2014 1 AP1 Metodos Estatisticos II GAB

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP1 Completa – Me´todos Estatisticos II – 1/2014
Questa˜o 1 [2,5 pts] Considere uma varia´vel aleato´ria X com distribuic¸a˜o uniforme no inter-
valo [15, 35].
(a) Esboce o gra´fico da func¸a˜o de densidade de X.
(b) Obtenha a expressa˜o da func¸a˜o de densidade de X.
(c) Calcule P(X > 23).
(d) Calcule P(X ≤ 31|X > 23).
(e) Calcule o valor k tal que P(X ≥ k) = 0, 2.
Soluc¸a˜o
(a) Veja o gra´fico na Figura 1.
Figura 1: Func¸a˜o de densidade – Questa˜o 1
(b) f(x) =
{
0, 05x se 15 ≤ x ≤ 35
0 caso contra´rio
(c) P(X > 23) =
35− 23
20
= 0, 6
(d) P(X ≤ 31|X > 23) = P(23 < X ≤ 31)
P(X > 23)
=
31− 23
35− 23 = 0, 6667
(e) P (X ≥ k) = 0, 2⇒ 35− k
20
= 0, 2 =⇒ k = 31
Questa˜o 2 [2,0 pts] Na Figura 2 e´ dado o gra´fico de uma func¸a˜o f(x).
(a) Mostre que f(x) e´ a func¸a˜o de densidade fX de alguma varia´vel aleato´ria cont´ınua X.
(b) Mostre que a expressa˜o de fx e´ f(x) =
{
1− 0, 5x se 0 ≤ x ≤ 2
0 caso contra´rio
(c) Calcule P(X ≥ 1, 5).
(d) Calcule P(0, 5 < X ≤ 1, 5).
Figura 2: Func¸a˜o de densidade para a Questa˜o 2
Soluc¸a˜o
(a) f(x) ≥ 0 e a a´rea sob a curva e´ 1
2
· 2 · 1 = 1
(b) O gra´fico de fX e´ um segmento de reta determinado pelos pontos (0, 1) e (2, 0). Logo,
f(x) = 1 + bx e f(2) = 0 ⇒ 0 = 1 + 2b ⇒ b = −0, 5, o que mostra que a expressa˜o dada
esta´ correta.
(c) Veja a Figura 3. A probabilidade pedida e´ a a´rea de um triaˆngulo de base 0, 5 e altura
f(1, 5) = 1− 0, 5× 1, 5 = 0, 25. Logo,
P(X ≥ 1, 5) = 0, 5× 0, 5× 0, 25 = 0, 0625
(d) A probabilidade pedida e´ a a´rea do trape´zio sombreado na Figura 4. Logo,
P(0, 5 < X ≤ 1, 5) = f(0, 5) + f(1, 5)
2
× (1, 5− 0, 5) = 1
2
× (1− 0, 5× 0, 5 + 1− 0, 5× 1, 5) = 0, 5
Figura 3: P(X ≥ 1, 5) Figura 4: P(0, 5 < X ≤ 1, 5
Questa˜o 3 [3,0 pts] Suponha que uma populac¸a˜o seja descrita por uma varia´vel aleato´ria X
normal com me´dia µ = 40 e variaˆncia σ2 = 36.
(a) Calcule P(X > 49).
(b) Calcule P(X > 31).
(c) Ache um valor c tal que P(X < c) = 0, 12.
Curso de Administrac¸a˜o 2
(d) Seleciona-se uma amostra aleato´ria de tamanho n = 36 dessa populac¸a˜o.
(i) Ache a distribuic¸a˜o de X.
(ii) Calcule P(X ≥ 42).
(iii) Calcule P(37 ≤ X ≤ 41).
Soluc¸a˜o
(a) P(X > 49) = P
(
Z >
49− 40
6
)
= P(Z > 1, 5) = 0, 5− tab(1, 5) = 0, 5− 0, 4332 = 0, 0668
(b) P(X > 31) = P
(
Z >
31− 40
6
)
= P(Z > −1, 5) = 0, 5 + tab(1, 5) = 0, 9332
(c)
P(X < c) = 0, 12⇔ P
(
Z <
c− 40
6
)
= 0, 12⇔ P
(
Z > −c− 40
6
)
= 0, 12⇔
tab
(
−c− 40
6
)
= 0, 38⇔ 40− c
6
= 1, 175⇔ c = 32, 95
(d) (i) X ∼ N
(
40;
36
36
)
(ii) P(X ≥ 42) = P
(
Z >
42− 40
1
)
= 0, 5− tab(2, 0) = 0, 0228
(iii) P(37 ≤ X ≤ 41) = P
(
37− 40
1
< Z <
41− 40
1
)
= tab(1, 0) + tab(3, 0) = 0, 84
Questa˜o 4 [2,5 pts] Seja X ∼ Bin(250; 0, 25).
(a) Verifique que sa˜o va´lidas as condic¸o˜es para aproximac¸a˜o da binomial pela normal e indique
os paraˆmetros de tal distribuic¸a˜o normal.
(b) Calcule as seguintes probabilidades usando a aproximac¸a˜o normal usando a correc¸a˜o de
continuidade.
(i) P(X > 68)
(ii) P(50 ≤ X ≤ 85)
(iii) P(X ≤ 72)
(iv) P(75 < X < 91)
Soluc¸a˜o
(a) np = 250× 0, 25 = 62, 5 n(1− p) = 250× 0, 75 = 187, 5 OK!
X ≈ N (62, 5; 250× 0, 25× 0, 75) ou X ≈ N (62, 5; 46, 875)
(b) (i) P(X > 68) ≈ P
(
Z ≥ 68, 5− 62, 5√
46, 875
)
= P (Z ≥ 0, 88) = 0, 5 − tab(0, 88) = 0, 5 −
0, 3106 = 0, 1894
(ii) P(50 ≤ X ≤ 85) ≈ P
(
49, 5− 62, 5√
46, 875
≤ Z ≤ 85, 5− 62, 5√
46, 875
)
= P(−1, 90 ≤ Z ≤ 3, 36) =
tab(3, 36) + tab(1, 9) = 0, 4996 + 0, 4713 = 0, 9709
Curso de Administrac¸a˜o 3
(iii) P(X ≤ 72) ≈ P
(
72, 5− 62, 5√
46, 875
)
= P(Z ≤ 1, 46) = 0, 5 + tab(1, 46) = 0, 5 + 0, 4279 =
0, 9279
(iv) P(75 < X < 91) = P
[(
75, 5− 62, 5√
46, 875
)
< Z <
(
90, 5− 62, 5√
46, 875
)]
= P(1, 90 < Z <
4, 09) = tab(4, 09)− tab(1, 90) = 0, 5− 0, 4713 = 0, 0287
Curso de Administrac¸a˜o 4