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AulaOtimizacao

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Universidade Federal de Vic¸osa - UFV
Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnolo´gicas - CCE
Departamento de Matema´tica - DMA
MAT 141 - CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 2013/II
Professoras Ariane (coordenadora), Dylene e L´ılian.
Notas de Aula: Otimizac¸a˜o
Otimizac¸a˜o
Otimizar alguma coisa significa maximizar ou minimizar alguns de seus aspectos. Uma pessoa de nego´cios
quer minimizar os custos e maximizar os lucros. Um viajante quer minimizar o tempo de transporte.
O Ca´lculo Diferencial e´ uma poderosa ferramenta para resolver problemas que exigem a maximizac¸a˜o e
minimizac¸a˜o de uma func¸a˜o. Ele nos permitira´ resolver problemas tais como maximizar a´reas, volumes e
lucros e minimizar distaˆncias, tempo e custos.
Resolvendo problemas de otimizac¸a˜o
X Leia o problema. Leia o problema ate´ compreendeˆ-lo. Quais informac¸o˜es sa˜o
fornecidas? Qual e´ a quantidade desconhecida a ser otimizada?
X Fac¸a um desenho. Indique todas as partes que possam ser importantes para o
problema.
X Introduza varia´veis. Represente todas as relac¸o˜es no desenho e no problema como
uma equac¸a˜o ou expressa˜o alge´brica; identifique a varia´vel desconhecida.
X Escreva uma equac¸a˜o para a varia´vel desconhecida. Expresse a quantidade
desconhecida em func¸a˜o de uma u´nica varia´vel. Isso pode exigir certa manipulac¸a˜o.
X Teste os pontos cr´ıticos e as extremidades no domı´nio da quantidade desconhecida.
Use a primeira e a segunda derivadas para identificar e classificar pontos cr´ıticos da
func¸a˜o.
Procedimento para determinar extremos relativos de uma func¸a˜o cont´ınua f :
1. Ache f ′(x).
2. Determine os nu´meros cr´ıticos de f .
3. Aplique o teste da derivada primeira.
Procedimento para determinar extremos absolutos de uma func¸a˜o cont´ınua f num intervalo
fechado [a, b]:
1. Determine os nu´meros cr´ıticos de f em (a, b). Calcule os valores da func¸a˜o nos nu´meros
cr´ıticos.
2. Calcule os valores de f(a) e f(b).
3. O maior entre os valores das etapas anteriores sera´ o valor ma´ximo absoluto e o menor
sera´ o valor mı´nimo absoluto.
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MAT 141 - 2013 II 2
Exemplos:
1) Determine as dimenso˜es de um retaˆngulo com per´ımetro de 100 m, cuja a´rea seja a maior poss´ıvel. R:
os dois lados medem 25 m.
2) Pediram para voceˆ projetar uma lata de o´leo de 1 l com a forma de um cilindro reto. Que dimenso˜es
do cilindro exigira˜o menos material? R: r = 3
√
500
pi
e h = 2 3
√
500
pi
.
3) Encontre dois nu´meros positivos cujo produto seja 100 e cuja soma seja mı´nima. R: 10 e 10.
4) Um fazendeiro tem 1.200 m de cerca e quer cercar um campo retangular que esta´ na margem de um
rio reto. Ele na˜o precisa cercar ao longo do rio. Quais sa˜o as dimenso˜es do campo que tem maior
a´rea? R: Lado paralelo ao rio mede 600 m e o outro lado mede 300 m.
5) Um poˆster deve ter a´rea de 900 cm2 com uma margem de 3 cm na base e nos lados, e uma margem
de 5 cm em cima. Que dimenso˜es dara˜o a maior a´rea impressa. R: altura de 20
√
3 cm e largura de
15
√
3 cm.
6) A taxa (em mg de carbono/m3/h) na qual a fotoss´ıntese ocorre para uma espe´cie de fitoplaˆncton e´
modelada pela func¸a˜o
P =
100I
I2 + I + 4
em que I e´ a intensidade da luz (medida em milhares de velas). Para qual intensidade de luz P e´
ma´ximo? R: I = 2 milhares de velas.
7) Numa pequena comunidade, uma certa epidemia alastra-se de tal forma que x meses apo´s o seu in´ıcio,
P% da populac¸a˜o estara´ infectada, onde
P =
30x2
(1 + x2)2
.
Em quantos meses o nu´mero de pessoas infectadas atingira´ o ma´ximo e que porcentagem da populac¸a˜o
esse nu´mero representa? R:1 meˆs, 7,5%.
8) Um fabricante de caixas deve produzir uma caixa fechada com um volume de 288 cm3, onde a base e´
um retaˆngulo cujo comprimento e´ treˆs vezes sua altura. Ache as dimenso˜es da caixa fabricada com o
mı´nimo de material. R: 12 cm× 4 cm× 6 cm.