semana 10ex

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Matema´tica 1
Lista de Exerc´ıcios – Semana 10
Temas abordados : Concavidade; Esboc¸o de gra´ficos
1) Para as func¸o˜es f abaixo determine: pontos cr´ıticos, ma´ximos e mı´nimos locais, intervalos
de crescimento e decrescimento, pontos de inflexa˜o, intervalos onde f e´ coˆncava para cima
e para baixo, ass´ıntotas verticais e horizontais. Note que as derivadas ja´ esta˜o dadas.
(a) f(x) =
16− x2
4(x− 2)2 , f
′(x) =
x− 8
(x− 2)3 , f
′′(x) =
2(11− x)
(x− 2)4
(b) f(x) =
x2 − x+ 1
x− 1 , f
′(x) =
x(x− 2)
(x− 1)2 , f
′′(x) =
2
(x− 1)3
(c) f(x) =
3
4
3
√
x(x− 4), f ′(x) = x− 1
3
√
x2
, f ′′(x) =
1
3
(x+ 2)
3
√
x5
2) Para cada uma das func¸o˜es abaixo determine: pontos cr´ıticos, ma´ximos e mı´nimos locais,
intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexa˜o, intervalos onde f e´ coˆncava
para cima e para baixo. Determine ainda as (poss´ıveis) ass´ıntotas e, finalmente, fac¸a um
esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o.
(a) f(x) = −2x3 − 3x2 + 12x+ 4 (b) f(x) = 3x4 − 8x3 + 6x2 + 2
(c) f(x) = x4 + 4x3 + 4x2 (d) f(x) =
1
2x+ 3
(e) f(x) =
1
x2 − 9 (f) f(x) = x
3/2
(g) f(x) = ln(x) (h) f(x) = ex
(i) f(x) = tan(x2), x ∈ (−√pi/2,√pi/2) (j) f(x) = x+ sen x, x ∈ (0, 2pi)
(k) f(x) = (ln x)2 (l) f(x) = x|x|
(m) f(x) = 2 + ex (n) f(x) = 4− 3ex
(o) f(x) = xe2−x (p) f(x) =
6
1 + e−x
(q) f(x) =
x3 − 2
x
(r) f(x) =
2x2 − 8
x2 − 16
3) Repita o que foi feito no exerc´ıcio acima para as func¸o˜es seguintes.
(a) f(x) = 2x+
200
x
(b) f(x) =
(x+ 1)2
1 + x2
(c) f(x) =
x+ 1
x− 1
(d) f(x) = e−x
2/2 (f) f(x) = ln(1 + x2)
Lista de Exerc´ıcios – Semana 10 - Pa´gina 1 de 7
RESPOSTAS
1) (a) pontos cr´ıticos: x = 8 (mı´nimo local)
crescente em cada um dos intervalos seguintes: (−∞, 2); (8,+∞)
decrescente em cada um dos intervalos seguintes: (2, 8)
concavidade volta para cima em: (−∞, 2); (2, 11)
Observe que, como 2 6∈ dom(f), e´ incorreto dizer que f e´ coˆncava para cima em (−∞, 11)
concavidade volta para baixo em: (11,+∞)
ponto de inflexa˜o: x = 11
ass´ıntotas verticais: x = 2
ass´ıntotas horizontais: y = −1/4
(b) pontos cr´ıticos: x = 0 (ma´ximo local); x = 2 (mı´nimo local)
crescente em cada um dos intervalos seguintes: (−∞, 0); (2,+∞)
decrescente em cada um dos intervalos seguintes: (0, 1); (1, 2)
Observe que, como 1 6∈ dom(f), e´ incorreto dizer que f e´ decrescente em (0, 2)
concavidade volta para cima em: (1,+∞)
concavidade volta para baixo em: (−∞, 1)
Observe que, como 1 6∈ dom(f), e´ incorreto dizer que x = 1 e´ ponto de inflexa˜o
ass´ıntotas verticais: x = 1
ass´ıntotas horizontais: na˜o existem
(c) pontos cr´ıticos: x = 0 (na˜o e´ extremo local); x = 1 (mı´nimo local)
crescente em cada um dos intervalos seguintes: (1,+∞)
decrescente em cada um dos intervalos seguintes: (−∞, 1)
concavidade volta para cima em: (−∞,−2); (0,+∞)
concavidade volta para baixo em: (−2, 0)
pontos de inflexa˜o: x = −2; x = 0
ass´ıntotas verticais: na˜o existem
ass´ıntotas horizontais: na˜o existem
2) (a) pontos cr´ıticos: x = −2 (mı´nimo local); x = 1 (ma´ximo local)
crescente em cada um dos intervalos seguintes: (−2, 1)
decrescente em cada um dos intervalos seguintes: (−∞,−2); (1,+∞)
concavidade voltada para cima em: (−∞,−1/2)
concavidade voltada para baixo em: (−1/2,+∞)
ponto de inflexa˜o: x = −1/2
ass´ıntotas verticais: na˜o existem
ass´ıntotas horizontais: na˜o existem
(b) pontos cr´ıticos: x = 0 (mı´nimo local); x = 1 (na˜o e´ extremo local)
crescente em cada um dos intervalos seguintes: (0,+∞)
decrescente em cada um dos intervalos seguintes: (−∞, 0)
concavidade voltada para cima em: (−∞, 1/3) ∪ (1,+∞)
concavidade voltada para baixo em: (1/3, 1)
pontos de inflexa˜o: x = 1/3 e x = 1
ass´ıntotas verticais: na˜o existem
ass´ıntotas horizontais: na˜o existem
Lista de Exerc´ıcios – Semana 10 - Pa´gina 2 de 7
(c) pontos cr´ıticos: x = −2 (mı´nimo local); x = −1 (ma´ximo local); x = 0 (mı´nimo
local)
crescente em cada um dos intervalos seguinte: (−2,−1); (0,+∞)
decrescente em cada um dos intervalos seguintes: (−∞,−2); (−1, 0)
concavidade voltada para cima em: (−∞,−1−√3/3) ∪ (√3/3− 1,+∞)
concavidade voltada para baixo em: (−1 −√3/3,√3/3− 1,∞)
pontos de inflexa˜os: x = −1 −√3/3 e x = √3/3− 1
pontos de inflexa˜o: na˜o existem
ass´ıntotas verticais: na˜o existem
ass´ıntotas horizontais: na˜o existem
(d) pontos cr´ıticos: na˜o existem
descrescente em cada um dos intervalos seguintes: (−∞,−3/2); (−3/2,+∞)
concavidade voltada para cima em: (−3/2,+∞)
concavidade voltada para baixo em: (−∞,−3/2)
pontos de inflexa˜o: na˜o existem
Observe que, como −3/2 6∈ dom(f), e´ incorreto dizer que x = −3/2 e´ ponto de inflexa˜o
ass´ıntotas verticais: x = −3/2
ass´ıntotas horizontais: y = 0
(e) pontos cr´ıticos: x = 0 (ma´ximo local)
crescente em cada um dos intervalos seguintes: (−∞,−3); (−3, 0)
descrescente em cada um dos intervalos seguintes: (0, 3); (3,+∞)
concavidade voltada para cima em: (−∞,−3) ∪ (3,+∞)
concavidade voltada para baixo em: (−3, 3)
pontos de inflexa˜o: na˜o existem
ass´ıntotas verticais: x = −3 e x = 3
ass´ıntotas horizontais: y = 0
(f) pontos cr´ıticos: na˜o existem
crescente em cada um dos intervalos seguintes: (0,+∞)
concavidade voltada para cima em: (0,+∞)
pontos de inflexa˜o: na˜o existem
ass´ıntotas verticais: na˜o existem
ass´ıntotas horizontais: na˜o existem
(g) pontos cr´ıticos: na˜o existem
crescente em cada um dos intervalos seguintes: (0,+∞)
concavidade voltada para baixo em: (0,+∞)
pontos de inflexa˜o: na˜o existem
ass´ıntotas verticais: x = 0
ass´ıntotas horizontais: na˜o existem
(h) pontos cr´ıticos: na˜o existem
crescente em cada um dos intervalos seguintes: (−∞,+∞)
concavidade voltada para cima em: (−∞, ,+∞)
pontos de inflexa˜o: na˜o existem
ass´ıntotas verticais: na˜o existem
ass´ıntotas horizontais: y = 0
Lista de Exerc´ıcios – Semana 10 - Pa´gina 3 de 7
(i) pontos cr´ıticos: x = 0 (mı´nimo local)
crescente em cada um dos intervalos seguintes: (0,
√
pi/2)
decrescente em cada um dos intervalos seguintes:: (−√pi/2, 0)
concavidade voltada para cima em: (−√pi/2,√pi/2)
pontos de inflexa˜o: na˜o existem
ass´ıntotas verticais: x = −
√
pi/2; x = +
√
pi/2
ass´ıntotas horizontais: na˜o existem
(j) pontos cr´ıticos: x = pi (na˜o e´ extremo local)
crescente em cada um dos intervalos seguintes: (0, 2pi)
concavidade volta para cima em: (pi, 2pi)
concavidade volta para baixo em: (0, pi)
pontos de inflexa˜o: x = pi
ass´ıntotas verticais: na˜o existem
ass´ıntotas horizontais: na˜o existem
(k) pontos cr´ıticos: x = 1 (mı´nimo local)
crescente em cada um dos intervalos seguintes: (1,+∞)
decrescente em cada um dos intervalos seguintes: (0, 1)
concavidade volta para cima em: (0, e)
concavidade volta para baixo em: (e,+∞)
pontos de inflexa˜o: x = e
ass´ıntotas verticais: x = 0
ass´ıntotas horizontais: na˜o existem
(l) pontos cr´ıticos: x = 0 (na˜o e´ extremos local)
crescente em cada um dos intervalos seguintes: (0,+∞)
decrescente em cada um dos intervalos seguintes: (−+∞, 0)
concavidade volta para cima em: (0,+∞)
concavidade volta para baixo em: (−∞, 0)
pontos de inflexa˜o: x = 0
ass´ıntotas verticais: na˜o existem
ass´ıntotas horizontais: na˜o existem
(m) pontos cr´ıticos: na˜o existem
crescente em cada um dos intervalos seguintes: (−∞,+∞)
concavidade volta para cima em: (−∞,+∞)
pontos de inflexa˜o: na˜o existem
ass´ıntotas verticais: na˜o existem
ass´ıntotas horizontais: y = 2
(n) pontos cr´ıticos: na˜o existem
decrescente em cada um dos intervalos seguintes: (−∞,+∞)
concavidade volta para baixo em: (−∞,+∞)
pontos de inflexa˜o: na˜o existem
ass´ıntotas verticais: na˜o existem
ass´ıntotas horizontais: y = 4
(o) pontos cr´ıticos: x = 1 (ma´ximo local)
crescente em cada um dos intervalos seguintes: (−∞, 1)
Lista de Exerc´ıcios – Semana 10- Pa´gina 4 de 7
decrescente em cada um dos intervalos seguintes: (1,+∞)
concavidade volta para cima em: (2,+∞)
concavidade volta para baixo em: (−∞, 2)
pontos de inflexa˜o: x = 2
ass´ıntotas verticais: na˜o existem
ass´ıntotas horizontais: y = 0
(p) pontos cr´ıticos: na˜o existem
crescente em cada um dos intervalos seguintes: (−∞,+∞)
concavidade volta para cima em: (−∞, 0)
concavidade volta para baixo em: (0,+∞)
pontos de inflexa˜o: x = 0
ass´ıntotas verticais: na˜o existem
ass´ıntotas horizontais: y = 0 e y = 6
(q) pontos cr´ıticos: x = −1 (mı´nimo local)
crescente em cada um dos intervalos seguintes: (−1, 0; (0,+∞)
decrescente em cada um dos intervalos seguintes: (−∞,−1)
concavidade volta para cima em: (−∞, 0) ∪ (21/3,+∞)
concavidade volta para baixo em: (0, 21/3)
pontos de inflexa˜o: x = 21/3
ass´ıntotas verticais: x = 0
ass´ıntotas horizontais: na˜o existem
(r) pontos cr´ıticos: x = 0 (ma´ximo local)
crescente em cada um dos intervalos seguintes: (−∞,−4); (−4, 0)
decrescente em cada um dos intervalos seguintes:: (0, 4); (4,+∞)
concavidade volta para cima em: (−∞,−4) ∪ (4,+∞)
concavidade volta para baixo em: (−4, 4)
pontos de inflexa˜o: na˜o existem
Observe que, como a func¸a˜o na˜o e´ cont´ınua em x = −4 e x = 4, e´ incorreto dizer que estes sa˜o
pontos de inflexa˜o
ass´ıntotas verticais: x = −4; x = 4
ass´ıntotas horizontais: y = 2
3) (a) pontos cr´ıticos: x = −10 (ma´ximo local); x = 10 (mı´nimo local)
crescente em cada um dos intervalos seguintes: (−∞,−10); (10,+∞)
decrescente em cada um dos intervalos seguintes: (−10, 0); (0, 10)
concavidade voltada para cima em: (0,+∞)
concavidade voltada para baixo em: (−∞, 0)
pontos de inflexa˜o: na˜o existem
ass´ıntotas verticais: x = 0
(b) pontos cr´ıticos: x = −1 (mı´nimo local); x = 1 (ma´ximo local)
crescente em: (−1, 1)
decrescente em cada um dos intervalos seguintes: (−∞,−1); (1,+∞)
concavidade voltada para cima em: (−√3, 0) ∪ (√3,+∞)
concavidade voltada para baixo em: (−∞,−√3) ∪ (0,√3)
pontos de inflexa˜o: x = −√3, x = 0 e x = √3
ass´ıntotas verticais: na˜o existem
Lista de Exerc´ıcios – Semana 10 - Pa´gina 5 de 7
ass´ıntotas horizontais: y = 1
(c) pontos cr´ıticos: na˜o existem
decrescente em cada um dos intervalos seguintes: (−∞, 1); (1,+∞)
concavidade voltada para cima em: (1,+∞)
concavidade voltada para baixo em: (−∞, 1)
pontos de inflexa˜o: na˜o existem
ass´ıntotas verticais: x = 1
ass´ıntotas horizontais: y = 1
(d) pontos cr´ıticos: x = 0 (ma´ximo local)
crescente em: (−∞, 0)
decrescente em: (0,+∞)
concavidade voltada para cima em: (−∞,−1) ∪ (1,+∞)
concavidade voltada para baixo em: (−1, 1)
ponto de inflexa˜o: x = −1 e x = 1
ass´ıntotas verticais: na˜o existem
ass´ıntotas horizontais: y = 0
(e) pontos cr´ıticos: x = 0 (mı´nimo local)
crescente em: (0,+∞)
decrescente em: (−∞, 0)
concavidade voltada para cima em: (−1, 1)
concavidade voltada para baixo em: (−∞,−1) ∪ (1,+∞)
ponto de inflexa˜o: x = −1 e x = 1
Apresentamos abaixo o gra´fico de cada uma das func¸o˜es do exerc´ıcio.
Lista de Exerc´ıcios – Semana 10 - Pa´gina 6 de 7
(a) f(x) = 2x+
200
x
(b) f(x) = (x+1)
2
1+x2
(c) f(x) =
x+ 1
x− 1
(d) f(x) = e−x
2/2 (e) f(x) = ln(1 + x2)
Figura 1: Gra´ficos do exerc´ıcio 4
Lista de Exerc´ıcios – Semana 10 - Pa´gina 7 de 7