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Universidade Federal de Vic¸osa - UFV Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnolo´gicas - CCE Departamento de Matema´tica - DMA MAT 141 - CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 2013/II Professoras Ariane (coordenadora), Dylene e L´ılian. Notas de Aula: Otimizac¸a˜o Otimizac¸a˜o Otimizar alguma coisa significa maximizar ou minimizar alguns de seus aspectos. Uma pessoa de nego´cios quer minimizar os custos e maximizar os lucros. Um viajante quer minimizar o tempo de transporte. O Ca´lculo Diferencial e´ uma poderosa ferramenta para resolver problemas que exigem a maximizac¸a˜o e minimizac¸a˜o de uma func¸a˜o. Ele nos permitira´ resolver problemas tais como maximizar a´reas, volumes e lucros e minimizar distaˆncias, tempo e custos. Resolvendo problemas de otimizac¸a˜o X Leia o problema. Leia o problema ate´ compreendeˆ-lo. Quais informac¸o˜es sa˜o fornecidas? Qual e´ a quantidade desconhecida a ser otimizada? X Fac¸a um desenho. Indique todas as partes que possam ser importantes para o problema. X Introduza varia´veis. Represente todas as relac¸o˜es no desenho e no problema como uma equac¸a˜o ou expressa˜o alge´brica; identifique a varia´vel desconhecida. X Escreva uma equac¸a˜o para a varia´vel desconhecida. Expresse a quantidade desconhecida em func¸a˜o de uma u´nica varia´vel. Isso pode exigir certa manipulac¸a˜o. X Teste os pontos cr´ıticos e as extremidades no domı´nio da quantidade desconhecida. Use a primeira e a segunda derivadas para identificar e classificar pontos cr´ıticos da func¸a˜o. Procedimento para determinar extremos relativos de uma func¸a˜o cont´ınua f : 1. Ache f ′(x). 2. Determine os nu´meros cr´ıticos de f . 3. Aplique o teste da derivada primeira. Procedimento para determinar extremos absolutos de uma func¸a˜o cont´ınua f num intervalo fechado [a, b]: 1. Determine os nu´meros cr´ıticos de f em (a, b). Calcule os valores da func¸a˜o nos nu´meros cr´ıticos. 2. Calcule os valores de f(a) e f(b). 3. O maior entre os valores das etapas anteriores sera´ o valor ma´ximo absoluto e o menor sera´ o valor mı´nimo absoluto. 1 MAT 141 - 2013 II 2 Exemplos: 1) Determine as dimenso˜es de um retaˆngulo com per´ımetro de 100 m, cuja a´rea seja a maior poss´ıvel. R: os dois lados medem 25 m. 2) Pediram para voceˆ projetar uma lata de o´leo de 1 l com a forma de um cilindro reto. Que dimenso˜es do cilindro exigira˜o menos material? R: r = 3 √ 500 pi e h = 2 3 √ 500 pi . 3) Encontre dois nu´meros positivos cujo produto seja 100 e cuja soma seja mı´nima. R: 10 e 10. 4) Um fazendeiro tem 1.200 m de cerca e quer cercar um campo retangular que esta´ na margem de um rio reto. Ele na˜o precisa cercar ao longo do rio. Quais sa˜o as dimenso˜es do campo que tem maior a´rea? R: Lado paralelo ao rio mede 600 m e o outro lado mede 300 m. 5) Um poˆster deve ter a´rea de 900 cm2 com uma margem de 3 cm na base e nos lados, e uma margem de 5 cm em cima. Que dimenso˜es dara˜o a maior a´rea impressa. R: altura de 20 √ 3 cm e largura de 15 √ 3 cm. 6) A taxa (em mg de carbono/m3/h) na qual a fotoss´ıntese ocorre para uma espe´cie de fitoplaˆncton e´ modelada pela func¸a˜o P = 100I I2 + I + 4 em que I e´ a intensidade da luz (medida em milhares de velas). Para qual intensidade de luz P e´ ma´ximo? R: I = 2 milhares de velas. 7) Numa pequena comunidade, uma certa epidemia alastra-se de tal forma que x meses apo´s o seu in´ıcio, P% da populac¸a˜o estara´ infectada, onde P = 30x2 (1 + x2)2 . Em quantos meses o nu´mero de pessoas infectadas atingira´ o ma´ximo e que porcentagem da populac¸a˜o esse nu´mero representa? R:1 meˆs, 7,5%. 8) Um fabricante de caixas deve produzir uma caixa fechada com um volume de 288 cm3, onde a base e´ um retaˆngulo cujo comprimento e´ treˆs vezes sua altura. Ache as dimenso˜es da caixa fabricada com o mı´nimo de material. R: 12 cm× 4 cm× 6 cm.
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