Prova 3 FIS 201 2004-1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS – DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
TERCEIRA PROVA DE FÍSICA I - 29/05/2004 
NOTA (100) 
 
Turma – dia = hora Professor 
Observações: 
1. Todas as questões têm o mesmo valor; 
2. Não serão aceitas respostas sem justificativas; 
3. Faça uso de ilustrações, eixos cartesianos de 
referência, diagramas de corpos isolados e textos 
explicativos, durante a resolução do problema. 
4. Utilize gr para a aceleração da gravidade. 
5. Escreva no espaço abaixo o seu nome, número de 
matrícula e a turma que você freqüenta. 
T1 - 2a = 16-18 / 5a = 14-16 
T2 - 4a = 08-10 / 6a = 10-12 Rober 
T3 - 2a = 08-10 / 4a = 10-12 Alexandre 
T4 - 3a = 16-18 / 6a = 14-16 
T6 - 3a = 08-10 / 5a = 10-12 
T7 - 3a = 14-16 / 5a = 16-18 
Gino Ceotto 
Coordenador 
T5 - 3a = 10-12 / 6a = 08-10 
T10 - 4a = 14-16 / 6a = 16-18 Antônio Carlos 
T8 - 2a = 10-12 / 5a = 08-10 Marcos 
T9 - 2a = 14-16 / 4a = 16-18 Lucas Mól 
EQUAÇÕES 
rs θ= ; rv ω= 
rat α= ; rar 2ω= 
prl rr
r ×= 
φ= senmrvl 
∑= 2mrI 
dmrI ∫= 2 
2mhII CM += 
ω= IL 
2)21( ω= IKr 
2)21( mvKt = 
KW ∆= 
Fr
rrr ×=τ 
φ=τ senrF 
α==τ∑ r
r
r I
dt
ld 
 
1) Um cilindro homogêneo de massa MC = m e raio RC = 2r está em repouso sobre uma mesa. Um fio de 
massa desprezível é ligado ao cilindro por meio de um suporte preso às extremidades de um eixo que 
passa através do centro do cilindro, sem atrito, de modo que o cilindro possa girar livremente em torno 
do eixo. O fio passa sobre uma polia em forma de disco de massa MP = m e raio RC = r montada em 
um eixo sem atrito que passa em seu centro. Um bloco de massa MB = m é suspenso na extremidade 
livre do fio. O fio não desliza sobre a superfície da polia, e o cilindro rola sem deslizar sobre a mesa. 
Determine: 
a) O módulo da aceleração do bloco quando o sistema é 
liberado a partir do repouso. Suponha que o bloco teve um 
deslocamento vertical h. Use o princípio de conservação da 
energia mecânica. O momento de inércia do cilindro e da 
polia, em relação ao CM, é dado por: ICM = ½ MR2. 
b) A tração na parte do fio que sustenta o bloco. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MC , RC 
MB 
MP , RP 
a) Aplicando o Princípio de Conservação da Energia 
Mecânica, temos: 
0)( =∆+∆+∆+∆ PCBBg KKKU 
ghvmvmgh
mvmvmvmvmgh
mRmvmRmvmgh
IvMIvMghM
PPCC
PPCCCBB
3
2
2
3
0
4
1
2
1
4
1
2
1
0
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
0
2
1
2
1
2
1
2
1
22
2222
222222
2222
=⇒=
=+++=
=+++=
=++++−
ωω
ωω
 
gaahgh
advv
3
12
3
2
220
2
=⇒=
+=
 
h h 
b) Aplicando a 2ª Lei de Newton ao 
movimento do bloco: 
mgT
gmgT
mamgT
maTP
3
2
3
1
=
−=
−=
=−
 
BP
r
 
T
r
ar 
 
2) Um pequeno bloco apoiado sobre uma mesa horizontal sem atrito possui massa m. Ele está preso a um 
fio de massa desprezível que passa através de um buraco na superfície. Inicialmente o bloco está 
girando a uma distância Ro do buraco com uma velocidade angular 0ωr . Em seguida a corda é puxada 
por baixo, fazendo com que o raio do círculo se encurte para ½ Ro. O bloco pode ser considerado uma 
partícula. 
a) O momento angular é conservado? Sim Justifique. 
 
0
)()(.
)(
0
0,
0,
0,
=Γ
−=−=Γ
=Γ
=Γ∑
Tensão
Normal
Peso
externos
kmgrkrN
kmgr
r
))r
)r
r
 
b) Determine o novo vetor velocidade angular. 
 
)(4
4
)(
2
)(
0
2
0
0
2
0
2
0
0
2
0
0
j
RjR
RmjmR
II
f
f
f
ffi
depoisantes
)r
r)
r)
rr
l
r
l
r
−=
=−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=−
=
=
ωω
ωω
ωω
ωω
 
 
 
c) Determine o trabalho realizado ao puxar a corda. 
 
( )
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
22
2
3
4
2
1
2
1)4(
22
1
2
1
2
1
ω
ωω
ωω
ωω
mRW
RRmW
mRRmW
IIW
KW
F
F
F
iiffF
F
=
−=
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
−=
∆=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
iˆ
jˆ
kˆ
P
r
T
r
N
r
 
O 
r 
F
r
O 
L 
½ L 
ov
r
3) Uma haste de madeira de massa mH = 30 m e comprimento L é articulada em uma das extremidades e 
pode girar sem atrito em torno do eixo fixo que passa pelo ponto O. Inicialmente ela está em repouso na 
posição vertical. Um projétil de massa mP = 4 m e velocidade de módulo vo atinge a haste no seu centro 
de massa e fica encravada na mesma. Considerando os instantes imediatamente anterior e 
imediatamente posterior ao choque, para o sistema bala-haste, responda: 
a) O momento angular se conserva? Sim. Justifique. Considerando o sistema constituído pelo 
projétil e haste de madeira, o ∑ =Γ 0externosr . 
b) Determine, em função dos vetores unitários e dos dados (m, vo e L) que se fizerem necessários, o vetor 
velocidade angular do sistema bala-haste imediatamente após o choque. O momento de inércia da 
haste em relação a um eixo que passa pelo seu centro de massa, perpendicular ao seu comprimento, é 
dado por: ICM = 2H121 Lm . 
( )
( )
)(
11
2
11)(2
1110
4
30304
)(2)(4
2
)(
0
2
0
222
)(
2
2
12
12
2)(
2
2)()(
)(Pr)
000
k
L
v
mLkmLv
mLmLmLI
LmmLmI
mIII
ILL
kmLvkmvLkvrmL
LL
f
f
PH
L
PH
L
HCMHPPH
fPHojétilHasteDepois
PprojétilAntes
DepoisAntes
)r
r)
rrr
)))
l
rr
rr
=
=
=+=
++=
++=
==
====
=
+
+
+
++
ω
ω
ω
 
c) Calcule a variação da energia cinética. 
2
0
2
0
2
02
2
02
2
0
22
2
0
2
)(
22
71
11
4
2
1
2
1
)11(
4
11
2
1
2
111
2
1
2
1
2
1
mvmvK
mv
L
v
mLK
mvmLK
mvIK
f
fPH
−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=∆
−=∆
−=∆
−=∆ +
ω
ω
 
 
 
 
 
 
 
iˆ 
jˆ 
kˆ 
4) Um projétil de massa m é lançado a partir do chão com velocidade inicial 0v
r
 formando um ângulo inicial 
θ0 acima da horizontal. Determine, em função do tempo e dos vetores unitários que se fizerem 
necessários, a expressão para os vetores: 
a) posição [ )(trr ]; 
 
jgttvitvtr
jtyitxtr
))r
))r
)
2
1-θsen(θcos)(
)()()(
2
000 +=
+=
 
 
b) velocidade [ )(tvr ]; 
 
jgtvivtv
jvivtv yx ))r
))r
)-θsen(θcos)(
)(
00 +=
+=
 
c) momento angular da partícula, em torno do ponto de lançamento [ )(tl
r
]; 
 
[ ]
)(θcos
2
1)(
)
2
11(θcos)(
θcos
2
1θsenθcosθcos-θsenθcos)(
)(θcos)
2
1-tθsen()-θsen(θcos)(
)-θsen(θcos)
2
1-tθsen(θcos)(
)(
2
00
2
00
2
0000
2
0
2
0000
2
0
00
2
000000
0000
2
0000
kgtmvt
kgtmvt
kgtmvktmvkgtmvktmvt
kvgtvkgtvtmvt
jgtvivjgtvitvmt
vrmvmrprt
)
l
r
)
l
r
))))
l
r
))
l
r
))))l
r
rrrrrrl
r
−=
+−=
+−=
−+=
+×⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +=
×=×=×=
 
d) taxa de variação do momento angular 
dt
tld )(
r
; 
 
 )(θcos)( 00 kgtmvdt
td )l
r
−= 
 
 
 
e) Ftr
rr ×)( diretamente e compare o resultado com (d). Por que os resultados devem ser idênticos? 
( gmPF r
rr == ) 
Os resultados de (e) e (d) são idênticos uma vez que: 
 
∑ =Γ=×
−=−×+=×
dt
dFr
ktmgvjmgjgttvitvFr
l
rrrr
))))rr )(θcos)(])
2
1-θsen(θcos[ 00
2
000
 
 
 
f) Represente na figura ao lado o vetor 0v
r
, a trajetória da partícula e, para um instante t qualquer, os 
vetores )(trr e )(tvr . 
 
Representação os vetores na figura acima. 
 
 
 
O x
y 
0v
r
 
vr r
r