EXERCÍCIOS SOBRE VETORES

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EXERCÍCIOS SOBRE VETORES
Se o vetor 
 é igual ao vetor 
, calcule x e y.
Dados os vetores 
e 
, calcular 
 e 
.
Sendo 
 e 
, calcule o vetor 
 na igualdade 
.
Calcule os números 
 e 
 na igualdade 
.
Dados os pontos A(-1,2), B(3,-1) e C(-2,4), determinar o ponto D(x,y) de modo que 
.
Determinar a extremidade do segmento que representa o vetor 
, sabendo que sua origem é o ponto A(-1,3).
Dados os vetores 
 e 
, determinar o vetor 
 tal que:
a) 
 b) 
Dados os pontos A(-1,3), B(2,5) e C(3, -1), calcular:
a) 
 b) 
 c) 
.
Dados os vetores 
 e 
, verificar se existem os números a e b tais que 
 e 
.
Dados os pontos A(-1,3), B(1,0), C(2,-1), determinar D tal que 
.
Calcular as componentes dos vetores abaixo. Dados: a = 10 N e b = 5 N
a) y b) y
 a a
 40º 450 
 x x
c) y b d) y
 300 500 b
 x x
e) y f) y 1050
 b 1200 a 300
 x x
Qual é a soma dos vetores:
a) 
 = 4,2 i - 1,5 j 
 
= -1,6 i + 2,9 j
 
 = - 3,7 j 
b) Qual é o módulo do vetor 
. 
Qual é o valor do produto escalar abaixo:
a) b=20 N b) c=25 N
 15º 25º
 a=6 N d=3 N
c) 20 N d) 15 N
 40º 32º
 36 N 35 N
Qual é o produto escalar dos vetores, dados abaixo:
a) 
 = ( 3 i - 2 j + 3 k ) ; 
 = ( 4j - 2 k )
b) 
 = ( - 2 i + j - 5 k ) ; 
 = ( 2 i + 3 j + 4 k )
c) 
 = ( j - K ) ; 
 = ( 3 i - j + k )
d) 
= ( 2 i + 3 j - k ) ; 
= ( 3 i - 2 j + 2 k )
Qual é o valor do produto vetorial abaixo:
a) 2 N b) 10 N 
 400 520
 3 N 5 N
c) 8 N d) 60 N
 3000
 6 N 25 N
Qual é o ângulo ( entre: 
= 3 i - 4 j e 
= - 2 i + 3 k .
Para o sistema abaixo, determine que se pede:
a) i . j; f) j x k;
b) i . k; g) k x j;
c) j . i; h) i x k; j
d) i x i; i) k x i . k i
e) j x i;
Se 
= 3 i - 4 j e 
 = - 2 i + 5 k, qual é o vetor 
 = a x b
Na notação de vetor unitário, qual é a soma e o módulo: 
=4i + 3j e 
= – 13i + 7j
Para os seguintes três vetores, qual é o resultado de 3
 . (2 
x 
)
 = 2 i + 3 j - 4 k
 = - 3 i + 4 j + 2 k
 = 7 i - 8 j
Usando a definição do produto escalar, 
 . 
 = a . b . cos (, calcule o ângulo entre os vetores 
 = 3 i + 3 j + 3 k e 
 = 2 i + 1 j + 3 k.
Dois vetores são dados por 
 = 4 i - 3 j + 1 k; 
 = -1 i + 1 j + 4 k. Na notação de vetor unitário, ache:
a) 
 + 
b) 
 - 
Se 
 = 2 i + 4 j, qual o produto vetorial 
 x 
 quando:
a) 
 = 8 i + 16 j
b) 
 = - 8 i - 16 j 
Achar o ângulo entre os dois vetores: A= 2i + 3j + 4k e B= i – 2j + 3k.
Dois vetores cujos módulos são 
 = 4 e 
 = 6, são ortogonais. Calcular:
O módulo do vetor soma 
 e os ângulos que 
 faz com 
e 
O módulo do vetor diferença 
 e os ângulos que 
faz com 
e 
O módulo do vetor diferença 
 e os ângulos que 
 faz com 
e 
Dois vetores cujos módulos são 5 e 7 formam um ângulo de 72º entre si. Determine o ângulo formado entre o vetor soma e o vetor de maior módulo.
Dois vetores cujos módulos são 26 e 32 formam um ângulo de 65º entre si. Determine o ângulo formado entre o vetor soma e o vetor de menor módulo.
Um ponto percorre uma trajetória circular, conforme a figura ao lado, passando da posição P1 para a posição P2 em 5 s. Os módulos das velocidades são V1 = 40 m/s e V2= 60 m/s. Calcular o módulo da aceleração média entre P1 e P2.
 P1 V1
 1000
 P2
 V2
Dois vetores, 
 e 
, têm módulos 5 e 8, respectivamente e formam um ângulo de 40o entre si. Sendo 
 pede-se calcular o ângulo formado entre 
 e 
. 
Dados os pontos: A(5, -1, 2), B(6, 2, 4) e C(7, 1, 3), determinar:
Os vetores 
 e 
Os módulos de 
 e 
.
Os vetores 
, 
 e 
O versor do vetor 
.
O vetor 
 tal que 
.
Classificar o triângulo cujos vértices são os pontos A(3;-1;2), B(0;-4;2) e C(-3;2;1), como eqüilátero, isósceles ou escaleno.
Os pontos M(4,0,0), N(2,2,0) e P(2,0,5) são vértices de um triângulo. Calcular o comprimento do segmento que une os pontos médios dos lados maiores.
Os pontos P1 (0,4,2) m, P2 (-1,0,3) m e P3 (1,-5,4) m são vértices de um triângulo. Calcular o comprimento da mediana relativa ao lado maior.
Dados os pontos A (3,-2,1) e B (2,-1,3) determine o versor do vetor 
, sendo O (0,0,0).
Determinar o ponto do eixo das ordenadas eqüidistante dos pontos A (1, -3, 7) e B (5, 7, -5).
Dados os pontos A (3,0,0), B (-1,2,5) e C (0,-1,0), pede-se determinar o versor do vetor 
Dados os pontos A (-2,1,0), B (0,-3,1), C (1,-3,2) e D (1,0,-4), calcular os ângulos diretores do vetor 
.
Determinar um ponto do eixo das abscissas cuja distância ao ponto A (-3, 4, 8) seja igual a 12 unidades.
Determine, no eixo OZ, um ponto eqüidistante dos pontos (1, 4, 1) e (-6, 4, 6).
Calcular a distância entre os pontos:
a) A(-1, 1, 2) e B(-5, -5, -2) b) C(4, 3, 2) e D(5, 1, 5) c) E(0, 4, -2) e F(-3, -2, 4)
Classificar os triângulos cujos vértices são:
a) A(4, 3, -4) , B(-2, 9, -4) e C(-2, 3, 2) b) D(3, -1, 6) , E(-1, 7, -2) e F(1, -3, 2)
c) G(4, -1, 4) , H(0, 7, -4) e I(3, 1, -2) d) J(2, 3, -8) , K(4, -2, -7) e L(-1, -3, -4)
e) M(7, 4, 4) , N(6, 6, 3) e O(0, 0, 0) f) P(-2, 0, 2) , Q(10, -2, 4) e R(4, 2, 6)
g) S(0, 3, 0) , T(6, 0, 2) e U(8, 3, 8) h) V(6, 10, 10) , W(1, 0, -5) e X(6, -10, 0)
Qual a expressão analítica do versor de direção definida pelos ângulos diretores ( = 36º , ( = 70º e (. Sabe-se que ( é ângulo obtuso.
Achar a distância entre os pontos P (2, 1, 1) m e Q (0, 0, 3) m.
Uma força 
 tem origem O (0,0,0) e extremidade em A (3, -2, -6) kgf. Pede-se calcular o módulo desta força e os ângulos que ela forma com os eixos coordenados.
Um sistema de forças apresenta as seguintes componentes: 
, 
 e 
. A resultante deste sistema é 
. Pede-se calcular o módulo de cada componente. Unidades SI.
Uma força de módulo 100 N apresenta ângulos diretores ( = 76º e ( = 123º. Calcular as projeções da força sobre os eixos X , Ye Z. Sabe-se que ( é um ângulo obtuso.
Uma força de módulo 10 kgf está no plano XOY formando, com o eixo X um ângulo de 20º . Escrever a expressão analítica desta força.
São conhecidos os vetores 
 e 
, sendo 
 e 
. Calcular 
e 
A expressão analítica de um vetor é 
, o vetor 
 tem módulo A = 12, mesma direção de 
 e sentido contrário a 
. Calcular n.
Dados os vetores 
 e 
 , sabe-se que 
 . Calcule M e N.
Dados os vetores 
, 
 e 
 , achar os escalares m e n tais que 
.
Dados os vetores 
 , 
 e 
 , calcular os escalares M e N tais que 
.
Dados os pontos A(1, (, 0) e B(2( , 8, () , determinar o valor de ( para que o módulo do vetor 
 seja 9.
Verificar se os ângulos diretores de um vetor podem ser 30o , 120o e 60º
Os ângulos diretores de um vetor são 30o , 60o e (. Calcule (.
Os vetores 
 e 
 têm mesma direção. Calcular X e Y. 
Os vetores 
 , 
 e 
 são linearmente dependentes. Calcular X e Y.
Determinar a dependência linear entre os vetores: 
, 
 e 
.
Escrever o vetor 
 = (9, 9, -8) como combinação linear dos vetores do exercício anterior.
Determinar a dependência linear entre os vetores: 
 = (-4 , -1, 5) , 
 = (0, -3, 1) e 
 = (2, 5, -4).
Escrever o vetor 
 como combinação linear dos vetores do exercício anterior. 
Determine a dependência linear entre os vetores 
 = (1, 2, 3) , 
= (2, 3, 4) e 
 = (1, 5, 7).
Determine a dependência linear entre os vetores 
 = (3, 2, -4) , 
 = (1, 0, -2) e 
 = (-2, 3, 3).
Determine a dependência linear entre os vetores 
 = (1, 2, 3) , 
 = (0, 0, 0) e 
 = (2, -4, 1).
Escrever o vetor 
 como combinação linear dos vetores 
 = (2, -2, 6) ,
 = (3, -1, 8) e 
 = (1,1,1).
Escrever o vetor 
 = (6, 9, -15) como combinação linear de 
 = (2, -4, 2) , 
= (1, 7, -3) e 
 = (5, -1, 1).
Determine o ângulo entre os vetores 
 e 
 .
Dados os vetores 
 e 
, determinar o valor de ( para que:
a) 
 seja ortogonal a 
. b) 
 seja paralelo a 
.
Dados os vetores 
 e 
, calcule o ângulo entre os vetores 
 e 
.
Dados os pontos: A(-3, 4, 2), B(m, -2, 4), C(-1, 2, -3) e D(-5, m, -4), calcule m de modo que:
a) Os vetores 
 e 
 sejam paralelos.
b) Os vetores 
 e 
 sejam ortogonais
Calcular o valor de m para que seja de 60º o ângulo entre os vetores 
=(1, m, -2) e 
=(2, 1, m).
Dados os pontos A(3, -5, 2) , B(4, -4, 6) e c(m, 0, 10), determine m para que seja 45º o ângulo entre os vetores 
 e 
.
Dados os vetores: 
 , 
 e 
, determinar:
O ângulo entre 
 e 
O vetor 
 tal que 
, 
 e 
O valor de m para que o vetor 
 seja ortogonal ao vetor 
.
O valor de m para que o vetor 
 satisfaça a igualdade 
.
O vetor 
 é ortogonal ao vetor 
 e satisfaz as condições: 
 e 
. Calcule 
.
Calcular o produto escalar entre os vetores 
 e 
. 
Uma força 
 (N) atua sobre um ponto que se desloca desde a origem até a extremidade do vetor 
 (m). Calcule o trabalho realizado pela força 
.
Calcular o ângulo formado por duas diagonais de um cubo.
Dados os pontos A(1, -2, 3) , B(4, 2, 4) e C(0, -2, 4), determine:
a) O vetor 
 b) O vetor 
c) O vetor 
 tal que 
 d) 
e) O versor do vetor 
 f) Os cossenos diretores de 
g) Se o vetor 
 é unitário
Dados os vetores 
 e 
, determinar:
.
O versor de 
.
O valor de m para que o vetor 
 seja paralelo a 
.
Dados os vetores 
 e 
. Calcule os produtos vetoriais 
 e 
.
Os vetores 
 = (2, y, z) e 
 = (1, -1, 1) têm produto vetorial nulo. Calcule y e z.
Constrói-se um paralelogramo cujos lados são os vetores 
 e 
. Calcular a área deste paralelogramo.
Achar a área do paralelogramo cujos lados são os vetores 
 = (2, 4, 10) e 
 = (3, 12, 5).
Dados os pontos A(1, 4, 0), B(2, 5, 0) e C(0, 1, 0), calcular a área do triângulo ABC.
Calcular a área do paralelogramo cujos lados são os vetores 
 = (1, 3, -2) e 
 = (2, 1, -1).
Calcular o valor de m para que seja de 35 unidades a área do paralelogramo cujos lados são os vetores 
 e 
.
Determinar a área do triângulo cujos vértices são os pontos A(1, 2, 2) , B(4, 4, 3) e C(10, 6, 5).
Dados os vetores 
 , 
 e 
 , calcular o produto misto 
.
Dados os pontos A(2, 3, 1), B(-1, 2, 0), C(1, -3, -1) e D(2, -1, -1) calcular o volume do prisma cujas arestas são 
, 
 e 
.
Dados os vetores 
 = (3, 4, -5) , 
 = (1, 2, -3) e 
 = (2, 1, 5), calcular:
a) 
 b) 
c) O valor de m para que os vetores 
 , 
 e 
 = (5, 6, m) sejam coplanares
d) O valor de n para que seja 37 unidades o volume do paralelepípedo cujas arestas são os vetores 
 , 
 e 
.
Dados os vetores 
 , 
 e 
 , calcule o valor de ( a fim de que seja de 4 unidades o volume do paralelepípedo cujas arestas são os vetores 
 , 
 e 
.
Calcular Y a fim de os vetores 
 = (2, -1, 1), 
 = (1, 2, -3) e 
 = (3, Y, 5) sejam coplanares.
Calcule o valor de ( para que os vetores 
 = (1, (, 3) , 
 = ((, -(, 5) e 
 = (4, (, 11) sejam coplanares.
Calcule:
a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
 f) 
 g) 
 h) 
 i) 
Um barco cuja velocidade em relação à água é 
 (km/h) , parte do ponto 0, para atravessar um rio de 500 m de largura. A velocidade do rio é 
 (km/h). Determine:
a) As coordenadas do ponto final da viagem (ponto F).
b) A distância percorrida pelo barco.
c) O tempo de viagem.
 Y F
	 500 m
 	
 O x
Um avião se desloca desce uma cidade A até uma cidade B, em 7 h 36 min. As coordenadas das cidades são A(200, 500, 0) km e B(4000, 350, 0) km. Sopra um vento sudeste com velocidade 40 km/h. Determine a expressão analítica do vetor velocidade do avião, em relação ao ar.
Um avião, cuja velocidade em relação ao ar é 
 (km/h) voa durante 15 minutos, partindo de uma cidade A e chegando a uma cidade B. Sopra um vento cuja velocidade é 
 (km/h). Qual é a distância entre as cidades A e B?
Um avião se desloca desde uma cidade A até uma cidade B. As coordenadas das cidades são A(-100, 300, 0) km e B(600, 800, 0) km. Sopra um vento noroeste com velocidade 35 km/h. a velocidade do avião em relação ao ar é 
 (km/h). Calcule o tempo de viagem.
Uma força dada pelo vetor 
 (N) move uma partícula do ponto P(2, 1, 0) (m) para o ponto Q(4, 6, 2) (m). Determine o trabalho realizado.
Um parafuso é apertado por uma chave de boca que aplica uma força de 40 N em uma chave de 25 cm, como mostra o esquema. Determine o módulo do torque em torno do centro do parafuso.
RESPOSTAS
�
x = 4 ; y = 5
 ; 
a = 3 ; b = -1
(1, -2)
a) 
 b) 
a) (-4,1) b) (2,5) c) (-5, -30) 
a = 
 b = 
D (4, -4)
a) Fx= 15,32N e Fy=12,85N
b) Fx=7,07N e Fy=7,07N
c) Fx= 25N e Fy= 43,30N
d) Fx= 30,64N e Fy= 25,71N
e) Fx= 25N e Fy= 43,30N
f) Fx= 5,12N e Fy= 8,54N
a) r = 2,6i – 2,3j: r= 1,21
a) 115,91N ; b) 67,97N, c) 551,55N; d) 445,2N
a)– 8i+6j+12k b)11i–2j–8k c)–3j–3k d)4i–7j–13k.
a) 3,85N ; b) 39,40N ; c) 48N ; d) 1299N;
( = 109,47(
a) 0; b) 0 ; c) 1 ; d) 0 ; e) –k ; f) i ; g) –i ; h) –j ; j) j.
–20i – 15j – 8k
r= -9i + 3j + 7k 
540
( = 22,14(
a) 3i – 2j + 5k ; b) 5i - 4j 3k
a) 0 ; b) o
66,6(
a) S(7,2; 56º com 
 e 34º com 
;
b) D1(7,2; 56º com 
 e 146º com 
;
c) D2 ( 7,2; 124º come 34º com 
.
29,1º
36,27º
am ( 15,5 m/s2
142º
a) (1,3,2); (2,2,1); (-1,-3,-2); (-1,1,1) b) 3 e 
c) (-1,1,1); (1,-1,-1); (-9,1,3)
d) (-2/3, -2/3, -1/3) e) (5/3, -1/3, -2/3)
Isósceles
1,58 m
(0, 2, 0)
( = 121º ; ( = 102º ; ( = 34º
(5,0,0) ou (-11,0,0)
(0,0,7)
a) 
 b) 
 c) 9 
a) eqüilátero acutângulo b) escaleno retângulo
c) escaleno obtusângulo d) escaleno acutângulo
e) isósceles acutângulo f) isósceles obtusângulo
g) isósceles obtusângulo h) escaleno retângulo
d = 3 m
F = 7 kgf ; ( = 65º ; ( = 107º ; ( = 149º
F1 = 50 N; F2 = 60 N ; F3 = 80 N
Fx = 24,2 N; Fy = – 79,9 N ; Fz = – 54,5 N
 (kgf)
 ; 
N = -3
M = -1 e N = 0
M = 2 e n = 3
M = 3/2 e N = -1
4 ou –2/3
Não
90º
X = -3/5 e Y = -5
X = 2 e Y = 1
Linearmente independentes
 
Linearmente dependentes
Impossível
Linearmente independentes
Linearmente independentes
Linearmente dependentes
Impossível
( 60º 10’
a) –5/2 b) Impossível
90º
a) 5 b) –1/5
m = -1
2 ou 11
a) 26 b) –15 c) 11 d) ( ( 123º
e) 
 f) m = -1 g) –17/5
–1
9 J
109,5º ou 70,5º
a) (18,20,2) b) (-26, -28,-2) c) (-5/3,-4/3,1/3)
d) 
 e) 
 f) 
 e 
 g) Não é
a) 
 b) 
 c) m = -5
 e 
y = -2 e z = 2
 u.a.
102,7 u.a.
A = 1 u. a.
 u.a.
–6 ou 168/17
 u.a.
4
14 u.v.
a) 10 b) –10 c) m = -5 d) n = 4 ou n = – 17/5
1 ou 4/5 ou 
Y = – 4
0 ou 2
a)0 b)
 c)
 d)0 e)– 
 f)
 g)0 h)
 i)– 
a) F (200 ; 500) b) d ( 538,5 m c) t = 1 min
d ( 89 km
t ( 2 h 9 min
36 J
9,66 N.m
�
�PAGE �
�PAGE �47�
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