 3 −10 11
−4 −3 8 −7
 .
3. Como L3 = −3L1, logo pela propriedade D3 de determinantes, temos detA = 0.
Portanto, A na˜o e´ invert´ıvel.
Observac¸a˜o: O exemplo 2. acima nos mostra que a obtenc¸a˜o da inversa usando o teorema
1.14 na˜o e´ eficiente, pois sa˜o necessa´rios muitos ca´lculos.
Vamos introduzir um outro mecanismo para determinar a inversa de uma matriz quadrada,
quando esta existe.
Antes pore´m vamos apresentar as propriedades da inversa.
1.3.2 Propriedades da Matriz Inversa
Sejam A e B quadradas em Mn(IF ), valem as seguintes propriedades:
MI1) Se A e´ invert´ıvel, enta˜o sua inversa e´ u´nica.
De fato, se existissem B e C tais que A · B = A · C = In, multiplicando a igualdade
A · C = In por B a` esquerda obtemos
B · (A · C) = B · In ⇐⇒ (B · A)︸ ︷︷ ︸
In
· C = B ⇐⇒ C = B.
MI2) Se A e B sa˜o invert´ıveis enta˜o, A ·B tambe´m o e´.
Ale´m disso, (A ·B)−1 = B−1 · A−1.
De fato, se A e B sa˜o invert´ıveis enta˜o, detA 6= 0 e detB 6= 0.
Logo, det(A ·B) = detA︸ ︷︷ ︸
6=0
· detB︸ ︷︷ ︸
6=0
6= 0 e portanto A ·B e´ invert´ıvel.
Agora,
(A ·B) · (B−1 · A−1) = A · (B ·B−1)︸ ︷︷ ︸
In
·A−1 = A · A−1 = In.
MI3) Se A e´ invert´ıvel, enta˜o A
T , a transposta de A, tambe´m e´ invert´ıvel (veja propriedade
D1).
Ale´m disso,
(
AT
)−1
=
(
A−1
)T
.
MI4) Se A e´ invert´ıvel, enta˜o A
−1, a inversa de A, tambe´m e´ invert´ıvel.
Ale´m isso,
(
A−1
)−1
= A.
SEC¸A˜O 1.4 • OPERAC¸O˜ES ELEMENTARES SOBRE AS LINHAS DE UMA
MATRIZ 38
Observac¸o˜es:
1. Se A ∈Mn(IR) e´ matriz ortogonal, enta˜o A e´ invert´ıvel e A−1 = AT .
De fato, A ∈Mn(IR) e´ ortogonal se, e somente se, A · AT = In.
2. Se A ∈Mn(C) e´ matriz unita´ria, enta˜o A e´ invert´ıvel e A−1 = A∗.
De fato, A ∈Mn(C) e´ unita´ria se, e somente se, A · A∗ = In.
1.4 Operac¸o˜es Elementares sobre as Linhas de uma
Matriz
As operac¸o˜es elementares sobre as linhas (ou colunas) de uma matriz sa˜o:
OE1 Permutac¸a˜o de duas linhas (duas colunas), ou seja, permutamos uma i-e´sima linha e
uma j-e´sima coluna.
Notac¸a˜o: Li ←→ Lj (Ci ←→ Cj).
OE2 Substituic¸a˜o de uma linha por ela previamente multiplicada por um nu´mero (real ou
complexo) na˜o nulo, ou seja, substitu´ımos uma i-e´sima linha por ela multiplicada por
nu´mero na˜o nulo κ .
Notac¸a˜o: Li −→ κLi (Ci −→ κCi).
OE3 Substituic¸a˜o de uma linha por ela somada com outra linha previamente multiplicadapor um nu´mero (real ou complexo) na˜o nulo, ou seja, substitu´ımos uma i-e´sima linha
por ela somada com uma j-e´sima linha multiplicada por nu´mero na˜o nulo κ .
Notac¸a˜o: Li −→ Li + κLj (Ci −→ Ci + κCj).
Exemplos: Seja A =
 −1 3 4 12 1 3 −2
5 0 3 −7
, determine a matriz:
1. B obtida de A pela operac¸a˜o elementar L2 ←→ L3.
2. C obtida de A pela operac¸a˜o elementar L1 −→ (−2)L1.
3. D obtida de A pela operac¸a˜o elementar L2 −→ L2 + 2L1.
Soluc¸a˜o:
1. B =
 −1 3 4 15 0 3 −7
2 1 3 −2
 L2 ←→ L3 .
CAP. 1 • MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 39
2. C =
 2 −6 −8 −22 1 3 −2
5 0 3 −7
 L1 ←→ (−2)L1 .
3. D =
 −1 3 4 10 7 11 0
5 0 3 −7
 L2 ←→ L2 + 2L1
1.4.1 Matriz Linha Equivalente
Dada uma matriz A em Mm×n(IF ), dizemos que B e´ uma matriz linha equivalente a
A se, somente se, B e´ obtida efetuando um nu´mero finito de operac¸o˜es elementares sobre as
linhas de A.
Notac¸a˜o: A ∼ B ou B ∼ A.
Exemplo: Nos exemplos acima A ∼ B, A ∼ C e A ∼ D.
Observac¸o˜es:
1. Em alguns momentos diremos simplesmente que A e B sa˜o equivalentes nos referindo
a linha-equivalentes.
2. Dada A uma matriz quadrada em Mn(IF ), se A e´ uma matriz invert´ıvel e B e´ linha
equivalente a A, enta˜o B tambe´m e´ invert´ıvel.
1.4.2 Matriz na Forma Escalonada
UmamatrizA emMm×n(IF ) esta´ na forma escalonada se satisfaz as seguintes condic¸o˜es:
(1) As linhas na˜o-nulas de A esta˜o acima de qualquer linha nula de A, ou seja, as linhas
nulas esta˜o agrupadas nas u´ltimas linhas da matriz.
Em outras palavras, se Li e´ linha nula, enta˜o as linhas Lk, com k > i, sa˜o todas linhas
nulas.
(2) O primeiro elemento na˜o-nulo de uma linha de A ocorre mais a` direita do primeiro
elemento na˜o-nulo da linha anterior de A.
Em outras palavras, se aij 6= 0 e i > 1, existe algum k, com k < j, tal que a(i−1)k 6= 0.
Exemplos:
1. A matriz A =

1 −5 2 −4 0
0 0 −3 1 9
0 0 0 2 6
0 0 0 0 0
 esta´ na forma escalonada.
SEC¸A˜O 1.4 • OPERAC¸O˜ES ELEMENTARES SOBRE AS LINHAS DE UMA
MATRIZ 40
2. A matriz A =

5 −1 7
0 0 0
0 −9 4
0 0 3
 na˜o esta´ na forma escalonada, pois falha a condic¸a˜o (1).
3. A matriz A =

1 2 −2 0
0 0 2 −1
0 1 3 0
0 0 0 0
 na˜o esta´ na forma escalonada, pois falha a condic¸a˜o
(2) entre as linhas L3 e L2.
1.4.3 Matriz na Forma Escalonada Reduzida ou na Forma
Escada
Uma matriz A emMm×n(IF ) esta´ na forma escalonada reduzida ou na forma escada
se esta´ na forma escalonada e satisfaz as demais condic¸o˜es:
(3) O primeiro elemento na˜o-nulo de cada linha na˜o-nula de A e´ o nu´mero 1.
Em outras palavras, se aij 6= 0 e (j = 1 ou aik = 0 para k < j), enta˜o aij = 1.
(4) O primeiro elemento na˜o-nulo de uma linha e´ o u´nico elemento na˜o-nulo de sua coluna.
Em outras palavras, se aij 6= 0 e (j = 1 ou aik = 0 para k < j), enta˜o alj = 0 para
todo l 6= i.
Exemplos:
1. A matriz A =

1 −5 0 0 7
0 0 1 0 −2
0 0 0 1 3
0 0 0 0 0
 esta´ na forma escada.
2. A matriz A =
 5 0 0 −20 1 0 0
0 0 1 3
 na˜o esta´ na forma escalonada, pois falha a condic¸a˜o
(3) na primeira linha.
3. A matriz A =
 1 0 0 00 1 −1 0
0 0 1 2
 na˜o esta´ na forma escalonada, pois falha a condic¸a˜o
(4) na terceira coluna.
Teorema 1.15. ([1]) Toda matriz e´ equivalente a uma u´nica matriz na forma escada.
Observac¸o˜es:
CAP. 1 • MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 41
1. Dada uma matriz A a sua equivalente na forma escada, e´ chamada tambe´m de sua
reduzida a` forma escada.
2. O teorema acima nos diz que podemos transformar qualquer matriz, efetuando um
nu´mero finito de operac¸o˜es elementares, em uma matriz na forma escada.
1.4.4 Matriz Inversa atrave´s de Operac¸o˜es Elementares
Seja A uma matriz quadrada A em Mn(IF ), com detA 6= 0, se efetuamos alguma
operac¸a˜o elementar em A, a matriz obtida tambe´m tera´ determinante diferente de zero, ou
seja, operac¸o˜es elementares transformam matrizes invert´ıveis em matrizes invert´ıveis.
De fato, seja A uma matriz invert´ıvel, sabemos que A e´ invert´ıvel se, e somente se,
detA 6= 0, assim:
1. Pela propriedade D4 de determinantes, se B e´ obtida de A efetuando uma operac¸a˜o
elementar OE1, enta˜o detB = − detA 6= 0, portanto B e´ invert´ıvel.
2. Pela propriedade D5 de determinantes, se C e´ obtida de A efetuando uma operac¸a˜o
elementar OE2, enta˜o detC = κ · detA
κ 6=0
6= 0, portanto C e´ invert´ıvel.
3. Pela propriedade D6 de determinantes, se D e´ obtida de A efetuando uma operac¸a˜o
elementar OE3, enta˜o detD = detA 6= 0, portanto D e´ invert´ıvel.
O pro´ximo teorema nos fornece um mecanismo para obter a inversa de uma matriz
utilizando operac¸o˜es elementares.
Teorema 1.16. ([1]) Seja A uma matriz quadrada em Mn(IF ), se A e´ uma matriz invert´ıvel,
enta˜o sua reduzida a` forma escada e´ a identidade In.
Ale´m disso, efetuando na identidade In a mesma sequeˆncia de operac¸o˜es elementares que
transformou A em In obte´m-se a inversa de A.
Exemplos: Obtenha, em cada um dos casos abaixo, a inversa da matriz A utilizando
operac¸o˜es elementares sobre as linhas.
1. A =
 2 1 11 1 1
2 3 1
 ; 2. A =

1 −1 2 3
2 1 0 1
3 −1 1 2
2 −1 0 1
 .
Soluc¸a˜o:
1.
2 1 1 | 1 0 0
1 1 1 | 0 1 0
2 3 2 | 0 0 1
∼
1 1 1 | 0 1 0 L1 ←→ L2
2 1 1 | 1 0 0
2 3 2 | 0 0 1
SEC¸A˜O 1.4 • OPERAC¸O˜ES ELEMENTARES SOBRE AS LINHAS DE UMA
MATRIZ 42
1 1 1 | 0 1 0
0 −1 −1 | 1 −2 0 L2 −→ L2 − 2L1
0 2 1 | −1 0 1 L3 −→ L3 − L2
∼
1 0 0 | 1 −1 0 L1 −→ L1 + 2L2
0 −1 −1 | 1 −2 0
0 0 −1 | 1 −4 1 L3 −→ L3 + 2L2
∼
1 0 0 | 1 −1 0
0 1 1 | −1 2 0 L2 −→ −L2
0 0 1 | −1 4 −1 L3 −→ −L3
∼
1 0 0 | 1 −1 0
0 1 0 | 0 −2 1 L2 −→ L2 − L3
0 0 1 | −1 4 −1 .
Logo,
A−1 =
 1 −1 00 −2 1
−1 4 −1
 ,
este resultado coincide com o que obtivemos calculando o determinante pela adjunta.
2.
1 −1 2 3 | 1 0 0 0
2 1 0 1 | 0 1 0 0 L2 −→ L2 − 2L1
3 −1 1 2 | 0 0 1 0 L3 −→ L3 − 3L1
2 −1 0 1 | 0 0 0 1 L4 −→ L4 − L2
∼
1 −1 2 3 | 1 0 0 0
0 3 −4 −5 | −2 1 0 0
0 2 −5 −7 | −3 0 1 0
0 −2 0 0 | 0 0 0 1 L4 −→ −1
2
 L4
∼
1 −1 2 3 | 1 0 0 0
0 3 −4 −5 | −2 1 0 0 L2 ←→ L4
0 2 −5 −7 | −3 0 1 0
0 1 0 0 | 0 1
2
0 −1
2
∼
1 −1 2 3 | 1 0 0 0 L1 −→ L1 + L2
0 1 0 0 | 0 1
2
0 −1
2
0 2 −5 −7 | −3 0 1 0 L3 −→ L3 − 2L2
0 3 −4 −5 | −2 1 0 0 L4 −→ L4 − 3L2
CAP. 1 • MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 43
∼
1 0 2 3 | 1 1
2
0 −1
2
0 1 0 0 | 0 1
2
0 −1
2
0 0 −5 −7 | −3 −1 1 1
0 0 −4 −5 | −2 −1
2
0 3
2
L4 −→ L4 − 45L3
∼
1 0 2 3 | 1 1
2
0 −1
2
0 1 0 0 | 0 1
2
0 −1
2
0 0 −5 −7 | −3 −1 1 1
0 0 0 3
5
| 2
5
3
10
−4
5
7
10
L4 −→ 53L4
∼
1 0 2 3 | 1 1
2
0 −1
2
L1 −→ L1 − 3L4
0 1 0 0 | 0 1
2
0 −1
2
0 0 −5 −7 | −3 −1 1 1 L3 −→ L3 + 7L4
0 0 0 1 | 2
3
1
2
−4
3
7
6
∼
1 0 2 0 | −1 −1 4
0 1 0 0 | 0 1
2
0 −1
2
0 0 −5 0 | 5
3
5
2
−25
3
55
6
L3 −→ −15L3
0 0 0 1 | 2
3
1
2
−4
3
7
6
∼
1 0 2 0 | −1 −1 4 −4 L1 −→ L1 − 2L3
0 1 0 0 | 0 1
2
0 −1
2
0 0 1 0 | −1
3
−1
2
5
3
−11
6
0 0 0 1 | 2
3
1
2
−4
3
7
6
∼
1 0 1 0 | −1
3
0 2
3
−1
3
0 1 0 0 | 0 1
2
0 −1
2
0 0 1 0 | −1
3
−1
2
5
3
−11
6
0 0 0 1 | 2
3
1
2
−4
3
7
6
.
Logo,
A−1 =

−1
3
0 2
3
−1
3
0 1
2
0 −1
2
−1
3
−1
2
5
3
−11
6
2
3
1
2
−4
3
7
6
 = −16

2 0 −4 2
0 −3 0 3
2 3 −10 11
−4 −3 8 −7
 ,
este resultado coincide com o que obtivemos calculando o determinante pela adjunta.
1.5 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
Equac¸a˜o Linear
Uma equac¸a˜o da forma
a1x1 + a2x2 + · · · + anxn = b
SEC¸A˜O 1.5 • SISTEMAS DE EQUAC¸O˜ES LINEARES 44
e´ uma equac¸a˜o linear em IR ou em C nasvaria´veis x1, x2, · · · , xn, reais ou complexas, com
coeficientes a1, a2, · · · , an e termo independente b nu´meros reais ou nu´meros complexos.
Exemplos:
1. 2x+ 4y = −3 e´ uma equac¸a˜o linear;
2. cos x+ 3y − z = 7 na˜o e´ uma equac¸a˜o linear;
3. x− 7y = 4z − 6 = 0 e´ uma equac¸a˜o linear.
Os valores das varia´veis que transformam a equac¸a˜o linear em identidade, constituem
suas soluc¸o˜es.
Exemplo: Para a equac¸a˜o linear 2x+4y−3z = 5 os valores x = 0, y = 2 e z = 1 constituem
uma soluc¸a˜o, assim como x = −3, y = −1 e z = −5 tambe´m.
1.5.1 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
Um sistema linear real ou complexo e´ um sistema em que todas as equac¸o˜es sa˜o lineares
reais ou complexas, ou seja e´ um sistema do tipo:
S :

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2
...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm
,
nas varia´veis x1, x2, · · · , xn, com coeficientes a11, a12, · · · , a1n, a21, a22, · · · , a2n, · · · am1, am2,
· · · , amn e b1, b2, · · · , bm termos independentes nu´meros reais ou nu´meros complexos.
Matricialmente temos:
S :

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
...
am1 am2 · · · amn

︸ ︷︷ ︸
A
·

x1
x2
...
xn

︸ ︷︷ ︸
X
=

b1
b2
...
bm

︸ ︷︷ ︸
B
,
com

A a matriz dos coeficientes de S
X a matriz das varia´veis de S
B a matriz dos termos independentes de S
.
Matriz Ampliada de um Sistema Linear
A matriz:
AM =

a11 a12 · · · a1n | b1
a21 a22 · · · a2n | b2
...
...
...
...
...
am1 am2 · · · amn | bm

e´ chamada matriz ampliada do sistema S.
CAP. 1 • MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 45
1.5.2 Soluc¸a˜o de um Sistema Linear
Uma soluc¸a˜o de um sistema linear real ou complexo
S :

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2
...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm
.
e´ uma n-upla de nu´meros reais ou complexos λ1, λ2, · · · , λn que ao serem substitu´ıdas nas
m equac¸o˜es todas se verificam.
A soluc¸a˜o pode ser dada na forma

x1 = λ1
x2 = λ2
...
xn = λn
ou na forma (λ1, λ2, · · · , λn).
Exemplo:

x = 3
y = −2
z = 2
e´ uma soluc¸a˜o do sistema S :

x+ 4y + 3z = 1
2x+ 5y + 4z = 4
x− 3y − 2z = 5
, pois
3 + 4× (−2) + 3× 2 = 3− 8 + 6 = 1
2× 3 + 5× (−2) + 4× 2 = 6− 10 + 8 = 4
3− 3× (−2)− 2× 2 = 3 + 6− 4 = 5
.
Proposic¸a˜o 1.17. Se um sistema linear S como 1.2 tem mais do que uma soluc¸a˜o, enta˜o
S tem infinitas soluc¸o˜es.
Demonstrac¸a˜o: Sejam (λ1, λ2, · · · , λn) e (µ1, µ2, · · · , µn) soluc¸o˜es distintas do sistema
linear 1.2, mostremos que (κ1, κ2, · · · , κn), com κi = αλi + βµi, α e β nu´meros tais que
α+ β = 1, tambe´m e´ soluc¸a˜o de 1.2.
De fato, como (λ1, λ2, · · · , λn) e (µ1, µ2, · · · , µn) sa˜o soluc¸o˜es do sistema, enta˜o:
a11λ1 + a12λ2 + · · ·+ a1nλn = b1
a21λ1 + a22λ2 + · · ·+ a2nλn = b2
...
am1λ1 + am2λ2 + · · ·+ amnλn = bm
e

a11µ1 + a12µ2 + · · ·+ a1nµn = b1
a21µ1 + a22µ2 + · · ·+ a2nµn = b2
...
am1µ1 + am2µ2 + · · ·+ amnµn = bm
Logo, 
a11(αλ1 + βµ1) + a12(αλ2 + βµ2) + · · ·+ a1n(αλn + βµn)
a21(αλ1 + βµ1) + a22(αλ2 + βµ2) + · · ·+ a2n(αλn + βµn)
...
am1(αλ1 + βµ1) + am2(αλ2 + βµ2) + · · ·+ amn(αλn + βµn)
=

α(a11λ1 + a12λ2 + · · ·+ a1nλn) + β(a11µ1 + a12µ2 + · · ·+ a1nµn)
α(a21λ1 + a22λ2 + · · ·+ a2nλn) + β(a21µ1 + a22µ2 + · · ·+ a2nµn)
...
α(am1λ1 + am2λ2 + · · ·+ amnλn) + β(am1µ1 + am2µ2 + · · ·+ amnµn)
SEC¸A˜O 1.5 • SISTEMAS DE EQUAC¸O˜ES LINEARES 46
=

αb1 + βb1
αb2 + βb2
...
αbm + βbm
=

(α+ β)b1
(α+ β)b2
...
(α+ β)bm
α+β=1
=

b1
b2
...
bm
.
Portanto, se um sistema linear tem mais do que uma soluc¸a˜o, enta˜o tem infinitas soluc¸o˜es.
1.5.3 Classificac¸a˜o de Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
Classificamos um sistema linear quanto a`s soluc¸o˜es da seguinte maneira:
Sistemas Lineares Compat´ıveis
Dizemos que um sistema linear e´ compat´ıvel quando admite alguma soluc¸a˜o, dentre os
sistemas lineares compat´ıveis temos:
(i) Os sistemas lineares poss´ıveis determinados, que sa˜o aqueles que admitem uma u´nica
soluc¸a˜o.
(ii) Os sistemas lineares poss´ıveis indeterminados, que sa˜o aqueles que admitem infinitas
soluc¸o˜es.
Exemplos:
1. S :

x+ 4y + 3z = 1
2x+ 5y + 4z = 4
x− 3y − 2z = 5
, e´ um sistema linear compat´ıvel determinado, pois tem
uma u´nica soluc¸a˜o:

x = 3
y = −2
z = 2
.
2. S :
{
x+ 2y + z + w = 0
x+ 3y − z + 2w = 0 , e´ um sistema linear compat´ıvel indeterminado, pois
tem infinitas soluc¸o˜es dadas por
{
x = −5z + w
y = 2z − w , com z e w variando nos nu´meros
reais, por exemplo

x = −6
y = 3
z = 1
w = −1
e´ uma soluc¸a˜o do sistema.
CAP. 1 • MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 47
Sistemas Lineares Incompat´ıveis
Dizemos que um sistema linear e´ incompat´ıvel quando na˜o admite soluc¸a˜o.
Exemplo:
1. O sistema linear e´ incompat´ıvel S :

2x+ 3y = 4
x+ y = 6
3x− 4y = 0
, pois na˜o admite soluc¸a˜o, ja´
que das treˆs equac¸o˜es tiramos que −8 = y = 18
7
, um absurdo!
1.5.4 Sistema Linear Homogeˆneo
Dizemos que um sistema linear e´ um sistema homogeˆneo quando todos os seus termos
independentes sa˜o iguais a zero.
Exemplo:
1. O sistema S :
{
2x+ 3y − 9z = 0
5x− 8y + 7z = 0 e´ homogeˆneo.
Observac¸a˜o: Todo sistema linear homogeˆneo admite pelo menos uma soluc¸a˜o, que e´ aquela
em que todas as varia´veis sa˜o iguais a zero, esta soluc¸a˜o e´ chamada soluc¸a˜o trivial.
Portanto, um sistema homogeˆneo e´ um sistema compat´ıvel determinado ou um sistema
compat´ıvel indeterminado.
No exemplo acima a soluc¸a˜o trivial e´ x = y = z = 0.
1.5.5 Sistemas Equivalentes
Dois sistemas lineares S e S ′ sa˜o equivalentes se, e somente se, toda soluc¸a˜o de S e´
soluc¸a˜o de S ′ e toda soluc¸a˜o de S ′ e´ soluc¸a˜o de S.
Exemplos:
1. S :

x+ 4y + 3z = 1
2x+ 5y + 4z = 4
x− 3y − 2z = 5
e S ′ :

x+ 4y + 3z = 1
−3y − 2z = 2
7y + 5z = −4
sa˜o equivalentes, pois
a u´nica soluc¸a˜o de S e de S ′ e´

x = 3
y = −2
z = 2
.
2. S :
{
x+ 2y + z + w = 0
x+ 3y − z + 2w = 0 e S
′ :

x+ y + z + w = 0
x+ y + z − 2w = 0
x− y + 3z + w = 0
na˜o sa˜o equivalentes,
SEC¸A˜O 1.5 • SISTEMAS DE EQUAC¸O˜ES LINEARES 48
pois

x = 0
y = 0
z = 0
w = 0
e´ soluc¸a˜o de S e S ′, pore´m

x = −6
y = 3
z = 1
w = −1
e´ soluc¸a˜o de S, mas na˜o
e´ soluc¸a˜o de S ′.
1.5.6 Operac¸o˜es Elementares sobre as Equac¸o˜es de um Sistema
Linear
As operac¸o˜es elementares que vimos para matrizes tambe´m sera˜o utilizadas em sistemas
lineares, neste caso sa˜o:
OE1 Permutac¸a˜o de duas equac¸o˜es, ou seja, permutamos uma i-e´sima equac¸a˜o e uma j-e´sima
equac¸a˜o.
Notac¸a˜o: Ei ←→ Ej.
OE2 Substituic¸a˜o de uma equac¸a˜o por ela previamente multiplicada por um nu´mero (real ou
complexo) na˜o nulo, ou seja, substitu´ımos uma i-e´sima equac¸a˜o por ela multiplicada
por nu´mero na˜o nulo κ .
Notac¸a˜o: Ei −→ κEi.
OE3 Substituic¸a˜o de uma equac¸a˜o por ela somada com outra equac¸a˜o previamente multipli-
cada por um nu´mero (real ou complexo) na˜o nulo, ou seja, substitu´ımos uma i-e´sima
equac¸a˜o por ela somada com uma j-e´sima equac¸a˜o multiplicada por nu´mero na˜o nulo
κ .
Notac¸a˜o: Ei −→ Ei + κEj,
com Ei a i-e´sima equac¸a˜o do sistema linear.
Exemplos: Seja S :

−x + 3y + 4z = 1
2x + y + 3z = −2
5x + 3z = −7
, determine o sistema linear:
1. S ′ obtido de S pela operac¸a˜o elementar E2 ←→ E3.
2. S ′′ obtida de S pela operac¸a˜o elementar E1 −→ (−2)E1.
3. S ′′′ obtida de S pela operac¸a˜o elementar E2 −→ E2 + 2E1.Soluc¸a˜o:
1. S ′ :

−x + 3y + 4z = 1
5x + 3z = −7
2x + y + 3z = −2
E2 ←→ E3 .
CAP. 1 • MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 49
2. S ′′ :

2x − 6y − 8z = −2
2x + y + 3z = −2
5x + 3z = −7
E1 −→ (−2)E1
.
3. S ′′ :

−x + 3y + 4z = 1
7y + 11z = 0
5x + 3z = −7
E2 −→ E2 + 2E1
Teorema 1.18. Dois sistemas lineares S e S ′ sa˜o equivalentes se, e somente se, S ′ pode ser
obtido de S atrave´s de uma nu´mero finito de operac¸o˜es elementares sobre as equac¸o˜es de S.
1.6 Resoluc¸a˜o de Sistemas Lineares
Dado um sistema de equac¸o˜es lineares
S :

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2
...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm
,
vamos aplicar o teorema 1.18 e utilizar ou a sua matriz dos coeficientes ou a sua matriz
ampliada para obter sua(s) soluc¸a˜o(o˜es).
Lembremos que a matriz dos coeficientes de S e matriz ampliada de S sa˜o dadas, respec-
tivamente, por:
A =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
...
am1 am2 · · · amn
 e AM =

a11 a12 · · · a1n | b1
a21 a22 · · · a2n | b2
...
...
...
...
...
am1 am2 · · · amn | bm
 .
1.6.1 Me´todos de Resoluc¸a˜o de Sistemas Lineares
Me´todo de Gauss-Jordan
Ome´todo de Gauss-Jordan consiste em efetuar operac¸o˜es elementares sobre as linhas
da matriz ampliada do sistema, ate´ obter sua forma reduzida na forma escada.
A matriz ampliada reduzida a` forma escada nos fornecera´ a(s) soluc¸a˜o(o˜es) ou alguma
incompatibilidade.
A vantagem deste processo e´ que um sistema cuja matriz ampliada e´ uma matriz na
forma escada tem soluc¸a˜o(o˜es) ou incompatibilidade imediata(s).
Me´todo de Gauss ou do Escalonamento
Ome´todo de Gauss consiste em efetuar operac¸o˜es elementares sobre as linhas da matriz
ampliada do sistema, ate´ que esteja na forma escalonada.
SEC¸A˜O 1.6 • RESOLUC¸A˜O DE SISTEMAS LINEARES 50
Apo´s reduzir a matriz ampliada a` forma escalonada devemos fazer as devidas substituic¸o˜es
e obter a(s) soluc¸a˜o(o˜es) ou alguma incompatibilidade.
A vantagem deste processo e´ que o nu´mero de operac¸o˜es elementares a serem realizadas
e´ bem menor do que o me´todo de Gauss-Jordan.
Me´todo da Matriz Inversa
Este me´todo tem restric¸o˜es de aplicabilidade, que sa˜o as seguintes:
(i) Sistema linear quadrado, ou seja, com o nu´mero de equac¸o˜es igual ao nu´mero de
varia´veis.
(ii) Matriz dos coeficientes do sistema invert´ıvel.
Sob as condic¸o˜es acima escrevendo o sistema linear quadrado
S :

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2
...
an1x1 + an2x2 + · · ·+ amnxn = bn
na forma matricial temos A ·X = B, supondo que A e´ invert´ıvel, enta˜o existe A−1 e portanto
resolvemos o sistema da seguinte maneira:
A ·X = B ⇐⇒ A−1 · (A ·X) = A−1 ·B
⇐⇒ (A−1 · A)︸ ︷︷ ︸
In
·X = A−1 ·B ⇐⇒ X = A−1 ·B.
Assim, a soluc¸a˜o do sistema e´ X = A−1 ·B.
Exemplos: Resolva os seguintes sistemas pelo me´todo de Gauss-Jordan:
1. S :

x+ 4y + 3z = 1
2x+ 5y + 4z = 4
x− 3y − 2z = 5
; 2. S :
{
x+ 2y + z + w = 0
x+ 3y − z + 2w = 0 ; 3. S :

2x+ 3y = 4
x+ y = 6
3x− 4y = 0
Soluc¸a˜o:
1. A matriz ampliada de S e´
 1 4 3 | 12 5 4 | 4
1 −3 −2 | 5
, escalonando obtemos:
 1 4 3 | 12 5 4 | 4
1 −3 −2 | 5
 ∼
 1 4 3 | 10 −3 −2 | 2
0 −7 −5 | 4
 L2 −→ L2 − 2L1
L3 −→ L3 − L1
∼
 1 4 3 | 10 1 2
3
| −2
3
0 −7 −5 | 4
 L2 −→ −13L2 ∼
 1 0 13 | 1130 1 2
3
| −2
3
0 0 −1
3
| −2
3
 L1 −→ L1 − 4L2
L3 −→ L3 + 7L2
CAP. 1 • MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 51
∼
 1 0 13 | 1130 1 2
3
| −2
3
0 0 1 | 2

L3 −→ −3L3
∼
 1 0 0 | 30 1 0 | −2
0 0 1 | 2
 L1 −→ L1 − 13L3L2 −→ L2 − 23L3 .
Logo, a soluc¸a˜o do sistema e´

x = 3
y = −2
z = 2
.
2. A matriz ampliada de S e´
[
1 2 1 1 | 0
1 3 −1 2 | 0
]
, escalonando obtemos:
[
1 2 1 1 | 0
1 3 −1 2 | 0
]
∼
[
1 2 1 1 | 0
0 1 −2 1 | 0
]
L2 −→ L2 − L1
∼
[
1 0 5 −1 | 0
0 1 −2 1 | 0
]
L1 −→ L1 − 2L1 .
Logo, a soluc¸a˜o do sistema e´{
x+ 5z − w = 0
y + 2z − w = 0 ⇐⇒
{
x = −5z + w
y = −2z + w ,
com z e w em IR.
3. A matriz ampliada de S e´
 2 3 | 41 1 | 6
3 −4 | 0
, escalonando obtemos:
 2 3 | 41 1 | 6
3 −4 | 0
 ∼
 1 1 | 62 3 | 4
3 −4 | 0
 L1 ←→ L2
∼
 1 1 | 60 1 | −8
0 −7 | −18
 L2 −→ L2 − 2L1
L3 −→ L3 − 3L1 ∼
 1 0 | 140 1 | −8
0 0 | −74
 L1 −→ L1 − L2
L3 −→ L3 + 7L2
.
Logo, o sistema na˜o tem soluc¸a˜o, pois a u´ltima linha da matriz na forma escada nos
diz que 0 = −74 um absurdo!
Exemplo: Resolva o sistema

2x+ y + z = 15
x+ y + z = 6
2x+ 3y + 2z = 10
pelo me´todo da matriz inversa.
Soluc¸a˜o:
SEC¸A˜O 1.6 • RESOLUC¸A˜O DE SISTEMAS LINEARES 52
A forma matricial do sistema acima e´: 2 1 11 1 1
2 3 2

︸ ︷︷ ︸
A
·
 xy
z

︸ ︷︷ ︸
X
=
 156
10

︸ ︷︷ ︸
B
.
Vimos na sec¸a˜o de matriz inversa que a matriz dos coeficientes A =
 2 1 11 1 1
2 3 2
 e´
invert´ıvel, e sua inversa e´ A−1 =
 1 −1 00 −2 1
−1 4 −1
 .
Logo, pelo me´todo da matriz inversa a soluc¸a˜o do sistema e´: xy
z
 =
 1 −1 00 −2 1
−1 4 −1
 ·
 156
10
 =
 9−2
−1
 .
Observac¸o˜es: Seja S um sistema linear quadrado com matriz dos coeficientes A temos:
1. Se detA 6= 0, enta˜o S tem uma u´nica soluc¸a˜o.
2. Se detA = 0, enta˜o ou S tem infinitas soluc¸o˜es ou S na˜o tem soluc¸a˜o.
3. Se S e´ homogeˆneo e detA 6= 0, enta˜o a u´nica soluc¸a˜o de S e´ a soluc¸a˜o trivial.
4. Se S e´ homogeˆneo e detA = 0, enta˜o S tem infinitas soluc¸o˜es.
Exerc´ıcio:
Resolva os seguintes sistemas lineares:
1.

2x+ 4y = 16
5x− 2y = 4
3x+ y = 9
4x− y = −7
; 2.

2x+ 4y = 16
5x− 2y = 4
10x− 4y = 3
;
3.

2x+ y + 7z = 3
x+ 3y + 2z = 5
5x+ 3y + 4z = −5
; 4.
{
x− 4y + 12z + 9w = 42
2x− 7y + 26z + 21w = 85 ;
5.

4x− 3y = −18
2y + 5z = −8
x− 2y − 3z = 3
; 6.

x+ 4y + 6z = 11
2x+ 3y + 4z = 9
3x+ 2y + 2z = 7
;
7.
{
x+ 3y − 3z = 7
3x+ 9y − 4z = 1 ; 8.

3x+ 5y − 4z = 0
−3x− 2y + 4z = 0
6x+ y − 8z = 0
;
CAP. 1 • MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 53
9.

x − 2y − z + 3w = 0
−2x+ 4y + 5z − 5w = 3
x − 2y + 2z + 4w = 5
; 10.

3x + 6y − 4z − w = 0
−5x + 8z + 3w = 0
8x− y + 7w = 0
;
11.

3x− 7y + 8z − 5w + 8t = 9
3y − 6z + 6w + 4t = −5
3x− 9y + 12z − 9w + 6t = 15
.
1.6.2 Teorema do Posto
Definic¸a˜o 1.19. Sejam A uma matriz e B a sua matriz equivalente na forma escada.
(i) O posto de A, denotado por p(A), e´ o nu´mero de linhas na˜o nulas de B.
(ii) A nulidade de A, denotada por null(A), e´ a diferenc¸a entre o nu´mero de colunas de
A e o posto de A, ou seja, null(A) = n− p(A).
Exemplos: Em cada caso determine o posto da matriz A e da matriz AM :
1. A =
 1 4 32 5 4
1 −3 −2
 e AM =
 1 4 3 | 12 5 4 | 4
1 −3 −2 | 5
.
2. A =
[
1 2 1 1
1 3 −1 2
]
e AM =
[
1 2 1 1 | 0
1 3 −1 2 | 0
]
.
3. A =
 2 31 1
3 −4
 e AM =
 2 3 | 41 1 | 6
3 −4 | 0
.
Soluc¸a˜o:
1. A forma escada deA e´ I3 =
 1 0 00 1 0
0 0 1
 e a forma escada deAM e´
 1 0 0 | 30 1 0 | −2
0 0 1 | 2
.
Logo, p(A) = p(AM) = 3, null(A) = 3− 3 = 0 e null(AM) = 4− 3 = 1.
2. A forma escada deA e´
[
1 0 5 −1
0 1 −2 1
]
e a forma escada deAM e´
[
1 0 5 −1 | 0
0 1 −2 1 | 0
]
.
Logo, p(A) = p(AM) = 2, null(A) = 4− 2 = 2 e null(AM) = 5− 2 = 3.
3. A forma escada de A e´
 1 00 1
0 0
 e a forma escada de AM e´
 1 0 | 140 1 | −8
0 0 | −74
.
Logo, p(A) = 2 e p(AM) = 3, null(A) = 3− 2 = 1 e null(AM) = 3− 3 = 0.
SEC¸A˜O 1.6 • RESOLUC¸A˜O DE SISTEMAS LINEARES