2017 PM Aula04 Dinâmica dos eixos

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Aula 4 – Dinâmica dos eixos 
04/09/2017 
Curso: Engenharia Mecânica 
Série: 10º Semestre 
PROJETOS MECÂNICOS 
Aula 4 – Dinâmica dos eixos 
Segunda 19:00 às 20:40 
 
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Rodopio de eixos [9] 
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Muitas aplicações práticas como em turbinas, compressores, motores elétricos e bombas, 
possuem um rotor pesado que é montado sobre um eixo flexível, suportado por mancais. O 
desbalanceamento sempre ocorrerá nos rotores, devido à erros de fabricação. Estes 
desbalanceamentos, assim como outros efeitos, como rigidez e amortecimento do eixo, 
efeitos giroscópicos e atritos dos fluidos nos mancais, farão com que o eixo se curve de 
forma complicada em certas rotações, efeito conhecido como rodopio. O rodopio é definido 
como a rotação do plano definido pela linha de centros dos mancais e do eixo curvado. 
Considere o eixo suportado por dois mancais e carragando um rotor ou disco de massa m no 
centro, conforme é mostrado na figura 9.11. Será assumido que o rotor esteja sujeito à uma 
excitação em regime permanente devido ao desbalanceamento da massa. As forças atuantes 
sobre o eixo são a força de inércia devido à aceleração do centro de massa, a força da mola 
devido à elasticidade do eixo e as forças de amortecimento tanto externas quanto internas. 
Todos os sistemas rotativos respondem a dois tipos de amortecimento 
diferentes ou forças de atrito, dependendo de as forças atuantes girarem com o 
eixo ou não. Quando as posições nas quais as forças atuam permanecem fixas 
no espaço, como no caso das forças de amortecimento (as quais causam 
perdas de energia) na estrutura de fixação dos mancais, o amortecimento é 
denominado como amortecimento externo ou estacionário. Por outro lado, 
quando as posições nas quais elas agem giram com o eixo no espaço, como no 
caso do atrito interno do material do eixo, o amortecimento é chamado de 
amortecimento rotativo ou amortecimento interno. 
Figura 9.11 – Eixo carregando um rotor. 
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Considere o ponto O como a posição de 
equilíbrio do eixo quando perfeitamente 
balanceado, conforme indicado na figura 
9.12. Assume-se que o eixo (linha CG) gira a 
uma velocidade constante 𝜔 . Durante a 
rotação, o rotor desloca-se de uma distância 
A = OC (em regime permanente). O rotor 
(disco) possui uma excentricidade 𝑎, de tal 
modo que o centro de massa (centro de 
gravidade G está a uma distância 𝑎 do centro 
geométrico, C. Utiliza-se um sistema de 
coordenadas fixo (x e y fixo à Terra) com O 
como a origem para se descrever o 
movimento do sistema. Figura 9.12 – Rotor com excentricidade. 
A velocidade angular da linha OC, 𝜃 = 𝑑𝜃/𝑑𝑡, é conhecida como velocidade do rodopio e, em 
geral, é diferente de 𝜔. As equações do movimento do rotor (massa m) podem ser escritas 
como: 
𝐹𝑜𝑟ç𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎 𝐹𝑖 = 𝐹𝑜𝑟ç𝑎 𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 𝐹𝑒 + 𝐹𝑜𝑟ç𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑒𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 𝐹𝑑𝑖 
+𝐹𝑜𝑟ç𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑒𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 𝐹𝑑𝑒 
Eq. 9.25 
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As forças indicadas na equação 9.25 podem ser expressas como: 
Eq. 9.27 
𝐹𝑜𝑟ç𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎 𝐹𝑖 = 𝑚𝑅
 
 
Onde 𝑅 representa o vetor raio do centro de massa G dado por 
𝑅 = 𝑥 + a cos𝜔𝑡 𝑖 + 𝑦 + a sen𝜔𝑡 𝑗 
Com 𝑥 e 𝑦 representando as coordenadas do centro geométrico C e 𝑖 e 𝑗 representando os 
vetores unitários ao longo das coordenadas 𝑥 e 𝑦, repectivamente. As equações 9.26 e 9.27 
conduzem a 
𝐹𝑖 = 𝑚 𝑥 + 𝑎𝜔
2 cos𝜔𝑡 𝑖 + 𝑦 − a𝜔2 sen𝜔𝑡 𝑗 Eq. 9.28 
Eq. 9.26 
Força elástica: 𝐹𝑒 = −𝑘 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 Eq. 9.29 
onde 𝑘 é a rigidez do eixo. 
Força de amortecimento interno: 𝐹𝑑𝑖 = −𝑐𝑖 𝑥 + 𝜔𝑦 𝑖 + 𝑦 + 𝜔𝑥 𝑗 
onde 𝑐𝑖 é o coeficiente de amortecimento interno. 
Eq. 9.30 
Força de amortecimento externo: 𝐹𝑑𝑒 = −𝑐 𝑥 𝑖 + 𝑦 𝑖 Eq. 9.31 
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onde 𝑐 é o coeficiente de amortecimento externo. Substituindo-se as equações 9.28 a 9.31 
na equação 9.25, obtém-se as equações do movimento na forma escalar: 
𝑚𝑥 + 𝑐𝑖 + 𝑐 𝑥 + 𝑘𝑥 − 𝑐𝑖𝜔𝑦 = 𝑚𝜔
2 a cos𝜔𝑡 
𝑚𝑦 + 𝑐𝑖 + 𝑐 𝑦 + 𝑘𝑦 − 𝑐𝑖𝜔𝑥 = 𝑚𝜔
2 a sen𝜔𝑡 
Eq. 9.32 
Eq. 9.33 
Estas equações do movimento, as quais descrevem o movimento lateral do rotor, estão 
acopladas e são dependentes da velocidade em regime permanente, 𝜔. Definindo-se a 
quantidade complexa 𝑤 como 
𝑤 = 𝑥 + 𝑖𝑦 Eq. 9.34 
onde 𝑖 = −1 , e adicionando-se a equação 9.32 à equação 9.33 multiplicada por 𝑖, obtém-se 
uma equação unificada do movimento: 
𝑚𝑤 + 𝑐𝑖 + 𝑐 𝑤 + 𝑘𝑤 − 𝑖𝜔𝑐𝑖𝑤 = 𝑚𝜔
2𝑎𝑒𝑖𝜔𝑡 Eq. 9.35 
Rotacão crítica (frequência natural) 
Uma rotação crítica é definida quando a frequência da rotação de um eixo torna-se igual a 
uma das frequências naturais do eixo. A frequência natural não amortecida do sistema do 
rotor pode ser obtida resolvendo-se as equações 9.32, 9.33 ou 9.35, retendo-se apenas a 
parte homogênea com 𝑐𝑖 = 𝑐 = 0. 
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Isto dá a frequência natural do sistema (ou velocidade crítica do sistema não amortecido): 
𝜔𝑛 =
𝑘
𝑚
 Eq. 9.36 
Quando a rotação torna-se igual a rotação crítica, o rotor é submetido grandes 
deslocamentos e a força transmitida aos mancais pode causar falhas. A passagem rápida da 
rotação do eixo pela rotação crítica é o que limitará as amplitudes no rodopio, enquanto que 
uma passagem lenta através da rotação crítica contribui para o desenvolvimento de grandes 
amplitudes de deslocamento. 
Com o objetivo de se determinar a resposta do rotor, assume-se que excitação seja uma 
força harmônica devido ao desbalanceamento do rotor. Adicionalmente, assume-se que o 
amortecimento interno seja desprezível (𝑐𝑖 = 0). Então, pode-se resolver as equações 9.32 e 
9.33 (ou de modo equivalente a equação 9.35) para que sejam encontradas as amplitudes 
dinâmicas, resultantes do desbalanceamento. Com 𝑐𝑖 = 0, a equação 9.35 reduz-se a: 
Resposta do sistema 
𝑚𝑤 + 𝑐𝑤 + 𝑘𝑤 = 𝑚𝜔2𝑎𝑒𝑖𝜔𝑡 Eq. 9.37 
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Onde 𝐶, 𝛽, 𝐴 e 𝜙 são constantes. Note que o primeiro termo do lado direito da equação 9.38 
contém um termo exponencial decrescente, representando a solução transiente e o segundo 
termo representa o movimento circular em regime permanente (rodopio). Substituindo-se a 
parte do regime permanente da equação 9.38 na equação 9.37, obtém-se a amplitude do 
movimento circular como 
𝑤 𝑡 = 𝐶𝑒− 𝛼𝑡+𝛽 + 𝐴𝑒𝑖 𝜔𝑡−𝜙 
Eq. 9.39 𝐴 =
𝑚𝜔2𝑎
𝑘 − 𝑚𝜔2 2 +𝜔2𝑐2 1/2
= 
𝑎𝑟2
1 − 𝑟2 2 + 2𝜁𝑟 2 1/2
 
A solução da equação 9.37 pode ser expressa como: 
Eq. 9.38 
e o ângulo de fase como 
𝜙 = 𝑡𝑎𝑛−1
𝑐𝜔
𝑘 −𝑚𝜔2
= 𝑡𝑎𝑛−1
2𝜁𝑟
1 − 𝑟2
 Eq. 9.40 
e 𝑟 =
𝜔
𝜔𝑛
 𝜔𝑛 =
𝑘
𝑚
 𝜁 =
𝑐
2 𝑘𝑚
 
Diferenciando-se a equação 9.39 com relação a 𝜔 e igualando-se a zero, pode-se encontrar 
a rotação na qual a amplitude do rodopio é máxima: 
𝜔 ≈
𝜔𝑛
1 − 2𝜁2
 Eq. 9.41 
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onde 𝜔𝑛 é dada pela equação 9.36. Pode ser visto que a velocidade crítica corresponde 
exatamente à frequência natural 𝜔𝑛 somente quando o amortecimento (𝑐) é zero. Além disso, 
a equação 9.41 mostra que a presença do amortecimento, em geral, aumenta o valor da 
frequência natural em comparação a 𝜔𝑛 . Um gráfico das equações 9.39 e 9.40 é 
apresentado na figura 9.13. Uma vez que a funçãodo carregamento é proporcional a 𝜔2, 
espera-se normalmente que a amplitude da vibração aumente com 𝜔. Contudo, a amplitude 
real é apresentada na figura 9.13. Nota-se que a amplitude do rodopio circular 𝐴 em baixas 
rotações é determinada pela rigidez da mola 𝑘, uma vez que os outros dois termos 𝑚𝜔2 e 
𝜔2𝑐2 são pequenos. Também o valor do ângulo de fase 𝜙 assume o valor zero para valores 
pequenos de 𝜔. Conforme 𝜔 aumenta, a amplitude da resposta alcança o pico uma vez que 
a ressonância ocorre em 𝑘 −𝑚𝜔2. Próximo à ressonância, a resposta é essencialmente 
limitada pelo termo de amortecimento. A defasagem na fase é 90º na ressonância. Conforme 
a rotação 𝜔 eleva-se acima de 𝜔𝑛, a resposta é dominada pelo termo de massa na equação 
9.39. Uma vez que este termo é defasado de 180º em relação à força de desbalanceamento, 
a resposta do eixo será limitada. 
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Figura 9.13 – Gráficos das equações 
9.39 e 9.40. 
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1) A equação 9.38 assume, implicitamente, uma condição de rodopio síncrono para frente 
sob condição de regime permanente (isto é, 𝜃 = 𝜔). No caso geral, se a solução da 
equação 9.37 é assumida como 𝑤 𝑡 = 𝐴𝑒𝑖 𝛾𝑡−𝜃 , a solução pode ser obtida como 
𝛾 = ±𝜔 , com 𝛾 = +𝜔 representando o rodopio síncrono para frente e 𝛾 = −𝜔 
representando o rodopio síncrono para trás. Nos rotores simples, como indicado na figura 
9.11, ocorre, na prática, somente o rodopio síncrono para frente. 
2) Com o objetivo de se determinar as reações nos mancais, encontra-se o deslocamento 
do centro de massa a partir do centro dos mancais 𝑅 na figura 9.12, como 
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Notas 
𝑅2 = 𝐴2 + 𝑎2 + 2 𝐴 𝑎 cos𝜙 Eq. 9.42 
Considerando-se as equações 9.39 e 9.40, a equação 9.42 pode ser reescrita como 
𝑅 = 𝑎
1 + 2𝜁𝑟 2
1 − 𝑟2 2 + 2𝜁𝑟 2
1/2
 Eq. 9.43 
As reações nos mancais podem então ser determinadas a partir da força centrífuga, 
𝑚𝜔2𝑅. 
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Dinâmica dos eixos – Estudo da velocidade crítica 
Exercício 1 
Um eixo, carregando um rotor com peso de 100 lb (444,82 N, equivalente a uma 
massa de 45,34 kg) e excentricidade de 0,1 in (0,00254 m), gira com 1200 rpm. 
Determine: 
a) amplitude do rodopio em regime permanente; 
b) a máxima amplitude do rodopio durante as condições iniciais do sistema. 
Assuma a rigidez do eixo de 2x103 lb/in (3,503x105 N/m) e a taxa de 
amortecimento externo de 0,1. 
 
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Dinâmica dos eixos – Estudo da velocidade crítica 
Vibração torcional [3] 
Frequência 
natural 
Rigidez torcional 
Momento de inércia de massa 
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12 
Momento polar 
de inércia para 
eixos 
escalonados 
Dinâmica dos eixos – Estudo da velocidade crítica 
Vibração torcional [3] 
Momento polar de inércia 
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Dinâmica dos eixos – Estudo da velocidade crítica 
Vibração torcional [3] 
Dois discos em um mesmo eixo 
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Dinâmica dos eixos – Estudo da velocidade crítica 
Vibração torcional [3] 
Dois discos em um mesmo eixo 
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Dinâmica dos eixos – Estudo da velocidade crítica 
Exercício 2 
Um eixo livre carrega um volante com I1 = 2 kgm
2 em uma extremidade e 
I2 = 4 kgm
2 na outra. O eixo conectado às duas massas tem rigidez de 
4.106 Nm/rad. Calcule a frequência natural deste sistema e a posição do nó. 
 
I1 = 2 kgm
2 
I2 = 4 kgm
2 
kt21 = 4.10
6 Nm/rad 
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Bibliografia 
 
Bibliografia Básica 
[1] BUDYNAS, R. G.; NISBETT J. K. Elementos de Máquinas de Shigley – Projeto de 
engenharia mecánica. Porto Alegre: Bookman, 2011. 
[2] JUVINALL, Robert & MARSHEK, Kurt M., Projeto de Componentes de Máquinas, Rio de 
Janeiro: Editora LTC, 2008. 
[3] NORTON, Robert L., Projeto de Máquinas – Uma abordagem integrada, Porto Alegre: 
Bookmann, 2013. 
 
Bibliografia Complementar 
[4] CUNHA, Lamartine. – Elementos de Máquinas – Rio de Janeiro – Editora LTC – 2009. 
[5] RESHETOV, D. N. Atlas de construção de Máquinas. São Paulo: Hemus Editora, 2005. 
[6] NIEMANN, G. Elementos de Máquinas. Ed. Edgard Blücher ,2002. (3v). 
[7] COLLINS, J. A. Projeto mecânico de elementos de máquinas. Rio de Janeiro: LTC, 2006. 
[8] MELCONIAN, S, Fundamentos De Elementos De Máquinas: Transmissões, Fixações E 
Amortecimento. São Paulo: Saraiva, 2014. 
[9] Rao, Sighiresu S., Vibrational Mechanics, Pearson, 2011. 
 
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