Exercícios de Cálculo Diferencial e Integral I

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIC¸OSA
CENTRO DE CIEˆNCIAS EXATAS E TECNOLO´GICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
MAT 141 - Ca´lculo Diferencial e Integral I 2013 II
2a Lista de Exerc´ıcios: Regras de Derivac¸a˜o.12
Professoras: Ariane (coordenadora), Dylene e L´ılian.
1) Determine a derivada de cada func¸a˜o a seguir, utilizando a definic¸a˜o de derivada.
a) f(x) = x2 − 3x,
b) f(x) = x3 − 5x2 + x− 7,
c) f(x) =
2x
x+ 5
,
d) f(x) = e2x,
e) f(x) =
x2
x+ 1
.
2) Derive as func¸o˜es abaixo, simplificando sempre que poss´ıvel.
a) f(x) = (
3
√
x2 + x)2 l) f(x) = ex
2
+ cossec(3−x)
b) f(x) =
(
3x+
5
x
)
(x
√
x+ 1) m) f(x) = esec
2(
√
x)
c) f(x) =
x
x2 − 4 n) f(x) = ln
(
x+ 1
x− 1
)
d) f(x) = 3
√
1− x2 o) f(x) = ln(cos(x3))
e) f(x) = (2x+ 1)3(x2 + 5)4 p) f(x) = cos(4xlnx)
f) f(x) =
(x5 + 1)3
(1− x3)4 q) f(x) = ln(x+
√
x2 + 1)
g) f(x) = −
√
a2 − x2
a2x
, com a ∈ R r) f(x) = tgh
(
5x +
pi
2
)
senh
(
5x +
pi
2
)
h) f(x) = sen(
√
x) s) f(x) = ebxcosh(ax), com a e b ∈ R
i) f(x) = cos3(3x2) t) f(x) = arccos(
√
1− x2)
j) f(x) = tg
(
x√
x− 1
)
u) f(x) = arctg(ex)arcsen(e−x)
k) f(x) =
√
cotg
(
1
3
√
x2
)
v) f(x) = cos(arctg2(3x))
1Lista elaborada por: Aline Vilela Andrade, Ariane P. Entringer e Thiago Neves Mendonc¸a. DMA - UFV
2Esta lista e´ um complemento dos exerc´ıcios do livro texto e na˜o engloba todo o conteu´do da segunda prova.
1
MAT 141 - Ca´lculo Diferencial e Integral I 2
3) Seja f(x) =
1
ex2
uma curva. Determine, se existirem, as equac¸o˜es da reta tangente e normal a
esta curva no ponto cuja abcissa e´ 1.
4) Dada a curva f(x) = 3
√
3x+ 2, determine, se poss´ıvel:
(a) os pontos da curva onde a reta tangente e´ paralela a reta y = 2.
(b) a equac¸a˜o da reta tangente a curva nos pontos onde a inclinac¸a˜o e´ 45◦.
5) A reta x = a intercepta a curva y =
x3
3
+ 4x + 3 num ponto P e a curva y = 2x2 + x num
ponto Q. Para quais valores de a, as retas tangentes a essas curvas sa˜o paralelas? Encontre as
equac¸o˜es das referidas retas.
6) Encontre a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o f definida por f(x) =
1
x
que passa
pelo ponto (0, 4).
7) As curvas y1 = 2
[
sen2
(
x3 + pi
2
x2 + 1
)]
+ ax e y2 =
√
ax2 + 6x+ b se interceptam no ponto (0, 2)
e tem a mesma reta tangente neste ponto. Com base nesses dados, determine os valores de a
e b e a equac¸a˜o da reta tangente comum as duas func¸o˜es dadas.
8) Verifique se as equac¸o˜es das retas tangentes as curvas abaixo sa˜o perpendiculares no ponto
dado:
(a) x2 + 2xy + y3 = 1 e y2 + 9x− (x− 2)3 + 7 = 0 no ponto (0, 1).
(b) 4y3 − x2y − x+ 5y = 0 e x4 − 4y3 + 5x+ y = 0 na origem.
9) Encontre a equac¸a˜o da reta tangente a curva e2y + xy + x = 3 que passa num ponto cuja
ordenada e´ nula.
10) Seja C uma circunfereˆncia com centro na origem e raio igual a 2. Mostre que a tangente a C
no ponto P = (1,
√
3) e´ ortogonal a reta que passa pela origem do sistema de coordenadas e
pelo ponto P .
11) Determine y′ = dy
dx
em cada func¸a˜o abaixo:
a) y =
√
3x+ 1(x3 + 4)5
x2cos(2x)
f) y =
√
xsen(
√
x)
2x+1
b) y = 5
√
sen(2x2+3x) g) tg(y) = xy − 1
c) y = ln(sen(e−2x)) h) y3 − x−y
x+y
= 0
d) y7 + ln(sen(xy2)) = e2x
3+x i) x3y − ysec(x) = 1
x
+ x− y
e) y = 1
3
√√
2−tg4(3x)
j) exy = x+ y − 3
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MAT 141 - Ca´lculo Diferencial e Integral I 3
12) Em cada caso, verifique se a func¸a˜o dada e´ deriva´vel nos pontos referidos:
(a) f(x) =
{
3− 2x se x < 2
3x− 7 se x ≥ 2 , em x = 2.
(b) f(x) = |x− 3|, em x = 3.
(c) f(x) = 1−
∣∣∣∣3x2 − 13
∣∣∣∣, em x = 29.
13) Seja a func¸a˜o f definida por f(x) =
{
3x2 se x ≤ 2
ax+ b se x > 2
. Determine, se poss´ıvel, os valores
das constantes a e b para que f seja uma func¸a˜o diferencia´vel em x = 2.
14) Determine os valores onde a func¸a˜o f(x) = |x|+ |x+ 1| na˜o e´ diferencia´vel.
15) Determine y′ em cada func¸a˜o abaixo:
a) y2 + 4xy + x3 = 0 d) y = ex
2
b) cos(x+ 2y) = y2e4x e) y =
7
√
(2x− 3)3
(x2 + 4)5
c)
x
y
+ ln(xy) = 5x f) 7−2yy2 = sen(x2y3)
16) Determine:
(a) f ′(0), sabendo que f
(
sen(x)−
√
3
2
)
= f(3x− pi) + 3x− pi;
(b) a func¸a˜o g sabendo que (fog)′(x) = 24x+ 34, f(x) = 3x2 − x− 1 e g′(x) = 2;
(c) (gofoh)′(2), sabendo que f(0) = 1, h(2) = 0, g′(1) = 5 e f ′(0) = h′(2) = 2.
17) Seja f : R→ (−pi
2
, pi
2
)
definida por f(x) = arctg(x). Sabendo que y = f(x) e´ deriva´vel, mostre
que y′ =
1
1 + x2
.
18) Seja f : R→ (0, pi) definida por f(x) = arccotg(x). Sabendo que y = f(x) e´ deriva´vel, mostre
que y′ = − 1
1 + x2
.
19) Seja f(x) = arcsec(x), definida para |x| ≥ 1. Sabendo que y = f(x) e´ deriva´vel para |x| > 1,
mostre que y′ =
1
|x|√x2 − 1.
20) Seja f(x) = arccossec(x), definida para |x| ≥ 1. Sabendo que y = f(x) e´ deriva´vel para
|x| > 1, mostre que y′ = − 1|x|√x2 − 1.
21) Determine a expressa˜o para a derivada n - e´sima de cada func¸a˜o a seguir:
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(a) f(x) = eax.
(b) f(x) = sen(x).
(c) f(x) = cos(x).
22) Sejam f : R→ R uma func¸a˜o duas vezes diferencia´vel e g : R→ R dada por
g(x) = f(x+ 2cos(3x)).
(a) Calcule g′′(x).
(b) Supondo f ′(2) = 1 e f ′′(2) = 8, calcule g′′(0).
23) Considere a func¸a˜o g(x) = [f(x)]2cos(x), onde f : R → R e´ duas vezes diferencia´vel, f(0) = 3
e f ′(0) = f ′′(0) = 2. Calcule g′′(0).
24) Encontre uma expressa˜o para a derivada n-e´sima das func¸o˜es abaixo:
(a) y = ln(3x+ 1).
(b) y =
1
x+ a
.
25) Encontre uma func¸a˜o f na˜o nula tal que f , f ′ e f ′′ formem uma PA. Encontre uma func¸a˜o g
na˜o nula tal que g, g′ e g′′ formem uma PG.
26) Determine o valor das constantes a e b para que a func¸a˜o y = asen(2x) + bcos(2x) satisfac¸a a
equac¸a˜o y′′ + y′ − 2y = sen(2x).
27) Determine a equac¸a˜o da reta tangente e da reta normal ao gra´fico de cada func¸a˜o abaixo, nos
pontos indicados.
(a) ln(y) = x+ y2 no ponto P = (−1, 1).
(b) x3 = y2y no ponto em que a normal e´ vertical.
28) Obtenha o polinoˆmio p(x) de grau 2 tal que p(1) = 5, p′(1) = 3 e p′′(1) = −4.
29) Obtenha o polinoˆmio q(x) de grau 3 tal que q(0) = 1, q′(0) = 0 e q′(1) = 0, q′′(0) = −8.
30) Sabendo-se que H(x) = f(g(x)), g(0) = 0, f ′(0) = −3 e H ′(0) = 2, calcule g′(0).
Respostas
1)
2) a) f ′(x) = 2( 3
√
x2 + x)
(
2
3 3
√
x
+ 1
)
, b) f ′(x) =
15x3
√
x+ 5x
√
x+ 6x2 − 10
2x2
,
c) f ′(x) =
−x2 − 4
(x2 − 4)2 , d) f
′(x) =
−2x
3 3
√
(1− x2)2 , e) f
′(x) = (22x2 + 8x + 30)(2x + 1)2(x2 + 5)3,
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f) f ′(x) =
x2(x5 + 1)2(15x2 − 12x5 + 3)
(1− x3)5 , g) f
′(x) =
1
x2
√
a2 − x2 , h) f
′(x) =
cos(
√
x)
2
√
x
,
i) f ′(x) = −6xcos2(3x2) sen(3x2), j) f ′(x) =
(
x− 2
2
√
x− 1(x− 1)
)
sec2
(
x√
x− 1
)
,
k) f ′(x) =
1
3
3
√
x5
cossec2(1/
3
√
x2)√
cotg(1/
3
√
x2)
, l) f ′(x) = 2xex
2
+ cossec(3−x) cotg(3−x) 3−x ln 3,
m) f ′(x) =
esec
2(
√
x)
√
x
sec2(
√
x) tg(
√
x), n) f ′(x) =
−2
x2 − 1, o) f
′(x) = −3x2tg(x3),
p) f ′(x) = −sen(4x lnx) (4 lnx+ 4), q) f ′(x) = 1√
x2 + 1
,
r) f ′(x) = 5x ln 5 senh(5x + pi/2)(sech2(5x + pi/2) + 1), s) f ′(x) = ebx(b cosh(ax) + a senh(bx)),
t) f ′(x) =
−x
|x|√1− x2 , u) f
′(x) =
arcsen(e−x)
1 + e2x
− arctg(e
x)√
1− e−2x ,
v) f ′(x) =
−6
1 + 9x2
sen(arctg2(3x)) arctg(3x).
3) Equac¸a˜o da reta tangente:y =
3
e
− 2x
e
. Equac¸a˜o da reta normal: y =
1
e
+
e
2
(x− 1).
4) a)Na˜o ha´. b) Para x = −1/3, a equac¸a˜o da reta tangente e´ y = x+ 4
3
. Para x = −1 a equac¸a˜o
da reta tangente e´ y = x.
5) Para a = 1, P = (1, 22/3), Q = (1, 3) e as equac¸o˜es das retas tangentes sa˜o, respectivamente,
y = 5x+ 7
3
e y = 5x− 2. Para a = 3, P = (3, 24), Q = (3, 21) e as equac¸o˜es das retas tangentes
sa˜o, respectivamente, y = 13x− 15 e y = 13x− 18.
6) y = −4x+ 4.
7) a = 3/2, b = 4 e y = 3x
2
+ 2.
8) a) Sim. b) Sim.
9) y = −3x
2
+ 3.
11) a) y′ =
√
3x+ 1(x3 + 4)5
x2cos(2x)
(
3
2(3x+ 1)
+
15x2
x3 + 4
− 4
x
tg(2x)
)
,
b) y′ =
(4x+ 5) ln 5 5
√
sen(2x2+3x)
2
cos(2x2 + 3x)√
sen(2x2 + 3x)
, c) y′ = −2e−2xcotg(e−2x),
d) y′ =
(6x2 + 1)e2x
3+x − y2cotg(xy2)
7y6 + 2xycotg(xy2)
, e) y′ =
−4tg3(3x)sec2(3x)
3
√
(
√
2− tg4(3x))2
,
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f) y′ =
(sen(
√
x) +
√
xcos(
√
x))(2x+ 2)− 4xsen(√x)
2
√
x(2x+ 1)2
, g) y′ =
y
tg2(y)
, h) y′ =
2y
3y2(x+ y)2 + 2x
, i) y′ =
1
x3 + 1− sec(x)(1− 1/x
2 + y sec(x)tg(x)− 3x2y), j) y′ = ye
xy − 1
1− xexy .
12) a) Na˜o. b) Na˜o. c) Na˜o.
13) a = 12 e b = −12.
14) x = −1 e x = 0.
15) a) y′ =
−3x2 − 4y
2y + 4x
, b) y′ =
sen(x+ 2y) + 4y2e4x
−2sen(x+ 2y)− 2ye4x , c) y
′ =
5xy2 − xy − y2
xy − x2 , d) y
′ = 2xex
2
,
e) y′ =
−14x2 + 30x+ 24
(x2 + 4)6 7
√
(2x− 3)4 , f) y
′ =
2x y3 cos(x2y3)
−2y2 7−2y ln 7 + 2 y 7−2y − 3x2 y2 cos(x2y3) .
16) a) f ′(0) = 0, b) g(x) = 2x+ 3, c) (g ◦ f ◦ h)′(2) = 20.
21) a) f (n)(x) = aneax,
b) f (4k)(x) = sen x, f (4k+1)(x) = cosx, f (4k+2)(x) = −senx e f (4k+3)(x) = −cosx, onde
k = 1, 2, 3, 4, · · ·.
c) f (4k)(x) = cos x, f (4k+1)(x) = −senx, f (4k+2)(x) = −cosx e f (4k+3)(x) = sen x, onde
k = 1, 2, 3, 4, · · ·.
22) a) g′′(x) = (1− 6 sen 3x)2f ′′(x+ 2cos 3x)− 18 cos 3x f ′(x+ 2cos 3x),
b) g′′(0) = −10.
23) g′′(0) = 11.
24) a) y′ =
3
3x+ 1
, y(n) = (−1)n−1 · 3n · [1 · 2 · 3 · · · (n− 1)] · (3x+ 1)−n, n ≥ 2,
b) y(n) = (−1)n[1 · 2 · 3 · · ·n](x+ a)−(n+1), ∀n ≥ 1.
25) PA.: f(x) = ex ; PG.: g(x) = eax, onde a ∈ R− {0}.
26) a= -3/20, b= -1/20.
27) a) Equac¸a˜o da reta tangente: y + x = 0, equac¸a˜o da reta normal: y − x− 2 = 0.
b) Equac¸a˜o da reta tangente: y=0, equac¸a˜o da reta normal: x=0.
28) p(x) = −2x2 + 7x.
29) q(x) =
8
3
x3 − 4x2 + 1.
30) g′(0) = −2/3.
Lista elaborada por: Aline Vilela Andrade, Ariane P. Entringer e Thiago Neves Mendonc¸a. DMA -
UFV.