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Marcelo Barbosa Analise de Flechas em Vigas de Concreto Armado

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ 
CENTRO DE TECNOLOGIA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ESTRUTURAL E CONSTRUÇÃO CIVIL 
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MARCELO DIEGO DE ALMEIDA BARBOSA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISE DE FLECHAS EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FORTALEZA 
2010 
 ii 
 
 
 
 
 
 
 
MARCELO DIEGO DE ALMEIDA BARBOSA 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISE DE FLECHAS EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO 
 
 
 
 
 
Monografia submetida à Coordenação do 
Curso de Engenharia Civil da Universidade 
Federal do Ceará, como requisito para 
obtenção do grau de Engenheiro Civil. 
 
Orientador: Prof. Dr. Joaquim Eduardo Mota 
 
 
 
B199a Barbosa, Marcelo Diego de Almeida 
 Análise de flechas em vigas de concreto armado / Marcelo Diego de Almeida Barbosa. 
 85f: il. color. enc. 
 
 Orientador: Prof. Dr. Joaquim Eduardo Mota 
 Área de concentração: Análise de Estruturas 
 Monografia (graduação) - Universidade Federal do Ceará, 
 Centro de Tecnologia. Depto. de Engenharia Estrutural e Construção 
 Civil , Fortaleza, 2010. 
 
1. Concreto armado 2. Estruturas de concreto I. Mota, Joaquim 
 Eduardo (orient.) II. Universidade Federal do Ceará – Curso de Engenharia 
 Civil III.Título 
 
 
 CDD 620 
 
 
 
 
 
 
 
FORTALEZA 
2010 
 iii 
 
 
 
 
 
 iv 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aos meus pais, 
 
Telmo Barbosa e Maria das Graças de Almeida Barbosa 
 
Por todo incentivo e amor. 
 
 v 
 
 
 
AGRADECIMENTOS 
 
 
A DEUS, que me deu vida e inteligência, e que me dá força para continuar a 
caminhada em busca dos meus objetivos. 
 
Aos meus pais Telmo Barbosa e Maria das Graças de Almeida Barbosa, pelo 
amor que me dedicaram e em especial a minha mãe, por ser um exemplo para mim e nunca 
medir esforços em superar os obstáculos enfrentados. 
 
Aos meus irmãos Márcio Talvany de Almeida Barbosa e a Telma Patricia de 
Almeida Barbosa, por sempre serem meu apoio nos momentos difíceis e por me ensinarem os 
reais valores da vida. 
 
À minha namorada, Sâmara Ribeiro e Silva pela paciência, incentivo e pelo apoio 
incondicional ao longo da graduação. 
 
Ao professor Dr. Joaquim Eduardo Mota, pela orientação, pelos conhecimentos 
transmitidos e sem sua importante ajuda esse trabalho não teria sido concretizado. 
 
Ao engenheiro Dácio Carvalho, por ter aberto as portas de sua empresa, por ter 
transmitido o seu enorme conhecimento e por ter colaborado na concretização desse sonho. 
 
Ao amigo e colega de trabalho, Thiago Bruno Reis de Azevedo pela sua enorme 
paciência, boa vontade em transmitir seu conhecimento e pela amizade adquirida ao longo dos 
anos. 
Aos amigos Vitor Rocha Holanda, Justino Café Leitão, Pedro Campelo Nogueira, 
Marconi Nunes Santana, Joaquim Umbelino Neto pelo apoio nessa caminhada e em especial 
ao grande amigo Régis Bezerra de Oliveira pela amizade, incentivo e companheirismo ao 
longo da graduação. 
 
Aos Senhores, Rômulo César Estevam Angelim e José Heli Leite Santiago por 
terem sido os responsáveis em despertar meu interesse em fazer o curso de Engenharia Civil. 
 vi 
 
 
 
RESUMO 
 
 
 
Nos dias de hoje pode-se atingir um alto nível de refinamento na análise 
estrutural, sendo cada vez mais comum a utilização de modelos numéricos que consideram a 
não- linearidade física dos materiais, a fissuração, a fluência, a retração do concreto, o 
comportamento elasto-plástico da armadura, além da influência do processo construtivo no 
comportamento da estrutura. 
Neste trabalho será apresenta-se a formulação simplificada da NBR 6118:2003 
item 17.3.2.1: “Avaliação aproximada de flechas em vigas” e avalia-se sua eficiência no 
cálculo de flechas pela comparação com resultados obtidos por métodos numéricos mais 
refinados e comparados ao modelo simplificado da NBR 6118:2003. Elaborou-se uma 
planilha em Excel que serviu de base para a obtenção desses dados. O modelo não linear mais 
refinado utilizado é o programa CONSNOU. 
Para uma avaliação mais refinada das flechas em vigas de concreto armado 
utilizou-se o programa computacional denominado CONSNOU desenvolvido pelo Professor 
Antonio R. Marí do Departamento de Engenharia da Universidade Politécnica da Catalunha 
Barcelona/Espanha. Este programa permite considerar os efeitos da fluência, fissuração, 
retração e da colaboração do concreto tracionado entre as fissuras para a rigidez à flexão dos 
elementos. Esse programa serviu de base para a comparação dos resultados obtidos pela 
formulação da NBR6118:2003. 
 
 
Palavras-chave: flechas em vigas; concreto armado; análise-estrutural; NBR 6118:2003. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 vii 
 
 
 
LISTA DE FIGURAS 
 
 
 
Figura 2.1 - Deslocamentos de vigas sobre carregamento distribuído.................... 5 
Figura 2.2 - Diagrama tensão – deformação do concreto...................................... 7 
Figura 2.3 - Ensaio de tração direta....................................................................... 9 
Figura 2.4 - Ensaio de tração por compressão diametral....................................... 10 
Figura 2.5 - Ensaio de tração na flexão.................................................................. 10 
Figura 2.6 - Comportamento do concreto na flexão pura (Estádio I).................... 12 
Figura 2.7 - Comportamento do concreto na flexão pura (Estádio II)................... 12 
Figura 2.8 - Comportamento do concreto na flexão pura (Estádio III).................. 13 
Figura 2.9 - Diagrama Retangular.......................................................................... 14 
Figura 2.10 - Exemplo de distribuição das fissuras de uma viga........................... 14 
Figura 2.11 - Retração do concreto........................................................................ 15 
Figura 2.12 - Reversibilidade da retração.............................................................. 17 
Figura 2.13 - Fluência do concreto........................................................................ 17 
Figura 2.14 - Reversibilidade da fluência.............................................................. 18 
Figura 2.15 - Acréscimo de deformação devido à fluência................................... 19 
Figura 2.16 - Seção Retangular no Estádio I......................................................... 21 
Figura 2.17 - Seção Retangular no Estádio II........................................................ 22 
Figura 2.18 - Limite do momento de fissuração.................................................... 23 
Figura 2.19 - Valores do coeficiente α...................................................................27 
Figura 2.20 - Flecha imediata para as cargas quase permanentes pelos diferentes 
métodos.................................................................................................................. 
 
27 
Figura 2.21 - Flecha total pelos diferentes métodos.............................................. 29 
Figura 2.22 - Dano em elementos não estruturais................................................... 31 
 Figura 3.1 - Gráfico do deslocamento x limite..................................................... 57 
Figura 3.2 - Gráfico do deslocamento x parcela de carga acidental e permanente 58 
Figura 3.3 - Gráfico do deslocamento x tempo de aplicação das cargas............... 59 
Figura 3.4 - Gráfico do deslocamento x base da viga........................................... 61 
Figura 3.5 - Gráfico do deslocamento x altura da viga......................................... 62 
Figura 3.6 - Gráfico do deslocamento x armadura de compressão........................ 63 
 viii 
 
Figura 3.7 - Gráfico do deslocamento x vão da viga............................................. 64 
Figura 3.8 - Gráfico do deslocamento x Fck.......................................................... 65 
Figura 4.1 - Deslocamento linear x não linear....................................................... 68 
Figura 4.2 – Fluxograma simplificado do programa CONSNOU........................ 71 
Figura 4.3 – Gráfico de deslocamento NBR 6118:2003 x CONSNOU............... 71 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ix 
 
 
 
LISTA DE TABELAS 
 
 
 
Tabela 2.1 – Valores do coeficiente ξ em função do tempo ................................. 28 
Tabela 2.2 – Limites para deslocamentos ............................................................. 32 
Tabela 2.3 - Valores de ψ1 e ψ2.............................................................................. 37 
Tabela 3.1 - Exemplo da guia de cálculo da planilha em Excel............................. 49 
Tabela 3.2 – Exemplo da guia dados e resultados em Excel................................. 50 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 x 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
1. INTRODUÇÃO ................................................................................................................ 1 
1.1. Aspectos gerais ........................................................................................................... 1 
1.2. Justificativa ................................................................................................................. 2 
1.3. Objetivos ..................................................................................................................... 3 
1.4. Organização do trabalho ........................................................................................... 4 
2. CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO ..... 5 
2.1 Introdução .................................................................................................................. 5 
2.2 Variáveis que influem nos deslocamentos ............................................................... 6 
2.2.1 Propriedades do concreto.................................................................................... 6 
2.2.2 Fissuração ......................................................................................................... 11 
2.2.3 Retração ............................................................................................................ 15 
2.2.4 Fluência ............................................................................................................ 17 
2.3 Cálculo dos deslocamentos ...................................................................................... 20 
2.3.1 Considerações iniciais ...................................................................................... 20 
2.3.2 Cálculo dos deslocamentos imediatos .............................................................. 26 
2.3.3 Cálculo dos deslocamentos diferidos ............................................................... 28 
2.4 Controle dos deslocamentos .................................................................................... 30 
2.4.1. Metodologia do controle de deslocamentos ..................................................... 31 
2.4.2. Adoção de medidas para o controle de deslocamentos excessivos .................. 35 
2.5 Considerações de ações ............................................................................................ 36 
2.5.1 Classificações das ações ................................................................................... 36 
2.5.2 Combinações de ações ...................................................................................... 37 
2.6 Considerações finais ................................................................................................ 38 
3. ANÁLISE DE FLECHAS EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO ....................... 40 
3.1 Introdução ..................................................................................................................... 40 
3.2 Cálculo de flechas em vigas de concreto armado....................................................... 40 
3.2.1 Exemplo 1 ................................................................................................................ 40 
3.2.2 Exemplo 2 ................................................................................................................ 45 
3.3 Cálculo de flechas em vigas de concreto armado utilizando o Excel .................. 49 
3.3.1 Introdução ................................................................................................................ 49 
3.3.2 Cálculo de flechas em vigas de concreto armado utilizando o Excel ...................... 49 
 xi 
 
3.3.3 Análise de variáveis que influem nos deslocamentos de vigas de concreto 
armado...............................................................................................................................57 
3.4 Considerações finais ..................................................................................................... 66 
4. ANÁLISE NUMÉRICA DO PROGRAMA CONSNOU ............................................ 67 
4.1 Aspectos gerais .............................................................................................................. 67 
4.2 Análise não linear ......................................................................................................... 68 
4.2.1 Não linearidade física .............................................................................................. 69 
4.2.2 Não linearidade geométrica ..................................................................................... 70 
4.2 Programa CONSNOU .................................................................................................. 70 
4.3 Análise numérica .......................................................................................................... 72 
4.4 Considerações finais ..................................................................................................... 74 
5. CONCLUSÕES ............................................................................................................... 75 
 
 
 
 
 
 1 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
 
1.1. Aspectos gerais 
 
 
Com o progressodas construções, tanto na agilidade dos processos construtivos 
quanto na evolução dos projetos estruturais, as edificações deixaram de ser robustas e 
passaram a ser mais esbeltas. A altura desses empreendimentos também acompanhou essas 
modificações, onde temos estruturas bem mais verticalizadas. Esses fatores, anteriormente 
citados, podem ser atribuídos ao aprimoramento das técnicas de análise estrutural e 
desenvolvimento das tecnologias dos materiais utilizados na construção civil. 
Entretanto, surgiram novos problemas nas construções. Pois, como essas 
estruturas antigamente eram robustas, as vigas não apresentavam problemas de deslocamentos 
excessivos devido a essa elevada rigidez. A consequência foi um maior nível de fissuração 
das peças, diminuindo sua rigidez e conseqüentemente aumentando os deslocamentos. Por 
isso, a questão do controle de fissuração e o controle de deslocamentos vêm sendo cada vez 
mais importante no desenvolvimento de projetos nos dias de hoje. 
Foi introduzido um maior cuidado na construção civil chamado de durabilidade. 
De acordo com o item 6.1 da NBR 6118:2003: “As estruturas de concreto devem ser 
projetadas e construídas de modo que sob as condições ambientais previstas na época do 
projeto e quando utilizadas conforme preconizados em projeto conservem sua segurança, 
estabilidade e aptidão em serviço durante o período correspondente a sua vida útil”. Onde 
entendemos que vida útil é o período que a estrutura mantém as mesmas características 
iniciais definidas em projeto. 
Os deslocamentos excessivos são um exemplo de prejuízo às estruturas em 
serviço, em que os danos vão além de efeitos na sua própria funcionalidade e estética, como a 
de outros elementos, estruturais ou não que a eles estejam ligados. Podemos citar como 
exemplos desses tipos de danos o mau funcionamento de portas e janelas, o acúmulo de água 
em lajes de cobertura e marquises e a vibração excessiva em lajes de piso. Esses danos 
anteriormente citados não têm relação com a segurança, porém os efeitos que eles podem 
causar são de desconforto e desconfiança aos usuários. 
Sendo assim, todo engenheiro deverá preocupar-se tanto em garantir a segurança 
da estrutura à ruína quanto ao comportamento da estrutura em serviço, pois estes estão 
 2 
 
intimamente ligados ao bom funcionamento e desempenho da edificação. Kimura (2009) 
alerta que quando um estado limite de serviço (ELS) é alcançado, o uso da edificação é 
inviabilizado, da mesma forma quando um estado limite último (ELU) é atingido. 
 
 
1.2. Justificativa 
 
 
A evolução das estruturas de concreto armado possibilitou a diminuição das 
seções transversais das vigas, das espessuras das lajes. Com isso, mesmo tendo uma maior 
eficiência as estruturas tornam-se mais flexíveis e tornam o problema dos deslocamentos 
excessivos mais comuns. Portanto, a avaliação das estruturas em serviço torna-se 
imprescindível para o bom funcionamento da edificação. 
Nesse contexto, as normas vêm cada vez mais exigindo o atendimento às 
verificações das peças em serviço: na fissuração, nas deformações excessivas e vibrações. 
Para isso, essas normas especificam faixas de valores limites nos quais as peças deverão 
atender. Para os deslocamentos de peças fletidas dois critérios poderão ser atendidos: ou a 
adoção de altura mínima, ou a verificação dos deslocamentos comparados aos seus valores 
limites. 
Segundo Guarda (2005), no primeiro critério, se a altura de um elemento for 
superior a um determinado limite, que deve ser respeitado independentemente da altura 
requerida pelo dimensionamento à flexão, pode-se admitir que seus deslocamentos não 
causarão danos à edificação. Alguns desses critérios de altura mínima são bastante simples, 
essencialmente empíricos e baseados na experiência adquirida ao longo do tempo, para cada 
tipo de elemento estrutural. Outros, propostos por estudos mais recentes, já tem abordagens 
mais racionais, mas mesmo assim fornecem expressões muito complexas. Diante disso, 
percebe-se a conveniência de se desenvolverem novos critérios de altura mínima, de aplicação 
prática, que consigam dosar as simplificações e a necessidade de se considerarem diversos 
fatores importantes para o estudo dos deslocamentos. 
Já na verificação de deslocamentos comparados aos seus valores limites, pode ser 
feito de diversas maneiras. Alguns métodos possuem resultados mais aproximados, pois não 
levam em consideração alguns fatores que influem diretamente nos resultados finais desses 
deslocamentos, já outros modelos mais refinados consideram alguns efeitos não contemplados 
pelos métodos simplificados. O processo de cálculo de flechas da norma NBR 6118: 2003 
 3 
 
leva em consideração apenas alguns desses fatores e com uma abordagem simplificada, 
variáveis essas que serão melhores discutidas posteriormente. 
Dentro dessa ótica, é necessário avaliar os métodos para obtenção de flechas 
atualmente utilizados, compará-los a modelos teóricos mais realistas e a modelos 
experimentais. Em seguida, devem-se ajustar os modelos simplificados e calibrá-los a 
modelos mais realistas para obtenção de resultados mais satisfatórios. 
 
 
1.3. Objetivos 
 
 
O objetivo geral deste trabalho é apresentar a formulação da NBR 6118:2003, no 
item 17.3.2.1, avaliação aproximada de flechas em vigas. Utilizando-se de uma planilha que 
automatize esse processo na obtenção das flechas. 
Os objetivos específicos são: 
 Elaborar uma planilha no Excel para que se obtenham as flechas em 
vigas de forma mais rápida; 
 Apresentar alguns exemplos de cálculo de flechas em vigas utilizando 
o modelo proposto pela NBR 6118:2003; 
 Utilizar o programa CONSNOU de análise não-linear para obter as 
flechas pelo modelo não-linear mais refinado; 
 Comparar os resultados obtidos pelo método da NBR 6118:2003 e pelo 
programa CONSNOU; 
 Analisar as possíveis causas das divergências nos resultados entre 
esses dois modelos e sugerir qual medida corretiva deverá ser tomada 
no sentido de adotar um resultado mais próximo do real; 
 Analisar as vantagens e desvantagens do modelo adotado pela NBR 
6118:2003. 
 
 
 
 
 4 
 
1.4. Organização do trabalho 
 
 
O primeiro capítulo trata da contextualização do problema, justificativa e 
objetivos. 
 O segundo capítulo apresenta um resumo detalhado de como obter as flechas 
imediatas e diferidas no tempo em vigas de concreto armado, utilizando o método de 
avaliação aproximada da NBR 6118:2003, bem como os conceitos dos efeitos que afetam os 
deslocamentos como: fluência, retração, fissuração. 
No terceiro capítulo, apresentaremos de forma sucinta a forma como foi elaborada 
a planilha em Excel que será utilizada para obtenção de flechas em vigas de concreto armado 
e também alguns exemplos de cálculo de flechas em vigas de concreto armado. Em seguida 
analisaremos os deslocamentos avaliando as variáveis que os influem. 
No quarto capítulo serão apresentadas as bases do programa computacional 
CONSNOU, fundamentado no método dos elementos finitos, que foi empregado na análise 
numérica. Ainda neste capítulo, será apresentada uma avaliação do programa computacional 
através da simulação de modelos reais utilizados para validarem a precisão desse programa. 
Por fim, no quinto capítulo, serão apresentadas as conclusões, algumas 
considerações finais sobre as análises realizadas e sugestões para nova pesquisa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5 
 
2. CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO 
 
 
2.1 Introdução 
 
 
Este capítulo aborda alguns conceitos básicos relevantes como a definição de 
viga,os tipos de deslocamentos, as combinações de carregamento, apresenta também o estado 
limite de serviço (ELS-DEF), os conceitos de fluência, retração, fissuração, suas influências 
nos deslocamentos e os métodos simplificados para avaliação de flechas em vigas de concreto 
armado. 
Um conceito que devemos ter bem definido é a definição de viga. De acordo com 
o item 14.4.1.1 da NBR 6118:2003, vigas são elementos lineares em que a flexão é 
preponderante. Elementos lineares são aqueles em que o comprimento longitudinal supera em 
pelo menos três vezes a maior dimensão da seção transversal, sendo também denominada de 
barras. 
Em uma estrutura que está solicitada por forças, os seus membros sofrem 
deformações e deslocamentos, isto é, os pontos dentro da estrutura deslocam-se para novas 
posições, com exceção dos pontos de apoios não deslocáveis. Esses deslocamentos podem ser 
de translação, de rotação, ou uma combinação de ambos (GERE; WEAVER, 1987). 
Em nosso estudo iremos avaliar os deslocamentos de translação. Onde, esse 
deslocamento pode ser divido em deformação imediata e deformação diferida. Os 
deslocamentos imediatos podem ser denominados também de iniciais e surgem logo após a 
aplicação dos carregamentos. Já a deformação diferida ou deformação lenta ocorrem ao passar 
do tempo, conforme ilustrado na Figura 2.1. A soma dessas duas parcelas de deslocamentos 
conduz a flecha final. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.1 - Deslocamentos de vigas sobre carregamento distribuído – Fonte: ALVA (2010). 
 6 
 
2.2 Variáveis que influem nos deslocamentos 
 
 
Vários são os fatores que exercem influência, em maior ou menor escala, sobre a 
ordem de grandeza dos deslocamentos. Como menciona o ACI 435.2R (1966), podem ser 
citados, dentre outros: o tipo, a grandeza e o histórico do carregamento; o vão e as condições 
de apoio do elemento estrutural; as propriedades geométricas de sua seção transversal; as 
propriedades dos materiais utilizados; a fissuração, a retração e a fluência do concreto; as 
taxas de armadura de tração e de compressão e o processo de execução da estrutura. Algumas 
dessas variáveis têm uma influência maior e outras uma preponderância menor. Podemos citar 
fatores que afetam de maneira diretamente proporcional os deslocamentos como o vão da viga 
e o carregamento. Já os que implicam em alterações de menor magnitute são a taxa de 
armadura de compressão, que, na realidade interfere na retração, a alteração da largura da 
viga. Algumas dessas variáveis serão abordadas a seguir. 
 
 
2.2.1 Propriedades do concreto 
 
 
Algumas propriedades do concreto apresentam interferência direta no cálculo de 
deslocamentos de vigas em concreto armado. De acordo com a NBR 6118:2003, o módulo de 
elasticidade e a taxa de armadura à tração são alguns exemplos de fatores que colaboram 
diretamente para a variação nos deslocamentos. Outros fatores que podem ser citados, porém 
de uma forma indireta são a resistência à compressão, a armadura de flexão, a fissuração, a 
retração e a fluência. A seguir, algumas dessas variáveis serão descritas. 
 
 
A. Resistência à compressão 
 
 
Denominada de Fc. É a principal característica do concreto, a qual é determinada 
pelo ensaio de corpos de prova submetidos à compressão centrada. Esse ensaio é 
regulamentado pela NBR 12654:1992 – Controle tecnológico de materiais componentes de 
 7 
 
concreto. No Brasil, utilizam-se corpos de prova (CP’s) cilíndricos, com diâmetro da base de 
15 cm e altura de 30 cm e também corpos de prova com base de 10 cm e altura de 20 cm. A 
resistência à compressão do concreto deve ser relacionada à idade de 28 dias (NBR 
6118:2003, item 8.2.4) e será estimada a partir do ensaio de determinada quantidade de corpos 
de prova. 
Diversos fatores que afetam os deslocamentos nas peças de concreto armado estão 
ligados ao Fck. Podemos citar o módulo de elasticidade, consequentemente a rigidez da 
estrutura e a rigidez à tração, pois ao aumentar o Fck implicará em um valor mais elevado de 
resistência à tração e, por conseguinte num aumento do momento de fissuração, elevando esse 
fator para um valor superior. Entretanto, Guarda (2005) alerta que a diminuição dos 
deslocamentos não tem a mesma proporção do aumento da resistência do concreto à 
compressão, e também que, se esse aumento for obtido a partir de um consumo muito elevado 
de cimento, os benefícios decorrentes da resistência mais alta podem até ser anulados pelo 
crescimento da retração química. 
 
 
B. Módulo de elasticidade 
 
 
É uma constante da relação tensão-deformação do concreto quando esta mantiver-
se comportando-se de maneira elástico-linear. Porém o concreto comporta-se de maneira não 
linear quando submetido a esforços de certa magnitude. Esse comportamento é consequência 
da microfissuração progressiva que ocorre na interface entre o agregado graúdo e a pasta de 
cimento. O diagrama da Figura 2.2 representa o comportamento dessa relação tensão x 
deformação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.2 – Diagrama tensão – deformação do concreto – Fonte: NBR 6118 (2003) 
 8 
 
Onde o módulo tangente Eci representa a inclinação da reta que passa pela origem 
e a corta no diagrama no ponto correspondente a uma tensão da ordem de 0,5 fc, sendo fc a 
resistência à compressão simples. Superando o valor de 0,5 fc passará a ser utilizado o 
módulo de elasticidade secante Eci. 
A determinação experimental do módulo de deformação do concreto é prevista em 
norma específica, a NBR 8522: 1994: Concreto – Determinação do módulo de deformação 
estática e diagrama tensão-deformação – Método de ensaio. Na falta de determinação 
experimental e não existindo dados precisos sobre a resistência recomenda-se adotar a idade 
do concreto a 28 dias. 
Pela NBR 6118:2003, item 8.2.8, o módulo de elasticidade tangente inicial do 
concreto é estimado pela expressão seguinte, com fc e Eci na unidade MPa. 
 (2.1) 
Para verificações de peças em serviço, pode ser adotado o chamado módulo de 
elasticidade secante, à compressão e à tração, multiplicando por 0,85 o módulo tangente da 
equação 2.1. Esse módulo secante é adotado na maioria das estruturas como um valor 
representativo para as tensões atuantes. 
 (2.2) 
Portanto, essa variável atua de maneira diretamente proporcional nas flechas em 
vigas de concreto armado. Pois, a rigidez de uma estrutura é definida pelo produto da inércia 
com o módulo de elasticidade e quanto maior for esse produto, mais rígida ficará a peça e o 
resultado das flechas será inversamente proporcional a esse produto. 
 
 
C. Resistência à tração (fct) 
 
 
É importante no estudo de deslocamentos em peças de concreto armado, onde 
indica o início da fissuração. Com o aparecimento dessas fissuras há uma diminuição do valor 
da rigidez e o aumento dos deslocamentos. O concreto possui resistência preponderante à 
compressão, já a resistência à tração para concretos convencionais é da ordem de grandeza de 
1/10 de sua capacidade a compressão. 
Alguns estudos apontam a importância de considerar a resistência à tração. 
Stramandinoli (2010) indica que mesmo após o início da fissuração, o concreto tracionado 
 9 
 
entre fissuras tem papel importante na resistência do elemento, devido à transferência de 
tensões causadas pela aderência entre aço e concreto. Este efeito é conhecido como “tension-
stiffening” ou enrijecimento à tração. Onde a formulação de Branson que será descrita 
posteriormente leva de forma simplificada a consideraçãodesse efeito. 
Para a determinação dessa resistência existem três tipos de ensaios normatizados: 
tração direta, compressão diametral e tração na flexão. Esses três tipos de ensaios serão 
descritos logo abaixo. 
 
 
I – Tração direta 
 
 
Neste ensaio, considerado de referência, a resistência à tração, fct, é determinada 
aplicando-se tração axial, até a ruptura, em corpos de prova de concreto simples conforme 
apresentado na Figura 2.3. A seção central é retangular, medindo 9 cm por 15 cm e as 
extremidades são quadradas, com 15 cm de lado. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.3 - Ensaio de tração direta – Fonte: PINHEIRO (2007) 
 
II – Ensaio de tração na compressão diametral 
 
 
É o ensaio mais utilizado. Também é conhecido internacionalmente como ensaio 
brasileiro, em virtude de ter sido desenvolvido pelo brasileiro Lobo Carneiro, em 1943. Esse 
ensaio consiste na utilização de um corpo de prova com dimensões de 15 cm por 30 cm, 
colocado com o eixo horizontal entre os pratos da prensa, conforme ilustrado na Figura 2.4, 
sendo aplicada uma força até a sua ruptura por tração indireta, também conhecida por 
fendilhamento. 
 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.4 – Ensaio de tração por compressão diametral – Fonte: PINHEIRO (2007) 
 
O valor da resistência à tração por compressão diametral, fct,SP, encontrado neste 
ensaio, é um pouco maior que o obtido no ensaio de tração direta. Este ensaio é simples de ser 
executado e fornece resultados mais uniformes do que o da tração direta. Esse ensaio está 
descrito na NBR 7222:1994. 
 
 
III – Ensaio de tração na flexão 
 
 
Para a realização desse ensaio, utiliza-se um corpo de prova de seção prismática e 
o submete à flexão com carregamentos em duas seções simétricas até a ruptura, ver Figura 
2.5. Esse ensaio também é conhecido por “carregamentos nos terços”, pelo fato das seções 
carregadas se encontrarem nos terços dos vãos. 
Os valores encontrados para a resistência à tração na flexão, fct, f, são maiores 
que os encontrados nos ensaios descritos anteriormente. Esse ensaio é descrito na NBR 
12142:1991. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.5 - Ensaio de tração na flexão – Fonte: PINHEIRO (2007) 
 11 
 
A NBR 6118:2003 recomenda que para a obtenção da resistência à tração direta 
fct, pode ser considerada igual a 0,9 fct, SP ou 0,7 fct, f, ou na falta de ensaios para a 
obtenção de fct,SP e fct,f, pode ser avaliado o seu valor médio ou característico por meio das 
equações seguintes: 
 
 
 (2.3) 
 (2.4) 
 (2.5) 
Onde: 
fct,m e fck são expressos em megapascal. 
Sendo 7 MPa, estas expressões podem também ser usadas para idades diferentes de 28 
dias. 
 
 
2.2.2 Fissuração 
 
 
É uma característica do concreto, ou seja, durante a vida útil de uma estrutura e 
mesmo durante sua construção, se atuar um carregamento que provoque um estágio de 
fissuração a rigidez correspondente a esse estágio ocorrerá para sempre. Com a diminuição da 
intensidade do carregamento, as fissuras podem até fechar, porém jamais deixarão de existir. 
O grau de fissuração de uma estrutura de concreto armado dependerá do nível de 
carregamento que estiver atuando na própria peça, da qualidade do concreto, da quantidade de 
armadura na peça, das condições de cura, da desforma e reescoramento. As diversas fases 
pelas quais passa a seção de concreto, ao longo desse carregamento, dá-se o nome de estádios. 
Essas fases são divididas em três etapas: Estádio I, Estádio II e Estádio III. (PINHEIRO , 
2007) apresenta essas três fases da seguinte forma: 
 
 
1) Estádio I: 
 
 12 
 
Esta fase corresponde ao início do carregamento. As tensões normais que surgem 
são de baixa magnitude e dessa forma o concreto consegue resistir às tensões de tração. Tem-
se um diagrama linear de tensões, ao longo da seção transversal da peça (Figura 2.6). 
Figura 2.6 – Comportamento do concreto na flexão pura (Estádio I) – Fonte: PINHEIRO (2007) 
 
Levando-se em consideração a baixa resistência do concreto à tração, se 
comparada com a resistência à compressão, percebe-se a inviabilidade de um possível 
dimensionamento neste estádio. 
O limite entre o estádio I e II é feito pelo cálculo do momento de fissuração, onde 
esse cálculo será apresentado posteriormente. A partir do conhecimento do momento de 
fissuração, é possível calcular a armadura mínima, de modo que esta seja capaz de absorver, 
com adequada segurança, as tensões causadas por um momento fletor de certa magnitude. 
Portanto, o estádio I termina quando a seção fissura. 
 
 
2) Estádio II: 
 
 
Neste nível de carregamento, o concreto não mais resistente à tração e a seção se 
encontra fissurada na região de tração. A contribuição do concreto tracionado deve ser 
desprezada, apesar de existir certa resistência. No entanto, a parte comprimida ainda mantém 
um diagrama linear de tensões (Figura 2.7). 
 
 
 
 
 13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.7 – Comportamento do concreto na flexão pura (Estádio II) - Fonte: PINHEIRO (2007) 
 
Basicamente, o estádio II serve para a verificação da peça em serviço. Como 
exemplos, citam-se o estado limite de abertura de fissuras e o estado limite de deformações 
excessivas, que será objeto de estudo. 
Com a evolução do carregamento, as fissuras caminham no sentido da borda 
comprimida, a linha neutra também e a tensão na armadura cresce, podendo atingir o 
escoamento ou não. 
O estádio II termina com o início da plastificação do concreto comprimido. 
 
 
3) Estádio III: 
 
 
No estádio III, a zona comprimida encontra-se plastificada e o concreto dessa 
região está na iminência da ruptura (Figura 2.8). Admite-se que o diagrama de tensões seja da 
forma parabólico-retangular, também conhecido como diagrama parábola-retângulo. 
A NBR 6118:2003 permite, para efeito de cálculo, que se trabalhe com um 
diagrama retangular equivalente (Figura 2.9). A resultante de compressão e o braço em 
relação à linha neutra devem ser aproximadamente os mesmos para os dois diagramas. 
 
 
 
 
 
 
 
 14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.8 – Comportamento do concreto na flexão pura (Estádio III) – Fonte: PINHEIRO (2007) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.9 – Diagrama Retangular – Fonte: PINHEIRO (2007) 
 
Deve-se ressaltar que os deslocamentos em peças de concreto armado são 
inversamente proporcionais aos valores da rigidez, onde a mesma varia de acordo com o grau 
de fissuração da estrutura. 
Guarda (2005) alerta que ao longo de uma viga com carregamento uniformemente 
distribuído, as vigas de concreto armado apresentam regiões mais fissuradas e outras 
praticamente sem fissuras, onde esse agravamento se evidencia em regiões onde haja maiores 
momentos fletores (Figura 2.10) que é o caso no meio de uma viga. Este comportamento pode 
ser observado nas seções próximas aos apoios, onde os momentos fletores tendem a zero, não 
apresentam fissuras, já na região do meio do vão, onde os valores dos momentos são mais 
altos, as seções estão bastante fissuradas. 
 
 
 
Figura 2.10 – Exemplo de distribuição das fissuras de uma viga – Fonte: GUARDA (2005) 
 15 
 
Portanto, a seção onde apresenta menor rigidez é aquela localizada na posição de 
uma fissura e analogamente ocorreráum valor de rigidez maior no local onde a peça estiver 
sem fissura. Diante disso, percebemos que o módulo de elasticidade varia de acordo com o 
grau de fissuração da peça e torna-se necessário a avaliação cuidadosa das fissuras para se 
obter de forma mais aproximada a rigidez a flexão e avaliar a magnitude de deslocamentos 
nas vigas de concreto armado. 
 
 
2.2.3 Retração 
 
 
A retração do concreto é um fenômeno bastante comentado, mas pouco 
compreendido. Diversos autores definem retração da mesma forma, como sendo uma 
diminuição do volume de um elemento, provocando o surgimento de deformações e esforços 
adicionais na estrutura. Sendo mais significativa em peças com grandes volumes (Figura 
2.11). Essa deformação atinge 80% do seu valor logo no primeiro ano do início desse 
processo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.11 - Retração do concreto – Fonte: KIMURA (2007) 
 
Sua magnitude é afetada por diversos fatores, podendo-se citar os materiais 
constituintes e a dosagem do concreto, o tempo, as condições ambientais de umidade e 
temperatura, a geometria do elemento estrutural, a idade do concreto quando começa o 
processo de secagem e a quantidade de armadura de compressão e tração. 
Dos fatores anteriormente citados, três dessas variáveis combinadas levam o 
concreto a retrair, podemos citar cada um deles em específico. 
 16 
 
A geometria do elemento estrutural nas peças com elevada relação entre a 
superfície exposta e o volume total da peça, tais como pisos, pavimentos e lajes de concreto, a 
perda de água para o ambiente se dá de maneira muito rápida. Ora, se a retração do concreto 
está relacionada à perda de água e se este tipo de estrutura está mais vulnerável a esta perda é 
intuitivo pensar que lajes, pisos e pavimentos de concreto naturalmente sofrem mais com a 
retração do concreto. As dimensões das placas de concreto cada dia maiores e a execução 
cada vez mais esbeltas tornam os pisos e pavimentos extremamente suscetíveis aos efeitos da 
retração do concreto. 
Outro fator é o traço do concreto, uma vez que diversos fatores relacionados aos 
materiais que compõem o concreto e suas combinações podem influenciar a retração do 
concreto, principalmente a retração por secagem. O tipo, a granulometria e a dimensão 
máxima do agregado, a relação água-cimento, a quantidade de água de amassamento e o 
emprego de adições minerais e aditivos químicos são variáveis importantes que afetam 
fortemente a retração do concreto. A literatura aponta que agregados com maior módulo de 
deformação conduzem a um menor grau de retração. Deve-se empregar a menor quantidade 
de água de amassamento possível, assim como se devem evitar agregados com excesso de 
material pulverulento e argila. A distribuição granulométrica contínua reduz a retração do 
concreto quando comparada com uma combinação de agregados miúdos e graúdos 
inadequada. 
E, por fim o terceiro fator que influi na magnitude da retração são as condições 
ambientais, pois a retração do concreto está intimamente relacionada à perda de água para o 
ambiente. Os principais fatores climáticos que influenciam na saída de água do concreto são a 
alta temperatura, a baixa umidade do ar e a velocidade do vento que incide sobre a peça recém 
concretada. 
Esses fatores afetam diretamente no valor da retração. Porém, a depender de sua 
causa, podem ser definidos alguns tipos de retração. São eles: a retração plástica, a retração 
por carbonatação, a retração química (ou endógena) e a retração por secagem. 
Depois que o concreto é lançado nas formas, a sua superfície fica sujeita à 
evaporação natural da água, tanto maior quanto for a velocidade dos ventos, maior a 
temperatura e menor a umidade do ambiente, como foi anteriormente citado. A consequente 
perda de volume é chamada de retração plástica, por acontecer enquanto o concreto está no 
estado plástico, daí o nome de retração plástica. 
Outra denominação é a retração química. Ela acontece em todos os concretos 
porque os produtos de hidratação do cimento têm menor volume que a soma dos volumes de 
 17 
 
água e do cimento que os formam. Esse tipo de retração ocorre desde os instantes da pega e se 
prolonga durante toda a hidratação, sendo mais bem intensa nos primeiros dias. 
Já a retração por carbonatação é causada pela reação da pasta de cimento 
hidratada com o dióxido de carbono do ar, na presença de umidade. E por último a retração 
por secagem pode ser definida com o a evaporação da água não fixada quimicamente no 
concreto, quando este é exposto a um ambiente com umidade relativa menor que 100%. 
Guarda (2005) alerta que quando um elemento de concreto for submetido a um 
processo de molhagem, a retração apresentará um certo grau de reversibilidade, como 
indicado na Figura 2.12. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.12 – Reversibilidade da retração – Fonte: MEHTA & MONTEIRO (1994) 
 
A influência da retração nos deslocamentos se deve tanto devido ao aumento das 
fissuras como também porque geralmente a armadura de tração é maior que armadura de 
compressão, implica em um encurtamento devido à retração na região tracionada menor que 
na região comprimida, fazendo com que surja uma curvatura adicional na mesma direção da 
curvatura devida à flexão. Provocando o aumento nos deslocamentos na peça de concreto 
armado. 
 
 
2.2.4 Fluência 
 
 
 18 
 
Para Kimura (2007), a fluência consiste no aumento das deformações no concreto, 
que ocorrem ao longo do tempo de vida da estrutura, em virtude da aplicação de ações 
permanentes (Figura 2.13). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.13 - Fluência do concreto – Fonte: KIMURA (2007) 
 
Segundo Carvalho & Filho (2007), fluência é o fenômeno em que surgem 
deformações ao longo do tempo em um corpo solicitado por tensão constante. 
De acordo com Pinheiro (2007), esse fenômeno pode ser definido como uma 
deformação diferida, causada por uma força aplicada. Corresponde a um acréscimo de 
deformação com o tempo, se a carga permanecer. Em linhas gerais, podemos definir fluência 
como um aumento gradual da deformação quando submetido a uma tensão constante ao longo 
do tempo. 
As parcelas das deformações ocorridas por causa da fluência podem ser 
caracterizadas por: deformação rápida¸ que ocorre nas primeiras 24 horas após a aplicação do 
carregamento e é irreversível. A fluência é composta por uma parte reversível e outra 
irreversível. Já essa parte parcialmente reversível, que se inicia ao retirar o carregamento que 
originou a deformação, uma parcela dessa deformação total é restituída imediatamente, outra 
parte é restituída com o tempo e o restante torna-se permanente, como pode ser visto na 
Figura 2.14. 
 
 
 
 
 
 
 19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.14 – Reversibilidade da fluência – Fonte: MEHTA & MONTEIRO (1994) 
 
Essa variável tem sua magnitude ligada a diversos fatores, como podemos citar, 
por exemplo: Tipo de cimento (endurecimento lento, normal ou rápido), tempo de 
manutenção da carga, nível de fissuração da peça, temperatura ambiente, umidade do ar que 
envolve a peça, espessura da peça e o amadurecimento do concreto na data de carregamento. 
Portanto, o deslocamento provocado por esse fenômeno varia de maneira inversamente 
proporcional ao fator água cimento e ao valor do módulo de elasticidade de resistência à 
compressão. 
Com boa parte dos fatores sendo iguais na influência das respectivas magnitudes, 
retração e fluência são tratadas simultaneamente na análise das deformações, uma vez que em 
estruturas reais esses dois tiposde deformações ocorrem simultaneamente é conveniente e 
prático tratá-las em conjunto. 
Porém, apesar de poder serem tratadas de maneira simultânea, fluência e retração 
são fenômenos com bases conceituais distintas. Enquanto na retração por secagem a origem 
da perda de água é a diferença de umidade entre o elemento de concreto e o meio ambiente, 
na fluência, essa perda de água está associada à aplicação continuada de uma ação. Além 
disso, a duração e a intensidade das ações, bem como a idade do concreto ao primeiro 
carregamento, são aspectos relevantes ao estudo da fluência, mas que não influem na retração. 
Em suma, a fluência propicia um acréscimo significativo das deformações do 
concreto, conforme representado na Figura 2.15. A consideração desse efeito é obrigatória e 
está especificado na NBR 6118:2003, onde a norma indica o processo para a obtenção e a 
forma de considerar esse efeito. 
 
 
 
 20 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.15 – Acréscimo de deformação devido à fluência – Fonte: KIMURA (2007) 
 
Já a consideração desse efeito para os deslocamentos é utilizado partindo-se de 
uma combinação de carregamento quase-permanente, visto que parte da carga acidental atua 
ao longo da vida útil da edificação. Em seguida, na obtenção da deformação lenta ou diferida 
a NBR 6118:2003 sugere uma série de valores que variam com o tempo para em seguida 
multiplicar por um parâmetro αf(que varia com m tempo de aplicação das cargas) pela flecha 
imediata. A maneira de obtenção de flechas imediatas e diferidas será abordada de forma mais 
detalhada adiante. 
 
 
2.3 Cálculo dos deslocamentos 
 
 
De acordo com as variáveis anteriormente citadas, já temos idéia dos fatores que 
influem no resultado obtido para esses deslocamentos. Agora, partiremos para os métodos 
recomendados para obter os deslocamentos imediatos e diferido em vigas de concreto armado. 
 
 
2.3.1 Considerações iniciais 
 
 
Nesta seção serão apresentadas algumas consideração para obtenção da magnitude 
dos deslocamentos em vigas de concreto armado e em seguida a formulação simplificada da 
NBR 6118:2003. 
 
 21 
 
 
A) Seção transversal homogeneizada 
 
 
A viga de concreto armado, assim como as outras estruturas de concreto armado, 
comporta-se da mesma forma, com o aço e concreto trabalhando solidariamente, ou seja, para 
garantir a segurança dessa peça é necessário que esses dois materiais estejam aderidos. Assim, 
o centro de rotação da seção e sua rigidez são afetados pelo posicionamento da armadura, e 
neste caso, deve ser feita a homogeneização da seção, que consiste em substituir a área de aço 
existente na seção por uma área de concreto equivalente, onde essa relação é satisfeita 
fazendo o produto da área de aço presente na viga de concreto armado (As) pelo fator αe 
(Relação do módulo de elasticidade do aço pelo módulo de elasticidade do concreto). 
Conforme foi comentado anteriormente, para avaliação dos deslocamentos em 
vigas de concreto armado as estruturas em serviço devem se comportar nos estádios I e II. 
Logo, a homogeneização da seção deverá ser avaliada nessas duas condições, uma vez que 
obtemos resultados diferentes já que no estádio I não ocorre fissuração e no estádio II há 
fissuras. 
 
 
i) Estádio I: 
 
 
Como já havíamos mencionado no estádio I o concreto resiste às tensões de 
tração, uma vez que as tensões atuantes são inferiores a capacidade resistente do concreto. 
Então para uma seção retangular, a posição da linha neutra e o momento de inércia são 
calculados com base na Figura 2.16. 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.16 – Seção Retangular no Estádio I – Fonte: PINHEIRO (2007) 
 
 22 
 
Como vemos na Figura 2.16 uma seção transversal retangular de concreto armado, 
é composta por uma área de concreto b · h, e uma seção de concreto equivalente a do aço é 
igual a As · (αe – 1). Diminui-se de -1 de αe para considerar que na posição da armadura a área 
de concreto já foi computada uma vez no produto b · h. 
Portanto, para calcular a posição da linha neutra x1, basta fazer MLN=0, sendo Mln 
o momento estático da seção em relação à linha neutra. Para a seção retangular da Figura 2.16 
tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Es = 210 GPa = 210 000 MPa ( item 8.3.5 da NBR 6118:2003) 
Ec = 0,85Eci = = 4760· (Em MPa), conforme comentado na seção do 
módulo de elasticidade do concreto. 
Então, para cálculo da posição x1 da linha neutra resulta: 
 
 
 
 
 
 
 
Já para a mesma seção retangular da Figura 2.16, o momento de inércia resulta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ii) Estádio II: 
 
 
Já no estádio II o concreto tracionado é desprezado, pois ele está fissurado (Figura 
2.17). 
 
 
 
 
 
Figura 2.17 – Seção Retangular no Estádio II – Fonte: PINHEIRO (2007) 
 23 
 
Adotando a metodologia análoga ao do Estádio I, desprezando-se a resistência do 
concreto à tração, tem-se para a seção retangular no Estádio II (Figura 2.17). 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, a posição da linha neutra x2 é obtida por meio da equação: 
 
 
 
 
 
 
 
Já para o momento de Inércia I2, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B) Momento de fissuração 
 
 
“Nos estados limites de serviço as estruturas trabalham parcialmente no Estádio I 
e parcialmente no Estádio II. A separação entre essas duas partes é definida pelo momento de 
fissuração” (Figura 2.18). Definição da NBR 6118:2003, item 17.3. 
Já Vasconcelos (2005), define momento de fissuração como o momento fletor que 
a seção transversal é capaz de resistir sem a colaboração das barras das armaduras, sendo 
determinado pela equação (2.12), considerando as hipóteses das seções homogêneas da 
Resistência dos Materiais e utilizando o método de homogeneização apresentado 
anteriormente. 
 
 
 
 
 
Figura 2.18 - Limite do momento de fissuração – Fonte: PINHEIRO (2007) 
 
A NBR 6118:2003, item 17.3 aponta que esse momento pode ser calculado pela 
seguinte expressão aproximada: 
Gustavo
Sticky Note
Mom. da seção de concreto
Gustavo
Highlight
 24 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
α é o fator que correlaciona aproximadamente a resistência à tração na flexão com a 
resistência à tração direta: 
 
 
 
 
A resistência do concreto à tração direta, fct, é obtida conforme o item 8.2.5 da 
NBR 6118:2003. Para determinação de Mr, no estado limite de formação de fissura, deve ser 
usado o fctk,inf e no estado limite de deformação excessiva, o fctm. 
fct = 
 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
Ic é o momento de inércia da seção bruta de concreto; 
yt é a distância do centro de gravidade da seção à fibra mais tracionada. 
Para seção retangular, resulta: 
 
 
 
 
 yt = h-x = x (2.14)C) Momento de inércia efetivo 
 
 
Na avaliação de flechas em vigas de concreto armado, podem ocorrer duas 
situações. Na primeira temos Ma<Mr, ou seja, temos o momento fletor na seção crítica com 
um valor inferior ao momento de fissuração. Nesse caso, a viga não haverá fissurado (Estádio 
I) e a inércia na seção será a própria inércia da seção bruta ou a inércia no Estádio I (equação 
2.8), desde que a viga esteja densamente armada. 
Na segunda situação, podemos ter Ma>Mr, já nesse caso a peça de concreto 
armado se encontrará no Estádio II. Nessa situação, ao longo da seção da viga essa peça 
trabalhará nesses dois estádios e com isso a viga estará fissurada. Essa fissuração afetará 
diretamente a inércia da viga. Desse modo, para não introduzir a variação de inércia na peça 
 25 
 
de concreto armado, é necessário utilizar uma inércia equivalente que contemple tal situação 
de maneira aproximada. 
Branson (1968) realizou um estudo experimental em vigas retangulares e T, 
submetendo-as a carregamentos uniformemente distribuídos e de curta duração. A partir desse 
ensaio, o autor propôs um modelo no qual admite uma única inércia para todo elemento de 
concreto, representando os trechos fissurados e não-fissurados. Esse modelo baseia-se em um 
método semiprobabilístico, no qual toma a variação de tensão ao longo da seção transversal e 
ao longo do comprimento de maneira simplificada, utilizando expressões empíricas que 
fornecem valores médios de inércia. Dessa forma, Branson procura simular aproximadamente 
o efeito da fissuração do concreto, quando submetido à flexão, no cálculo das deformações 
imediatas. 
Baseado nos resultados de seus ensaios e nos de outros pesquisadores, ele sugeriu 
a utilização de um valor médio de momento de inércia, compreendido entre o momento de 
inércia da seção não fissurada (Estádio I), e o da seção fissurada (Estádio II), chamado de 
momento de inércia efetivo, dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
Im: Momento de inércia efetivo para uma seção ou para toda a peça, no caso de vigas 
simplesmente apoiadas; momento de inércia médio entre a seção do apoio e a seção do meio 
do vão para o caso de vigas contínuas; 
II : Momento de inércia da peça no estádio I ( da seção bruta ou homogeneizada); 
III : Momento de inércia da peça no estádio II puro; 
Mr: Momento de fissuração do concreto; 
Ma: Momento atuante de serviço mais solicitada; e 
m: índice de valor igual a 4, para situações em que a análise é feita em apenas uma seção da 
peça, ou igual a 3, quando se faz a análise da peça ao longo de todo seu comprimento, que é a 
forma recomendada pela NBR 6118:2003. 
Como havíamos mencionado anteriormente, a NBR 6118:2003, item 17.3.2.1, na 
avaliação aproximada da flecha imediata em vigas, foi feita uma adaptação da equação 2.15 
para o cálculo da rigidez equivalente de uma viga de concreto, adotando o índice de valor 3. 
Esse cálculo de rigidez equivalente em vigas de concreto armado é expresso por: 
 26 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
Ic : Momento de inércia da seção bruta de concreto; 
III : Momento de inércia da peça no estádio II puro; 
Mr: Momento de fissuração do concreto, expresso pela equação 2.12, que deve ser reduzido à 
metade para barras lisas; 
Ma: Momento atuante de serviço mais solicitada, momento máximo no meio do vão para 
vigas biapoiadas e momento no apoio para balanços; e 
Ecs: Módulo de elasticidade secante de concreto, expresso pela equação 2.2. 
 
 
2.3.2 Cálculo dos deslocamentos imediatos 
 
 
Partindo do conceito de flecha mencionado na seção 2.1. Discutiremos com mais 
detalhes os tipos de flechas que ocorrem em vigas de concreto armado. Primeiramente 
discutiremos o conceito de flecha imediata. Nesse trabalho a definição de flecha imediata ou 
instantânea será o máximo deslocamento que um ponto da peça sofre quando os escoramentos 
são retirados ou logo após a introdução de um carregamento permanente. Esse deslocamento 
imediato é função, principalmente, do tipo e da grandeza do carregamento aplicado, do nível 
de fissuração, do comprimento do vão, das condições de apoio, das propriedades geométricas 
da seção transversal e das propriedades dos materiais, aço e concreto. 
Já Baroni (2003) define flecha imediata como o deslocamento transversal ao 
longo do processo de aplicação do carregamento e depende das características físico-
geométricas da peça, inclusive tipo de carregamento. 
O cálculo da flecha imediata ou instantânea para vigas de concreto armado pode 
ser efetuado através da expressão padrão de elementos fletidos não fissurados, assumindo o 
concreto armado como um material de comportamento elástico e linear, dada por: 
 
 
 
 
 
 
 27 
 
Onde: 
fi = Flecha imediata; 
Ma = Momento máximo fletor no vão l; 
l = Comprimento do vão 
(EI)eq = Rigidez equivalente, obtida a partir da equação 2.16 
α = Coeficiente que depende das condições de apoio e carregamento conforme Figura 2.19. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.19 – Valores do coeficiente α – Fonte: MERLIN (2006) 
 
Onde o momento máximo da seção pode ser obtido por diversos métodos de 
análise estrutural. O deslocamento máximo varia sua posição de acordo com as condições de 
apoio, bem como o tipo de carregamento atuante. Nesse estudo não aprofundaremos esse 
assunto, uma vez que o objetivo do estudo é a análise dos deslocamentos. A determinação do 
momento máximo é um valor que deverá ser conhecido. 
Araújo (2004) avaliou a precisão e a validade dos métodos simplificados para 
cálculo de flechas em vigas de concreto armado, comparando ao modelo não linear mais 
refinado. Para tal análise, o mesmo utilizou o método bilinear do CEB, uma fórmula prática 
apresentada no código modelo CEB-FIP/90 e o método da ACI adotado na NBR 6118:2003. 
Durante sua análise o autor observou que para flechas imediatas todos os modelos 
anteriormente citados apresentam uma boa concordância entre os resultados (Figura 2.20). 
 
 
 
 28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.20 – Flecha imediata para as cargas quase permanentes pelos diferentes métodos – Fonte: ARAÚJO 
(2004) 
 
As pequenas diferenças verificadas entre os diversos métodos ocorrem devido às 
diferentes considerações para o momento de fissuração e para o módulo de deformação 
longitudinal do concreto. 
 
 
2.3.3 Cálculo dos deslocamentos diferidos 
 
 
Após a obtenção do deslocamento imediato da viga de concreto armado, deve ser 
determinado o deslocamento diferido no tempo que leva em consideração os efeitos de 
fluência e retração. Devido à influência desses dois fatores a flecha diferida tende a ter, 
geralmente, valores de deslocamentos superiores aos deslocamentos instantâneos. Daí sua 
importância. 
Então, para a obtenção desses deslocamentos, a NBR 6118:2003 recomenda o 
cálculo da flecha adicional diferida (equação 2.19), decorrente das cargas de longa duração 
em função da fluência, de uma forma aproximada por meio da multiplicação da flecha 
imediata pelo fator αf dado pela expressão abaixo: 
 
 
 
 
 
 29 
 
 
 
 
 
Onde: 
fd = flecha diferida; 
 
 
 
 
ξ é um coeficiente funçãodo tempo, que pode ser obtido diretamente na tabela 2.1 ou ser 
calculado pelas seguintes expressões: 
Δξ = ξ(t) - ξ(t0) 
ξ(t) = 0,68(0,996t)t0,32 para t ≤ 70 meses 
ξ(t) = 2 para t > 70 meses 
 
Tabela 2.1 – Valores do coeficiente ξ em função do tempo 
 
 
 
 
 
Sendo: 
 t é o tempo, em meses, quando se deseja o valor da flecha diferida; 
t0 é a idade, em meses, relativa à data de aplicação da carga de longa duração. No caso de 
parcelas da carga de longa duração serem aplicadas em idades diferentes, pode-se tomar valor 
para t0 o valor ponderado a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
(2.21) 
Onde: 
ff flecha final; 
Pi representa as parcelas de carga; 
T0i é a idade em que se aplicou cada parcela Pi, em meses. 
O valor da flecha total deve ser obtido multiplicando a flecha imediata por (1+αf ). 
Tempo (t) 
0 0,5 1 2 3 4 5 10 20 40 
≥ 
70 Meses 
Coeficiente 0 
0,54 0,68 0,84 0,95 1,04 1,12 1,36 1,64 1,89 2 
ξ(t) 
 30 
 
Em outros estudos, comparando outros modelos simplificados para cálculo de 
flechas em vigas de concreto armado, Araújo (2004) aproveitou os modelos utilizados para 
avaliar as flechas em vigas instantâneas para verificar a precisão de cada modelo para 
deformação lenta (Figura 2.21). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.21 – Flecha total pelos diferentes métodos – Fonte: ARAÚJO (2004) 
 
A partir da Figura 2.21, Araújo (2004) demonstra que o método da NBR 
6118:2003 não reproduz satisfatoriamente os efeitos das deformações diferidas do concreto na 
resposta das vigas de concreto armado. Segundo o autor, esse método subestima as flechas 
das vigas pouco solicitadas, quando elas ainda se encontram no estádio I, ou no início do 
estádio II. Por outro lado, o modelo da NBR 6118:2003 superestima as flechas das vigas mais 
solicitadas, em um estado de fissuração mais adiantado. Logo, ele alerta para o emprego do 
modelo da norma brasileira para cálculo de flechas de vigas diferidas. 
 
 
2.4 Controle dos deslocamentos 
 
 
Vigas e lajes deformam-se naturalmente sob ação do peso próprio, das demais 
cargas permanentes e acidentais e mesmo sob efeito da retração e da deformação lenta do 
concreto. Os componentes estruturais admitem flechas que podem não comprometer em nada 
sua própria estética, a estabilidade e a resistência da construção. Tais flechas, entretanto, 
podem ser incompatíveis com a capacidade de deformação das paredes e outros itens que 
compõem os edifícios de concreto armado. 
 31 
 
Como havíamos mencionado, com a evolução das construções começaram a 
surgir diversas manifestações patológicas nas peças de concreto armado. A partir de então, 
torna-se necessário o controle dos deslocamentos nessas estruturas. Medeiros (2005) aponta 
que durante essa evolução houve um surgimento de fenômenos comuns como paredes de 
vedação rompendo, trincas em alvenarias, entre outras. Portanto, para evitar esse tipo de 
problema é necessário controlar esses deslocamentos dentro de limites aceitáveis. 
De acordo com Guarda (2005), o objetivo do controle dos deslocamentos é se 
garantir que uma estrutura ou um elemento estrutural, apesar de apresentar deslocamentos em 
relação a sua posição inicial, possa atender a critérios mínimos de aceitação, tanto do ponto de 
vista estrutural quanto estético. A forma que iremos utilizar no presente trabalho é a de 
calcular esses deslocamentos, conforme foi apresentado anteriormente, e verificar os valores 
limites para os deslocamentos. 
Kimura (2009) escreve em seu artigo citando uma frase do Eng. Zamarion Diniz: 
“As flechas não são calculadas e sim estimadas! Analisar uma estrutura em serviço não é uma 
tarefa fácil! Nenhuma exatidão pode ser cobrada das formulações atuais, por mais refinadas 
que sejam”. Entretanto, o autor alerta que essa premissa é equivocada e busca incentivar aos 
projetistas estruturais que busquem uma análise mais refinada, pois muitas patologias surgem 
em estruturas de concreto armado devido a aproximações grosseiras. 
Com as manifestações patológicas tornando-se cada vez mais comuns em peças de 
concreto armado e mesmo alguns autores advertindo que é impossível obter o valor preciso 
desses deslocamentos, ressaltamos que quão mais aproximado obtivermos esses valores e 
tivermos os cuidados para que esses deslocamentos estejam dentro desses limites aceitáveis, 
mais rápido propiciaremos a atenuação dessas patologias. Portanto, será utilizado nesse 
trabalho o critério de aceitação dos deslocamentos propostos pela NBR 6118:2003, item 13.3. 
 
 
2.4.1. Metodologia do controle de deslocamentos 
 
 
Em função dos efeitos que esses deslocamentos podem causar nas edificações, a 
NBR 6118:2003 dividiu a avaliação dos deslocamentos em quatro grupos: aceitabilidade 
sensorial, efeitos específicos, efeitos em elementos não estruturais e efeitos em elementos 
estruturais. Esses valores limites, que serão em seguida descritos (tabela 2.1), são valores 
 32 
 
práticos utilizados para a verificação de serviço do estado limite de deformações e tem 
conduzido a resultados satisfatórios. 
 
A) Aceitabilidade sensorial: Estão relacionados ao conforto dos usuários, onde nesse 
grupo os limites são baseados nos efeitos visuais desconfortáveis aos usuários e a 
vibrações excessivas. Pois, esse desconforto sentido pelos usuários gera desconfiança 
dos mesmos para com a segurança da estrutura, mesmo quando não existe esse tipo de 
risco. 
 
B) Efeitos específicos: São efeitos que possam impedir a utilização adequada da 
construção. Podemos citar alguns exemplos como: drenagem de superfícies que 
deveriam permanecer horizontais (inversão da inclinação da drenagem prevista de 
coberturas e varandas), superfícies que devem permanecer horizontais (ginásios, pistas 
de boliche). 
 
C) Efeitos em elementos não estruturais: São deslocamentos estruturais que podem 
ocasionar o mau funcionamento de elementos que, apesar de não fazerem parte da 
estrutura, estão a ela ligados. Exemplo disso é o deslocamento excessivo de uma viga, 
prejudicando o funcionamento de janelas (Figura 2.22). 
 
 
 
 
 
Figura 2.22 – Dano em elementos não estruturais – Fonte: KIMURA (2007) 
 
D) Efeitos em elementos estruturais: Os efeitos em elementos estruturais, causados por 
deslocamentos excessivos, podem ser bastante significativos, principalmente quando 
as hipóteses de cálculo adotadas e o comportamento previsto podem ser modificados. 
Nesses casos, é necessário se incorporar os deslocamentos ao modelo utilizado para a 
determinação dos esforços na estrutura. 
 Após a apresentação das 4 classes, segue a tabela 2.2 da NBR 6118:2003 que sugere 
os valores limites de deslocamentos em função do tipo de efeito que deseja ser avaliado. 
 
 33 
 
Tabela 2.2 – Limites para deslocamento – Fonte NBR 6118:2003 
Tipo de 
Efeito 
Razão da 
limitação 
Exemplo Deslocamento a 
Considerar 
Deslocamento 
Limite 
Aceitabilidade 
sensorial 
Visual Deslocamentos visíveis 
em elementos estruturais 
Total l/250 
Outro Vibrações sentidas no 
piso 
Devido a cargas 
acidentais 
l/350 
Efeitos estruturais 
em serviço 
Superfícies que 
devem drenar 
água 
Coberturas e varandas Total l/250
1)
 
Pavimentos que 
devem 
permanecer 
planos 
Ginásios e pistas de 
boliche 
Total l/350+ 
Contraflecha
2)
 
Ocorrido após a 
construção 
l/600 
Elementos quesuportam 
equipamentos 
sensíveis 
Laboratórios Ocorrido após 
nivelamento do 
equipamento 
De acordo com 
recomendação do 
fabricante do 
equipamento 
Efeitos em 
elementos não 
estruturais 
Paredes Alvenaria, caixilhos e 
revestimentos 
Após a construção 
da parede 
l/500 
3)
 ou 10mm 
ou θ=0,0017 rad4) 
Divisórias leves e 
caixilhos de telescópios 
Ocorrido após a 
instalação da 
divisória 
l/250 
3)
 ou 25mm 
Movimento lateral de 
edifícios 
Provocado pela 
ação do vento para 
combinação 
freqüente (ψ1=0,30) 
H1700 ou Hi/850
5)
 
entre pavimentos
6)
 
Movimentos térmicos 
verticais 
Provocado por 
diferença de 
temperatura 
l/400
7)
 ou 15mm 
Forros Movimentos térmicos 
horizontais 
Provocado por 
diferença de 
temperatura 
Hi/500 
Revestimentos colados Ocorrido após a 
construção do forro 
l/350 
Revestimentos 
pendurados ou com juntas 
Deslocamento 
ocorrido após a 
construção do forro 
l/175 
Pontes rolantes Desalinhamento de trilhos Deslocamento 
provocado pelas 
ações decorrentes 
de frenação 
H/400 
Efeitos em 
elementos 
estruturais 
Afastamento em 
relação às 
hipóteses de 
cálculo adotadas 
Se os deslocamentos forem relevantes para o elemento considerado, seus 
efeitos sobre as tensões ou sobre a estabilidade da estrutura devem ser 
considerados, incorporando-as ao modelo estrutural adotado. 
 34 
 
Tabela 2.2 – Limites para deslocamento – Fonte NBR 6118:2003 - Continuação 
 
1) As superfícies devem ser suficientemente inclinadas ou o deslocamento previsto 
compensado por contraflechas, de modo a não se ter acúmulo de água. 
2) Os deslocamentos podem ser parcialmente compensados pela especificação de 
contraflechas. Entretanto, a atuação isolada da contraflecha não pode ocasionar um 
desvio do plano maior que l/350. 
3) O vão l deve ser tomado na direção na qual a parede ou a divisória se desenvolve. 
4) Rotação nos elementos que suportam paredes. 
5) H é a altura total do edifício e Hi o desnível entre dois pavimentos vizinhos. 
6) Esse limite aplica-se ao deslocamento lateral entre dois pavimentos consecutivos 
devido à atuação de ações horizontais. Não devem ser incluídos os deslocamentos 
devido às deformações axiais nos pilares. O limite também se aplica para o 
deslocamento vertical das extremidades de lintéis conectados a duas paredes de 
contraventamento, quando Hi representa o comprimento do lintel. 
7) O valor l refere-se à distância entre o pilar externo e o primeiro pilar interno. 
NOTAS: 
1 Todos os valores limites de deslocamentos supõem elementos de vão l suportados 
em ambas as extremidades por apoios que não se movem. Quando se tratar de 
balanços, o vão equivalente a ser considerado deve ser o dobro do comprimento do 
balanço. 
2 Para o caso de elementos de superfície, os limites prescritos consideram que o 
valor l é o menor vão, exceto em casos de verificação de paredes e divisórias, onde 
interessa a direção na qual a parede ou divisória se desenvolve, limitando-se esse 
valor a duas vezes o vão menor. 
3 O deslocamento total deve ser obtido a partir da combinação das ações 
características ponderadas pelos coeficientes definidos na seção 2.5.1. 
4 Deslocamentos excessivos podem ser parcialmente compensados por contraflechas 
 
 
 
 
 
 
 35 
 
2.4.2. Adoção de medidas para o controle de deslocamentos excessivos 
 
 
Para não ter uma estrutura que não atenda as condições em serviço. As flechas em 
vigas de concreto armado devem atender os limites fornecidos na tabela 2.2. No caso desses 
valores superarem os limites aceitáveis recomenda-se a adoção de contraflechas. Nessa seção 
apontaremos os principais problemas ocasionados por deformações excessivas e as medidas a 
serem adotadas para minimizar esses deslocamentos. Onde contraflecha é o deslocamento 
vertical intencional aplicado durante a montagem das escoras, ou seja, no sentido contrário ao 
da flecha. 
Medeiros (2005) aponta que as patologias provenientes de deformações 
excessivas, são ocasionadas tanto por deformações lentas quanto as deformações imediatas. 
Esses efeitos são uma preocupação de todas construtoras hoje. Em seu texto a autora adverte 
que os edifícios de hoje são mais altos e esbeltos, a concepção privilegia grandes vãos, onde 
para atender essas necessidades do mercado as estruturas tornaram-se mais vulneráveis as 
deformções. Nesse texto são mostradas também algumas medidas nas quais as construtoras 
tentam minimizar esse tipo de problema, adotando como solução o aumento no tempo de 
escoramento e a utilização do transporte manual do concreto, porém a autora alerta que de 
nada servirá esses cuidados na obra se uma análise apurada e detalhada durante o projeto 
estrutural não for analisada cuidadosamente. 
A primeira medida adotada para atenuar os deslocamentos excessivos é de adotar 
uma contraflecha que pode ser estimada pela expressão proposta por Pinheiro (2007), 
lembrando que o valor da contra flecha não poderá ser superior a relação l/350 (Tabela 2.2): 
 
 
 
 
 
Onde: 
ac = contraflecha; 
ai = flecha imediata obtida na equação 2.17; 
af = flecha diferida obtida na equação 2.19. 
Outras medidas a serem adotadas são: o aumento da altura e largura das vigas, 
desde que a arquitetura permita essa alteração; aumento da armadura de tração dimensionada 
no ELU; utilização de armadura de compressão, utilizar concretos com resistências maiores e 
aumentar o tempo de escoramento dessas estruturas, aumentando assim o tempo de aplicação 
 36 
 
inicial das cargas. Ressaltamos também a importância da realização de uma cura adequada 
para minimizar os efeitos de fluência e retração. 
 
 
2.5 Considerações de ações 
 
 
Apresentamos as formulações simplificadas para avaliação de flechas em vigas, os 
fatores que afetam os deslocamentos e as medidas tomadas para atenuar esses efeitos. Na 
presente seção, será demonstrada a combinação das ações em serviço para que as peças de 
concreto armado sejam avaliados. 
 
 
2.5.1 Classificações das ações 
 
 
As ações atuantes na construção são classificadas, segundo a NBR 8681:2003, 
em: permanentes(g), variáveis(q) e excepcionais. 
As ações permanentes são aquelas que ocorrem com valores praticamente 
constantes durante toda a vida da construção. Segundo Kimura (2007), ações permanentes são 
aquelas que acompanham a utilização do edifício desde o início ao fim, ou seja, são aquelas 
ações que “entram e ficam para sempre”. Os exemplos desse tipo de ação é o peso próprio da 
estrutura, peso de elementos construtivos (alvenarias, revestimentos, etc.) e os empuxos 
permanentes. 
Já as ações excepcionais, são as que têm duração extremamente curta e muito 
baixa probabilidade de ocorrência durante a vida da construção, tais como, ações decorrentes 
de explosões e abalos sísmicos . E por fim, as ações variáveis são as que apresentam variações 
significativas durante a vida de construção. Definidas também por Kimura (2007), as ações 
variáveis atuam somente durante um período de vida do edifício, ou seja, elas entram e depois 
saem. Os exemplos que podemos citar são: cargas acidentais de uso, vento, ações dinâmicas, 
água e variações de temperatura. 
Guarda (2005) alerta que, em alguns casos, as ações variáveis de construção 
exercem influência significativa para os deslocamentos finais, devendo ser consideradas. Isso 
 37 
 
se deve a dois fatores principais. O primeiro é a própria ordem de grandeza

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