semana 11ex

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Matema´tica 1
Lista de Exerc´ıcios – Semana 11
Temas abordados : Regra de L’Hoˆpital
1) Resolva as indeterminac¸o˜es abaixo usando a Regra de L’Hoˆpital. (veja Vı´deo 1)
(a) lim
x→1
ex−1 − 1
x− 1 (b) limx→0+
ln(x+ 1)
x
(c) lim
x→+∞
ln x
x
(d) lim
x→+∞
x2 − 1
ex2
(e) lim
x→+∞
x
(x+ 1)2
(f) lim
x→1
x5 − 3x4 + 5x− 3
4x5 + 2x3 − 5x2 − 1
(g) lim
x→pi
sen(x− pi)
x− pi (h) limx→0
1− cos(x)
x
2) Em alguns casos, e´ necessa´rio aplicar a Regra de L’Hoˆpital mais de uma vez. Por exemplo,
lim
x→+∞
ex
x2
= lim
x→+∞
ex
2x
= lim
x→+∞
ex
2
= +∞.
Note que tanto o primeiro quanto o segundo limite sa˜o indeterminac¸o˜es do tipo ∞/∞,
enquanto o u´ltimo pode ser resolvido com as regras usuais do limite.
Use a ideia acima para resolver os limites abaixo. (veja Vı´deo 1)
(a) lim
x→0
ex − 1− x− x2
2
x2
(b) lim
x→0
cos2 x− 1
x2
(c) lim
x→+∞
3− ex
x2
(d) lim
x→+∞
x2 − 2x+ 3
2x2 + 5x+ 1
(e) lim
x→−1
x3 + 3x2 + 3x+ 1
2x3 + 3x2 − 1 (f) limx→+∞
(ln(x))2
x
(g) lim
x→+∞
x2 + 3e3x
e3x
(h) lim
x→0
ln(1 + x)− x− x2
2
− x3
6
x3
3) Quando vamos aplicar a Regra de L’Hoˆpital, e´ importante checar se estamos com uma
indeterminac¸a˜o do tipo 0/0 ou∞/∞ quando vamos aplicar a regra. Por exemplo, a conta
lim
x→0+
sen(x)
2− cos(x) = limx→0+
cos(x)
sen(x)
= +∞,
e´ claramente errada, pois
lim
x→0+
sen(x)
2− cos(x) =
0
2− 1 = 0.
O que ocorrei foi que o limite original na˜o era sequer uma indeterminac¸a˜o!
Nos itens a seguir voceˆ deve checar se existe indeterminac¸a˜o e, em seguida, calcular o
limite.
Lista de Exerc´ıcios – Semana 11 - Pa´gina 1 de 3
(a) lim
x→0
√
1 + x− 1− (x/2)
x2
(b) lim
x→0
8x2
cos(x)− 1
(c) lim
x→+∞
√
9x+ 1√
x− 1
(d) lim
x→−∞
x−2e−x
2
(e) lim
x→+∞
ln(ln(x))
ln x
(g) lim
x→0
x cos
(
1
x
)
(h) lim
x→+∞
x2 ln(x) (i) lim
x→0
tan(x)
x
(j) lim
x→+∞
p(x)
ex
, onde p e´ um polinoˆmio (k) lim
x→0+
√
x√
sen(x)
(l) lim
x→2−
3 + x
x− 2 (m) limx→4−
√
x2 − 8x+ 16
x− 4
4) A Regra de L’Hoˆpital se aplica somente a indeterminac¸o˜es do tipo 0/0 e ∞/∞. Em
alguns casos, quando temos uma indeterminac¸a˜o do tipo 0·∞, uma manipulac¸a˜o alge´brica
adequada nos permite aplicar L’Hoˆpital. Por exemplo,
lim
x→−∞
(x− 3)ex = lim
x→−∞
x− 3
e−x
= lim
x→−∞
1
−e−x = 0.
Note que, no segundo limite acima, temos uma indeterminac¸a˜o do tipo ∞/∞, enquanto
no u´ltimo o denominador tende para infinito.
Use a ideia acima para resolver os limites abaixo. (veja Vı´deo 2)
(a) lim
x→0+
x2 ln(x) (b) lim
x→+∞
x sen(1/x) = 1
5) O limite lim
x→0+
(1 + x)1/x e´ uma indeterminac¸a˜o do tipo 1∞. Ele pode ser calculado,
observando-se que
(1 + x)1/x = eln(1+x)
1/x
= e
ln(1+x)
x
Vimos no primeiro exerc´ıcio que limx→0+
ln(1+x)
x
= 1. Assim, como a func¸a˜o exponencial
e´ cont´ınua, temos que
lim
x→0+
(1 + x)1/x = lim
x→0+
e
ln(1+x)
x = elimx→0+
ln(1+x)
x = e1 = e.
Use a ideia acima para resolver os limites abaixo. (veja Vı´deo 2)
(a) lim
x→0+
xx (b) lim
x→∞
(1 + 2x)
1
2 ln(x) (c) lim
x→0
(cosx)1/x
2
Lista de Exerc´ıcios – Semana 11 - Pa´gina 2 de 3
RESPOSTAS
1)
(a) 1 (b) 1 (c) 0 (d) 0
(e) 0 (f) −1/8 (g) 1 (h) 0
2)
(a) 0 (b) −1 (c) −∞ (d) 1/2
(e) 0 (f) 0 (g) 3 (h) na˜o existe
3)
(a) −1/8 (b) −16 (c) 3 (d) 0
(e) 0 (f) 0 (g) +∞ (h) 1
(i) 0 (j) 1 (k) −∞ (l) −1
4) (a) 0 (b) 1
5) (a) 1 (b) e1/2 (c) −1/2
Lista de Exerc´ıcios – Semana 11 - Pa´gina 3 de 3