Prova Substitutiva Introdução a Analise Real

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Instituto de Matema´tica e Estat´ıstica da USP
MAT0315 – Introduc¸a˜o a` Ana´lise – 2o semestre de 2017
Prova Substitutiva - 11/12/2017
Nome: Nu´mero USP:
Assinatura:
Questa˜o 1.
(a) Seja A um subconjunto na˜o vazio de R. Defina supremo de A.
(b) Todo subconjunto na˜o vazio de R tem supremo? Justifique sua resposta.
(c) Seja B =
{
(−1)nn
n + 1
: n ∈ N
}
. Prove que 1 e´ o supremo de B.
(d) Seja a sequeˆncia (xn)n∈N onde xn =
(−1)nn
n + 1
. A sequeˆncia e´ limitada? Possui limite? Justifique
as respostas.
Questa˜o 2. Encontre o limite ou decida se diverge para ∞ ou −∞ para cada sequeˆncia a seguir.
Justifique as respostas.
(a) xn =
n2 n
√
3n
(1− 3n2) (b) yn = n(
√
n2 + 2−
√
n2 + 1)
Questa˜o 3. Decida se cada se´rie a seguir converge absolutamente, converge condicionalmente ou
diverge. Justifique as respostas.
(a)
∞∑
n=1
n! 4n
nn
(b)
∞∑
n=1
(−1)n
n(ln(n))2
Questa˜o 4. Obtenha todos os nu´meros reais x para os quais a se´rie
∞∑
n=1
xn√
n + n2
e´ convergente, explicitando os crite´rios ou resultados utilizados. Justifique suas respostas.