Prova 2 FIS 201 2007-1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS –DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
SEGUNDA PROVA DE FÍSICA I - 30/06/2007 
NOTA (100) 
 
Turma – dia = hora Professor OBSERVAÇÕES: 
1. Ao resolver os problemas faça uso de ilustrações, 
eixos cartesianos de referência, diagramas de 
corpos isolados e textos explicativos. 
2. Os problemas devem ser resolvidos literalmente, 
mesmo aqueles que possuem dados numéricos. As 
respostas puramente numéricas não serão 
consideradas. 
3. Não serão aceitas respostas sem justificativas 
4. Escreva no espaço abaixo seu nome, número de 
matrícula e a turma em que está matriculado. 
T1 - 2a = 08-10 / 4a = 10-12 
T2 - 4a = 08-10 / 6a = 10-12 
T8 - 2a = 10-12 / 5a = 08-10 
Gino 
Coordenador 
T3 - 2a = 08-10 / 4a = 10-12 Alexandre 
T4 - 3a = 16-18 / 6a = 14-16 
T5 - 3a = 10-12 / 6a = 08-10 Antônio Carlos 
T6 - 3a = 08-10 / 5a = 10-12 Rober 
T7 - 3a = 14-16 / 5a = 16-18 
T10 - 4a = 14-16 / 6a = 16-18 Luciano 
T9 - 2a = 14-16 / 4a = 16-18 
T11 - 2a = 16-18 / 5a = 14-16 Ney 
Nome: _____________________________________ Matrícula: ____________ Turma:____ 
EQUAÇÕES 
mvp = 
ω= IL 
rv ω= 
rar
2ω= 
rat α= 
KW ∆= 
φ=τ senrF 
φ= senmrvl 
θcosFdW = 
∑= 2mrI 
2mhII CM += 
2)21( ω= IKr 
2)21( mvKt = 
amF r
r =∑
ατ rr I=∑ 
1) Um bloco muito pequeno, de massa m, partindo do repouso (ponto A da Figura), desliza, sem 
atrito, até atingir a base de uma rampa (ponto B). A partir de então, desliza sobre uma superfície 
horizontal e encontra com a extremidade de uma mola de constante elástica k (ponto C). No 
trecho BC, de comprimento d = h, o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a superfície é µc 
= 2/3, enquanto que à direita do ponto C o atrito é desprezível. De quanto a mola é comprimida? 
 
 
 
 
Aplicando o Teorema do Trabalho-Energia 
Cinética, desde o início do movimento do bloco 
(A) até o ponto de máxima compressão da mola 
(D) temos: 
2
2
1
2
2
1
2
2
1
..
0
0)0(.)0(
0
0
kxmgdmgh
kxmgdmgh
kxdfmgh
UWU
WWW
KW
c
c
c
efg
ElFfPeso
Total
c
c
=−
=−−
=−−−−−
=∆−+∆−
=++
∆=
µ
µ
 
 
 
k
mghx
k
mghx
k
mghx
mghmgh
k
x
kxmgdmgh
c
c
c
c
3
2
)1(2
)1(2
)(2
2
2
2
2
1
=
−=
−=
−=
=−
µ
µ
µ
µ
 
h 
A m 
B C 
d = h 
x = ?
D 
N.R (Ug = 0) 
2) Um pêndulo de comprimento L tem uma esfera de massa me ligada à sua extremidade inferior. 
Sobre uma superfície horizontal sem atrito está um bloco de massa mb. O pêndulo parte do 
repouso, fazendo um ângulo de α com a vertical, e, na posição mais baixa da trajetória, a esfera 
colide com o bloco. Depois da colisão o ângulo máximo do pêndulo com a vertical é β. Determine 
a velocidade do bloco após o impacto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo da velocidade da esfera imediatamente 
antes de atingir o bloco (vei). 
Pela conservação da energia mecânica: 
)cos1(2
)cos(2
2
2
2
1
α
α
−=
−=
=
=
gLv
LLgv
gHv
vmgHm
ei
ei
ei
eiee
 
 
Cálculo da velocidade da esfera imediatamente 
após a colisão vef. 
Pela conservação da energia mecânica temos: 
)cos1(2
)cos(2
2
2
2
1
β
β
−±=
−±=
±=
=
gLv
LLgv
ghv
ghmvm
ef
ef
ef
eefe
 
Considerando que a esfera tenha mantido o 
sentido original do seu movimento a sua 
velocidade imediatamente após a colisão será: 
)cos1(2 β−+= gLvef 
Caso contrário: )cos1(2 β−−= gLvef 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pela conservação do momento linear do sistema 
esfera-bloco: 
b
efeie
bf
bfbefeie
bfbefeeie
bfbefebibeie
DepoisAntes
m
vvm
v
bmvvm
bmvmvm
vmvmvmvm
PP
)(
)(
0
−=
=−
+=+
+=+
=
 
( ))cos1(2)cos1(2 βα −−−= gLgL
m
m
v
b
e
bf
ou 
( ))cos1(2)cos1(2 βα −+−= gLgL
m
m
v
b
e
bf
 
me 
α
mb 
L 
N.R (Ug = 0) 
αcosL 
H 
β
mb 
L 
N.R (Ug = 0) 
βcosL
h 
me 
efv
r bfv
r 
(+ )
3) Uma haste homogênea, de massa M e comprimento L, é colocada na 
vertical, tendo uma de suas extremidades apoiada sobre uma 
superfície plana horizontal e, em seguida, abandonada. Supondo que 
a haste caia para a direita, conforme representado na figura ao lado, e 
que a extremidade de apoio fique imóvel durante a queda, determine: 
a) A aceleração angular da haste na posição indicada na figura. 
b) A velocidade tangencial da extremidade livre da haste ao tocar o solo. 
O momento de inércia de uma haste delgada, em relação a um eixo que passa perpendicularmente 
ao seu centro de massa, é 2CM 12
1 MLI = . 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo do momento de inércia da barra em 
relação a um eixo de rotação passando pelo 
ponto O, perpendicular ao plano da barra: 
( )
2
3
1
2
4
12
12
1
2
2
2
12
1
2
MLI
MLMLI
MMLI
mhII
O
O
L
O
CMO
=
+=
+=
+=
 
 
No instante em que a barra forma com a 
horizontal um ângulo θ, a sua aceleração angular 
pode ser calculada por: 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
=
=
−=−
=×
=
⊥
∑
L
g
MLMg
IMg
IrP
IFr
I
L
O
L
O
O
OO
θα
αθ
αθ
α
α
ατ
cos
2
3
cos
cos
2
3
1
2
2
rrr
rr
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pela conservação da energia mecânica temos: 
( )( )
( )
Lgv
Lgv
MvMgL
MLMg
IMgh
L
vL
O
3
3
3
1
2
2
22
3
1
2
1
2
2
2
1
=
=
=
=
= ω
 
 
 
θ 
L M 
P
r
 
θ 
2
L
 
O 
θ ⊥P
r
 
2
L 
M 
L
M N.R (Ug = 0) 
vr 
4) Um cilindro de massa M e raio R desce sem deslizar, um plano inclinado que forma um ângulo θ 
com a horizontal. O coeficiente de atrito estático entre as superfícies da esfera e do plano vale µ e 
a aceleração da gravidade vale g. Em termos dos parâmetros que se fizerem necessários, 
determine: 
a) A expressão da força de atrito. 
b) O ângulo de inclinação máximo que permite ao cilindro rolar sem deslizar. 
O momento de inércia de um cilindro, em relação ao eixo paralelo ao comprimento e que passa 
pelo seu centro de massa, é 2CM 2
1 MRI = . 
 
a) Aplicando a 2ª Lei de Newton aos movimentos 
de translação do centro de massa e rotação 
(em torno do eixo central) do cilindro temos: 
 
)1(MaMgsenf
MafMgsen
MafPF
e
e
CMexx
−=
=−
=−=∑
θ
θ 
 
)2(cos
0
θMgPN
PyNF
y
y
==
=−=∑
 
 
( )
)3(21
2
2
1
2
2
1
Maf
R
aMRRf
MRRf
I
e
e
e
OO
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
−=−
=∑
α
ατ rr
 
Igualando as equações (1) e (3): 
)4(
3
2
2
3
2
1
2
1
θ
θ
θ
θ
gsena
MaMgsen
MaMaMgsen
MaMaMgsen
=
=
+=
=−
 
 
 
Substituindo (4) em (3): 
( )
)5(
3
1
3
2
2
1
2
1
θ
θ
Mgsenf
gsenMf
Maf
e
e
e
=
=
=
 
 
b) Na iminência de deslizar a )(máxee ff = . 
( ) (6) 3tan
3
3
1cos
3
1
3
1
3
1
1
.)(
µθ
µθ
θθµ
θµ
θ
θ
−=
=
=
=
=
=
tan
MgsenMg
MgsenN
Mgsenf
Mgsenf
máxe
e
 
BOM TRABALHO! 
θ 
x 
y 
P
r
xP
r
 
yP
r
 
N
r
 
ef
r
 
O