Avaliação 2 com Gabarito -Progessão Aritméica e Progressão Geométrica

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Matemática Básica 2017/2  AD2 
 
1) 1ª Questão: [1,5 ponto] As colunas da tabela abaixo formam progressões 
geométricas todas da mesma razão q e as linhas são progressões aritméticas. 
 
a) Determine a razão de cada progressão aritmética; 
b) Determine a razão q das progressões geométricas; 
c) Complete a tabela 
 
1 14 
 60 
 
 
 
Solução 
A primeira linha forma uma PA, sendo assim temos que 14=1+2r, logo temos que a 
razão da PA da primeira linha é r = 13/2 e com isto, o elemento da primeira linha, 
segunda coluna é 1+13/2=15/2. Dar 0,2 pelo valor da razão da PA da primeira linha 
Podemos calcular agora os elementos da segunda coluna, que formam uma PG. 
Chamando de q a razão das PG temos que 60= q 15/2 o que dá q = 8. Assim a segunda 
coluna está formada por 15/2, 60, 480 e 3840. 
Dar 0,5 pelo valor correta da razão das PGs 
Já que todas as colunas são formadas por PG de razão q = 2, podemos finalmente 
completar a tabela: 
1 15/2 14 
8 60 112 
64 480 896 
512 3840 7168 
 
A razão da PA da segunda linha será 60-8=52. 
A razão da PA da terceira linha pode ser calculada fazendo 480-64= 416. 
A razão da PA da quarta linha é 3840-512=3328. 
Dar 0,1 pelo valor da cada uma das outras razões das PAs. 
 
Dar 0,2 se o aluno tiver calculado corretamente entre 1 e 3 valores da tabela. 
Dar 0,4 se o aluno tiver calculado corretamente entre 4 e 7 valores da tabela. 
Dar 0,5 se o aluno tiver calculado corretamente 8 ou 9 valores da tabela. 
 
 
2ª Questão: [3,0 pontos] Resolva e marque o conjunto solução na reta orientada: 
a) 
𝑥2
𝑥−2
< 8 
b) 4𝑥2 + (𝑥 + 2)2 < 1 
c) 𝑥 − 4 < 𝑥2 − 4 ≤ 𝑥 + 2 
Solução: 
a) 
𝑥2
𝑥−2
< 8 
Para 𝑥 > 2, temos que: 
 
𝑥2
𝑥−2
< 8 ⟹ 𝑥2 < 8 (𝑥 − 2) = 8𝑥 − 16 ⟹ 𝑥2 − 8𝑥 + 16 = (𝑥 − 4)2 < 0. 
Vemos que esta última inequação não tem solução. Dar 0,3 por esta análise 
Para 𝑥 < 2, temos que: 
 
𝑥2
𝑥−2
< 8 ⟹ 𝑥2 > 8 (𝑥 − 2) = 8𝑥 − 16 ⟹ 𝑥2 − 8𝑥 + 16 = (𝑥 − 4)2 > 0. 
Esta última inequação é satisfeita por todo 𝑥 < 2. Dar 0,3 por esta análise 
Assim o conjunto solução é 𝑆 = {𝑥 𝜖 ℝ 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑥 < 2} = (−∞, 2) 
Dar 0,2 pela resposta final e mais 0,2 pela marcação na reta. 
 
 
 
 
Segunda solução: 
𝑥2
𝑥−2
< 8 ⟺ 
𝑥2
𝑥−2
− 8 < 0 ⟺ 
𝑥2−8𝑥+16
𝑥−2
< 0, precisamos fazer o produto dos sinais. 
Observe que 𝑥2 − 8𝑥 + 16 = (𝑥 − 4)2 ≥ 0, ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑒 𝑥2 − 8𝑥 + 16 = (𝑥 − 4)2 =
0 ⟺ 𝑥 = 4, pois tem uma única raiz real. Assim, temos 
Dar 0,2 por cada sinal
 
Logo, 𝑆 = (−∞, 2) Dar 0,2 pela resposta final e mais 0,2 pela marcação na reta. 
 
 
 
b) 4𝑥2 + (𝑥 + 2)2 < 1 ⟺ 4𝑥2 + 𝑥2 + 4𝑥 + 4 = 5𝑥2 + 4𝑥 + 4 < 1 ⟺ 5𝑥2 +
4𝑥 + 3 < 0. Dar 0,4 até aqui 
Temos que 5𝑥2 + 4𝑥 + 3 = 0 não tem raízes reais, assim temos que 5𝑥2 + 4𝑥 +
3 > 0 para todo valor de 𝑥. Dar 0,3 
Assim o conjunto solução é vazio. Dar mais 0,3 pela resposta final 
c) 𝑥 − 4 < 𝑥2 − 4 ≤ 𝑥 + 2. Vamos analisar a primeira desigualdade: 
𝑥 − 4 < 𝑥2 − 4 ⟺ 0 < 𝑥2 − 𝑥 ⟺ 𝑥 > 1 𝑜𝑢 𝑥 < 0. 
Dar 0,3 por esta análise 
A segunda desigualdade: 
𝑥2 − 4 ≤ 𝑥 + 2 ⟺ 𝑥2 − 𝑥 − 6 ≤ 0 
As raízes de 𝑥2 − 𝑥 − 6 = 0 são: 3 e -2, assim 𝑥2 − 𝑥 − 6 ≤ 0 para −2 ≤ 𝑥 ≤ 3. 
Dar 0,3 por esta análise 
Logo o conjunto solução é 
{𝑥 𝜖 ℝ 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 − 2 ≤ 𝑥 < 0 𝑜𝑢 1 < 𝑥 ≤ 3} = [−2, 0) ∪ (1, 3] 
 
 
Dar 0,2 pela resposta final e mais 0,2 pela marcação na reta. 
 
3ª Questão: [1,5 ponto] 
O dono de uma marcenaria sabe que o número 𝑦 de caixas que ele pode produzir por 
mês depende do número 𝑥 de funcionários que trabalham na empresa. Essa dependência 
é dada por 𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥. Qual é o número de empregados necessários para produzir 168 
caixas em um mês? 
Solução: 
Devemos resolver a equação 
 𝑥2 + 2𝑥 = 168 ⟺ 𝑥2 + 2𝑥 − 168 = 0 ⟺ 𝑥 =
−2±√4+672
2
 ⟺ 𝑥 =
−2±√676
2
 
⟺ 𝑥 =
−2±26
2
 ⟺ 𝑥 = −14 𝑜𝑢 𝑥 = 12. Dar 1,0 
Logo, como 𝑥 > 0, segue que 𝑥 = 12. Serão necessários 12 empregados. Dar 0,5 pela 
resposta 
 
4ª Questão: [2,0 pontos] 
Mostre que existe um único triângulo retângulo, cujas medidas dos lados são números 
inteiros consecutivos. Determine tais medidas. 
Solução: 
Como os lados devem ser inteiros consecutivos, vamos supor que os catetos medem 𝑛 e 
𝑛 + 1, e a hipotenusa 𝑛 + 2, já que é o maior lado. Pelo Teorema de Pitágoras, temos 
que 𝑛 deve ser solução da equação 
(𝑛 + 2)2 = (𝑛 + 1)2 + 𝑛2 ⟺ 𝑛2 + 4𝑛 + 4 = 𝑛2 + 2𝑛 + 1 + 𝑛2 ⟺ 𝑛2 − 2𝑛 − 3 = 0. 
Dar 1,0 
Resolvendo a equação do segundo grau, obtemos 𝑛 = 3 ou 𝑛 = −1, Dar 0,5 
como a medida do lado é positiva, segue que há uma única solução 𝑛 = 3. Assim, os 
catetos medem 3 e 4, já a hipotenusa 5. Dar 0,5 pela resposta 
 
5ª Questão: [2,0 pontos] 
Um navio, navegando em linha reta, passa sucessivamente pelos pontos A,B,C. O 
comandante, quando o navio está em A, observa um farol F e determina que o ângulo 
𝐹𝐴𝐶 mede 30°. Após navegar 6 km até o ponto B, ele verifica que o ângulo 𝐹𝐵𝐶 mede 
90°. Calcular a distância que separa o Farol F do navio, quando este se encontra no 
ponto C, situado a 2 km do ponto B. 
 
Solução: 
Utilizando o triângulo retângulo ABF, temos 
 
𝑡𝑔30° =
 𝐹𝐵
6
⟺
√3
3
=
𝐹𝐵
6
⟺ 𝐹𝐵 = 2√3. Dar 1,0 
Pelo Teorema de Pitágoras, aplicado ao triângulo retângulo BCF, temos que 
(𝐹𝐶)2 = 22 + (2√3)2=4+12=16 ⇒ 𝐹𝐶 = 4. Dar 1,0 
Portanto, o navio está a 4 km do farol.