Provas 1, 2 e Exame 2010

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Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP
Faculdade de Cieˆncias Aplicadas
Disciplina: Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear Per´ıodo: 1o semestre de 2010
Professor: Data: 05/05/2010
Aluno(a): RA:
ATENC¸A˜O: Respostas sem justificativa sera˜o desconsideradas
Na˜o desgrampei as folhas de respostas da prova.
Todas as folhas entregues, devem ser devolvidas.
Primeira Prova
Questa˜o 1: (2,0 pontos) Resolva o sistema 퐴푋 = 퐵 usando o me´todo de Gauss-Jordan e desta-
cando cada operac¸a˜o elementar utilizada, onde: 퐴 =
⎡⎢⎢⎣
1 0 −1
2 1 0
0 1 1
⎤⎥⎥⎦ e 퐵 =
⎡⎢⎢⎣
1
1
2
⎤⎥⎥⎦.
Questa˜o 2: (2,0 pontos) Sejam 푈 =
⎡⎢⎢⎣
푐 4 1
0 푑+ 1 3
0 0 푐2 − 4
⎤⎥⎥⎦, 푀 =
⎡⎢⎢⎣
−1 1 −1
−4 9 −3
2 3 3
⎤⎥⎥⎦ e푁 =
⎡⎢⎢⎣
1 −5 4
−2 2 0
−3 −1 −1
⎤⎥⎥⎦.
(a) Determine, se poss´ıvel, 푐 e 푑 tais que 퐴 = 푀 푈 seja invert´ıvel;
(b) Determine, se poss´ıvel, 푐 e 푑 tais que 퐵 = 푁 푈 seja invert´ıvel;
Questa˜o 3: (3,0 pontos) Considere os pontos 퐴 = (1, 1, 0),퐵 = (3, 2,−1), 퐶 = (0, 1,−2) e 퐷 =
(1, 3,−1).
(a) Encontre as retas: 푟1 contendo o segmento 퐴퐵 e 푟2 contendo o segmento 퐶퐷. Determine a
posic¸a˜o relativa desta retas.
(b) Use o produto misto para encontrar a equac¸a˜o do plano, 휋 contendo o segmento 퐴퐵 e que
seja paralelo a 푟2. (Soluc¸a˜o diferente da forma solicitada tera´ reduc¸a˜o de 30% na nota.)
(c) Calcule as distaˆncias 푑(휋, 푟2) e 푑(푟1, 푟2).
Questa˜o 4: (3,0 pontos) Determine se as sentenc¸as sa˜o verdadeiras ou falsas. Provem as sentenc¸as
verdadeiras e exibam contra-exemplos para as falsas.
( ) det(퐴+퐵) = det(퐴) + det(퐵).
( ) Se 퐴 = 푃 퐷푃−1 enta˜o 퐴3 = 푃 퐷3 푃−1.
( ) Sejam 푢, 푣 ∈ ℝ3 na˜o nulos, se 푢 ∙ 푣 = ∥푢∥∥푣∥ enta˜o existe 훼 tal que 푢 = 훼푣.
( ) Dados 푢, 푣, 푤 ∈ ℝ3 enta˜o ∥푢× 푣∥2 + (푢 ∙ 푣)2 = ∥푢∥2∥푣∥2
( ) Sejam 푢, 푣, 푤 ∈ ℝ3, se 푢× 푣 = 푢× 푤 com 푢 ∕= 0 enta˜o 푣 = 푤.
( ) Seja 푢 ∈ ℝ3 e 푖 = (1, 0, 0), 푗 = (0, 1, 0), 푘 = (0, 0, 1) enta˜o 푢× (푗 × 푖) = (푢 ∙ 푖)푗 − (푢 ∙ 푗)푖.
BOA PROVA!!!!
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Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP
Faculdade de Cieˆncias Aplicadas
Disciplina: Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear Per´ıodo: 1o semestre de 2010
Professor: Data: 30/06/2010
Aluno(a): RA:
ATENC¸A˜O: Respostas sem justificativa sera˜o desconsideradas
Na˜o desgrampei as folhas de respostas da prova.
Todas as folhas entregues, devem ser devolvidas.
Segunda Prova
Questa˜o 1: (2,0 pontos) Considere o espac¸o, 푊 , gerado pelo conjunto
훼 = {(1, 4,−2), (2, 9, 5), (−1,−5,−7)}.
(a) Extraia uma base, 훽, para 푊 que esteja contida em 훼.
(b) 푊 = ℝ3? Exiba, caso exista, um vetor do ℝ3 que na˜o pertence a 푊
(c) Ache 훼˜ base de ℝ3 contendo 훽.
Questa˜o 2: (2,5 pontos) Sejam {푣1, 푣2, 푣3} um conjunto com vetores na˜o nulos.
(a) Mostre que os vetores {푢1, 푢2, 푢3} sa˜o dois a dois ortogonais (푢푖 ⋅푢푗 = 0, 푖 ∕= 푗), onde: 푢1 = 푣1,
푢2 = 푣2 − 푢1 ⋅ 푣2
푢1 ⋅ 푢1푢1, 푢3 = 푣3 −
푢1 ⋅ 푣3
푢1 ⋅ 푢1푢1 −
푢2 ⋅ 푣3
푢2 ⋅ 푢2푢2
(b) Ache uma base ortonormal, 훾, para o espac¸o푊 gerado pela base 훿 = {(1, 0,−1, 0), (0, 1,−1, 0), (0, 0, 1,−1)}
a partir de 훿.
Questa˜o 3: (1,5 pontos) Considere as bases da questa˜o anterior.
(a) Encontre a matriz de mudanc¸a da base 훿 para a base 훾
(b) Quais as coordenadas do vetor (0, 1,−1, 0) na base 훿 e na base 훾 (Use a matriz de mudanc¸a
de base!)
Questa˜o 4: (2,0 pontos) Determine se das seguintes matrizes sa˜o diagonaliza´veis ou na˜o, justifique:
(a) A matriz
[
2 −3 −1
0 1 −3
0 −3 1
]
;
(b) Uma matriz (2× 2) invert´ıvel;
(c) A matriz
[
0 1 0
0 0 1
0 0 0
]
Questa˜o 5: (2,0 pontos) Considere as seguintes formas quadra´ticas, escreva a equac¸a˜o numa base
conveniente e identifique qual e´ coˆnica e seus parameˆtros, a terna (푎, 푏, 푐) se elipse ou hipe´rbole, ou
푝 se for uma para´bola (Boˆnus: determine qual o eixo que conte´m o(s) foco(s), qual e´ translac¸a˜o e a
rotac¸a˜o).
(a) 2푥2 + 8푥푦 + 2푦2 + 푥+ 푦 − 9 = 0
(b) 4푥2 − 2푥푦 + 4푦2 − 1 = 0
BOA PROVA!!!!
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Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP
Faculdade de Cieˆncias Aplicadas
Disciplina: Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear Per´ıodo: 1o semestre de 2010
Professor: Data: 12/08/2010
Aluno(a): RA:
ATENC¸A˜O: Respostas sem justificativa sera˜o desconsideradas
Na˜o desgrampei as folhas de respostas da prova.
Todas as folhas entregues, devem ser devolvidas.
Exame
Questa˜o 1: (3,0 pontos) Encontre a equac¸a˜o geral do plano que conte´m os pontos 퐴 = (1, 0, 0),
퐵 = (1, 5,−2) e e´ paralelo ao vetor (1,−1, 1) e determine a distaˆncia de 퐶 = (1,−1, 1) ao plano
encontrado e a a´rea do triaˆngulo formado pelos ve´rtices 퐴, 퐵 e 퐶.
Questa˜o 2: (2,5 pontos)
Questa˜o 3: (2,5 pontos) Encontre os autovalores e autovetores das matrizes e digam se elas sa˜o
diagonaliza´veis.
퐴 =
⎡⎢⎢⎣
4 −3 −3
0 1 −3
0 −3 1
⎤⎥⎥⎦ 퐵 =
⎡⎢⎢⎣
1 1 0
0 1 0
0 0 1
⎤⎥⎥⎦.
Questa˜o 4: (2,0 pontos)
(a) Encontre a matriz de mudanc¸a da base 훼 = {(1, 0,−1), (0, 1,−1), (1, 1, 1)} para a base 훽 ={(
1√
2
,
1√
2
, 0
)
,
(
1√
2
,− 1√
2
, 0
)
, (0, 0, 1)
}
(b) Quais as coordenadas do vetor 푣 = (1,−1, 0) na base 훼 e use a matriz do item (a) para obter
as coordenadas deste vetor na base 훽.
BOA PROVA!!!!