Exercícios resolvidos CAP.10 - Dinâmica da Rotação

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1. Na figura abaixo vê-se um cilindro de massa 2M e raio R rolando sem deslizar sobre um 
plano inclinado de 30º puxado por um fio preso a um eixo que passa pelo centro do 
mesmo. O fio passa por uma polia cujo momento de inércia é desprezível e em sua 
extremidade tem-se um bloco de massa 2M. Determine: (a) a aceleração do bloco; (b) a 
tensão no fio e (c) a força de atrito estático sobre o cilindro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA – CCE 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – FIS 205 
CAPÍTULO 10 – DINÂMICA DO MOVIMENTO ROTAÇÃO 
30º 
Momento de inércia de um 
cilindro sólido em torno do eixo 
central: 2
2
1 mr . 
 
2
3
2
1 º30cosº30sen == e 
Considerando desprezível o 
momento de inércia da polia 
temos que TA = TB = T. 
 
A aceleração do centro de massa 
do cilindro é igual à aceleração 
do bloco. 
 
Uma vez que o peso do bloco é 
maior que a componente do peso 
do cilindro paralela ao plano 
inclinado, o cilindro tende a 
deslizar para cima. 
 
30º 
2M 
BT
r
 
AT
r
 
P
r
 
P
r
 
N
r
 
ef
r
 
a
r
 
yP
r
 
xP
r
 
a
r
 
Aplicando a 2ª Lei de Newton aos movimentos de 
translação do bloco e do cilindro e ao movimentos de 
rotação do cilindro têm-se: 
Bloco 
)1(22
22
MaMgT
MaTMg
amF
−=
=−
=∑
rr
 
Cilindro 
)2(2
2º30sen2
MafMgT
MafMgT
amF
e
e
++=
=−−
=∑
rr
 
Cilindro 
)3(
2
2
1 2
Maf
R
a
MRf
MRRf
I
e
e
e
O
=
=
α=
α=τ∑
rr
 
a) Substituindo as equações (1) e (3) em (2): 
gaMaMg
MaMaMgMaMg
5
1
5
222
=⇒=
++=−
 
b) Em (1): 
 
MgT
gMMgT
5
8
5
1
22
=
−=
 
c) Em (3): 
Mgf
gMf
e
e
5
1
5
1
=
=
 
2. A figura abaixo mostra dois blocos (A e B) ligados por uma corda, passando por uma polia 
de massa M e raio R. O atrito no eixo da polia é desprezível e o módulo da aceleração da 
gravidade local é g. Sabendo que a massa do bloco A é M e a do bloco B é 2M determine 
(a) a aceleração dos blocos e (b) a tensão na parte da corda que suporta o bloco A (TA) e 
na parte da corda que suporta o bloco B (TB). O momento de inércia da polia em relação 
ao eixo de rotação é: 2
2
1
MRI = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) Aplicando a 2ª Lei de Newton aos 
movimentos dos blocos e da polia temos: 
 
Bloco A: 
MgMaT
MaMgT
MaF
A
A
+=
=−
=∑
 
 
Bloco B: 
MaMgT
MaTMg
MaF
B
B
22
22
2
−=
=−
=∑
 
 
Polia: 
MaTT
R
a
MRTT
MRRTRT
I
AB
AB
AB
2
1
2
1
2
1 2
=−
=−
α=−
α=τ∑
 
ga
MaMg
MaMaMg
MaMgMaMaMg
MaTT AB
7
2
2
7
2
1
3
2
1
)(22
2
1
=
=
=−
=+−−
=−
 
 
(b) Cálculo das tensões TA e TB 
 
MgT
MggMT
A
A
7
9
7
2
=
+




=
 
 
A 
TB 
TA 
B 
A 
B 
BT ′
r
 
AT
r
 
BT
r
 
AT ′
r
 
T
r
 
BP
r
 
AP
r
 
BB
AA
TT
eTT
rr
rr
=′
=′
 
Ba
r
 
Aa
r
 
)(+α 
Raa
poliadabordanaponto
eaaa
BeAblo
T
BA
α==
==
:
:cos
 
(+) 
(+) 
MgT
gMMgT
A
B
7
10
7
2
22
=





−=
 
3. Um cilindro de massa M e raio R desce sem deslizar, um plano inclinado que forma um 
ângulo θ com a horizontal. O coeficiente de atrito estático entre as superfícies da esfera e 
do plano vale µ e a aceleração da gravidade vale g. Em termos dos parâmetros que se 
fizerem necessários, determine: 
a) A expressão da força de atrito. 
b) O ângulo de inclinação máximo que permite ao cilindro rolar sem deslizar. 
O momento de inércia de um cilindro, em relação ao eixo paralelo ao comprimento e que 
passa pelo seu centro de massa, é 2CM
2
1
MRI = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Aplicando a 2ª Lei de Newton aos movimentos de 
translação do centro de massa e rotação (em torno 
do eixo central) do cilindro temos: 
 
)1(MaMgsenf
MafMgsen
MafPF
e
e
CMexx
−=
=−
=−=∑
θ
θ 
 
)2(cos
0
θMgPN
PyNF
y
y
==
=−=∑
 
 
( )
)3(
2
1
2
2
1
2
2
1
Maf
R
a
MRRf
MRRf
I
e
e
e
OO
=





=
−=−
=∑
α
ατ
rr
 
 
Igualando as equações (1) e (3): 
(3):
)4(
3
2
2
3
2
1
2
1
θ
θ
θ
θ
gsena
MaMgsen
MaMaMgsen
MaMaMgsen
=
=
+=
=−
 
 
Substituindo (4) em (3): 
( )
)5(
3
1
3
2
2
1
2
1
θ
θ
Mgsenf
gsenMf
Maf
e
e
e
=
=
=
 
 
b) Na iminência de deslizar a )(máxee ff = . 
( ) (6) 3tan
3
3
1
cos
3
1
3
1
3
1
1
.)(
µθ
µθ
θθµ
θµ
θ
θ
−=
=
=
=
=
=
tan
MgsenMg
MgsenN
Mgsenf
Mgsenf
máxe
e
 
 
θ 
x 
y 
P
r
 
xP
r
 
yP
r
 
N
r
 
ef
r
 
O 
4. Uma esfera rola para cima (sem deslizar), em uma rampa inclinada de um ângulo θ em 
relação à horizontal. (a) Faça um diagrama do corpo livre para a esfera. Explique por que a 
força de atrito deve possuir sentido para cima. (b) Determine o vetor aceleração do centro 
de massa da mesma. (Momento de inércia de uma esfera: I = (2/5)MR2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
N
r
θ 
+ x 
+ y 
P
r
 
ef
r
 
(a) A esfera sobe rolando, sem deslizar, 
em movimento retardado. A 
aceleração angular da esfera terá 
sentido contrário ao da velocidade 
angular (rotação da esfera no 
sentido anti-horário). Assim, o 
torque produzido pela força de 
atrito deverá provocar rotação no 
sentido horário. 
b) Aplicando a 2ª Lei de Newton ao 
movimento de rotação da esfera, em torno do 
ponto O temos: 
Ma
R
a
R
MR
f
MRRf
I
e
e
CMO
5
2
5
2
5
2
.
.
2
2
==
=
=∑
α
ατ
r
rr
 
Aplicando a 2ª Lei de Newton ao movimento 
de translação da esfera temos: 
)(sen
7
5
sen
7
5
sen
5
2
1
5
2
sen
sen
.
iga
ga
MgMa
MaMaMg
MafMg
aMF
e
)r
rr
θ
θ
θ
θ
θ
=
=
=




 +
=−
=−
=∑
 
C 
O 
Ou , aplicando a 2ª Lei de Newton ao 
movimento de rotação da esfera, em torno do 
ponto C temos: 
)(sen
7
5
sen
7
5
5
7
.sen
5
2
.sen
.
2
22
igaga
R
a
R
MR
RMg
MRMRRMg
ICC
)r
rr
θθ
θ
αθ
ατ
==
=





 +=
=∑
 
5. Uma bolinha de raio R e massa m é abandonada de uma altura h1 em uma calha, cuja 
extremidade inferior, por sua vez, está a uma altura h2 de uma mesa, conforme a figura 
abaixo. O ponto P localiza-se na mesa, diretamente abaixo da extremidade inferior da 
calha. Suponha agora que a bolinha desça a calha rolando, sem deslizar. A aceleração da 
gravidade local vale g. Determine: (a) a velocidade do CM da bolinha ao chegar à 
extremidade inferior da calha e (b) a distância horizontal, medida a partir do ponto P, que a 
bolinha atinge a mesa. (Respostas emfunção das grandezas R, m, h1, h2 e g que se fizerem 
necessárias). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
h2 
h1 
P 
Momento de inércia da bolinha: 
2
5
2
mRI = 
NR 
B 
A 
∆x 
a) Uma vez que a bolinha rola sem deslizar de 
A a B, a energia mecânica será conservada. 
1
2
1
22
1
222
1
222
1
22
1
7
10
10
7
5
1
2
1
5
1
2
1
5
2
2
1
2
1
2
1
2
1
ghv
mvmgh
mvmvmgh
mRmvmgh
mRmvmgh
Imvmgh
EE BA
=
=
+=
+=
+=
+=
=
ω
ω
ω
 
b) Cálculo do tempo de queda: 
g
h
t
gth
gty
2
2
2
2
2
2
1
2
1
=
−=−
−=∆
 
O deslocamento horizontal será: 
21
2
1
0
7
20
2
7
10
hhx
g
h
ghx
tvx
=∆
=∆
=∆
 
6. Dois corpos, 1 e 2, de mesma massa M são colocados nas extremidades de uma haste de 
massa desprezível e comprimento igual a 3L. Inicialmente, a haste é mantida na horizontal, 
podendo girar em torno do eixo que passa pelo ponto O. Considere g, o módulo da 
aceleração da gravidade local. No instante em que a haste for liberada, determine (a) a 
aceleração angular da haste e (b) as acelerações tangenciais dos corpos 1 e 2. (c) 
Determine as velocidades lineares dos corpos 1 e 2 quando o corpo 2 atinge o ponto mais 
baixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) ∑ = ατ 00 I ( ) 2220 52 MLLMMLI =+= 
 
L
g
MLMgL
MLMgLLMg
5
1
5
52.
2
2
=
=
=−
α
α
α
 
(b) 11 Ra α= 22 Ra α= 
 
jga
ga
L
L
g
a
)r
5
1
5
1
5
1
1
1
1
=
=
=
 
( )jga
ga
L
L
g
a
)r
−=
=
=
5
2
5
2
2
5
1
2
2
2
 
 
O 
1 2 
L 2L 
α (+) 2
a
r
 
P
r
 P
r
 
1a
r
 
(c) Pela conservação da Energia Mecânica: 
 
 
O 
1 2 
ω (+) 
1 
2 
L 
2L 
2v
r
 
1v
r
 
NR 
( )
( )
L
g
MLMgL
MLMgL
ILMgLMg
EE finalinicial
5
2
2
5
5
2
1
2
1
322
22
22
2
0
=
=
=
+=
=
ω
ω
ω
ω
 
iLgv
Lgv
L
L
g
v
Rv
)r
5
2
1
5
2
1
1
11
.
5
2
=
=
=
=ω
 
)(
2.
5
2
5
8
2
5
8
2
2
22
iLgv
Lgv
L
L
g
v
Rv
)r
−=
=
=
=ω
 
7. Três partículas, cada uma de massa m, estão 
presas umas às outras e a um eixo de rotação O 
por três hastes rígidas, de massas desprezíveis, 
cada uma com um comprimento d como mostrado 
na figura ao lado. O conjunto é liberado do 
repouso na posição horizontal. A aceleração da 
gravidade local vale g. Determine (a) a aceleração 
angular do conjunto no instante em que for 
liberado e (b) a velocidade angular do conjunto ao 
passar pelo ponto mais baixo da trajetória. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. Um objeto de massa 2M é puxado para cima através de 
uma corda que passa por uma polia de massa M e raio R 
com uma aceleração de módulo igual a g
2
1
, sendo g o 
módulo da aceleração da gravidade local. Determine: (a) a 
tensão na corda na extremidade ligada ao objeto e (b) 
módulo da força F
r
 aplicada à corda na outra extremidade. 
O momento de inércia da polia em relação ao eixo central 
é dado por 2
2
1
mrICM = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) α∑ =Γ 00 I 
d
g
mdmgd
mddmgdmgmgd
7
3
146
1432
2
2
=
=
=++
α
α
α
 
O 
NR 
d 
d 
d 
2
222
2
14
)3()2(
mdI
dmdmmdI
rmI
O
O
iiO
=
++=
=∑
 
P
r
 P
r
 P
r
 
b) Pela conservação da energia mecânica: 
d
g
mdmgdmgd
mddmgmgddmgdmgdmg
EE finalinicial
7
6
739
14
2
1
2333
22
22
=
=−
++=++
=
ω
ω
ω
 
(b) Aplicando a 2ª Lei de Newton 
para o movimento do objeto: 
 
maPT
maF
=−′
=∑ 
 
Como TT =′ , temos: 
 
MgT
gMMgT
MaMgT
3
2
1
22
22
=
+=
=−
 
(a) Aplicando a 2ª Lei de Newton, 
na forma angular, para o 
movimento da polia: 
 
R
a
quevezUma
MRTRFR
I
=
=−
=Γ∑
α
α
α
2
00
2
1
 
MgF
MgMgF
g
MMgF
MaMgF
R
a
MRTF
4
13
4
1
3
22
1
3
2
1
3
2
1
2
2
=
+=
+=
=−
=−
 
a
r
 
N
r
 
F
r
 
T
r
 
T ′
r
 
R R 
α 
P
r
 
?=F
r
 
a
r
 
9. Dois discos metálicos, um com raio R1 = R e massa M1 = M e outro com raio R2 = 2R e 
massa M2 = 2M, são unidos por uma solda e montados sobre um eixo sem atrito passando 
no centro comum dos discos (veja figura abaixo). Um fio leve é enrolado em torno da 
periferia do disco menor, e um bloco de massa M é suspenso na extremidade livre do fio. 
Determine: (a) a aceleração do bloco, depois que ele é liberado e (b) a tensão no fio que 
suporta o bloco. (Disco: ICM = mr
2
/2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R 
2R 
Vista Lateral 
Vista Frontal 
R 
2R 
R 
2R 
/T
r
 
T
r
 
P
r
 
O 
Momento de Inércia dos discos em relação ao eixo de 
rotação O: 
222
22
2
9
4
2
1
)2(2
2
1
2
1
MRMRMRI
RMMRI
O
O
=+=
+=
 
a) Aplicando a 2ª Lei de Newton ao movimento de rotação 
do disco: 
)1(
2
9
)(
2
9
. 2 MaT
R
a
MRRT
IOO
=⇒−=−
α=Γ∑
rr
 
Aplicando a ª Lei de Newton ao movimento do bloco: 
)2()( MaMgTamMgT
aMF
−=⇒−=−
=∑
rr
 
Igualando as equações (1) e (2): 
gaMgMa
MgMaMa
MaMgMa
11
2
2
11
2
9
2
9
=⇒=
=+
−=
 
 
b) MggMT
11
9
11
2
2
9
=




= 
 
 
 
Ra
aaa
TT
poliaTB
/
)(
/
=α
==
=
 
a
r
 
10. Os blocos A e B da figura abaixo possuem massas iguais a M. Os blocos são ligados por 
um fio que passa sobre uma polia de massa M e raio R montada em um eixo sem atrito 
que passa em seu centro. Não há atrito entre o bloco A e a superfície da mesa. O fio não 
desliza sobre a superfície da polia. Determine: (a) o módulo da aceleração dos blocos 
quando o sistema é liberado a partir do repouso; (b) a tração na parte do fio que sustenta o 
bloco B. O módulo da aceleração da gravidade local é g. O momento de inércia da polia 
em relação ao seu próprio eixo é dado por: I = ½ MR2. (Dados fornecidos: M, R e g). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
M 
 
M, R 
M B 
A 
aaaa
TT
TT
PoliaTBA
BB
AA
===
′=
′=
)(
 
AP
r
 
BP
r
 
BT
r
 
BT ′
r
 
AT ′
r
 
AT
r
 
Aplicando a 2ª Lei de Newton para os 
movimentos dos blocos A e B e da polia 
temos: 
Bloco A: ∑ = xx maF 
 )1(MaTA = 
 
Bloco B: ∑ = yy maF)2(MaMgT
MaTMg
B
B
−=
=−
 
 
Polia: α.eixoeixo I∑ =Γ 
 
)3(
2
1
2
1 2
MaTT
R
a
MRRTRT
AB
AB
=−
=′−′
 
 
(a) Substituindo (1) e (2) em (3): 
ga
MaMg
MaMaMg
MaMaMaMg
MaTT AB
5
2
2
5
2
1
2
2
1
2
1
=
=
+=
=−−
=−
 
(b) Pela equação (2): 
 
MgT
gMMgT
B
B
5
3
5
2
=
−=
 
 
11. Um cilindro homogêneo e pesado tem massa m e raio R. Uma força T o acelera, atuando 
mediante uma corda que está enrolada num pequeno tambor (de massa desprezível) de 
raio r fixado ao cilindro. O coeficiente de atrito estático é suficiente para o cilindro rolar sem 
deslizar. Determine (a) a aceleração, a, do centro do cilindro e (b) a força de atrito estático 
entre a base do cilindro e a superfície horizontal. (c) É possível escolher r de modo que a 
seja maior que T/m? Como? (Momento de Inércia de um cilindro em relação ao eixo que 
passa pelo centro de massa: ICM = (1/2)mR
2
). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
T 
r 
R 
T
r
P
r
 
ef
r
N
r
O 
2222
2
3
2
1
2
1
mRmRmRImRI OCM =+==
a) Aplicando a 2ª Lei de Newton ao 
movimento de rotação do cilindro, 
em relação à base (O): 
mR
RrT
a
mRaRrT
R
a
mRRrT
mRRrT
O
3
)(2
2
3
)(
2
3
)(
2
3
)(
0
2
2
+
=
=+
=+
α=+
=Γ∑
 
b) Aplicando a 2ª Lei de Newton ao 
movimento de translação do cilindro: 
( )



 −=



 −−=



 +−=



 +−=
−=
=−
=∑
R
rR
Tf
R
RrR
Tf
R
Rr
Tf
mR
RrT
mTf
maTf
mafT
maF
e
e
e
e
e
e
xx
3
2
3
223
3
)(2
1
3
2
 
 
c) 
m
T
mR
RrT
a 〉
+
=
3
)(2
 
2
232
3)(2
1
3
)(2
R
r
RRr
RRr
R
Rr
>
−>
>+
>
+
 
12. Uma bola de gude homogênea de raio r parte do repouso, com seu centro de 
massa a uma altura h acima da base de um trilho de raio R, conforme ilustrado 
abaixo. A bola de gude rola sem deslizar. (a) Mostre que o valor mínimo de h para 
que a bola de gude não perca contato com o trilho no topo da circunferência é 
dado por h = (27R – 17r)/10. (b) Mostre que se o trilho fosse bem lubrificado, de 
modo que o atrito se tornasse desprezível, a resposta do item (a) seria h = (5R – 
3r)/2. (c) No topo da trajetória circular, isole a esfera e indique claramente as 
forças que nela atuam. 
Observação: O raio r não é desprezível em 
comparação com o raio R. O momento de 
inércia de uma esfera em relação ao centro de 
massa é dado por ICM = 2mr
2
/5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
h 
raio r 
R 
(a) Para que a bola não perca contato com o 
trilho no topo da circunferência ela deverá 
ter, em tal ponto, uma velocidade mínima, 
que pode ser determinada como se segue: 
 
grRv
rR
v
mmg
Assimvelocidadeda
valormínimooteremosNPara
rR
v
mNmg
amF
mín
mín
yy
)(
)(
:.
0
)(
2
2
−=⇒
−
=
=
−
=+
=∑
rr
 
A altura mínima necessária para que a bola 
não perca contato com o trilho no topo da 
circunferência, será aquela que irá fornecer 
à bola, a energia potencial gravitacional 
suficiente para que ela atinja o topo da 
circunferência com a velocidade mínima. 
Pela conservação da energia mecânica 
temos: 
 
10/)1727(
172777102010
)(7)2(1010
2
1
5
1
)2(
2
1
5
2
2
1
)2(
2
1
2
1
)2(
22
222
22
rRh
rRrRrRh
grRrRggh
vvrRggh
mvmrrRmgmgh
mvIrRmgmgh
mín
mín
mín
mínmínmín
mínmín
mínmín
−=
−=−+−=
−+−=
++−=
++−=
++−=
ω
ω
 
(c) 
P
N
r
r
(b) Se o trilho fosse bem lubrificado, de 
modo que o atrito se tornasse 
desprezível, a bola desceria deslizando e, 
portanto, não teria energia cinética de 
rotação no topo da circunferência. 
Novamente, pela conservação da energia 
mecânica, temos: 
2/)35(
35242
)()2(22
2
1
)2(
2
1
)2(
2
2
rRh
rRrRrRh
grRrRggh
vrRggh
mvrRmgmgh
mín
mín
mín
mínmín
mínmín
−=
−=−+−=
−+−=
+−=
+−=
 
 
13. Um cilindro de raio R e massa M parte do repouso 
da posição A de um plano inclinado e rola sem 
deslizar até a posição B, conforme ilustrado na 
figura abaixo. Entre as posições B e C o atrito é 
desprezível. Considere conhecidos o ângulo θ, a 
altura h e o módulo da aceleração da gravidade 
local g. 
 
 
 
a) Considerando o trecho entre as posições A e B, responda: 
a1) (10%) A energia mecânica é conservada? Explique? Sim. A única força que realiza trabalho 
durante a descida do cilindro é a força gravitacional (força conservativa). 
a2) (10%) O momento angular em relação ao seu centro de massa (CM) é conservado? 
Explique? Não. O cilindro parte do repouso e atinge o ponto B com uma velocidade angular ω > 0 
devido ao torque exercido pela força de atrito estático em relação ao seu CM. 
a3) (20%) Calcule a velocidade do CM do cilindro ao passar pela posição B. 
 
 
 
 
 
 
a4) (20%) Determine a aceleração linear do CM do cilindro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Considerando o trecho entre as posições B e C, responda: 
b1) (10%) A energia mecânica é conservada? Explique? Sim. A única força que realiza trabalho 
durante a descida do cilindro é a força gravitacional (força conservativa). 
b2) (10%) O momento angular em relação ao seu centro de massa (CM) é conservado? 
Explique? Sim. Uma vez que o atrito é desprezível, o somatório dos torques externos, em relação ao 
CM, 
é nulo e, sendo assim o momento angular é constante. 
b3) (20%) Calcule a velocidade do CM do cilindro ao passar pela posição C. 
 
 
 
 
 
 
h 
h 
θ 
B 
C 
A 
2
2
1 MRICM = 
Pela conservação da energia mecânica: EA = EB. Tomando o NR a linha horizontal que passa pelo 
ponto B: 
( )
ghv
MvMvMvMgh
MRMvMgh
B
BBB
CM
3
4
2
4
32
4
12
2
1
22
2
1
2
12
2
1
=
=+=
+= ω
 
θ
θ
gsena
sen
h
agh
xavv AB
3
2
2
2
3
4
22
=
=
∆+=
 
Pela conservação da energia mecânica: EB = EC. Tomando o NR a linha horizontal que passa pelo ponto C. 
ghv
MvghMMgh
IMvIMvMgh
C
C
CMCCMB
3
10
2
2
1
3
4
2
1
2
2
12
2
12
2
12
2
1
=
=+
+=++ ωω
 
 
14. Uma haste homogênea, de massa M e comprimento L, é 
colocada na vertical, tendo uma de suas extremidades apoiada 
sobre uma superfície plana horizontal e, em seguida, 
abandonada. Supondo que a haste caia para a direita, conforme 
representado na figura ao lado, e que a extremidade de apoio 
fique imóvel durante a queda, determine: 
a) A aceleração angular da haste na posição indicada na figura. 
b) A velocidade tangencial da extremidade livre da haste ao tocar o 
solo. 
O momento de inércia de uma haste delgada, em relação a um eixo que passa 
perpendicularmente ao seu centro de massa, é 2CM
12
1
MLI = . 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo do momento de inércia da barra em relação a 
um eixo de rotação passando pelo ponto O, 
perpendicular ao plano da barra: 
( )
2
3
1
2
4
12
12
1
2
2
2
12
1
2
MLI
MLMLI
MMLI
mhIIO
O
L
O
CMO
=
+=
+=
+=
 
 
No instante em que a barra forma com a horizontal um 
ângulo θ, a sua aceleração angular pode ser calculada 
por: 





=
=
=
−=−
=×
=
⊥
∑
L
g
MLMg
IMg
IrP
IFr
I
L
O
L
O
O
OO
θ
α
αθ
αθ
α
α
ατ
cos
2
3
cos
cos
2
3
1
2
2
rrr
rr
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pela conservação da energia mecânica temos: 
( )( )
( )
Lgv
Lgv
MvMgL
MLMg
IMgh
L
vL
O
3
3
3
1
2
2
22
3
1
2
1
2
2
2
1
=
=
=
=
= ω
 
 
 
θ 
L 
M 
P
r
 
θ 2
L
 
O 
θ 
⊥P
r
 
2
L 
M 
L 
M N.R (Ug = 0) 
v
r
 
15. Um bastão fino, uniforme de massa 2M e comprimento L gira em um plano horizontal em 
torno de um eixo fixo passando em seu centro e perpendicular a ele com velocidade 
angular 0ω . Dois pequenos anéis, cada um com massa M, são montados de forma que 
possam deslizar ao longo do bastão. Inicialmente eles estão presos por pequenos 
pregadores afastados de L/4 do centro do bastão. Sem alterar nada no sistema, os 
pregadores são libertados e os anéis deslizam ao longo do bastão e saem pela suas 
extremidades. Determine (a) a velocidade angular do bastão no instante em que os anéis 
atingem as extremidades dele e (b) a velocidade angular do bastão depois que os anéis 
saem pelas suas extremidades. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Momento de Inércia inicial: 
2
2
2
0
24
7
16
22
12
1
ML
L
MMLI =





+= 
Quando os anéis estiverem nas extremidades: 
2
2
2
0,
3
2
4
22
12
1
ML
L
MMLI f =





+= 
Após os anéis saírem do bastão: 
22
0, 6
1
2
12
1
MLMLI f ==′ 
0, ==τ∑
dt
dL
Oext 
a) fi LL = 
0
2
0
2
16
7
3
2
24
7
ω=ω
ω=ω
f
fMLML
 
 
 
b) fi LL ′= 
0
2
0
2
4
7
6
1
24
7
ω=ω′
ω′=ω
f
fMLML
 
 
16. Uma plataforma giratória grande possui forma de disco com raio R e massa M. A 
plataforma gira, inicialmente, com uma velocidade angular ω0 em torno de um eixo 
vertical que passa em seu centro. Repentinamente, um pára-quedista pousa suavemente 
em um ponto da plataforma (disco) localizado a uma distância R/2 do centro da mesma, 
de tal forma que a velocidade angular do sistema (disco + pára-quedista) se reduz a ω0 
/2. Desprezando o atrito no eixo de rotação e supondo que o pára-quedista possa ser 
considerado uma partícula (a) determine a massa do pára-quedista, em função da massa 
da plataforma. (b) Comparando a energia cinética do sistema antes e depois do pouso 
do pára-quedista, o que se pode concluir acerca da conservação da energia mecânica? 
(Disco: ICM = MR
2
/2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Momento de inércia de um bastão fino em torno 
do eixo central perpendicular ao seu 
comprimento: 2
12
1 lm 
L 
4
L 
4
L 
O 
(a) Considerando o sistema 
constituído pela mesa giratória e 
pára-quedista, o ∑ =Γ 0externos
r
. 
Assim sendo, 
Mm
R
mMR
R
mMRMR
III
LL
PP
P
PMM
depoisantes
2
4
)
2
1
1(
242
1
2
1
2
)(
2
2
0
2
2
0
2
0
0
=⇒=−






+=
+=
=
ω
ω
ωω
rr
 
2
0
2
2
0
2
2
2
0
2
2
2
0
2
0
2
2
0
22
0
8
1
44
2
2
1
2
1
44
2
2
1
2
1
4
)(
2
1
4
1
2
1
2
1
2
1
ω
ω
ω
ω
ω
ωω
MR
R
MMR
R
MMR
IIK
MR
MRIK
PMdepois
Mantes
=






+=






+=
+=
=





==
 
0ω
r
 
(c) A energia cinética final 
do sistema é metade da 
inicial, portanto, não 
houve conservação da 
energia mecânica. Colisão 
inelástica. 
(b) 
17. Um garoto de massa m encontra-se parado sobre um carrossel de um parque de 
diversões a uma distância R/2 do centro do mesmo. O carrossel possui raio R e massa M 
(=3,5m) e pode girar em torno de um eixo vertical que passa pelo seu centro, com atrito 
desprezível. Uma força externa constante de módulo F é aplicada tangencialmente à 
borda do carrossel durante um tempo t. Sabendo o carrossel está inicialmente em 
repouso, determine: (a) a aceleração angular, (b) a velocidade angular e (c) o 
deslocamento angular do carrossel depois de decorrido o tempo t; (d) o trabalho 
realizado pela força F durante o tempo t. As respostas deverão estar em função das 
grandezas F, m, R e t que se fizerem necessárias. (Momento de inércia do carrossel: I = 
(1/2)MR
2
). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
22
2
2
2
4
1
4
7
2
5,3
2
1
mRI
mRmR
R
mmRI
O
O
=
+=




+=
)(.
2
.0
jt
mR
F
t
)r
rrr
=
+=
ω
αωω
 
(a) 
(b) (d) 
(c) 
mR
tF
tt
2
2
0
4
1
.
2
1
.
=∆
+=∆
θ
αωθ
 
m
tF
mR
tF
RFW
dWou
m
tF
IKW
222
22
2
4
1.
4
1
..
..
4
1
2
1
==
∆==
==∆=
∫ θτθτ
ω
 
)(
2
2)(. 2
j
mR
F
mRjRF
I
)r
r)
rr
=
=
=∑
α
α
ατ
 
F 
m 
I 
R/2 
R 
O 
18. Uma haste de comprimento L e massa 2M está sobre uma mesa horizontal, sem atrito, 
podendo girar, livremente, em torno de um eixo vertical que passa por uma de suas 
extremidades. Um objeto de massa M atinge a extremidade livre da haste com uma 
velocidade de módulo vi orientada conforme a figura abaixo e se adere à haste. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) O momento angular em relação ao eixo vertical que passa pela extremidade da haste é 
conservado? Explique? Sim. Uma vez que o somatório dos torques externos, em relação ao eixo de 
rotação, é nulo, o momento angular é constante. 
 
b) A energia mecânica do sistema (haste + objeto) é a mesma, antes e após a colisão? 
Explique? Não. Uma vez que o bloco se adere à haste, a colisão é inelástica, ocorrendo assim, perda 
de energia cinética. 
 
c) Calcule a velocidade angular do sistema (haste + objeto) imediatamente após a colisão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Caso não ocorra conservação da energia mecânica determine a energia mecânica 
(perdida ou acrescida) ao sistema na colisão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Momento de inércia de uma haste em torno do eixo que passa pelo seu 
centro perpendicular ao seu comprimento: 
2
12
1 MLICM = 
Pela conservação do momento angular: 
( )[ ]
L
v
MLMLv
MLMMLMLv
IIsenMLv
LL
i
i
L
i
blocooh
DepoisAntes
10
3
3
5
2
1
2260cos
)(90
2
22
2
2
12
1
,
=
=
++=°
+=°
=
⊥
ω
ω
ω
ω
 
m 
iv
r
 
60° 
O 
2
1
60cos
2
3
60
=°
=°sen
 
2
2
1
iAntes MvK = 
( ) 2
40
3
100
92
3
5
2
1
2
,2
1
2
2
)(
iL
v
Depois
blocoOhDepois
MvMLK
IIK
i ==
+= ω
 
A variação de energia mecânica na colisão é: 
( )
2
2
2
1
40
3
40
17
i
iAntesDepois
MvE
MvKKE
−=∆
−=−=∆
 
Portanto, houve uma perda de energia mecânica de: 
2
40
17
iPerdida MvE = 
 
 
L 
O 
iv
r
 
60° ⊥
v
r
 
//vr
 
°=⊥ 60cosivv 
19. Um pequeno bloco apoiado sobre uma mesa horizontal sem atrito possui massa m. Ele 
está preso a um fio de massa desprezível que passa através de um buraco na superfície. 
Inicialmente o bloco está girando a uma distância Ro do buraco com uma velocidade 
angular 0ω
r
. Em seguida a corda é puxada por baixo, fazendo com que o raio do círculo se 
encurte para ½ Ro. O bloco pode ser considerado uma partícula. 
a) O momento angular é conservado? Sim Justifique. 
 
0
)()(.
)(
0
0,
0,
0,
=Γ
−=−=Γ
=Γ
=Γ∑
Tensão
Normal
Peso
externos
kmgrkrN
kmgr
r
))r
)r
r
 
b) Determine o novo vetor velocidade angular. 
 
)(4
4
)(
2
)(
0
2
0
0
2
0
2
0
0
2
0
0
j
R
jR
R
mjmR
II
f
f
f
ffi
depoisantes
)r
r)
r)
rr
l
r
l
r
−=
=−






=−
=
=
ωω
ωω
ωω
ωω
 
c) Determine o trabalho realizado ao puxar a corda. 
 
( )
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
22
2
3
4
2
1
2
1
)4(
22
1
2
1
2
1
ω
ωω
ωω
ωω
mRW
RRmW
mR
R
mW
IIW
KW
F
F
F
iiffF
F
=
−=
−





=
−=
∆=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
iˆ
jˆ
kˆ
P
r
 
T
r
 
N
r
 
O 
r 
F
r
20. Uma haste de madeira de massa mH = 30 m e comprimento L é articulada em uma das 
extremidades e pode girar sem atrito em torno do eixo fixo que passa pelo ponto O. 
Inicialmente ela está em repouso na posição vertical. Um projétil de massa mP = 4 m e 
velocidade de módulo vo atinge a haste no seu centro de massa e fica encravada na 
mesma. Considerando os instantes imediatamente anterior e imediatamente posterior ao 
choque, para o sistema bala-haste, responda: 
a) O momento angular se conserva? Sim. Justifique. Considerando o sistema constituído pelo projétil 
e haste de madeira, o ∑ =Γ 0externos
r
 . 
b) Determine, em função dos vetores unitários e dos dados (m, vo e L) que se fizerem necessários, o vetor 
velocidade angular do sistema bala-haste imediatamente após o choque. O momento de inércia da haste em 
relação a um eixo que passa pelo seu centro de massa, perpendicular ao seu comprimento, é dado por: ICM 
=
2
H12
1 Lm . 
( )
( )
)(
11
2
11)(2
1110
4
30304
)(2)(4
2
)(
0
2
0
222
)(
2
2
12
12
2)(
2
2)()(
)(Pr)
000
k
L
v
mLkmLv
mLmLmLI
L
mmLmI
mIII
ILL
kmLvkmv
L
kvrmL
LL
f
f
PH
L
PH
L
HCMHPPH
fPHojétilHasteDepois
PprojétilAntes
DepoisAntes
)r
r)
rrr
)))
l
rr
rr
=
=
=+=
++=
++=
==
====
=
+
+
+
++
ω
ω
ω
 
c) Calcule a variação da energia cinética. 
2
0
2
0
2
02
2
02
2
0
22
2
0
2
)(
22
7
1
11
4
2
1
2
1
)11(
4
11
2
1
2
1
11
2
1
2
1
2
1
mvmvK
mv
L
v
mLK
mvmLK
mvIK
f
fPH
−=




 −=∆
−=∆
−=∆
−=∆ +
ω
ω
 
 
 
 
 
 
O 
L 
½ L 
ov
r
iˆ 
jˆ 
kˆ 
21. Uma plataforma retangular de massa M, comprimento 2L e momento de inércia I está em 
repouso, mas pode girar sem atrito em torno de um eixo vertical preso ao chão e que 
passa por seu centro de massa. Em uma de suas extremidades está fixada uma mola de 
constante k e massa desprezível. Uma bolinha de massa m comprime a mola de uma 
distância d. A figura abaixo representa a vista superior do experimento. Ao ser solta, a 
bolinha é arremessada perpendicularmente ao comprimento da plataforma. Considerando 
os instantes de tempo imediatamente anterior e imediatamente posterior ao arremesso da 
bolinha, responda: 
a. A energia mecânica do sistema bolinha-plataforma se conserva? Por quê? 
b. O momento angular do sistema bolinha-plataforma, em relação ao eixo de rotação, 
se conserva? Por quê? 
c. Obtenha a velocidade angular final da plataforma, em termos de k, d, I, m e L. 
OBSERVAÇÃO: CONSIDERE A DISTÂNCIA DA ESFERA AO EIXO DA PLATAFORMA IGUAL A L. 
 
a) Sim. A força que realiza trabalho sobre a bolinha é conservativa (força elástica). 
b) Sim. Uma vez que o ∑ == 0.
dt
Ld
ext
r
r
τ , o momento angular do sistema será constante. 
c) Pela conservação da energia mecânica: 
I
mvkd
Imvkd
Imvkd
22
222
222
2
1
2
1
2
1
−
=
+=
+=
ω
ω
ω
 
 
Pela conservação do momento angular: 
mL
I
v
ImLv
ω
ω
=
=− 0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
eixo 
M 
k 
m 
2L 
M 
k 
m 
Substituindo (2) em (1): 
2
2
2
2
2
22
222
2
)1(
mL
II
kd
I
kd
mL
I
Lm
I
I
m
I
kd
+
=
=+
−=
ω
ω
ω
ω
 
(2) 
(1) 
22. Um projétil de massa m é lançado a partir do chão com velocidade inicial 0v
r
 formando 
um ângulo inicial 0 acima da horizontal. Determine, em função do tempo e dos vetores 
unitários que se fizerem necessários, a expressão para os vetores: 
 
a) posição [ )(tr
r
]; 
 
jgttvitvtr
jtyitxtr
))r
))r
)
2
1
-θsen(θcos)(
)()()(
2
000 +=
+=
 
 
b) velocidade [ )(tv
r
]; 
 
jgtvivtv
jvivtv yx
))r
))r
)-θsen(θcos)(
)(
00 +=
+=
 
c) momento angular da partícula, em torno do ponto de lançamento [ )(tl
r
]; 
 
[ ]
)(θcos
2
1
)(
)
2
1
1(θcos)(
θcos
2
1
θsenθcosθcos-θsenθcos)(
)(θcos)
2
1
-tθsen()-θsen(θcos)(
)-θsen(θcos)
2
1
-tθsen(θcos)(
)(
2
00
2
00
2
0000
2
0
2
0000
2
0
00
2
000000
0000
2
0000
kgtmvt
kgtmvt
kgtmvktmvkgtmvktmvt
kvgtvkgtvtmvt
jgtvivjgtvitvmt
vrmvmrprt
)
l
r
)
l
r
))))
l
r
))
l
r
))))
l
r
rrrrrr
l
r
−=
+−=
+−=
−+=
+×


 +=
×=×=×=
 
d) taxa de variação do momento angular 
dt
tld )(
r
; 
 
 )(θcos
)(
00 kgtmv
dt
td )l
r
−= 
 
 
e) Ftr
rr
×)( diretamente e compare o resultado com (d). Por que os resultados devem ser idênticos? 
( gmPF
rrr
== ) 
Os resultados de (e) e (d) são idênticos uma vez que: 
 
∑ =Γ=×
−=−×+=×
dt
d
Fr
ktmgvjmgjgttvitvFr
l
r
rrr
))))rr
)(θcos)(])
2
1
-θsen(θcos[ 00
2
000
 
 
f) Represente na figura ao lado o vetor 0v
r
, a trajetória da partícula e, para um instante t qualquer, os 
vetores )(tr
r
 e )(tv
r
. 
 
Representação os vetores na figura acima. 
 
 
 
O x 
y 
0v
r
 
v
r
 
r
r
 
23. A partícula de massa M = (1/4) kg = 0,25 kg, desloca-se com velocidade constante 
m/s)ˆ0,4ˆ0,3( jiv +−=
r
. Num determinado instante de tempo a posição da partícula é dada 
por m)ˆ0,4( ir =
r
. 
 
a) Represente na figura abaixo os vetores posição, velocidade e momento angular da 
partícula no instante considerado. 
 
 
v
r
 
 
 
 
 
 l
r
 θ 
 
 O 
 
 
 
 
 
 
 
b) Determine o módulo da velocidade da partícula e o seno do menor ângulo formado pelos 
vetores posição e velocidade. 
 
 
 
 
 
c) Determine, em relação à origem, o vetor momento angular da partícula. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Também em relação à origem, qual o vetor momento angular da partícula num instante 
qualquer após passar pela posição m)ˆ0,4( ir =
r
? Explique. 
 
O vetor momentoangular será igual ao anterior. Uma vez que a velocidade é constante, a 
distância na perpendicular entre o eixo de rotação e a direção do vetor velocidade é constante. 
 
vmr⊥=l 
 
 
 
y 
x 
smv
v
/5
43 22
=
+=
 
5
4
==
x
y
v
v
senθ 
kji
jii
vrm
vmr
)))
l
r
)))
l
r
rr
l
r
rr
l
r
44
)43(4
4
1
=×=
+−×=
×=
×=
 
smkg
mrvsen
/.4
5
4
.5.4
4
1 2==
=
l
l θ
 
Perpendicular ao plano da folha e, pela regra da mão direita, 
saindo do plano da folha. 
ou