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INTRODUÇÃO; HIDROCINEMÁTICA; 
HIDRODINÂMICA 
 
 
 HIDrÁULICA TEÓRICA 
 
GONZALEZ, JULIO DE ALBUQUERQUE 
 
INTRODUÇÃO E CONCEITOS 
1) Propriedades Físicas Dos Fluidos ............... 03 
 
2) Breve Histórico ........................................... 04 
 
3) Conceitos .................................................... 05 
 
4) Conceituação Geral Da Hidráulica ............. 13 
 
HIDROCINEMÁTICA 
1) Definições ............................................. 14 
2) Campo De Velocidades ......................... 15 
3) Referências ............................................ 15 
4) Trajetória E Linhas De Corrente ........... 15 
5) Regime De Escoamento ........................ 16 
6) Tipos De Escoamento …………..……. 17 
7) Características Do Escoamento ............. 18 
8) Equação Da Continuidade ..................... 20 
9) Movimentos De Um Elemento Fluido .. 23 
10) Função De Corrente ............................. 31 
11) Função Potencial ................................. 32 
HIDRODINÂMICA 
1) Campo de Tensões ............................................................................................................................. 36 
 
2) Tensos Superficiais sobre um Elemento de Fluido ............................................................................ 38 
 
 
3) Conservação da Quantidade de Movimento ...................................................................................... 38 
3.1) Forças Atuando sobre uma Partícula de Fluido ................................................... 39 
3.2) Equação Diferencial da Quantidade de Movimento ............................................ 40 
3.3) Caso de Fluidos Newtonianos – Equação de Navier-Stokes ............................... 41 
3.4) Escoamento Incompressível de Fluidos Não-Viscosos – Equação de Euler ....... 43 
3.5) Escoamento no Campo da Gravidade .................................................................. 44 
3.6) Escoamento Laminar em Tubos – Equação de Poiseville ................................... 45 
 
4) Energia dos Escoamentos – Teorema de Bernoulli ........................................................................... 46 
4.1) Equação de Bernoulli .......................................................................................... 46 
4.2) Equação de Bernoulli para Escoamentos Não-Permanentes................................ 48 
4.3) Equação de Bernoulli – Considerações Finais .................................................... 48 
 
5) Quantidade de Movimento – Teorema de Euler ................................................................................ 49 
5.1) Quantidade de Movimento ................................................................................. 49 
5.2) Teorema de Euler ............................................................................................... 50 
5.3) O Teorema de Euler e a 2a Lei de Newton ......................................................... 51 
 
6) Estabelecimento do Movimento ........................................................................................................ 52 
6.1) Fluido Ideal e Fluido Real .................................................................................. 52 
6.2) Camada Limite ................................................................................................... 53 
 
 
 
 
[3] 
 
 
HIDRÁULICA TEÓRICA (FEN 708-7) – Notas de Aula 
 
INTRODUÇÃO 
(Complementa estas Notas o material exposto no Capítulo 1 do livro "Manual de Hidráulica", do Prof. 
Azevedo Netto, em sua 8ª edição de 1998 e do “Curso de Hidráulica”, do Prof. Trindade Neves) 
ASSUNTO: PROPRIEDADES FÍSICAS DOS FLUIDOS – CONCEITOS E DEFINIÇÕES 
 
Segundo Azevedo Netto, o significado etimológico da palavra HIDRÁULICA é “condução de água” (do 
grego HYDRO – água; AULOS – tubo, condução). Ainda segundo esse autor, atualmente Hidráulica tem um 
significado mais amplo: 
HIDRÁULICA: "estudo do comportamento da água, e de outros líquidos, quer em repouso, quer em 
movimento". 
O porque de “outros líquidos” tem explicação devido a aspectos históricos – e pode ser entendido a partir da 
leitura do capítulo seguinte. 
De acordo com Trindade Neves (Curso de Hidráulica, 2
a
 Edição, página 3), a “Hidráulica tem por objeto o 
estudo do equilíbrio e do movimento dos líquidos”, e pode ser dividida em Hidráulica Geral (Hidráulica 
Teórica) e Hidráulica Aplicada (Hidrotécnica). 
A Hidráulica Teórica divide-se em Hidrostática (Estática dos Fluidos) – que estuda as condições de 
equilíbrio dos líquidos em repouso, e a Hidrodinâmica (Cinemática e Dinâmica dos Fluidos) – que trata dos 
líquidos em movimento. 
A Hidráulica Geral (ou Hidráulica Teórica) aproxima-se em muito da Mecânica dos Fluidos, enquanto que, 
num sentido restrito, a HIDRODINÂMICA é o estudo da teoria do movimento do fluido ideal – que é um 
fluido teórico, sem viscosidade e elasticidade. 
Hidráulica Geral (ou Hidráulica Teórica) – aproxima-se muito da Mecânica dos Fluidos 
A Hidráulica Aplicada (ou Hidrotécnica), é a aplicação prática dos princípios estudados na Hidráulica 
Teórica, e da observação criteriosa dos fenômenos relacionados à água – parada ou em movimento. 
Hidráulica Aplicada (ou Hidrotécnica) – aplicação concreta ou prática dos conhecimentos 
científicos da Hidráulica Teórica e da observação criteriosa dos fenômenos relacionados à água, 
parada ou em movimento. 
 
A Hidráulica Aplicada, segundo Azevedo Netto e Trindade Neves, compreende: 
 Hidráulica Urbana: abastecimento d’água; esgotos sanitários; drenagem pluvial; canais. 
 Hidráulica Rural ou Agrícola: irrigação, saneamento; drenagem; água potável e esgotos. 
 Hidráulica Fluvial: rios e canais; defesa contra inundações. 
 Hidráulica Marítima: obras marítimas, portos, dinâmica costeira; defesa contra inundações. 
 Hidrelétrica, Hidráulica Predial (residencial, comercial e pública) e Hidráulica Industrial. 
 
[4] 
 
BBRREEVVEE HHIISSTTÓÓRRIICCOO 
 
(tradução e adaptação livre de “van Rijn, Leo C. – Principles of Fluid Flow and Surface Waves in Rivers, 
Estuaries, Seas and Oceans; Aqua Publications, Netherlands, 1990”). 
A Mecânica dos Fluidos é o estudo do comportamento de um fluido – em repouso e em movimento. Nesta 
tarefa são consideradas as diversas propriedades do fluido considerado e seus efeitos sobre: 
 O padrão do escoamento resultante; 
 As forças que atuam entre o fluido e seus limites. 
 
Para explicar e prever o comportamento do fluido, o estudo e o entendimento correto das Leis Fundamentais 
da Física, e sua aplicação ao problema considerado. 
A aplicação pelo Homem dos conceitos embutidos na Mecânica dos Fluidos, em geral, e na Hidráulica, em 
particular, data de longo tempo. 
Sistemas de irrigação foram encontrados em ruínas pré-históricas no Egito e da Mesopotâmia no Iraque. 
Arquimedes (3 séculos AC) formulou os princípios básicos do comportamento dos corpos flutuantes. Roma, 
há cerca de 2.400 anos, já dispunha de sistemas de abastecimento de água (“aquedutos”). 
Leonardo da Vinci (1452-1519) descreveu corretamente diversos fenômenos de escoamento, enquanto que 
Galileu (1564-1642) teve contribuição notável no ramo da Mecânica (incluindo a dos Fluidos). 
A Escola Italiana de Hidráulica incluiu Gastelli (1577-1644), Torricelli (1608-1647) e Guglielmi (1655-
1710), tendo desenvolvido idéias relativas a: equação da continuidade em rios (escoamentos permanentes), 
escoamentos a partir de reservatórios, desenvolvimento do barômetro. 
Isaac Newton (1642-1727) propôs que a resistência de fluidos ao escoamento seria proporcional ao 
gradiente da velocidade; desenvolveu experimentos sobre a força de arraste em esferas submersas. 
O desenvolvimento matemático da Mecânica dosFluidos – a Hidrodinâmica – teve sua origem no Século 
18, por intermédio de quatro grandes matemáticos de então: Daniel Bernoulli e Leonhard Euler (suíços) e 
Clairaut e d’Alembert (franceses). A eles seguiram os trabalhos de Lagrange (1736-1813), Laplace (1749-
1827) e de um engenheiro – Gerstner (1756-1832) – que investigou a área de ondas de superfície. 
Os “experimentalistas” do Século 18 tiveram contribuição significativa, tais como: Pitot (inventor do Tubo 
de Pitot, medidor de velocidade), Chezy, que desenvolveu a fórmula de resistência para escoamento em 
canais; Borda, com experiências relativas ao escoamento por orifícios; Bossut, que construiu o primeiro 
tanque para experiências com o reboque de corpos flutuantes, e Venturi – com experimentos sobre 
escoamentos através de seções transversais variáveis. 
No Século 19, um francês – Coulomb (1736-1806) – conduziu ensaios e apresentou uma série de conclusões 
relativamente à resistência ao escoamento nos fluidos. Os irmãos alemães Ernst (1795-1878) e Wilhem 
(1804-1891) Weber conduziram experimentos relativos ao movimento das ondas; os engenheiros franceses 
Burdin (1790-1873), Fourneyman (1802-1867), Coriolis (1792-1843) e o americano Francis (1815-1892) 
tiveram contribuição significativa para o desenvolvimento de turbinas hidráulicas. Um escocês – Russel 
(1808-1882) – conduziu experimentos sobre ondas; Hagen (1797-1889), Poiseuille (1799-1869) e Weisbach 
(1806-1871), respectivamente, alemão, francês e saxão, tiveram contribuição significativa na área de 
escoamento através de tubulações; Saint-Venant (1797-1886), Dupuit (1804-1866), Bresse (1822-1883), 
Bazin (1829-1917) – franceses –, juntamente com um irlandês – Manning (1816-1897) – tiveram 
participação significativa no desenvolvimento da hidráulica de canais. Na área de escoamento através de 
[5] 
 
tubulações a participação de um francês – Darcy (1803-1858) – também foi notável, enquanto que os 
ingleses William Froude (1810-1879) e seu filho Robert (1846-1924) tiveram contribuição significativa na 
área de estudos em modelo reduzido (em particular de navios). 
A Hidrodinâmica – clássica e aplicada – também se desenvolveu consideravelmente durante o Século 19, 
através das contribuições significativas de: 
 Navier (1785-1836), Cauchy (1789-1857), Poisson (1781-1840), Saint-Venant (1797-1886) e 
Boussinesq (1842-1929), na França; 
 Stokes (1819-1903), Rayleigh (1842-1919) e Lamb (1849-1934), na Grã-Bretanha; 
 Helmholtz (1821-1894) e Kirchoff (1824-1887) na Alemanha. 
 
Assim é que ao final do Século 19, a Hidrodinâmica Teórica – baseada nas equações de movimento de Euler 
para um fluido ideal – tinha atingido um nível considerável de desenvolvimento. 
A teoria, no entanto, não conseguia explicar uma série de efeitos observados – por exemplo, a queda de 
pressão verificada em escoamentos através de tubulações. Como resultado, os engenheiros – que 
“praticavam” a ciência da Hidrodinâmica passaram a desenvolver fórmulas empíricas baseadas em 
observações práticas – e aí ficou estabelecido o que se convencionou chamar de Hidráulica. Nesta época, 
estas duas áreas – Hidrodinâmica e Hidráulica – tinham muito pouco em comum. 
Foi apenas no início do Século 20, mais especificamente em 1904, quando o alemão Prandtl (1875-1953) 
introduziu o conceito de “Camada Limite” – uma estreita camada de fluido adjacente à calha de escoamento 
onde os efeitos oriundos da viscosidade do fluido são dominantes – que a Hidrodinâmica pôde , de fato, 
explicar as diferenças entre o comportamento do fluido real – como observado pelos “Hidráulicos” – e o do 
fluido ideal (invíscido) previsto a partir das teorias propostas pelos hidrodinamicistas clássicos. 
Prandtl é considerado o pai da moderna Mecânica dos Fluidos. Foi o conceito de Camada Limite que 
proporcionou a unificação da moderna mecânica dos fluidos – aerodinâmica, hidráulica, dinâmica dos gases 
e transferência conectiva de calor – hoje genericamente denominada de “Fenômenos de Transporte”. 
Os progressos desenvolvidos no Séculos passado (20) e atual (21) são notados tanto em termos analíticos 
quanto experimentais em estudos relativos a: estas diversas áreas. No nosso caso em particular pode-se citar: 
análise do escoamento no interior da camada limite, estabilidade de escoamentos, interação entre fluidos e 
sedimentos, hidráulica marítima e fluvial, e modelagem numérica. 
CCOONNCCEEIITTOOSS 
 
1) FLUIDO 
 
Todo material é deformável. A maioria dos fluidos se distingue dos sólidos devido à magnitude de suas 
deformações.. 
Corpo sem forma própria, que pode sofrer grandes variações de forma ( "pode escoar"). Estas variações são 
tão mais fortes quanto forem as forças agindo sobre o fluido, ou tão mais lentas quanto forem mais fracas 
estas forças. A Mecânica dos Fluidos estuda o equilíbrio e os movimentos destes fluidos. Líquidos e gases 
são fluidos. 
[6] 
 
O fluido é uma substância infinitamente divisível – um CONTÍNUO – e este conceito é a base da Mecânica 
dos Fluidos clássica. Em consequência da hipótese do contínuo, cada propriedade do fluido é considerada 
como tendo um valor definido em cada ponto do espaço. 
Dessa forma, as propriedades dos fluidos tais como massa específica, temperatura, velocidade e outras, são 
consideradas funções contínuas da posição e do tempo. Daí a noção de “CAMPO”, isto é, a variação das 
características da grandeza considerada por toda a região alcançada pelo fluido. 
Características dos líquidos: ocupam um volume determinado, não são sujeitos a forças de 
tração, e são pouco (ou muito pouco compressíveis). 
 
Características dos gases: ocupam sempre o máximo volume de que podem dispor e são muito 
compressíveis. 
Nota: existem muitos corpos, tais como solos, produtos químicos (Alumina, por exemplo), asfalto e 
plásticos, entre outros, que possuem propriedades intermediárias entre as propriedades dos sólidos e dos 
fluidos. Nestes casos o seu estudo se faz em áreas específicas da engenharia, tais como Mecânica dos Solos, 
Pavimentação e Engenharia Química (produtos químicos e plásticos). 
2) PESO E MASSA 
 
São grandezas que por vezes chegam a ser confundidas. No entanto, do ponto de vista físico, representam 
características distintas. 
Massa de um corpo é uma característica da quantidade de matéria que esse corpo contém, isto é, da 
inércia que o corpo oferece ao movimento. 
 
Peso de um corpo representa a ação (força) que sobre ele exerce a gravidade. 
A massa é uma quantidade escalar. O peso é uma quantidade vetorial. Entre a massa e o peso existe a 
seguinte relação fundamental: 
onde g é a aceleração da gravidade, que pode ser admitida como igual a 9,8 m/s
2
. 
Nota: um pouco menos de rigor permite adotar o valor de g = 10 m/s², muito utilizado por engenheiros civis 
em cálculos estruturais. 
 
 
3) SISTEMA DE UNIDADES 
 
Atualmente, o sistema de unidades adotado é o Sistema Internacional (SI), mais próximo ao nosso antigo 
sistema MKS (metro – quilograma – segundo) que ao sistema inglês (pé – libra – segundo), o que, de certa 
forma, contribuiu para a relativa demora na obtenção de um consenso mundial a respeito da adoção deste 
sistema de unidades. De fato, até hoje, nos países de língua inglesa (principalmente EUA e Grã-Bretanha), o 
sistema inglês ainda é corriqueiramente utilizado. 
,gmP

[7] 
 
As unidades fundamentais do Sistema Internacional são: 
 Nome Símbolo 
Comprimento Metro m 
Massa Quilograma kg 
Tempo Segundo s 
Corrente elétrica Ampère A 
Temperatura Kelvin °K 
Intensidade luminosa Candela cd 
 
As unidades derivadas podem ser expressas em termos das unidades base, tais como: 
 Área: metro quadrado (m²); 
 Velocidade: metro por segundo (m/s);Massa específica: kg/m³. 
Há, ainda, unidades com nomenclatura específica, tais como: 
 
Grandeza 
 
Nome 
 
Símbolo EEXXPPRREESSSSÃÃOO 
f (outras unidades) f (unidades fundamentais) 
Força Newton N - m kg s
-2
 
Pressão Pascal Pa N/m² m
-1
 kg s
-2 
Energia Joule J N · m m² kg s
-2
 
Potência Watt W N · m/s m² kg s
-3
 
Freqüência Hertz Hz Ciclos/s s
-1
 
 
4) MASSA ESPECÍFICA () 
 
É a massa contida em uma unidade de volume. A representação completa da massa específica (a 
representação do “campo de massa específica”) é dada por: 
 = (x;y;z;t) 
A massa específica é uma quantidade escalar. Tem dimensões de ML-3. No Sistema Internacional, exprime-
se em kg/m³. 
Nota: a água, a 4°C, apresenta para massa específica o valor de 1.000kg/m³, e a 20°C, o valor de 998,2kg/m³. 
portanto, pode-se adotar, perfeitamente, para massa específica da água o valor de = 1.000kg/m³ 
[8] 
 
5) PESO ESPECÍFICO ( ) 
 
É a força que a gravidade exerce sobre uma unidade de volume. Portanto, 
 =  g 
Tem dimensões de FL-3. No Sistema internacional exprime-se em N/m³. 
A água apresenta peso específico de 9.800N/m³, e adota-se, normalmente, o valor de 
 = 10.000N/m³ 
Nota: caso exista material em suspensão, este valor pode aumentar. No caso da água do mar (que contém 
sal), o valor do peso específico é de 10.300N/m³. 
6) DENSIDADE ( ) 
 
É a relação entre a massa (peso) de determinado volume do corpo considerado e a massa (ou peso) de igual 
volume de água à temperatura de 4°C. Como resultado da própria definição, é adimensional. 
Para a determinação direta da densidade dos líquidos, empregam-se aparelhos conhecidos sob a 
denominação genérica de aerômetros (em Portugal) e densímetros (no Brasil). São constituídos por 
flutuadores em que o grau de submersão mede a densidade do líquido no qual eles estão imersos. 
Por exemplo, um tipo de aerômetro é o Salinometro, aparelho que mede a riqueza de soluções aquosas de 
cloreto de sódio. A solução saturada tem 26,4% de concentração de sal. O intervalo de medição do aparelho 
é dividido em 100 partes, de 0% a 26,4%, e, a cada grau, corresponde a 1% de saturação. 
7) COEFICIENTE DE VISCOSIDADE DINÂMICA ( ) 
 
Viscosidade é o parâmetro que traduz a existência de esforços tangenciais nos líquidos em movimento. 
Fluido é definido como sendo uma substância que se deforma continuamente sob ação de uma tensão de 
cizalhamento. Fluidos como água (nosso caso), ar e gasolina, por exemplo, são chamados de Fluidos 
Newtonianos. 
Para fluidos newtonianos e escoamento unidimensional, vale o seguinte experimento: sejam duas placas de 
superfície S que se movem à distância n, e à velocidade relativa v. A força necessária para o 
deslocamento é: 
 
ou, em termos de tensão unitária: 
 
No Sistema Internacional, se exprime em Pascal-segundo (Pa s) ou em Poiseuille (PI), que tem como 
dimensões: L-1 M T-1. 
Um Poiseuille (1 PI) = 1 N s / m² = 1 Pa s = 10
 
P (poise) 
,
n
v
SF
,"",,
v
FENTRANlembrandoou
nS
F
dy
du
[9] 
 
8) COEFICIENTE DE VISCOSIDADE CINEMÁTICA ( ) 
 
É o quociente entre o coeficiente de viscosidade dinâmica e a massa específica. Portanto, 
 
As dimensões de são: L
-2
 T
-1
. No Sistema Internacional, exprime-se em m
2
/s, e 1 St = 10
-4
 m²/s. 
No Sistema CGS, a unidade de é o Stoke (1 Stoke = cm
2
/s). Em geral, a unidade empregada é o centistoke 
(cSt). 
Para a água a 20°C, 10
-6
 m²/s. 
A viscosidade cinemática dos líquidos varia, direta e sensivelmente, com a temperatura. A influência da 
pressão sobre a viscosidade é negligenciável. A viscosidade cinemática é medida através de viscosímetros, 
que são aparelhos onde se determina o tempo que um certo volume de líquido leva para escoar através de um 
tubo de pequeno diâmetro, ou o volume que se escoa em determinado intervalo de tempo. Comercialmente, 
a viscosidade refere-se sempre às indicações destes aparelhos. 
Um parâmetro de viscosidade utilizado na indústria automotiva é o número SAE (Society of Automotive 
Engineers). As equivalências aproximadas para a temperatura de 50°C são: 
 SAE 20 (muito fluido) = 0,60 St 
 SAE 40 (semi fluido) = 0,78 St 
 SAE 50 (semi espesso) = 1,05 St 
 SAE 80 (espesso) = 1,20 St 
 SAE 140 (muito espesso) = 1,60 St 
 
9) TENSÃO SUPERFICIAL – CAPILARIDADE 
 
A tensão superficial se origina sempre que um fluido está em contato com outro – e se manifesta na zona de 
separação entre dois fluidos. Define-se tensão superficial ( ) à tensão por unidade de comprimento numa 
linha qualquer da superfície de separação. 
As dimensões da tensão superficial , são: M T
-2
, e no SI exprime-se em N/m (N/m
2
/m). 
Como resultado da tensão superficial, interessam, sobretudo para a Hidráulica os fenômenos de capilaridade 
que ocorrem na superfície livre dos tubos de pequeno diâmetro. 
 
 
 
[10] 
 
10) PRESSÃO 
 
Em um fluido em repouso, a resultante das forças que se exercem sobre uma partícula é nula. A tensão sobre 
um elemento de superfície do fluido é normal à esse elemento e, num ponto determinado, idêntica em todas 
as direções. Essa tensão designa-se Pressão. 
A pressão tem as dimensões de uma força por unidade de superfície, isto é, M L
-1
 T
-2
. No Sistema 
Internacional exprime-se em N/m
2
. 
A pressão p, medida em relação à pressão atmosférica, chama-se pressão relativa. A pressão absoluta, pa, 
será a soma da pressão relativa com a pressão atmosférica (p + pa). 
Em hidráulica, é comum se exprimir a pressão em altura de coluna de líquido. Considerando um prisma reto 
de líquido em repouso, onde S é a área da base e h sua altura, a força que o líquido exerce na base do prisma 
é igual ao peso do líquido, i.e., S h; a pressão é, então: 
Portanto, à uma pressão p está associada uma altura de líquido 
Exemplo: um óleo, com = 8.000 N/m³, está submetido a uma pressão de 40 N/cm². Qual seria esta pressão 
expressa em coluna de líquido? 
 p = 40 N/cm² = 400.000 N/m²; 
 = 8.000 N/m³. 
 h = p/ = 400.000 N/m² 8.000 N/m³ = 50m de coluna de óleo. 
 
Nota: o valor da pressão pa, nas condições normais, ao nível do mar, é (em diferentes unidades): 
 
 pa = 1 atm = 10,134 N/cm² = 760mm de coluna de mercúrio = 
 = 10,33m de coluna d'água 
 
Utiliza-se pa = 10 N/cm² = 10m de coluna d'água. 
 
 
 
 
h
p
p
h
[11] 
 
11) COMPRESSIBILIDADE 
 
Propriedade que tem os corpos de reduzir seus volumes sob a ação de pressões externas. De acordo com a 
Lei da Conservação de Massa (da Física), uma aumento de pressão corresponde a um aumento de densidade, 
isto é, uma diminuição de volume. 
Portanto: dV = - V dp 
Nota: o inverso de é , onde ( = 1/ ), denominado "módulo de elasticidade volumétrica". 
 m = V = constante; derivando esta expressão, encontra-se: 
 V = - dV/d ; 
 como V = m/ = - dV/d (1/ ), se tem: 
 
Desta equação, verifica-se que tem dimensão de pressão, e é dado, no Sistema internacional, em Pa 
(lembrando que 1 kgf = 9,8 N). 
Para os líquidos, varia muito pouco com a pressão, variando consideravelmente com a temperatura. Para 
os gases, varia tanto com a pressão quanto com a temperatura. 
No caso dos gases, supondo que uma certa transformação se dê a uma temperatura constante, e que a mesma 
obedeça à lei de Boyle (nota: um processo a temperatura constante – isotérmico – é caracterizado pela lei de 
Boyle, p/ = cte.): 
 
 p/ = cte; dp = cte d e dp/d = cte 
 
 = , isto é, 
"quando um gás se transforma segundo a lei de Boyle, o seu módulo de elasticidade de volume (módulo de 
elasticidadevolumétrico) iguala-se à sua pressão, a cada instante". 
 
Para os líquidos, desde que não haja grandes variações de temperatura, pode-se considerar que o módulo de 
elasticidade de volume seja constante, isto é: = cte. 
 
 
p
d
dp
d
dp
[12] 
 
Portanto, 
 
 d / = - (1/ ) dp ; integrando entre "p" e "po", se tem: 
 ln( ) - ln( o) = - (1/ ) [p – po] , que é o mesmo que 
 ln( / o) = - (1/ ) [p – po] ; esta equação expressa a variação de com p. 
Como essa variação é muito pequena, a equação acima pode ser aproximada para: 
 
de onde vem 
 
Considerando o líquido como incompressível ( = 0), se tem que = o = cte. 
 
Nota: em termos práticos, a compressibilidade da água é considerada apenas no cálculo do golpe de 
ariete. 
12) CELERIDADE 
 
É a velocidade com que se propaga no interior de um líquido uma variação de pressão, ou a energia gerada 
no processo (por exemplo uma onda sonora ou uma onda de gravidade). 
No caso do som, 
onde a celeridade tem o valor de 1425 m/s ( a 10°C). 
Como nos líquidos, 
d
dp
c
 , o valor da celeridade é diretamente proporcional a . 
Para líquidos incompressíveis, = 0, o valor da celeridade é c = . 
Nos fenômenos de golpe de ariete, não se pode considerar a densidade como constante, já que dp 0 , e c se 
apresenta com um valor finito. 
d
dp
,)( o
o
o pp
])(1[ oo pp
;c
[13] 
 
0
sistemadt
dM
, onde 
.
.
sist
ddMM
 
CCOONNCCEEIITTUUAAÇÇÃÃOO GGEERRAALL DDAA HHIIDDRRÁÁUULLIICCAA -- ((EESSTTÁÁTTIICCAA,, CCIINNEEMMÁÁTTIICCAA EE DDIINNÂÂMMIICCAA DDOOSS FFLLUUIIDDOOSS)) 
 
1) Introdução: 
 
A análise de qualquer problema de Hidráulica começa – seja de modo direto, seja de modo indireto – 
com a aplicação de três leis físicas já conhecidas. 
Essas leis, adaptadas de modo adequado para a resolução de problemas envolvendo o escoamento de água, 
possibilitam sua aplicação a uma variedade de problemas. 
 Essas leis são: 
 Princípio da Conservação da Massa: 
A massa M de um sistema em análise é constante, não podendo 
ser criada ou destruída. 
 Princípio de Conservação de Energia: Energia não pode 
ser criada ou destruída. Pode ser transformada (Potencial  
Cinética), mas não é perdida. O atrito, por exemplo, não é perda 
de energia, mas transformação de parte da energia contida em 
um sistema em calor. A equação geral é derivada da 1ª Lei da Termodinâmica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Princípio da Conservação da Quantidade de Movimento: Um corpo em movimento sofre variação 
sobre a sua quantidade de movimento ( ) pela aplicação de força externa. A definição desse 
princípio está embutida na 2ª Lei de Newton: 
 
 
 
 
Para a aplicação destes princípios, é importante uma breve revisão dos conceitos já vistos na 
Mecânica dos Fluidos (FENTRAN), agora direcionados exclusivamente à ÁGUA. 
 À semelhança do é feito no estudo da Física, o estudo da Mecânica dos Fluidos – e para nós, da 
HIDRÁULICA – pode ser separada em: 
dE=SW-SQ
 
 Trabalho 
 Calor 
 
 
; na forma de variação com o tempo a equação fica: 
sistemadt
dE
dt
dW
dt
dQ
; 
sistemaMsitema
sistema dedmeE ...
 ; sendo: 
gz
v
ee i
2
²
; 
ie
 energia interna específica 
 
)( vmF

; como 
m
 = cte, 
amFvmF

)(
 
[14] 
 
 
HHIIDDRROOCCIINNEEMMÁÁTTIICCAA 
 
1) DEFINIÇÕES 
 
 Cinemática: segundo Van Rijn (1990), é a geometria do movimento. 
 Hidrocinemática: descreve o movimento de um fluido (o líquido aqui é a água), isto é, se preocupa 
com o movimento em termos dos deslocamentos. Velocidades e acelerações, sem considerar as 
forças que produziram este movimento. 
 
É na Hidrocinemática que se apresentam as equações matemáticas que expressão os fenômenos relacionados 
ao escoamento, tais como: 
 
 
 
 
•Estudo dos problemas para os quais não há o 
envolvimento relativo entre as partículas de 
água.
Estática dos Fluidos 
(HIDROSTÁTICA)
•Estudo da descrição do fluido em movimento 
- só a descrição.
Cinemática dos 
Fluidos 
(HIDROCINEMÁTICA)
•Estudo do comportamento do fluido em 
movimento, levando em consideração as 
forças que originaram o movimento.
Dinâmica dos Fluidos 
(HIDRODINÂMICA)
Regime do 
Escoamento
laminar
turbulento
Tipos de 
Escoamento
permanente 
(estacionário)
uniforme
não-uniforme
acelerado
retardado
não-permanente 
(n-estacionário)
Característica 
do Escoamento
uni-dimensional
bi-dimensianal
tri-dimensional
[15] 
 
2) CAMPO DE VELOCIDADES 
 
Já foi visto que a hipótese do “CONTÍNUO” levou à noção de “CAMPO”. Como a velocidade em 
qualquer ponto do escoamento pode variar de um instante a outro ao longo do contínuo, temos, também, um 
“CAMPO DE VELOCIDADES”. Num dado instante, o campo de velocidades 
V
 é uma função das 
coordenadas espaciais (x; y; z). A representação do campo das velocidades é: 
( ; ; ; )V V x y z t
  , e É UM 
CAMPO VETORIAL, pois a velocidade só é definida conhecendo-se MÓDULO e DIREÇÃO. 
Em termos escalares, o campo de velocidades poder ser escrito como: 
V ui v j wk
   , onde cada 
componente u, v e w será função de x, y, e z. 
3) REFERENCIAIS 
 
Existem duas maneiras para se estudar e descrever o movimento de um fluido: 
 Através da observação do fenômeno pelo espaço (Método Lograngiano); 
 Através da observação do fenômeno em um ponto fixo (Método Euleriano) 
 
No método Lograngiano, cada partícula fluida é marcada (em geral por suas coordenadas espaciais). 
A partir daí, sua trajetória, densidade, velocidade, aceleração e outras características – DAQUELA 
PARTÍCULA ESPECÍFICA – podem ser descritas / estudadas à medida que o tempo passa. 
Se a posição da partícula for lançada em um gráfico em função do tempo, o resultado será a 
TRAJETÓRIA da partícula. Portanto, no método lograngianno, a trajetória do fluido (ou das partículas do 
fluido) é a referência considerada. 
No método Euleriano, a atenção é focalizada sobre pontos particulares do espaço preenchido pelo 
fluido, isto é, se faz uma descrição do estado do movimento observado em cada ponto em função do tempo. 
O movimento de partículas fluidas individuais não pode ser estabelecido, mas os valores e variações com o 
tempo da densidade, velocidade, aceleração e outras grandezas do movimento podem ser determinados em 
várias posições no espaço. 
A LINHA DE CORRENTE é a referência considerada. O método Euleriano (ou referencial fixo – 
referencial Euleriano) é o referencial considerado nas demonstrações que se seguem – além de ser muito 
utilizado em problemas de Engenharia em geral. 
4) TRAJETÓRIA E LINHAS DE CORRENTE 
 
Uma vez que trajetórias e linhas de corrente são referenciais para os distintos métodos para o estudo do 
movimento de um fluido, é importante distinguir claramente os conceitos de trajetória e linhas de corrente. 
TRAJETÓRIA: Lugar geométrico dos pontos ocupados pela partícula ao longo do tempo. 
LINHA DE CORRENTE: São curvas que apresentam a propriedade de, em todos os seus pontos, a tangente 
respectiva coincidir com a direção da velocidade. Uma linha de corrente representa a direção do escoamento 
de uma série de partículas do fluido em um dado instante. 
Como a direção da velocidade é tangente à linha de corrente, não há escoamento (e, portanto, transporte de 
massa) no sentido normal (ou perpendicular) à Linha de Corrente. 
[16] 
 
EXEMPLO: Num escoamento qualquer a céu aberto (a superfície livre) – rio, lagoa, mar – joga-se vários 
pedaços de isopor. Acompanhando o deslocamento de UM pedaço ao longo do tempo, é possível definir a 
TRAJETÓRIA desteelemento. 
Tirando uma fotografia (com diafragma aberto por um determinado tempo de exposição) da 
disposição dos vários pedaços de isopor, cada elemento em movimento impressionará sobre o negativo um 
segmento correspondente ao espaço percorrido naquele intervalo de tempo. Estes segmentos terão a direção 
das velocidades dos vários elementos durante o tempo de exposição. As linhas tangentes a estes segmentos 
são as linhas de corrente. 
 
 
 
 
 
 
 
5) REGIME DE ESCOAMENTO: 
 
A distinção entre os dois tipos de movimento que ocorrem nos líquidos reais dá idéia das dificuldades das 
analises teóricas no domínio dos líquidos em movimento. Existem dois tipos de movimento dos fluidos. 
- O movimento LAMINAR (ou viscoso), em que cada partícula descreve uma trajetória bem definida, com 
velocidade unicamente no sentido do escoamento. O escoamento laminar é caracterizado por um 
caminhamento disciplinado das partículas fluidas, que seguem trajetórias regulares. As trajetórias de duas 
partículas adjacentes não se cruzam. 
- O movimento TURBULENTO (ou “hidráulico” – por ser o mais habitual nos fenômenos hidráulicos) se 
caracteriza pela partícula do fluido apresentar, além da velocidade no sentido do escoamento, componente no 
sentido transversal ao escoamento. Esta turbulência é provocada pela viscosidade. Portanto, no escoamento 
(t2)(t1) (t3) (t4)
1 111
2 222
3 333
TRAJETÓRIA
LINHA DE CORRENTE 
(não há transporte de massa perpendicular à L.C.)
[17] 
 
turbulento, a velocidade num dado ponto varia constantemente em módulo e direção. As trajetórias são 
extremamente irregulares, e podem se cruzar. 
O parâmetro que caracteriza o regime do escoamento é o NÚMERO DE REYNOLDS (Re), cientista que 
mostrou, através de seu experimento (experimento de Reynolds), que a determinação deste regime é função 
de uma grandeza adimensional que relaciona [(Vel. Escoamento)(Dimensão Linear Característica)
(Visc.Cinemática)] 
 
Onde: 
 v - velocidade média do fluído 
 D - longitude característica do fluxo, o diâmetro para o fluxo no tubo 
 μ - viscosidade dinâmica do fluído 
 ρ - densidade do fluído 
6) TIPOS DE ESCOAMENTO 
 
A partir do conceito de trajetória e de linha de corrente é possível definir-se os tipos de escoamento, isto é, 
permanente – uniforme e não-uniforme – e não permanente (variável). 
Escoamento Não-Permanente: é o caso mais geral de escoamento; a velocidade num ponto é função das 
coordenadas e do instante considerado. Isto é, em cada ponto observado, a velocidade das partículas que por 
este passa (referencial fixo – Euleriano) varia de instante para instante. 
Escoamento Permanente: se as propriedades em cada ponto de um campo de escoamento não mudam com o 
tempo, o escoamento é denominado PERMANENTE. A velocidade é função das coordenadas (da posição), 
mas independe do instante considerado (do tempo). Matematicamente, a definição de escoamento 
permanente é: 
0
t
, onde representa qualquer propriedade do fluido. 
No caso da água em escoamento permanente: 
 
0; ( ; ; )x y z
t
 e 
0; ( ; ; )
v
v v x y z
t

  
 
Dessa forma, no escoamento permanente qualquer propriedade pode variar ponto a ponto no campo, mas 
todas as propriedades permanecerão constantes com o tempo em cada ponto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
[18] 
 
7) CARACTERISTICAS DO ESCOAMENTO 
 
a) Escoamento Uni, Bi e Tridimensional 
 
Um escoamento é classificado como uni, bi ou tridimensional em função do número de coordenadas 
espaciais necessárias para se especificar o campo de velocidade. 
A equação 
( ; ; )v v x y z
  indica que o campo de velocidade pode ser uma função de três coordenadas 
espaciais e do tempo. Tal campo de escoamento é denominado TRIDIMENSIONAL porque a velocidade em 
qualquer um de seus pontos depende das três coordenadas x; y; z para se localizar no espaço. 
NOTA: a maioria dos campos de escoamento é tridimensional, entretanto hipóteses simplificadores são 
adotadas para diminuir o número de dimensões. 
 
 Escoamento Unidimensional: por exemplo, um escoamento permanente através de uma 
tubulação; longe da entrada do tubo. 
 
 
2
max
1
1u u
R
 E, portanto, só depende de R, independendo de x e . 
 
Escoamento Bidimensional: por exemplo, um escoamento permanente entre paredes retas divergentes, onde 
z é infinito. Como z é infinito, o campo de velocidades será idêntico em todos os planos perpendiculares ao 
eixo dos z. Conseqüentemente, o campo de velocidades é uma função das coordenadas espaciais x e y. 
Portanto, é classificado como bidimensional. 
 
 
 
x
y
z
u' u''
[19] 
 
b) Escoamento Uniforme e Não-Uniforme 
 
Para fins de análise, muitas vezes é considerado introduzir a noção de escoamento uniforme em uma 
dada seção reta. Num escoamento que é uniforme numa dada seção reta, a velocidade é constante através de 
qualquer seção normal ao escoamento. Por exemplo, se simplificarmos o escoamento bidimensional entre 
paredes retas divergentes para: 
 
Teremos, além do escoamento uniforme, um escoamento unidimensional, pois agora o escoamento é apenas 
função de x. 
O termo “escoamento uniforme” ou “campo de escoamento uniforme” (em contraposição a 
escoamento uniforme numa seção) é empregado para descrever um escoamento no qual o módulo e o sentido 
do vetor velocidade são constantes, isto é, independentes de todas as coordenadas espaciais através de todo o 
campo. Assim, trata-se de um escoamento permanente no qual a velocidade é constante (em módulo e 
direção) ao longo da trajetória. Matematicamente, 
( )
0
espaço
v
ds
 (portanto, as trajetórias são retilíneas). 
Escoamento não-uniforme é um escoamento onde a velocidade é constante ao longo do tempo 
(independe do instante considerado), mas varia ao longo da trajetória. É também definido como escoamento 
variado podendo, ainda, ser acelerado (aceleração positiva) ou retardado (aceleração negativa). 
 
Pergunta: No escoamento permanente (estacionário), nenhuma grandeza varia com o tempo em 
nenhum ponto. No escoamento não permanente (não-estacionário) as grandezas características do fluido 
variam com o tempo nos vários pontos do escoamento. Então, nos escoamentos permanentes as trajetórias 
coincidem com as linhas de corrente? Por quê? 
Resposta: Num escoamento permanente as Linhas de Corrente não se alteram com o tempo, 
coincidindo com as trajetórias. A inversa não é verdadeira. As linhas de corrente e as trajetórias podem 
coincidir e o escoamento ser variável – basta que a velocidade varie só em módulo, conservando direção e 
sentido. 
 
x
y
z
contração expansão
VARIADO
ACELERADO
VARIADO
RETARDADOUNIFORME
(velocidade constante)
x
y
z
[20] 
 
8) CONSERVAÇÃO DA MASSA – EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE 
 
A hipótese do “CONTÍNUO”, já comentada anteriormente, leva diretamente a uma representação de 
“CAMPO” das propriedades dos fluidos. Os campos de propriedades são definidos por funções contínuas das 
coordenadas espaciais e do tempo. 
Os campos de massa específica e de velocidade são relacionados através do princípio da conservação da 
massa. Já enunciamos anteriormente este principio – que está por trás da Equação da Continuidade. 
Novamente: 
 
A equação que representa este princípio é: 
. . 0
VC SC
dV v d A
t
  
 
A conservação de massa exige que a soma da taxa de variação da massa dentro do volume de 
controle com a taxa líquida de fluxo de massa através da superfície de controle seja nula. Aplicando este 
princípio a um volume de controle diferencial obtém-se a Equação da Continuidade. Em coordenadas 
retangulares: 
 Volume de Controle:é um cubo infinitesimal de lados dx, dy e dz. 
 Massa Específica no centro do volume de controle é . 
 Velocidade é 
V ui v j wk
    
 
A fim de avaliar as propriedades em cada uma das seis superfícies que definem o volume de controle 
usaremos uma expansão em série de Taylor em relação ao centro O do volume de controle. Por exemplo, na 
face direita, 
22
2
2
1
....
2 21 2
dx
x
dx dx
x x
 
Desprezando os termos de ordem superior, é possível escrever: 
2 2
dx
x
dx
x
 
Fazendo o mesmo para a velocidade: 
2 2
dx
x
u dx
u u
x
 
NOTA: lembrar que , u, 
dx
, 
u
x
 são todos avaliados em O. 
TAXA DE VARIAÇÃO DE MASSA
 DENTRO DO VOLUME DE CONTROLE
TAXA LÍQUIDA DE FLUXO DE MASSA
PARA FORA DA SUPERFÍCIE DE CONTROLE 0
x
y
z
V.C.
[21] 
 
Analogamente, os termos da face esquerda na direção x, são: 
2 2
dx
x
dx
x
; 
2 2
dx
x
u dx
u u
x
 
 
Definidos estes termos, podemos voltar à equação integral que representa o principio da conservação da 
massa, avaliamos cada um de seus componentes. 
A 
.
VC
dV
t
, que é a “taxa de variação de massa dentro do volume de controle”, é: 
. .dx dy dz
t
 
B 
 
.
SC
v dxA
  , que é a “taxa líquida de fluxo de massa para fora da superfície de controle”, deve ser 
avaliada através de cada uma das seis faces da superfície de controle. 
Assim, se tem: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FACE X 
esquerda (-x) 
direita (+x) 
2 2
dx u dx
dydz u
x x
 
2 2
dx u dx
dydx u
x x
 
2 2
dx u dx
dydz u
x x
 
2 2
dx u dx
dydx u
x x
 
FACE Y 
inferior (-y) 
superior (+y) 
2 2
dy v dy
dxdz v
y y
 
2 2
dx u dx
dydx u
x x
 
2 2
dy v dy
dxdz v
y y
 
2 2
dx u dx
dydx u
x x
 
FACE Z 
posterior (-z) 
anterior (+z) 
2 2
dz w dz
dxdy w
z z
 
2 2
dx u dx
dydx u
x x
 
2 2
dz w dz
dxdy w
z z
 
2 2
dx u dx
dydx u
x x
 
[22] 
 
Calculando as diversas expressões, sempre desprezando os termos de ordem superior, se tem: 
.
SC
u v w
v d A u v w dxdydz
x x y y z z
  
.
SC
u v w
v d A dxdydz
x y z
  
Juntando os resultados de A e B, se tem: 
. .
VC SC
u v w
dV v d A dxdydz dxdydz
t t x y z
  
e 
0
u v w
dxdydz dxdydz
t x y z
 
 
Assim, a equação diferencial para conservação da massa, também chamada de EQUAÇÃO DE 
CONTINUIDADE
1
 é: 
0
u v w
t x y z
 
Uma outra forma de escrever esta equação é através do uso do “operador vetorial ” (GRADIENTE), isto é: 
0V
t
 NOTA: 
i j k
x y z
   
 
Dois casos de escoamento para os quais a equação diferencial da continuidade pode ser simplificada 
merecem atenção: 
I 
Para escoamentos incompressíveis - = constante , isto é, a massa específica não é função nem das 
coordenadas espaciais nem do tempo. Neste caso a equação da continuidade pode ser escrita como: 
0
u v w
x y z
 ou . 0V , onde 
; ; ;V V x y z t
  
II 
Para escoamentos permanentes – onde todas as propriedades dos fluidos são por definição, independentes do 
tempo: 
0
t
, 
; ;x y z
. Neste caso a equação da continuidade pode ser escrita como: 
0
u v w
x y z
 ou 
. 0V

 
 
 
 
1
 A Equação da Continuidade é o enunciado matemático do princípio da conservação da massa. 
[23] 
 
9) MOVIMENTO DE UM ELEMENTO FLUIDO (Cinemática) 
 
Consideremos o movimento de um elemento fluido num campo de escoamento, seguindo um elemento 
infinitesimal de massa 
dm dxdydz
. 
À medida que o elemento infinitesimal de massa move-se no campo de escoamento, diversas coisas 
podem acontecer: 
 
 o elemento de translada (é claro!), isto é, se desloca linearmente de um ponto (x; y; z) para outro (x; y; z) 
 
 o elemento também pode girar. Admitindo tratar-se de um pequeno cubo (dx.dy.dz), tanto pode girar em 
torno de um, dois ou todos os três eixos de coordenadas 
 
 o elemento pode sofrer deformação – linear e angular; a deformação linear envolve uma mudança de 
forma sem mudança na orientação do elemento; a deformação angular envolve uma distorção do 
elemento na qual os planos que eram originalmente perpendiculares não mais permanecem 
perpendiculares. 
 
Em geral um elemento fluido pode sofrer uma combinação de translação, rotação e deformações (linear e 
angular) no curso de seu movimento. A representação gráfica destes movimentos é apresentada a seguir 
(plano xy). 
 
 
 
 
Para um escoamento genérico tridimensional, movimentos similares poderiam ser observados para 
planos xz, e yz. Para a translação ou rotação pura o elemento fluido mantém a sua forma – NÃO HÁ 
DEFORMAÇÕES. 
y
x
y
x
y
x
y
x
[24] 
 
Dessa maneira, tensões de cisalhamento não surgem como resultado de translação ou rotação pura. 
Lembra que num fluido Newtoniano, a tensão de cisalhamento é diretamente proporcional à taxa de 
deformação angular. 
dx
dy
 
9.1) Translação (aceleração de uma partícula fluida num Campo de Velocidades) 
 
A hipótese básica da Mecânica dos Fluidos – do contínuo – levou à uma descrição do campo de 
escoamento cujas propriedades são definidas por funções contínuas das coordenadas espaciais e do tempo. 
Em particular, o campo de velocidades é dado por 
; ; ;V V x y z t
  . 
NOTA: o conceito de “campo” é muito poderoso, já que informações para todo o escoamento são fornecidas 
por uma única equação. 
Precisamos, então, a partir do conceito de “campo de velocidades”, verificar seu comportamento (ou 
sua variação), obtendo uma expressão para a aceleração de uma partícula na medida em que ela se desloca 
num campo de escoamento. 
NOTA: a velocidade é, como se viu, função do tempo e do espaço 
,V V t P
  
, em que 
P
 é também 
função de t. 
Considerando uma partícula movendo-se num campo de velocidade: 
 num instante t, a partícula está em um ponto 
P
 , de coordenadas (x; y; z); a velocidade neste ponto, e 
neste instante, é: 
; ; ;p
t
V V x y z t
  
 em t+dt a partícula moveu-se para uma nova posição (x+dx; y+dy; z+dz), e sua velocidade neste novo 
ponto é: 
' ; ; ;p p dr
t dt
V V x dx y dy z dz t dt
  
Graficamente: 
 
r
r+dr
z
y
x
no instante t
P
no instante t+dt
P'
trajetória da partícula
[25] 
 
 
A variação da velocidade da partícula, ao mover-se da posição 
r
 (ponto 
P
 ) para a posição 
r dr
  (ponto 
'P
 ) é dada por (conceito de derivada total): 
p p p p
V V V V
dV dx dy dz dt
x y z t
   
 
 
A aceleração total da partícula, 
dv
dt
, será: 
p p p p
p
dV dx dy dzV V V V V V V V
a u v w
dt x dt y dt z dt t x y z t
        
 
“Para lembrarmo-nos de que o cálculo da aceleração de uma partícula fluida num campo de velocidade 
seguem uma derivada especial, ela recebe o símbolo 
...
Dv
Dt
 ” – usualmente chamada de derivada total 
(também chamada “derivada substancial” ou “derivada material”). Portanto: 
.
p
p
DV V V V V V V d P V
a u v w V V
Dt x y z t t dt tP
        
  

 
Como se trata de uma equação vetorial, pode, também, ser escrita na forma de suas componentes 
escalares. Em relação a um sistema de coordenadas retangulares: P
P
P
x
y
z
Du u u u u
a u v w
Dt x y z t
Dv v v v v
a u v w
Dt x y zt
Dw w w w w
a u v w
Dt x y z t
 
Num campo de escoamento, uma partícula de fluido pode sofrer aceleração devido a dois motivos: 
 mudou de velocidade ao longo de sua trajetória (transportada por convecção2 para uma região de 
velocidade mais alta); por exemplo, em escoamento permanente através de um bocal (transportada 
para uma região de velocidade mais alta); 
 
 o campo de escoamento é “não-permanente”; neste caso uma partícula de fluido passará por uma 
aceleração “local”, pois o campo de velocidade é função do tempo. 
 
 
2
 AURÉLIO: em fluidos, processo de transmissão de calor que é acompanhado por um transporte de massa efetuado 
pelas correntes que se formam no seio do fluido; do latim convectione – transporte. 
[26] 
 
OBSERVAÇÕES: 
I. se a aceleração convectiva é zero, o fluido é denominado uniforme – ou ESCOAMENTO 
UNIFORME (uniform flow) 
II. se a aceleração local é zero, o fluxo é denominado permanente – ou ESCOAMENTO 
PERMANENTE (steady flow) 
III. Para um escoamento bidimensional, onde 
; ;V V x y t
  , a equação da aceleração reduz-se a 
DV V V V
u v
Dt x y t
   
 
IV. Para um escoamento unidimensional, DV V V
u
Dt x t
  
 
V. Para um escoamento tridimensional permanente, 
DV V V V
u v w
Dt x y z
    
9.2) Rotação 
 
Uma partícula movendo-se num escoamento tridimensional genérico pode girar em torno de todos os três 
eixos coordenados. A rotação de uma partícula é uma quantidade vetorial e, em geral, pode ser escrita como: 
x y zi j k
   ¨, onde: 
i
 - rotação em torno do eixo i; o sentido positivo da rotação é dado pela regra da mão direita. 
Para avaliar as componentes do vetor rotação de uma partícula, define-se a velocidade angular sobre 
um eixo como a velocidade angular média de dois segmentos inicialmente perpendiculares entre si – em um 
plano perpendicular ao eixo considerado. Dessa forma, a componente da rotação sobre o eixo z é igual a 
velocidade angular média de dois segmentos inicialmente perpendiculares entre si no plano xy. 
a) expressão para
z
: 
 
 
y
x
a' a
b
b'
0
 
 
 
x
 
 
y
 
 
 
 
 
 
[27] 
 
 
z
 é a componente da rotação do fluido sobre o eixo z; 
As componentes da velocidade nos eixos x e y são u e v, respectivamente. 
De acordo com a definição a rotação de um elemento fluido será obtido a partir da caracterização do 
movimento das linhas oa e ob em um intervalo de tempo 
t
. Essas linhas girarão de e , 
respectivamente, se as velocidades nos pontos a e b forem diferentes da velocidade em O. 
 Rotação de oa, cujo comprimento é 
x
: deve-se a variações da componente y da velocidade. Se no 
ponto 0 a velocidade for admitida como v0, no ponto a podemos obter, usando uma expansão em série de 
Taylor: 
0 .a
v
v v v x
x
 
A velocidade angular da linha oa será: 
0 0
0 0
0
lim lim . .
lim lim
.
. . .
oa
t t
oa
t t
x v x t vxt t
x t xv
v v t x t
x
v
x 
 Rotação de ob, cujo comprimento é
y
: obtido de forma similar, devido a variações da componente 
x da velocidade (
0 .b
u
u u u y
y
) 
 
0 0
lim lim
. .
ob
t t
ob
y
t t
u
y t
y
u
y
 
NOTA: sinal negativo para dar valor positivo a 
ob
. 
A rotação do elemento fluido em torno do eixo z é a velocidade angular média de oa e ob (duas 
linhas perpendiculares), e, portanto: 
1 1
2 2
z oa ob
v u
rotação rotação
x y
 
O mesmo pode ser feito para os eixos x e y, obtendo-se: 
[28] 
 
1
2
x
w v
y z
 e 1
2
y
u w
z x
 
Concluindo, a rotação de uma partícula é uma quantidade vetorial, 
1 1 1 1
2 2 2 2
w v u w v u w v u w v u
i j k i j k
y z z x x y y z z x x y
      
 
esta expressão é o mesmo que: 
 1 1
2 2
rotV V
   
 Sob que condições desenvolve-se um escoamento irrotacional? O desenvolvimento de 
rotação numa partícula fluida, inicialmente sem rotação, requer a ação de uma tensão de 
cisalhamento na superfície da partícula. Como a tensão de cisalhamento é relacionada a 
taxa de deformação angular pela viscosidade, a presença de forças viscosas significa que 
o escoamento é rotacional. 
 
NOTA: a condição de irrotacionalidade pode ser uma hipótese valida para aquelas regiões de escoamento nas 
quais as forças viscosas são desprezíveis (voltaremos ao assunto após o estudo do desenvolvimento da 
camada limite em um escoamento sobre superfície sólida). 
 Vorticidade: A vorticidade é uma medida da rotação de um elemento fluido à medida em 
que ele se move no campo de escoamento. É definido como sendo duas vezes o valor da 
rotação, isto é: 
2 v
   
 Circulação: é definida como a integral de linha da componente tangencial da velocidade 
sobre uma curva fechada fixa no escoamento. 
C
v ds
 

 NOTA: sentido positivo – anti-horário. 
Uma relação entre a circulação e a vorticidade pode ser estabelecida a partir do entendimento da 
figura seguinte – consistente com as rotações utilizadas na determinação da rotação do fluido: 
 
 
0 a
c
b
y
x
u
v
y
 
 
x
 
 
v
v x
x
 
u
u y
y
 
[29] 
 
Para a curva fechada oacb 
2 z
v u v u
u x v x y u y x v y x y x y
x y x y
 
Logo, 
2 z
C A A z
v d s dA v dA
  

, que é o enunciado do TEOREMA DE 
STOKES para escoamentos rotacionais bi-dimensionais – “a circulação num contorno fechado é igual à 
vorticidade total encerrada no seu interior”. 
 
9.3) Deformação 
 
9.3.1) Deformação angular: 
 
A deformação angular de um elemento fluido envolve variações no ângulo entre duas linhas mutuamente 
perpendiculares no fluido (vide início do item 9). 
Expressão para plano xy: 
 
 
 
A taxa de deformação angular do elemento fluido no plano xy é a taxa de decréscimo do ângulo formado 
pelas linhas oa e ob. 
Para um intervalo de tempo 
t
, 
90o
; 
A taxa de deformação angular é, então: d d d
dt dt dt
 
 
Como 
0
lim
t
d
dt t
 e 
0
lim
t
d
dt t
 
y
x
a' a
b
b'
0
 
 
 
x
 
 
y
 
 
 
 
 
 
[30] 
 
0 0
lim lim
t t
v txd vx xx
dt t t x
 
 
0 0
lim lim
t t
u ty
y yd uy
dt t t y
 
 
Conseqüentemente a taxa de deformação angular é: 
d d d v u
dt dt dt x y
 
 
9.3.2) Deformação Linear 
 
Durante a deformação linear, a forma de um elemento fluido – descrita pelos ângulos de seus vértices – 
permanece imutável (todos os ângulos permanecem retos). 
 
 
As mudanças de comprimento em cada direção exigem que u
x
, v
y
 e w
z
 tenham valores diferentes de 
zero. Essas quantidades representam as componentes das taxas longitudinais de deformação nas direções x, y 
e z, respectivamente. Mudanças no comprimento das faces produzem alterações no volume do elemento e a 
taxa de dilatação volumétrica é dada por: 
 
 Taxa de dilatação volumétrica = 
u v w
v
x y z
 
 
NOTA: para escoamento incompressível, 
0v
 . 
 
 
 
 
y
x
[31] 
 
10) FUNÇÃO DE CORRENTE (escoamento incompressível bidimensional) 
 
É conveniente dispor de um meio para descrever matematicamente qualquer configuração de 
escoamento. 
Uma descrição adequada deve ser capaz de retratar a forma das linhas de corrente e a escala das 
velocidades em pontos representativos do escoamento. O conceito matemático que atende essa finalidade é a 
“FUNÇÃO DE CORRENTE ( )”. 
O conceito de função de corrente é formulado como uma relação entre as linhasde corrente e a equação 
da continuidade (princípio da conservação da massa). 
A função de corrente é uma função matemática única 
, ,x y t
 que substitui as duas componentes da 
velocidade u(x,y,t) e v(x,y,t). 
Para um escoamento bidimensional incompressível, a equação da continuidade pode ser escrita como: 
0
u v
x y
 
Se uma função contínua 
, ,x y t
, chamada de função de corrente, for definida de modo que: 
u
y
 e 
v
x
, a equação da continuidade é atendida. 
Lembrando que linhas de corrente são linhas traçadas no campo de escoamento tais que, num dado 
instante, são tangentes à direção do escoamento em cada ponto; e, se 
dr
 é um elemento de comprimento ao 
longo de uma linha de corrente, a equação vetorial de uma linha de corrente é: 
0v dr
  , e em coordenadas cartesianas: 
tani
i
dx
cons te
u
 
(vide Leicastre, pág. 27) 
Resolvendo a equação vetorial se tem: 
v dr ui v j dxi dy j
      
 
0
u v
udy vdx v dr udy vdx k
dx dy
   
Então, para um escoamento bidimensional, a equação da linha de corrente é: 
0udy vdx
 
NOTA: 
udy vdx
, isto é, dx dy
u v
. 
Substituindo u e v em termos de , encontramos que ao longo de uma linha de corrente: 
0dx dy
x y
 
 
[32] 
 
Como 
, ,x y t
, se num dado instante t0, 
0 0 0, ,x y t
 nesse instante, uma variação em 
 pode ser avaliada como se 
,x y
. Logo, em qualquer instante, 
d dx dy
x y
 
 
Então, comparando as duas equações, verifica-se que ao longo de uma linha de corrente, num dado 
instante 
0d
, o que significa que é uma constante ao longo do tempo. Ainda mais, como o 
diferencial é exato a integral entre dois pontos quaisquer no campo de escoamento, isto é 
2 1
, depende 
apenas destes pontos de integração. Finalmente, como, por definição, não pode haver transporte de massa ao 
longo de uma linha de corrente, é possível demonstrar que estas formam “guias” para o escoamento, e que: 
 
“a vazão em volume, por unidade de profundidade (z) entre duas linhas de corrente quaisquer pode 
ser escrita como a diferença entre os valores constantes de que definem estas duas linhas de 
corrente”. 
 
11) FUNÇÃO POTENCIAL (Potencial de Velocidades) – idem sobre a característica de escoamento 
(vide item 10) 
 
O item anterior apresentou a “função de corrente ( )”, que relaciona, para um escoamento 
bidimensional incompressível, as linhas de corrente e a vazão. 
Podemos formular, também, uma outra relação, denominada “função potencial ( )” para um campo de 
velocidade irrotacional. Para isso, tiramos partido de uma das propriedades da análise vetorial, que mostra: 
 
0ROT GRAD
, válida se for uma função escalar de (x, y, z, t), com derivadas 
primeira e segunda contínuas. 
 
Então, para um escoamento irrotacional no qual 
0v

, deve existir uma função escalar tal que o 
[GRAD ] seja proporcional ao vetor velocidade 
v
 (já que 
0 v
). A fim de que o 
sentido positivo do escoamento seja o de decrescente, define-se de tal forma que: 
V
 
 
Com a função potencial definida dessa forma, a condição de irrotacionalidade também é satisfeita 
(PROVE!). 
 
 
 
 
[33] 
 
NOTAS: 
1 ) A função potencial ( ) existe apenas para escoamento irrotacional; 
 
2 ) Já a função de corrente ( ) satisfaz a equação de continuidade para escoamento incompressível e 
não está sujeita a restrição de escoamento irrotacional; 
 
3 ) A irrotacionalidade pode ser uma hipóteses válida para aquelas regiões de um escoamento nas quais 
as forças viscosas são negligenciáveis (esta região existe – fora da camada limite no escoamento 
sobre uma superfície sólida); 
 
4 ) A teoria para escoamento irrotacional é desenvolvida em termos de um fluido imaginário ideal, cuja 
viscosidade é nula. Como num escoamento irrotacional o campo de velocidades pode ser definido 
pela função potencial ( ), a teoria é freqüentemente mencionada como “TEORIA DO 
ESCOAMENTO POTENCIAL”; 
 
5 ) Todos os fluidos reais possuem viscosidade; no entanto, há muitas situações nas quais a hipótese de 
escoamento invíscido simplifica bastante a análise, e, ao mesmo tempo, fornece resultados 
significativos; 
 
6 ) Por causa dessa utilidade e por ser “matematicamente atraente”, o escoamento potencial tem sido 
largamente estudado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[34] 
 
“EXTRA”: Função de Corrente e Função Potencial para Escoamento Irrotacional e Bidimensional – A 
EQUAÇÃO DE LAPLACE 
 
Para um escoamento com essas características, os termos de velocidade u e v podem ser expressos 
tanto em termos da função de corrente ( ) quanto do potencial de velocidades ( ), a saber: 
 
 
u
y x
; 
v
x y
 
 
Para a condição de irrotacionalidade 
0v
  a duas dimensões: 
 
0
v u
x y
; fazendo 
u
y
v
x
, se tem: 
 
2 2
2 2
0
x y
 ou 2 2
2 2
0
x y
 
 
A equação da continuidade a duas dimensões é: 
 
0
u v
x y
; substituindo u e v em termos de se obtém: 
 
2 2
2 2
0
x y
 ou 2 2
2 2
0
x y
 
 
 
Essas duas equações são formas de Equação de Laplace – que aparece em “muitas áreas das ciências 
físicas e da engenharia” – em particular na Hidráulica Marítima, com a Equação da Onda. 
[35] 
 
Qualquer função ou que satisfaça a equação de Laplace representa um possível campo de 
escoamento bidimensional, incompressível e irrotacional. 
Ortogonalidade entre linhas de e de constante: trata-se de uma propriedade muito útil nas análises 
gráficas de um campo de escoamento (escoamento em meios porosos, por exemplo, para o traçado de redes 
de fluxo na Mecânica dos Solos). Já foi visto que a função de corrente ( ) é constante ao longo de uma 
linha de corrente. Para 
cte
, 
0d
: 
 
0d dx dy
x y
 
A inclinação de uma linha de corrente – uma linha de constante – é dada por: 
 
 dy x v v
dx y u u
 
 
Já foi visto, também, que, ao longo de uma linha de 
cte
, 
0d
, e 
 
0d dx dy
x y
 
Em conseqüência, a inclinação de uma linha de potencial – uma linha de constante – é dada por: 
 dy x u
dx y v
 
 
Comparando dy
dx
 com dy
dx
 nota-se que a inclinação de uma linha de constante em qualquer 
ponto é a recíproca negativa da inclinação da linha de constante naquele ponto. Esta propriedade (vide 
Geometria Analítica) indica que linhas de constante e linhas de constante são ortogonais. 
 
 
 
 
 
 
[36] 
 
HIDRODINÂMICA 
 
1) CAMPO DE TENSÕES 
 
Tanto forças de superfície (ou de contato) quanto forças de campo são encontradas no estudo da 
mecânica dos meios contínuos (em nosso caso, lembre-se, já tiramos partido da importante propriedade do 
“CONTÍNUO”). 
 
 Forças de superfície: atuam nas fronteiras de um meio através do contato direto, por isso também se 
denominam “forças de contato”. 
 
 Forças de campo: são as forças desenvolvidas sem contato físico e distribuídas por todo o volume 
do fluido. Por exemplo, a força gravitacional, 
gdV
 ; por unidade de volume: 
g
 ; por unidade de 
massa: 
g
 . 
As tensões num meio resultam das forças que atuam em alguma porção do mesmo. O conceito de tensão 
nos dá uma forma conveniente de descrever o modo pelo qual as forças atuantes nas fronteiras do meio são 
transmitidas através dele. Em qualquer corpo submetido a uma solicitação é possível a determinação da 
tensão gerada por esta solicitação em qualquer ponto do corpo, qualquer que seja a orientação do plano de 
referência estabelecido. Conforme se muda essa orientação, altera-se os valores das tensõesa que se encontra 
submetido o ponto. Ao conjunto de tensões que surgem nos diversos planos que passam pelo ponto que se 
analisa se dá o nome de ESTADO DE TENSÕES. 
O estudo do comportamento das tensões em um ponto de um corpo (sólido ou líquido) não é um 
problema puramente abstrato; é necessário para a compreensão e solução de problemas mais complexos e 
para o cálculo de resistência nos casos mais gerais de solicitações. Esse estudo, no caso da HIDRÁULICA, 
tira partido do conceito de “CONTÍNUO” para poder eleger uma vizinhança em torno de um ponto – tão 
próxima que se possa considerar que o estado de tensão é o mesmo a que está sendo submetido o próprio 
ponto. 
Seja uma superfície qualquer no interior de um fluido em escoamento, e considere a força de contato 
transmitida de uma superfície para outra. Considere uma porção (
A
 ) da superfície, cuja orientação é dada 
pelo vetor unitário 
u
 , normal à superfície. Uma força (
F
 ), atuando sobre (
A
 ), pode ser decomposta em 
duas componentes – uma normal e outra tangente à esta área. Então, uma tensão normal e outra tangencial 
(cisalhante) podem ser definidas, na forma: 
 
0
lim
n
n
n
A
n
F
A
 e 
0
lim
n
t
n
A
n
F
A
 
 
n
F
F
tF
A
 
NOTA: o índice u lembra que as tensões estão associadas a uma superfície 
A
 , que passa por C, tendo uma 
normal com a direção e sentido de 
u
 . Para qualquer outra superfície passando por C, os valores das tensões 
são diferentes. 
[37] 
 
Ainda mais, a componente tangencial da força pode ser, também, decomposta em duas direções ortogonais, 
que definam o plano da superfície 
A
 , isto é: 
 
 
1t
F
 e 
2t
F
, onde (1 2 ) 
 
Para se caracterizar o estado de tensões de um ponto C, define-se um volume de controle de forma cúbica 
que apresente os três planos coordenados coincidindo com três de suas faces – e nessas tenham sido 
determinadas as intensidades das tensões nessas seções. Reduzindo as dimensões desse cubo, no limite todas 
as suas faces passarão pelo ponto C e se poderá considerar que as tensões nos planos estabelecidos 
correspondam ao ponto em questão. 
 
Essas tensões podem ser decompostas em três componentes: 
 
 UMA,segundo a normal ao plano da superfície (componente normal); 
 DUAS, segundo os eixos que definem o próprio plano (componentes tangencias). 
A componente normal da tensão – TENSÃO NORMAL – é representado pela letra “sigma” ( ) com um 
índice correspondente ao seu eixo coordenado (x; y; z). A componente tangencial da tensão – TENSÃO 
TANGENCIAL – é representada pela letra “tau” ( ), com dois índices: o 1o corresponde ao eixo que é 
ao plano e o segundo ao eixo que orienta o vetor . 
 
As tensões que aparecem nas três faces do elemento (3 planos ortogonais entre si que passam pelo ponto) são 
apresentadas a seguir: 
 
y
 yx
 yz
x
 xy
 xz
z
 zx
 zy
 
 
Nas faces que não aparecem se têm as mesmas tensões, com direções contrárias (lembrar que, na 
realidade, o “cubo” é tão pequeno que se pode admitir que as faces não visíveis sejam as faces opostas 
dos planos considerados). 
É possível provar, ainda, que: “em dois planos ortogonais entre si, as componentes das tensões 
tangencias perpendiculares à aresta comum são iguais”, isto é: 
 
[38] 
 
 
xy yx
; 
xz zx
; 
yz zy
. (Feodosier, p. 247) 
 
Assim, o estado de tensão em um ponte se determina, sempre, desde que sejam conhecidas as seis 
tensões principais: 
x
, 
y
, 
z
, 
xy
, 
xz
 e 
yz
. 
 
Já conhecemos o conceito de escalar, que se determina por um número; o conceito de vetor, que se 
determina por três números. O estado de tensão se determina por seis números e constitui-se num tensor. 
“O tensor, diferentemente do vetor, não admite uma interpretação geométrica simples”. Geralmente, o 
tensor é especificado por uma matriz, que se escreve como: 
 
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
 
 
 
2 ) TENSÕES SUPERFICIAIS SOBRE UM ELEMENTO DE FLUIDO 
 
O movimento de um elemento de fluido é induzido pelas forças que agem sobre esse elemento. Já 
vimos que essas forças podem ser de dois tipos – de superfície (de contato) ou de corpo (de campo). O 
movimento é estudado pela aplicação do conceito contido na 2
o
 Lei de Newton (
F ma
  ), equação 
vetorial que relaciona as forças resultantes sobre o elemento à sua aceleração. Essas forças podem ser 
analisadas pelas suas componentes normal e tangencial. 
A componente normal sobre uma superfície – tensão normal – é, para um corpo em repouso a única 
tensão existente, pois não existe tensão de cisalhamento em um elemento de fluido em repouso. É possível 
provar, ainda, que esta tensão é a mesma em todas as direções (isto é, um escalar). Esta tensão, normalmente 
chamada de PRESSÃO, portanto, não é um vetor, e não apresenta direção associada. Qualquer superfície 
imersa no fluido terá sobre ela uma força exercida pela existência da pressão hidrostática, e esta força atua na 
direção da normal a superfície. 
 A componente tangencial difere da normal (pressão) por não se apresentar como isotrópica. Tensões 
tangenciais são causadas por forças que agem tangencialmente a uma superfície; estão sempre presentes em 
fluídos reais em movimento. Cada componente 
ij
 também é um escalar. 
 
3 ) CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO – 2A LEI DE NEWTON 
 
Para um sistema infinitesimal de massa 
dm
, a 2
a
 Lei de Newton pode ser escrita como: 
 
 
SISTEMA
dV
d F dm
dt

 
 
De posse de uma expressão para a aceleração de um elemento fluido de massa dm movendo-se num campo 
de velocidades (vide HIDROCINEMÁTICA) podemos reescrever a expressão acima como: 
 
[39] 
 
 DV V V V V
d F dm dm u v w
Dt x y z t
    
 
 
Trata-se, agora, de obter uma formulação adequada para a força 
d F
 , e para as suas componentes 
xd F
 , 
yd F
 e 
zd F
 , que atuam sobre um elemento. 
 
3.1) Forças Atuando sobre uma Partícula de Fluido: 
 
As forças que atuam sobre um elemento podem ser classificadas como de campo ou de superfície; as de 
superfície incluem tanto as normais quanto as tangenciais. Vejamos como são estabelecidas as suas 
correspondentes 
xd F
 , 
yd F
 e 
zd F
 . 
 
a) Componente x: consideremos a componente x da força agindo sobre um elemento 
diferencial de massa dm e volume 
dV dx dy dz
. 
 
Apenas as tensões que atuam na direção x darão origem a forças superficiais na direção x. Se as tensões no 
centro do elemento diferencial forem tomadas como 
x
, 
yx
 e 
zx
, as tensões em cada face do elemento 
diferencial, na direção x, poderão ser obtidas através da expansão em série de Taylor, como mostrado no 
croqui abaixo: 
 
2
*
dy
y
yx
yx
2
*
dz
z
zx
zx
2
*
dx
x
x
x
2
*
dx
x
x
x
2
*
dy
y
yx
yx
2
*
dz
z
zx
zx
 
 
 
[40] 
 
A força total de superfície na direção x, 
xS
dF
, é a resultante da combinação destas tensões, multiplicadas 
por suas respectivas áreas, a saber: 
 
2 2
2 2
2 2
x
x x
S x x
yx yx
yx yx
zx zx
zx zx
dx dx
dF dydz
x x
dy dy
dxdz
y y
dz dz
dxdy
z z
 
 
x
yxx zx
SdF dxdydz
x y z
 
 
Considerando a força de gravidade como a única força de campo atuante, a força de campo por unidade de 
massa é igual a 
g
 . 
 
Portanto, a força total na direção x será: 
 
x x xx B S x S
dF dF dF g dxdydz dF
 
 
 yxx zx
x xdF g dxdydz
x y z
 
 
a) Componentes y e z: analogamente,pode-se deduzir as expressões para dFy e dFz. 
 
y y
xy y zy
y B S ydF dF dF g dxdydz
x y z
 
 
z z
yzxz z
z B S zdF dF dF g dxdydz
x y z
 
 
3.2) Equação Diferencial da Quantidade de Movimento: 
 
A 2
a
 Lei de Newton já foi escrita como: 
V V V V
d F dm u v w
x y z t
   
 . 
Como Já formulamos as expressões para as componentes dFx, dFy, dFz, podemos, então, escrever também as 
componentes x, y, z da equação da 2
a
 Lei de Newton, da forma: 
 
 componente x: 
 
yxx zx
x
u u u u
g dxdydz dxdydz u v w
x y z x y z t
 
[41] 
 
 
 componente y: 
 
xy y zy
y
v v v v
g dxdydz dxdydz u v w
x y z x y z t
 
 
 componente z: 
 
yzxz z
z
w w w w
g dxdydz dxdydz u v w
x y z x y z t
 
 
Estas são, então, as componentes x, y, z da equação diferencial de movimento de qualquer partícula fluida 
que satisfaça a hipótese do contínuo (Fox, p. 142 – adaptado). Esta equação relaciona a aceleração à força 
atuando sobre o elemento fluido (forças de campo e de contato), e sua forma geral é: 
 
iji
i
j
D vel
g
Dt x
. 
 
É também conhecida como EQUAÇÃO DE MOVIMENTO DE GAUCHY. 
Na forma vetorial, se tem: 
0
Dv
g div
Dt

  
 
Para se calcular o valor de 
v
 (ou de suas componentes u, v, w), é necessário conhecer o tensor . 
 
NOTA: O teorema da divergência da análise vetorial é também válido no calculo tensorial. 
 
3.3) Caso de Fluidos Newtonianos – Equação de Navier-Stokes 
 
Já foi visto que, para um fluido Newtoniano, a tensão tangencial é proporcional à taxa de deformação angular 
(no caso bi-dimensional, 
yx
du
dy
, onde a constante de proporcionalidade é a viscosidade absoluta – ou 
viscosidade dinâmica. Assim, 
yx
du
dy
). Stokes e Newton formularam as seguintes hipóteses, que são 
análogas as hipóteses de Hooke, na teoria da elasticidade: 
 
 As tensões tangenciais 
( )ij i j
, são proporcionais as velocidades de deformação angular, isto é: 
ji
ij
j i
uu
x x
 
 
 As componentes normais (
i
 ou 
ij
) são funções lineares das velocidades de deformação linear: 
2i ii
u v w
x y z
 
Onde e são características do fluido, sendo o coeficiente de viscosidade dinâmica e 
3 2 0
 (“Stokes assumption” – KUADW, eq. 37, p. 92). 
[42] 
 
 
A partir destas equações para 
ij
 pode-se calcular os componentes do tensor , tendo atenção para o fato 
de que, quando 
i j
, o valor de 
ij
 (ou 
i
) é acrescido de (-p). 
 
Voltando à equação de Cauchy com estas considerações, se tem para a componente x: 
 
 
0
xyx xz
x
Du
g
Dt x y z
; os termos de tensão são, respectivamente: 
 
2
2
3
x x
u u v w
x x x x x x y z
 
 
xy
u v
y y y x
; 
xy
u w
z z z x
 
 
 
 
 
ENTÃO: 
 
xyx xz
x
Du
g
Dt x y z
 
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2
2
3
u u v w u v u w
x x x x y x z x y x z x z
 
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
3 3 3
u u u u u v v w w
x x y z x x x y x y x z x z
 
2 2 2
2 2 2
1
3
u u u u v w
x x y z x x y z
 
2 1
3
u v
x x
 
 
O mesmo procedimento pode ser repetido para a obtenção das equações para as componentes y e z. 
Em notação vetorial, a equação fica: 
 
2 1 .
3
Dv
g grad v grad div v
Dt

   
 
Esta é a equação geral do movimento dos fluidos designada por Equação de Navier-Stokes. 
 
O entendimento do significado de cada um de seus termos auxilia na compreensão dos fenômenos 
hidráulicos. Assim: 
 
g
 - termo que representa as forças de campo (ou de massa); no caso de escoamento sob o 
campo da gravidade, 
g
 é o peso, e o 
0x yg g
; 
zg g
 (aceleração da gravidade); 
[43] 
 
 Dv
Dt
 - termo que representa as forças de inércia; 
 
( )grad
 - é o vetor de componentes 
ix
; sabe-se do cálculo que o gradiente corresponde 
ao valor máximo da variação da função; pode-se dizer que corresponde a uma linha de maior 
declive em relação a uma superfície; 
 
2 v

 - termo que traduz a ação de uma partícula sobre as outras, que só pode ser dar por 
efeito da viscosidade: 
2 .v div grad v
 ; 
 
1
.
3
grad div v
 - termo que traduz a influência da compressibilidade, e que se anula no caso 
de líquidos incompressíveis – (
. 0div v
 ). 
 
3.3.1) Caso de Escoamento Incompressível e Viscosidade Constante: 
 
Neste caso a Equação de Navier-Stokes é simplificada, uma vez que 
. 0div v
 ; daí, se tem: 
 
 2Dvg grad v
Dt

  
 
 
 
3.4) Escoamento Incompressível de Fluidos Não-Viscosos – Equação de Euler 
 
Todos os fluidos reais possuem viscosidade. Entretanto, como será visto mais adiante, em muitos 
casos de escoamento será possível tratar o fluido como um fluido ideal – sem viscosidade. 
Neste caso, a análise do movimento é mais simples, já que em fluidos ideais (sem viscosidade) as 
tensões normais são as únicas presentes, já que neste caso não existe a presença de tensões tangenciais. 
Para um fluido não-viscoso em movimento, a tensão normal num ponto é a mesma em todas as 
direções (é uma grandeza escalar). 
Sendo o escoamento incompressível e não-viscoso, a equação de Navier-Stokes (a equação do 
movimento) pode ser bem simplificada, uma vez que: 
 
. 0div v
 
 
0
 
 
Obtém-se então a equação a seguir, denominada Equação de Euler. Em sua forma vetorial pode ser escrita 
como: 
Dv
g grad
Dt

 ou Dv
g
Dt

 
 
v v v v
g u v w
t x y z
   
 
 
 
3.4.1) Equação de Euler ao longo de uma Linha de Corrente – Na direção da linha de corrente 
 
[44] 
 
No escoamento em regime permanente, as partículas movem-se ao longo de linhas de corrente, já 
que neste caso, as linhas de corrente coincidem com a trajetória. 
Num escoamento não-permanente (escoamento transiente) as linhas de corrente dão uma 
representação gráfica de campo de velocidade instantâneo. 
Para a representação da figura a seguir, a Equação de Euler fica: 
 1
s
z Dv v v
g a v
s s Dt t s

 
 
NOTA: 
,v v s t
; ao longo de qualquer linha de corrente 
 
Se o regime de escoamento for permanente (
0
dt
), e desprezando-se as forças de massa 
(
zg g sen
s
 ângulo entre a tangente à linha de corrente e à horizontal) se tem: 
1 v
v
s s
, que indica que uma diminuição na velocidade é acompanhada por um aumento na pressão. 
 
 
3.4.2) Equação de Euler ao longo de uma Linha de Corrente – Na direção normal à Linha de Corrente 
 
Na direção normal, a Equação de Euler fica: 1
n
z
g a
u u
; como a aceleração normal é dirigida 
para o centro da curva – sentido N negativo, 2
n
V
a
R
. Daí, se tem: 
 
21 z V
g
u u R
. Considerando, ainda, num plano horizontal (isto é, 
0z
u
) se tem: 
 
21 V
u R
, que indica que a pressão aumenta no sentido para fora, partindo do centro de curvatura 
das linhas de corrente. Em regiões onde as linhas de corrente são retas, 
R
, e não há variação de 
pressão na direção normal às mesmas. 
 
3.5) Escoamento no Campo da Gravidade 
 
Já foi visto que o primeiro termo da 
Equação de Navier-Stokes - 
g
 - representa as 
forças de campo (forças de massa); 
g
 , portanto, 
é o peso. 
 
Admitindo, por hipótese, que as forças de 
campo sejam oriundas de um potencial , tal que 
g grad

, a equação de Navier-Stokes passa a 
ser escrita como: 
 
z
y
g
N
S
R
[45] 
 
2Dvgrad grad p v
Dt

 
Se este potencial for o da gravidade: 
gz
; re-arrumando