Exercícios e Gabarito EP2

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
EP2 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2018-1
Neste EP vamos trabalhar o conteu´do estudado na Aula 2 e nas pa´ginas 144 e 145 da Aula 12, do Caderno
Dida´tico.
Uma expressa˜o matema´tica e´ uma combinac¸a˜o finita de nu´meros ou letras, as quais chamamos
de varia´veis, que sa˜o ligadas por operac¸o˜es matema´ticas, tais como, soma, diferenc¸a, multiplicac¸a˜o,
divisa˜o, etc e que tambe´m envolvem chaves, colchetes e pareˆnteses para indicar a ordem em que as
operac¸o˜es devem ser efetuadas. As expresso˜es matema´ticas podem ser nume´ricas, quando envolvem
apenas combinac¸o˜es de nu´meros ou alge´bricas, quando envolvem combinac¸o˜es de nu´meros e letras.
Na Aula 2 do Caderno Dida´tico, voceˆ estudou as regras das operac¸o˜es com nu´meros naturais, inteiros
e racionais e, nos pro´ximos exerc´ıcios, voceˆ praticara´ estas regras. Esteja especialmente atento a`
ordem com que as operac¸o˜es devem ser realizadas.
Exerc´ıcio 1 Resolva as expresso˜es nume´ricas abaixo. Lembre-se que as operac¸o˜es de multiplicac¸a˜o
e de divisa˜o devem ser realizadas antes das operac¸o˜es de adic¸a˜o e subtrac¸a˜o.
a) 5 + 7× (−3)× (−2)− (−4)× 5
b) (−16)÷ 4 + (−3)× (−2)
c) 12× 4÷ (−3)× 9
Soluc¸a˜o:
a) 5 + 7× (−3)× (−2)− (−4)× 5 = 5 + 42− (−20) = 47 + 20 = 67
b) (−16)÷ 4 + (−3)× (−2) = −4 + 6 = 2
c) 12× 4÷ (−3)× 9 = 12× 4−3 × 9 =
12× 4× 9
−3 = −
12× 4× 3
1
= −144
Exerc´ıcio 2 Efetue as operac¸o˜es com frac¸o˜es, e obtenha o resultado na forma de uma frac¸a˜o irre-
dut´ıvel
a)
2
5
÷ 1
40
b)
−2
15
× 9−11
c) −7
3
− 4−5
d)
2
5
− 3
4
× 6−5
Soluc¸a˜o:
a)
2
5
÷ 1
40
=
2
5
× 40
1
=
2× 40
5× 1 =
2× 8
1× 1 = 16
Me´todos Determin´ısticos I EP2 2
b)
−2
15
× 9−11 =
(−2)× �
3
9
>
5
15 × (−11)
=
(−2)× 3
5× (−11) =
−6
−55 =
6
55
c) −7
3
− 4−5 = −
7
3
−
(
−4
5
)
= −7
3
+
4
5
=
−35
15
+
12
15
=
−35 + 12
15
= −23
15
d)
2
5
− 3
4
× 6−5 =
2
5
− 3
4
×
(
−6
5
)
=
2
5
+
>
9
18
>
10
20
=
2
5
+
9
10
=
4
10
+
9
10
=
4 + 9
10
=
13
10
Exerc´ıcio 3 Compare as frac¸o˜es a seguir, completando a lacuna de cada item com >, < ou =.
a)
12
7
. . .
5
7
b)
6
4
. . .
6
8
c)
2
3
. . .
5
7
d)
8
9
. . .
9
8
e)
−3
4
. . .
−7
4
f)
6
−5 . . .
1
3
g)
−12
9
. . .
4
−3
Observac¸a˜o: Para comparar dois nu´meros racionais, voceˆ pode optar por igualar os denominadores
ou por utilizar a propriedade apresentada na pa´gina 31 do Caderno Dida´tico. Na soluc¸a˜o a seguir,
optamos por utilizar a propriedade citada.
Soluc¸a˜o:
a)
12
7
>
5
7
, pois 12× 7 > 5× 7.
b)
6
4
>
6
8
, pois 6× 8 > 6× 4.
c)
2
3
<
5
7
, pois 2× 7 < 5× 3.
d)
8
9
<
9
8
, pois 8× 8 < 9× 9.
e)
−3
4
>
−7
4
, pois −3× 4 > −7× 4.
f)
6
−5 <
1
3
equivale a
−6
5
<
1
3
, pois
6
−5 =
−6
5
e −6× 3 < 1× 5.
g)
−12
9
=
4
−3 equivale a
−12
9
=
−4
3
, pois
4
−3 =
−4
3
e −12× 3 = −4× 9.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP2 3
Exerc´ıcio 4 Desenvolvendo as expresso˜es nume´ricas de ambos os lados das desigualdades, decida
se as desigualdades abaixo sa˜o verdadeiras ou falsas.
a)
3
7
· −5
2
<
−3
2
+
1
3
b)
−8
3
· −7
8
>
4
5
− 6
8
c) −
(−5
9
÷ −2
7
)
≤ 4
7
·
(
−3
5
)
d)
−4
5
+
3
−8 ≥ −
47
40
e) −10 > 20−3
Soluc¸a˜o: Antes de comec¸armos o gabarito desta questa˜o, por motivo de simplificac¸a˜o e economia
de espac¸o, vamos trocar a expressa˜o “se, e somente se,”pelo s´ımbolo “⇐⇒”. Na Aula 4, falaremos
mais sobre ele.
a)
3
7
· −5
2
<
−3
2
+
1
3
⇐⇒ −15
14
<
−9
6
+
2
6
⇐⇒ −15
14
<
−7
6
⇐⇒ −15 · 6 < −7 · 14
⇐⇒ −90 < −98
Logo, a desigualdade e´ falsa.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP2 4
b)
−8
3
· −7
8
>
4
5
− 6
8
⇐⇒
*−1−8
3
· −7
�
1
8
>
4
5
− �
3
6
�
4
8
⇐⇒ −1
3
· −7
1
>
4
5
− 3
4
⇐⇒ 7
3
>
16
20
− 15
20
⇐⇒ 7
3
>
1
20
⇐⇒ 7.20 > 3.1
⇐⇒ 140 > 3
Logo, a desigualdade e´ verdadeira.
c)
−
(−5
9
÷ −2
7
)
≤ 4
7
·
(
−3
5
)
⇐⇒ −
(−5
9
· 7−2
)
≤
(
−4
7
· 3
5
)
⇐⇒ −
(
35
18
)
≤ −12
35
⇐⇒ −35 · 35 ≤ −12 · 18
⇐⇒ −1225 ≤ −216
Logo, a desigualdade e´ verdadeira.
d)
−4
5
+
3
−8 ≥ −
47
40
⇐⇒ −32
40
+
−15
40
≥ −47
40
⇐⇒ −47
40
≥ −47
40
Logo, a desigualdade e´ verdadeira.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP2 5
e)
−10 > 20−3
⇐⇒ −10 > −20
3
⇐⇒ −30 > −20
Logo, a desigualdade e´ falsa.
Exerc´ıcio 5 Efetue as expresso˜es nume´ricas indicadas e obtenha o resultado na forma de uma frac¸a˜o
irredut´ıvel.
a)
12
8
+
8
5
b)
2
7
− 5
4
× 2−3
c) 1 + 2
[
3− 1
4
(
4
6
− 1
2
)
+ 5
]
+ 7
d) 2
{
−1 + 12
[
−13 + 4
(
1− 1
3
)]
+ 5
}
e)
[(
3
6
− 12
48
)
÷ 7
6
+
1
7
(
13
4
− 7
3
+
1
12
)]
× 1
3
÷ 1
7
f)
(
2
3
− 7
4
× 5
6
)
÷ 5
3
− 1
2
× 3
4
g)
1
6
 15
3
+
7
−4
× 9
8
÷ −2
3
.
Lembrete: Lembre-se primeiro resolvemos o que esta´ entre pareˆnteses, depois o que esta´ entre colchetes e, finalmente,
o que esta´ entre chaves. Observe ainda que quando temos dois termos lado a lado sem nenhum sinal entre eles (como
ocorre apo´s 1/7 no item e) a operac¸a˜o a ser realizada e´ multiplicac¸a˜o.
Soluc¸a˜o:
a)
12
8
+
8
5
=
>
3
12
�
2
8
+
8
5
=
3
2
+
8
5
=
15
10
+
16
10
=
15 + 16
10
=
31
10
b)
2
7
− 5
4
× 2−3 =
2
7
− 10−12 =
2
7
+
>
5
10
>
6
12
=
2
7
+
5
6
=
12
42
+
35
42
=
47
42
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP2 6
c)
1 + 2
3− 1
4
 �24
�
3
6
− 1
2
+ 5
+ 7 = 1 + 2 [3− 1
4
(
2
3
− 1
2
)
+ 5
]
+ 7
= 1 + 2
[
3− 1
4
(
4− 3
6
)
+ 5
]
+ 7
= 1 + 2
[
3− 1
4
(
1
6
)
+ 5
]
+ 7
= 1 + 2
[
3− 1
24
+ 5
]
+ 7
= 1 + 2
[
72− 1 + 120
24
]
+ 7
= 1 + 2
[
191
24
]
+ 7
= 1 +
191
12
+ 7
=
12 + 191 + 84
12
=
287
12
d)
2
{
−1 + 12
[
−13 + 4
(
1− 1
3
)]
+ 5
}
= 2
{
−1 + 12
[
−13 + 4
(
3− 1
3
)]
+ 5
}
= 2
{
−1 + 12
[
−13 + 4
(
2
3
)]
+ 5
}
= 2
{
−1 + 12
[
−13 + 8
3
]
+ 5
}
= 2
{
−1 + 12
[−39 + 8
3
]
+ 5
}
= 2
{
−1 + >412
[−31
3
]
+ 5
}
= 2 {−1 + 4 [−31] + 5}
= 2 {−1− 124 + 5}
= 2{−120}
= −240
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP2 7
e)[(
3
�
2
6
− 12
>
4
48
)
÷ 7
6
+
1
7
×
(
13
4
− 7
3
+
1
12
)]
× 1
3
÷ 1
7
=
[(
1
2
− 1
4
)
× 6
7
+
1
7
×
(
39
12
− 28
12
+
1
12
)]
× 1
3
× 7
=
[(
2
4
− 1
4
)
× 6
7
+
1
7
× 12
12
]
× 1
3
× 7
=
 1
�
2
4
× �
3
6
7
+
1
7
× 7
3
=
[
1
2
× 3
7
+
1
7
]
× 7
3
=
[
3
14
+
1
7
]
× 7
3
=
[
3
14
+
2
14
]
× 7
3
=
5
>
2
14
× 7
3=
5
2
× 1
3
=
5
6
f) (
2
3
− 7
4
× 5
6
)
÷ 5
3
− 1
2
× 3
4
=
(
2
3
− 35
24
)
÷ 5
3
− 3
8
=
(
16
24
− 35
24
)
÷ 5
3
− 3
8
= −19
24
÷ 5
3
− 3
8
= − 19
>
8
24
× 3
5
− 3
8
= −19
8
× 1
5
− 3
8
= −19
40
− 3
8
= −19
40
− 15
40
= −34
40
= −17
20
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP2 8
g)
1
6
 15
3
+
7
−4
× 9
8
÷ −2
3
=
1
6
 1
5
3
− 7
4
× 9
8
÷ −2
3
=
1
6
 1
20
12
− 21
12
× 9
8
÷ −2
3
=
1
6
 1
− 1
12
× 9
8
÷ −2
3
=
1
6
(
*−2−12
)
× 9
8
÷ −2
3
= *
−1−2 × 9
�
4
8
÷ −2
3
= −9
4
÷ −2
3
= −9
4
×
(
−3
2
)
=
27
8
Exerc´ıcio 6 Simplifique as expresso˜es alge´bricas a seguir, onde a, b e c sa˜o nu´meros com a 6= 0 e
b 6= 0.
a) (7a+ b− 2c) + (2a− 5b− 3c)
b) (a+ 5b)− (4a+ 5b)
c) (3a) · (−9b)
d) 2(a− b) + 2b
e) (25a)÷ (5a)
f)
3a
6
÷ 6
3b
g)
a− 3ba
3a
+ b
Soluc¸a˜o:
a) (7a+ b− 2c) + (2a− 5b− 3c) = 7a+ b− 2c+ 2a− 5b− 3c
= (7a+ 2a) + (b− 5b) + (−2c− 3c)
= (9a) + (−4b) + (−5c)
= 9a− 4b− 5c
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Me´todos Determin´ısticos I EP2 9
b) (a+ 5b)− (4a+ 5b) = a+ 5b− 4a− 5b
= (a− 4a) + (5b− 5b)
= −3a+ 0
= −3a
c) (3a) · (−9b) = −27ab
d) 2(a− b) + 2b = 2a− 2b+ 2b = 2a
e) (25a)÷ (5a) = 25a · 1
5a
=
>
5
25 a
5a
= 5
f)
3a
6
÷ 6
3b
=
3a
6
· 3b
6
=
9ab
>
4
36
=
ab
4
g)
a− 3ba
3a
+ b =
a− 3ab+ 3ab
3a
=
a
3a
=
1
3
Equac¸o˜es de primeiro grau (com uma varia´vel)
Uma Equac¸a˜o e´ toda sentenc¸a matema´tica aberta que exprime uma relac¸a˜o de igualdade entre ex-
presso˜es matema´ticas.
Exemplos de equac¸o˜es:
• 3x+ 9 = 0
• 4x− 2 = 6x+ 7
• a+ b+ c = 0.
Exemplos de expresso˜es que na˜o sa˜o equac¸o˜es:
• 3 + 7 = 5 + 5 (Na˜o e´ uma sentenc¸a aberta)
• 2x− 4 < 0 (Na˜o e´ uma igualdade)
• 3 6= 7 (na˜o e´ uma sentenc¸a aberta, nem uma igualdade).
Uma equac¸a˜o do primeiro grau e´ toda equac¸a˜o que, depois de simplificada, pode ser escrita na
forma
ax+ b = 0,
onde a e b sa˜o nu´meros conhecidos e a e´ diferente de zero. A letra x e´ a inco´gnita da equac¸a˜o.
Para resolver essa equac¸a˜o efetuamos os seguintes passos:
ax+ b−b = 0−b (subtra´ımos b dos dois lados da equac¸a˜o)
ax = −b
ax
a
= − b
a
(dividimos por a os dois lados da equac¸a˜o)
x = − b
a
.
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Me´todos Determin´ısticos I EP2 10
Portanto, x = − b
a
e´ a soluc¸a˜o da equac¸a˜o ax + b = 0, isto e´, o valor de x que torna correta
(isto e´, verdadeira) a igualdade ax + b = 0. Note que quando substitu´ımos x = − b
a
na equac¸a˜o,
obtemos, de fato, a igualdade, veja:
a ·
(
− b
a
)
+ b = −ab
a
+ b = −a/b
a/
+ b = − b
1
+ b = −b+ b = 0.
Numa equac¸a˜o, tudo que antecede o sinal da igualdade e´ chamado de primeiro membro, e o que
sucede, de segundo membro. Por exemplo, em 3x + 8 = 2x − 7 temos que 3x + 8 e´ o primeiro
membro e 2x − 7 e´ o segundo membro da equac¸a˜o. Qualquer parcela, do primeiro ou do segundo
membro, e´ um termo da equac¸a˜o.
Resolver uma equac¸a˜o consiste em realizar uma se´rie de operac¸o˜es que nos conduzam a equac¸o˜es
equivalentes cada vez mais simples e que nos permitam determinar as suas soluc¸o˜es.
Exerc´ıcio 7 Resolva as equac¸o˜es:
a)
4x
3
=
11
5
b) 3 (x− 4)− 2 (1− x) = 2 (x− 1)
c) 3
(
1− x− 1
3
)
=
1
3
(3x− 7)
d)
6− 3x
5
=
1
10
e)
3x− 8
4
=
4x− 20
5
Soluc¸a˜o:
a)
4x
3
=
11
5
⇐⇒ 4x
3
·15 = 11
5
·15⇐⇒ 4x(5) = 11(3)⇐⇒ 20x = 33⇐⇒ 20x· 1
20
= 33· 1
20
⇐⇒ x= 33
20
b)
3 (x− 4)− 2 (1− x) = 2 (x− 1)
⇐⇒ 3 · x+ 3 · (−4)− 2 · 1− 2 · (−x) = 2 · x+ 2 · (−1)
⇐⇒ 3x− 12− 2 + 2x = 2x− 2
⇐⇒ 5x− 14 = 2x− 2
⇐⇒ 5x− 14−2x = 2x− 2−2x
⇐⇒ 3x− 14 = −2
⇐⇒ 3x− 14+14 = −2+14
⇐⇒ 3x = 12
⇐⇒ 3x·1
3
= 12·1
3
⇐⇒ x = 4
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Me´todos Determin´ısticos I EP2 11
c)
3
(
1− x− 1
3
)
=
1
3
(3x− 7)
⇐⇒ 3 · 1− 3 ·
(
x− 1
3
)
=
1
3
· 3x− 1
3
· 7
⇐⇒ 3− (x− 1) = x− 7
3
⇐⇒ 3− x+ 1 = 3x− 7
3
⇐⇒ 4− x = 3x− 7
3
⇐⇒ 3(4− x) = 3x− 7
⇐⇒ 12− 3x = 3x− 7
⇐⇒ −3x− 3x = −7− 12
⇐⇒ −6x = −19
⇐⇒ x = −19−6
⇐⇒ x = 19
6
d)
6− 3x
5
=
1
10
⇐⇒ 6− 3x
5
· 10 = 1
10
· 10
⇐⇒ 6− 3x
5
· >210 = 1
10
· 10
⇐⇒ (6− 3x) · 2 = 1
⇐⇒ 2 · (6− 3x) = 1
⇐⇒ 12− 6x = 1
⇐⇒ −6x = 1− 12
⇐⇒ −6x = −11
⇐⇒ x = −11−6
⇐⇒ x = 11
6
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e)
3x− 8
4
=
4x− 20
5
⇐⇒ 3x− 8
4
· 20 = 4x− 20
5
· 20
⇐⇒ 3x− 8
4
· >520 = 4x− 20
5
· >420
⇐⇒ (3x− 8) · 5 = (4x− 20) · 4
⇐⇒ 5 · (3x− 8) = 4 · (4x− 20)
⇐⇒ 15x− 40 = 16x− 80
⇐⇒ 15x− 16x = −80 + 40
⇐⇒ −x = −40
⇐⇒ x = 40.
Uma observac¸a˜o!
As equac¸o˜es de primeiro grau na˜o devem ser pensadas apenas como “questo˜es”ou “exerc´ıcios”por
si so´. Muitas vezes, elas aparecem quando se esta´ tentando relacionar as informac¸o˜es dadas em
problemas, servindo assim, como ferramenta de modelagem destes problemas.
Nos exerc´ıcios abaixo, equac¸o˜es de primeiro grau sera˜o utilizadas como ferramentas em problemas
envolvendo conjuntos. Experimente utilizar uma varia´vel para representar a quantidade que voceˆ
quer determinar, ou alguma outra quantidade relacionada ao problema.
Tente resolver o primeiro deles, o Exerc´ıcio ?? e, caso na˜o consiga (depois de tentar muito!), leia o
comec¸o do gabarito. Depois, volte ao exerc´ıcio e tente seguir sozinho ate´ o fim.
Nos exerc´ıcios ?? e ??, voceˆ utilizara´ equac¸o˜es de primeiro grau para descobrir nu´meros de elementos
de conjuntos. Experimente denotar por uma varia´vel (x, por exemplo) a quantidade de elementos de
algum dos conjuntos envolvidos.
Exerc´ıcio 8 Numa produc¸a˜o caseira de uma quantidade q de bombons, sabe-se que o custo C e´
igual a soma do dobro da quantidade a ser produzida com um custo fixo de R$ 16,00. A receita R
obtida pela comercializac¸a˜o deste produto e´ igual a 5 vezes a quantidade produzida. Sabendo que
o lucro L e´ dado pela diferenc¸a entre a receita e o custo, escreva a equac¸a˜o que representa uma
produc¸a˜o com lucro igual a R$ 50,00. Neste caso, determine quantos bombons sa˜o produzidos.
Soluc¸a˜o: Pelo enunciado q e´ a quantidade de bombons a ser produzida.
Como o custo C e´ igual a soma do dobro da quantidade a ser produzida com um custo fixo de R$
16,00, temos a equac¸a˜o
C = 2q + 16.
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Como a receita R obtida pela comercializac¸a˜o deste produto e´ igual a 5 vezes a quantidade produzida,
temos
R = 5q.
Como o lucro L e´ dado pela diferenc¸a entre a receita e o custo, temos
L = R− C = 5q − (2q + 16) = 3q − 16.
Assim, a equac¸a˜o que representa uma produc¸a˜o com lucro igual a R$ 50,00 e´ escrito por
L = 50 =⇒ 3q − 16 = 50 .
Resolvendo essa equac¸a˜o, vem que:
3q − 16 = 50
⇐⇒ 3q − 16 + 16 = 50 + 16
⇐⇒ 3q = 66
⇐⇒ 1
3
· 3q = 1
3
· 66
⇐⇒ q = 22
Isto significa, que quando o lucro e´ igual a R$ 50,00 sa˜o produzidos 22 bombons.
Exerc´ıcio 9 Os estudantes de uma classe organizaram sua festa de final de ano, sendo que cada
um deveria contribuir com R$ 135,00 para as despesas. Como 7 alunos deixaram a escola antes
da arrecadac¸a˜o e as despesas permaneceram as mesmas, cada um dos estudantes restantes teria de
pagar R$ 27,00 a mais do que antes. No entanto, o diretor, para ajudar, contribuiu com R$ 630,00.
Quanto pagou cada aluno participante da festa?
Observac¸a˜o: Este exerc´ıcio foi retirado do livro Matema´tica e Lo´gica para Concursos de Jose´Luiz de Morais, da
Editora Saraiva.
Soluc¸a˜o: Representando o total de alunos que inicialmente faziam parte da classe por a, segue que
o total de alunos que efetivamente contribuiram com a festa foi de a−7, depois que 7 deles deixaram
a escola. Como as despesas na˜o foram alteradas depois da sa´ıda destes alunos, segue que o que os
alunos da classe iam arrecadar inicialmente ficou igual ao que os alunos restantes arrecadaram. Ou
seja,
135 a = (135 + 27)(a− 7)
Resolvendo essa equac¸a˜o obtemos
135 a = (135 + 27)(a− 7)
⇐⇒ 135 a = 162 (a− 7)
⇐⇒ 135 a = 162 a− 1134
⇐⇒ 135 a− 162 a = −1134
⇐⇒ −27 a = −1134
⇐⇒ a = −1134−27
⇐⇒ a = 42.
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Encontramos o total de alunos que dividiriam, inicialmente, o total das despesas; esse total e´ igual a
42 ·R$ 135, 00 = R$ 5670, 00.
Como o diretor contribuiu com R$ 630,00, essa despesa diminuiu para R$ 5040,00, montante que
devera´ ser dividido entre os alunos restantes, ou seja, 42− 7 = 35 alunos.
Assim, temos que cada aluno participante da festa pagou
R$ 5040, 00
35
= R$ 144, 00.
Exerc´ıcio 10 Em uma cidade de 100 habitantes, sa˜o vendidas duas marcas de sabonetes, A e B.
Sabe-se que 12 pessoas compram ambas as marcas; que o nu´mero de pessoas que compra a marca
A e´ o triplo do que compra a marca B; e que apenas 16 pessoas na˜o compram A e nem B.
Determine quantas pessoas compram apenas a marca A.
Soluc¸a˜o: Vamos chamar de U o conjunto de todos os habitantes da cidade, de A o conjunto dos
compradores da marca A e de B o conjunto dos compradores da marca B.
A informac¸a˜o de que “12 pessoas compram ambas as marcas”, nos da´ enta˜o que n(A ∩ B) = 12.
Ale´m disso, como “apenas 16 pessoas na˜o compram A e nem B”, temos n(U − (A ∪ B)) = 16.
Temos enta˜o o seguinte diagrama:
Se chamarmos de x o percentual de pessoas que compram exclusivamente a marca B, como no
diagrama abaixo,
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teremos n(B) = x+ n(A∩B) = x+12. Como o nu´mero de compradores da marca A e´ o triplo de
compradores de B, temos
n(A) = 3n(B) = 3 (x+ 12) = 3x+ 36.
Ale´m disso, o nu´mero de compradores exclusivos da marca A sera´ dado por
n(A)− n(A ∩B) = (3x+ 36)− 12 = 3x+ 24.
Reunindo todas as informac¸o˜es no diagrama, temos:
Com isso, podemos ver que
(3x+ 24) + 12 + x+ 16 = 100,
logo
4x = 100− 52 ∴ 4x = 48 · t ∴ x = 12.
O percentual de compradores exclusivos de A sera´ enta˜o
n(A)− n(A ∩B) = 3 · 12 + 24 = 60.
Com isso, 60 pessoas compram apenas a marca A.
Exerc´ıcio 11 Na cidade de Sa˜o Miguel de Longe a` Bec¸a, com populac¸a˜o de 300 habitantes, circu-
lam apenas dois jornais, a Folha da Madrugada e o Correio da Noite Alta. Sabe-se que a Folha da
Madrugada possui o triplo de leitores que seu concorrente e que 50 pessoas sa˜o leitoras de ambos os
jornais. Sabe-se tambe´m que 150 pessoas na˜o leem jornal algum.
a) Quantos moradores desta cidade leem apenas o Correio da Noite Alta?
b) Quantos leitores possui a Folha da Madrugada?
Soluc¸a˜o:
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a) Vamos chamar de x o nu´mero de pessoas que leem apenas o Correio da Noite Alta. Assim, o
nu´mero de leitores deste jornal sera´ dado por x + 50 (nu´mero de leitores exclusivos do Correio
somado ao nu´mero de leitores de ambos os jornais).
Desta forma, o nu´mero de leitores da Folha da Madrugada, que e´ o triplo do nu´mero de leitores
do Correio, sera´ dado por 3(x+ 50) = 3x+ 150 e, com isso, o nu´mero de leitores exclusivos da
Folha sera´ 3x+ 150− 50 = 3x+ 100. Temos enta˜o o seguinte diagrama:
Com isso,
(3x+ 100) + 50 + x+ 150 = 300,
logo
4x+ 300 = 300,
e enta˜o x = 0.
Portanto, ningue´m leˆ apenas o Correio da Noite Alta!
b) Como vimos no item anterior, o nu´mero de leitores da Folha da Madrugada e´ dado por 3x+150 =
3 · 0 + 150 = 150.
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