Conceitos de Elementos e Conjuntos

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​ ​CONCEITOS DE ELEMENTOS E CONJUNTOS. 
http://www.vestibulandoweb.com.br/matematica/teoria/conjuntos.asp 
Importante – A relação de pertinência relaciona um elemento a um conjunto e a 
relação de inclusão refere-se, sempre, a dois conjuntos. 
 
Podemos notar que existe uma diferença entre 2 e {2}. O primeiro é o 
elemento 2, e o segundo é o conjunto formado pelo elemento 2. Um par de 
sapatos e uma caixa com um par de sapatos são coisas diferentes e como tal 
devem ser tratadas. 
Podemos notar, também, que, dentro de um conjunto, um outro conjunto pode 
ser tratado como um de seus elementos. Vejamos o exemplo a seguir: 
{1, 2} é um conjunto, porém no conjunto 
A​ = {1, 3, {1, 2}, 4} ele será considerado um elemento, ou seja, {1, 2} ​A​. 
Uma cidade é um conjunto de pessoas que representam os moradores da 
cidade, porém uma cidade é um elemento do conjunto de cidades que formam 
um Estado. 
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PROBLEMA COM 2 CONJUNTOS 
Olá alunos . Na aula sobre CONJUNTOS procurem entender bem o DIAGRAMA 
DE VENN , mostrando a representação de 2 conjuntos A e B como 2 círculos 
que tem uma superposição ( interseção ou parte comum ) . 
Observar a diferença entre todos os elementos de A e os elementos que ´so 
pertencem a A que são a diferença entre todos de A menos a interseção com B 
O total de elementos é a UNIÃO A U B : observe no desenho do diagrama de 
Venn que há 3 conjuntos : 
Total A U B = (elementos de A - interseção) + nº elementos da interseção + 
(elementos de B - interseção) 
que simplificando resulta: 
total A U B = elementos de A + elementos de B - elementos da interseção A e B 
Exemplo de ​ PROBLEMA COM 2 CONJUNTOS 
Numa pesquisa de mercado verificou-se que 200 pessoas utilizam o produto A 
ou o produto B ou os dois. O produto A é usado por 140 pessoas, mas uma 
parte delas também usa B. O produto B é usado por 100 pessoas, mas uma 
parte destas também usa A. Quantas pessoas usam o produto A e também o B 
( interseção )? 
Solução : 
Dados : Total = união A U B ( A ou B) = 200 pessoas 
 A = 140 , B =100 e interseção = x pessoas (A e também B) . 
Usam ​apenas A ​ : A - interseção = 140 - x 
Usam ​apenas B​ : B - interseção = 100 - x 
Pelo diagrama ​: ​ união A U B = apenas A + interseção + apenas B 
Total 200 = (140 - x) + x + (100 - x) 
simplificando : 200 = 140 + 100 - x 
 200 = 240 - x 
 x = 240 -200 = 40 
portanto ​ x = 40 pessoas usam A e também B ( interseção ) 
(Atenção : muitos alunos confundem o ​conjunto A ​, com o ​conjunto apenas A.) 
DIAGRAMA DE VENN 
 
QUESTÃO DE PROVA DISCURSIVA COM 3 CONJUNTOS​ - POUCOS ACERTAM - 
Numa turma de 20 alunos temos: 7 alunos jogam FUTEBOL (F) , 5 jogam BASQUETE (B) , 4 
jogam VOLEI (V) 
(Faça o diagrama com 3 círculos como abaixo e anote do lado de fora do círculo - atenção 
nessas afirmações não quer dizer que SÓ JOGAM esse esporte , pode haver interseção com 
outros esportes). 
3 alunos jogam F e B - (anota entre os 2 círculos) 
2 alunos jogam F e V - (anota entre os 2 círculos ) 
1 aluno joga B e V - (anota entre os 2 círculos) 
1 aluno joga os 3 esportes F, B e V ( anota no conjunto mais central - interseção do 3 
conjuntos) 
1) Qual o total de alunos que pratica algum esporte ? 
Cálculo : é a união dos conjuntos : deve somar cada área interna marcada - mas antes falta 
calcular os espaços faltantes que são as interseções 2 a 2 , já anotadas, subtraindo a 
interseção dos 3 (que é 1 já anotado no desenho) 
 só F e B = 3 -1 = 2 ; só B e V = 1 - 1 = 0 ; só F e V = 2 - 1 
Então somando cada área marcada ( subconjunto) , separadamente , temos: 
F U B U V = 3+2+1+1 (total F) + (2 +0) ( parte de B não somada) + 2 (só V) = 11 alunos que 
jogam PELO MENOS UM dos esportes (sem repetir aluno). 
2) Quantos alunos não praticam esses esportes ? 
Cálculo : O total de alunos foi dado que é 20 , mas só 11 jogam algum desses esportes , 
então 20 -11 = 9 alunos não jogam esses esportes. 
3) Quanto jogam apenas Futebol ? 
Cálculo : pelo desenho são só 3 alunos exclusivos de F, sem interseção com outros 
 
REGRA DE TRÊS COMPOSTA​ ( DIRETAMENTE OU INVERSAMENTE 
PROPORCIONAL) 
Exemplo : Suponha que 8 homens levam 12 dias para montar 16 máquinas. 
Quantos dias 15 homens levarão para montar 50 máquinas? 
 
1º ) Montar um quadro com os dados e analisar ​antes de tudo a grandeza 
questionad​a ( neste caso, ​dias​ ) com relação a cada uma das outras duas 
 Aumentando o n.º de ​dias​ aumenta o n.º de máquinas: 
 são diretamente proporcionais; 
 Aumentando o n.º de homens diminui o n.º de ​dias ​: 
 são inversamente proporcionais; 
 
2º) Isolar a razão questionada ( dias) e igualar ao produto das outras duas 
razões mas ​ invertendo a razão inversamente proporcional ​( se houver ) . 
neste caso, nº de homens , ficando 15/8; 
Então : 12 /x = 15 / 8 . 16 / 50 
simplifica e multiplica as frações da direita ( numerador x numeradar / 
denominador x denominador) 
12 / x = 2 . 3 / 10 
cai numa regra de três simples (“produto dos meios = produto dos extremos”) 
6 x = 120 ... ​ x =20dias 
 
Conclusão: 15 homens levarão 20 dias para montar 50 máquinas . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 RACIOCÍNIO LÓGICO - VALOR LÓGICO DAS PROPOSIÇÕES 
Sugiro que vejam mais explicações sobre Lógica , com exemplos,no site 
http://www.infoescola.com/matematica/logica-proposicional/ 
 
Estudem para a prova : 
1) ​negação ​de p ^ q = não p ou não q = ( ~p v ~q ) 
2) ​ negação​ de p v q ​ ​= não p e não q​ = ​ ( ~p ^ ~q ) 
3) Proposições ASSOCIADAS a uma condicional p —> q : 
....Proposição recíproca de p —> q é q —> p 
....Proposição contrária de p —> q é ~p —> ~q 
....Proposição contrapositiva de p —> q é ~q —> ~p 
 
EXEMPLOS DE QUESTÃO 
1 - Marque a alternativa que equivale logicamente à seguinte frase : “Não é verdade 
que Paulo não estuda ou Maria trabalha.” 
 
Paulo estuda e Maria não trabalha ​( v)​ ​~( ~ p V q) => p ^ ( ~ q) 
Paulo estuda e Maria trabalha 
Paulo estuda ou Maria não trabalha 
Paulo não estuda e Maria não trabalha 
Paulo não estuda ou Maria não trabalha 
Solução : Trata-se da negação de duas proposições simples ligadas pelo conectivo "ou " 
que é uma disjunção inclusiva. 
A negação de p v q corresponde a "não p e não q " : ~( p v q) = ~p ^ ~q . 
No texto: p = Paulo não estuda ; q =Maria trabalha. 
As negações são : ~p = Paulo estuda ; ~q = Maria não trabalha. 
Então ~p ^ ~q = Paulo estuda e Maria não trabalha. 
 
 
2 - Marque a alternativa que equivale logicamente à seguinte frase : “Não é verdade 
que João está na Faculdade e Pedro não estuda.​” 
 
João não está na Faculdade e Pedro estuda 
João não está na Faculdade e Pedro não estuda 
João não está na Faculdade ou Pedro estuda ( v) ~ ( p ^ (~q) ) => ~p V q 
João está na Faculdade e Pedro estuda 
João está na Faculdade ou Pedro não estuda