Banda de energia

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Tópico 7 – Bandas de 
Energia 
Prof. Romis Attux – DCA/FEEC/UNICAMP 
Primeiro Semestre / 2017 
 
Obs.: O conteúdo dos slides se baseia 
fortemente no livro texto [Callister, 2011]. As 
figuras são do material de apoio. 
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Prelúdio 
• Adentraremos agora o universo das propriedades elétricas dos materiais. 
Porém, vamos fazê-lo de forma parcial por enquanto, estudando neste 
tópico o conceito-chave de bandas de energia. Posteriormente, visitaremos 
diversos assuntos ligados à condução de eletricidade em sólidos. 
• Primeiramente, recordemos a lei de Ohm, que relaciona corrente e tensão 
que fluem através de um material, visto como um resistor. 
 
V = RI 
onde R é a resistência (em ohms) do material, V é a tensão aplicada (em 
volts) e I é a corrente elétrica (em ampères). 
 
 
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Motivação – Visão Microscópica – Circuito 
Integrado 
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• A dot map showing location of Si (a semiconductor): 
 -- Si shows up as light regions. 
(b) 
0.5 mm 
(a) 
• A dot map showing location of Al (a conductor): 
 -- Al shows up as light regions. (c) 
Figs. (a), (b), (c) from Fig. 18.27, Callister 
& Rethwisch 9e. 
Resistividade e Condutividades 
• A resistividade de um material é independente de sua área de seção reta e 
comprimento, e é dada por: 
 
𝜌 =
𝑅𝐴
𝐿
 
onde L é o comprimento da amostra, A é a área de sua seção transversal e R 
é a sua resistência. 
• Podemos definir a condutividade elétrica de um material como o inverso 
de sua resistividade, isto é: 
 
𝜎 =
1
𝜌
 
 
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Condutores, Isolantes, Semicondutores 
• Os sólidos possuem uma vastíssima faixa de valores de condutividade, 
faixa esta que abrange quase 30 ordens de grandeza. Talvez nenhuma 
outra propriedade física dos sólidos seja comparável nesse sentido. 
• Uma maneira usual de classificar os materiais é de acordo com a 
facilidade com que conduzem corrente elétrica. Isso gera três classes: 
condutores, semicondutores e isolantes. 
• Os metais são bons condutores de eletricidade – a condutividade é da 
ordem de 107 (-m)-1. No outro extremo estão os materiais isolantes, que 
possuem condutividade muito baixa – entre 10-10 e 10-20 (-m)-1. Por fim, 
os semicondutores possuem condutividade intermediária – 10-6 a 104 (-
m)-1. 
• Trataremos neste curso apenas do processo de condução eletrônica, sem 
levar em conta a possibilidade de condução iônica. 
 
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Mecanismos de Condução 
• Ao se aplicar um campo elétrico a um material, nem todos os elétrons 
reagem gerando uma corrente elétrica. O número de elétrons disponíveis 
para condução depende do arranjo de níveis eletrônicos com respeito à 
energia, bem como à maneira pela qual os estados são ocupados pelos 
elétrons. 
• A física subjacente a esses fatos é bastante complexa, e procuraremos 
simplificá-la para nossos fins didáticos. 
 
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Recordar é Viver... 
• Estudamos anteriormente o processo de determinação da estrutura 
eletrônica dos átomos. As camadas são definidas pelo número quântico 
principal (n), enquanto o número l definia as subcamadas. 
• Para cada uma das subcamadas s, p, d, f há respectivamente um, três, 
cinco e sete estados. Há ainda o spin, que duplica esses números em 
termos de ocupação eletrônica. O processo de preenchimento dos orbitais 
obedece à noção de mínima energia e ao princípio da exclusão de Pauli. 
 
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O Que Ocorre Nos Sólidos? 
• Os sólidos podem ser visualizados como sendo N átomos que, 
originalmente separados, passam a se ligar para formar o arranjo 
ordenado que se encontra num arranjo cristalino, por exemplo. 
• A distâncias de separação relativamente grandes, cada átomo pode ser 
estudado como uma “ilha”, como um ente isolado, mas, quando os átomos 
se agrupam, ocorrem perturbações causadas pelos elétrons e núcleos 
adjacentes. 
• Pela força do princípio da exclusão de Pauli, cada estado atômico isolado 
se divide então numa série de estados eletrônicos distintos e próximos, 
dando origem às bandas de energia. 
• A extensão dessa divisão depende da proximidade interatômica e se 
manifesta inicialmente com as camadas eletrônicas mais externas. 
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Bandas de Energia – Ilustração para 12 
Átomos 
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Adapted from Fig. 18.2, Callister & Rethwisch 9e. 
Bandas de Energia 
• Em cada banda de energia, os estados eletrônicos continua a ser discreto, 
mas a diferença entre estados adjacentes é demasiado pequena. 
• No espaçamento em condições de equilíbrio, a formação de bandas pode 
não ocorrer para as subcamadas mais próximas ao núcleo. 
• Podem, ademais, surgir espaçamentos (gaps) de energia entre bandas 
adjacentes – tais estados energéticos não estão, em geral, disponíveis 
para ocupação eletrônica. 
• O número total de estados em cada banda é sempre igual aos estados 
contribuídos pelos N átomos que interagem. Por exemplo, uma banda s 
terá N estados, e uma p terá 3N estados (sem falar no spin). 
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Bandas de Energia 
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Fig. 18.3, Callister & 
Rethwisch 9e. 
Bandas e Energia de Fermi 
• A energia de Fermi EF é a mais alta energia de um estado preenchido à 
temperatura de zero kelvin. 
• Há quatro estruturas principais encontradas em sólidos a 0 K. A figura a 
seguir ilustra cada uma delas. 
 
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Tipos de Estruturas de Bandas 
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filled 
band 
Energy 
partly 
filled 
band 
empty 
band 
GAP 
fi
lle
d
 s
ta
te
s
 
Partially filled band 
Energy 
filled 
band 
filled 
band 
empty 
band 
fi
lle
d
 s
ta
te
s
 
Overlapping bands 
Energy 
filled 
band 
filled 
valence 
band 
fi
lle
d
 s
ta
te
s
 
GAP 
empty 
band 
conduction 
Energy 
filled 
band 
filled 
valence 
band 
fi
lle
d
 s
ta
te
s
 
GAP 
? 
empty 
band 
conduction 
Tipos de Estrutura de Bandas 
• No primeiro tipo, a banda mais externa está apenas parcialmente 
preenchida com elétrons (até EF). Essa estrutura é característica de alguns 
metais, como o cobre, que possuem um único elétron de valência s. Cada 
átomo possui um elétron em 4s, mas um sólido de N átomos comportaria 
na banda correspondente 2N elétrons. Portanto, apenas metade das 
posições estaria preenchida. 
• Na segunda estrutura, há uma superposição entre uma banda vazia e uma 
preenchida. O magnésio possui uma estrutura desse tipo. Cada átomo de 
magnésio possui dois elétrons em 3s. No entanto, na formação do sólido, a 
banda associada a 3s se sobrepõe à banda 3p. Nesse caso, a zero kelvin, o 
nível de Fermi é dado por aquele abaixo do qual, para N átomos, N estados 
estão preenchidos (dois elétrons por estado). 
 
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Tipos de Estruturas de Bandas 
• O terceiro tipo de estrutura corresponde à de um isolante. Há uma banda 
de valência preenchida separada de uma banda de condução vazia e um 
espaçamento (gap) entre elas. O espaçamento é considerado alto, o que 
explica a dificuldade de os elétrons atingirem condições de condução. 
• O quarto tipo de estrutura corresponde à de um semicondutor. Há também 
uma banda de valência e uma de condução, mas o gap entre ambas é 
menor, o que explica um aumento na condutividade. 
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Elétrons Livres e Lacunas 
• Apenas elétrons com energia maior que EF podemparticipar do processo 
de condução, ou seja, reagir portando carga na presença de um campo 
elétrico. Esses elétrons “de condução” são chamados de elétrons livres. 
• Outra entidade, com carga elétrica positiva, que ocorre em semicondutores 
e isolantes, é chamada de lacuna. As lacunas possuem energia menor que 
EF e também podem conduzir. 
• A condutividade elétrica é função direta do número de elétrons livres e 
lacunas. Além disso, em última análise, tal característica é o que distingue 
os condutores dos semicondutores e isolantes. 
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Mecanismo de Condução - Metais 
• Para que um elétron possa conduzir, ele precisa ser excitado para um 
estado previamente vazio acima de EF. Para os metais, seja no caso da 
primeira estrutura, seja no caso da segunda estrutura, há estados de 
energia adjacentes ao estado preenchido mais próximo de EF. 
• Portanto, muito pouca energia é necessária para “promover” esses elétrons 
– tipicamente, a energia fornecida por um campo elétrico é capaz de 
realizar várias dessas “promoções”. 
• Ao falarmos da ligação metálica, mencionamos que os elétrons de valência 
formam um gás eletrônico relativamente livre. No entanto, é preciso ainda 
fornecer certa energia para haja condução efetiva. 
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Mecanismos de Condução - Isolantes e 
Semicondutores 
• No caso de isolantes e semicondutores, os estados imediatamente acima 
da banda de valência preenchida não estão disponíveis. Portanto, para 
gerar elétrons e lacunas livres, é preciso fornecer energia suficiente para 
vencer o gap que existe entre a banda de valência e a banda de condução. 
• Esse processo de excitação, se bem-sucedido, gera um elétron livre na 
banda de condução e uma lacuna na camada de valência. 
• O gap é, muitas vezes, da ordem de vários eV. Frequentemente, a energia 
vem de uma fonte não elétrica como o calor ou a luz. Quanto menor for o 
gap, maior será a probabilidade de encontrar elétrons na banda de 
condução. É por isso que os semicondutores tem maior condutividade que 
os isolantes. 
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Mecanismo – Isolantes e Semicondutores 
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Fig. 18.6 (b), Callister & 
Rethwisch 9e. 
Isolantes e Semicondutores – Alguns 
Comentários 
• Pelo mesmo motivo apontado, um aumento de temperatura tende a um 
aumento de condutividade, com maior chance de “promoção” por parte 
dos elétrons. 
• Do ponto de vista das ligações estudadas, podemos refletir um pouco da 
seguinte maneira: a maioria dos materiais isolantes contém ligações 
iônicas ou fortemente covalentes (fortes, portanto). Isso dificulta a geração 
de elétrons livres. 
• As ligações predominantemente covalentes dos materiais semicondutores 
são menos intensas, justificando o menor gap. 
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