lista derivada 6

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Sexta Lista de Exercı´cios
Ca´lculo Diferencial
Prof. Flausino Lucas
Exerc´ıcio 1. Enuncie o Teorema de Rolle. Fac¸a
um desenho do significado deste teorema. Deˆ um
exemplo que ilustre o enunciado deste teorema.
Exerc´ıcio 2 (Teorema do Valor Me´dio de La-
grange). Seja f : [a, b] −→ R uma func¸a˜o cont´ınua
e, suponha que f e´ deriva´vel em ]a, b[. Usando o
Teorema de Rolle, mostre que existe c ∈]a, b[ tal
que
f ′(c) =
f(b)− f(a)
b− a .
Fac¸a um desenho ilustrando o TVM. Deˆ um exem-
plo em que o TVM ocorre.
Exerc´ıcio 3 (Teorema do Valor Me´dio de
Cauchy). Sejam f, g : [a, b] −→ R cont´ınuas e de-
riva´veis em ]a, b[. Se g′(x) 6= 0 para todo x em
]a, b[, mostre que existe c ∈]a, b[ tal que
f(b)− f(a)
g(b)− g(a) =
f ′(c)
g′(c)
.
Fac¸a um desenho ilustrando o TVM de Cauchy. Deˆ
um exemplo.
Exerc´ıcio 4. Seja f : R −→ R uma func¸a˜o de-
riva´vel tal que f(0) = −3 e f ′(x) ≤ 5 para todo x.
Qual e´ o maior valor poss´ıvel para f(2)?
Exerc´ıcio 5. Suponha que f ′(x) = 0 para todo x
em ]a, b[. Mostre que f e´ constante.
Exerc´ıcio 6. Suponha que f ′(x) = g′(x) para todo
x em ]a, b[. Mostre que existe uma constante c tal
que f(x) = g(x) + c para todo x.
Exerc´ıcio 7. Determine os intervalos de cresci-
mento e de decrescimento:
a) f(x) =
x2
x2 − 1
b) f(x) = x3 + 2x2 + x+ 1
c) f(x) = e−x
2
d) y = xex
e) f(x) =
lnx
x
f) y =
3x2 + 4x
1 + x2
g) g(x) =
x2 − x+ 1
2(x− 1)
h) g(x) = x− ex
i) y = −x4 + 4x3 − 4x2 + 2
Exerc´ıcio 8. Mostre que o polinoˆmio
p(x) = 8x3 + 30x2 + 24x+ 10
admite uma u´nica raiz real a, com −3 < a < −2.
Exerc´ıcio 9. Determine a, para que a equac¸a˜o
x3 + 3x2 − 9x+ a = 0
admita uma u´nica raiz real.
Exerc´ıcio 10. .
a) Mostre que ex > x para todo x ≥ 0.
b) Prove que ex > x2/2 para todo x ≥ 0.
c) Conclua que lim
x→+∞
ex
x
= +∞.
Exerc´ıcio 11. Mostre que, para 0 ≤ x ≤ pi4 :
a) sinx ≤ x.
b) x ≤ tanx.
c) Conclua a desigualdade fundamental
sinx ≤ x ≤ tanx.
Exerc´ıcio 12. Estude a func¸a˜o dada com relac¸a˜o
a` concavidade e pontos de inflexa˜o:
a) y =
x
1 + x2
1
b) f(x) = e−x
2/2
c) x(t) = t2 − 1/t
d) f(x) = x4 − 2x3 + 2x
e) y =
x3
1 + x2
f) f(x) = x lnx
Exerc´ıcio 13. Seja f : I ⊆ R −→ R uma func¸a˜o
deriva´vel tal que:
f(1) = 1 e f ′(x) = x2 + [f(x)]2, x ∈ I.
a) Mostre que, para todo x em I, f ′′(x) existe e
que f ′′ e´ cont´ınua em I.
b) Mostre que existe r > 0 tal que f ′(x) > 0 e
f ′′(x) sempre que |x− 1| < r.
c) Esboce o gra´fico de f no intervalo ]1− r, 1 + r[.
Exerc´ıcio 14. Usando as Regras de L’Hospital,
calcule:
a) lim
x→+∞
ex
x
.
b) lim
x→0+
x · lnx.
c) lim
x→0+
xx.
d) lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)x
e) lim
x→6
x2 − 36
x− 6 R:12
f) lim
x→0
x
2−√4− x R: 4
g) lim
x→1
2−√3 + x
x− 1 R: -1/4
h) lim
x→2
√
2x2 − 3x+ 2− 2√
3x2 − 5x− 1− 1 R: 5/14
i) lim
x→a
x2 − (a+ 1)x+ a
x3 − a3 R: (a− 1)/3a
2
j) lim
x→0
√
1 + x− 1
3
√
1 + x− 1 R: 3/2
k) lim
x→1
√
x− 1
x− 1 R: 1/2
l) lim
x→64
√
x− 8
3
√
x− 4 R: 3
m) lim
x→1
3
√
x− 1
4
√
x− 1 R: 4/3
n) lim
x→1
3
√
x2 − 2 3√x+ 1
(x− 1)2 R: 1/9
o) lim
x→3
√
x2 − 2x+ 6−√x2 + 2x− 6
x2 − 4x+ 3
R: -1/3
p) lim
x→4
3−√5 + x
1−√5− x R: -1/3
q) lim
x→−∞
2x2 − 1
x2 − 1
r) lim
x→−∞
x2 + x+ 1
(x+ 1)
3 − x3
s) lim
x→+∞
5x3 − 6x+ 1
6x3 + 2
Exerc´ıcio 15. Com uso das Regras de L’Hospital,
calcule:
a) lim
x→1
x100 − x2 + x− 1
x10 − 1
b) lim
x→0+
xe
1
x
c) lim
x→+∞
e3x
x2
d) lim
x→+∞
lnx
e3x
e) lim
x→0+
sinx lnx
f) lim
x→0+
(1− cosx) lnx
g) lim
x→+∞(x
2 + 1)
1
ln x
h) lim
x→0+
1
x
+ lnx
i) lim
x→0−
(1− cosx) 1x
j) lim
x→0
tan 3x− sinx
sin3 x
k) lim
x→0
sec3
1 cosx
2
l) lim
x→+∞x
3e−4x
m) lim
x→+∞x−
3
√
x3 − x
n) lim
x→1−
e
1
x2−1
x− 1
o) lim
x→+∞
(
x
x2 + 1
)x
p) lim
x→0+
(cos 3x)
1
sin x
q) lim
x→0+
xtan x
2
r) lim
x→1
x4 − 2x3 + 2x− 1
x2 − 2x+ 1
s) lim
x→0+
x2 + tan3 x
sin3 x
t) lim
x→+∞
e2x
x3
u) lim
x→0
x− tanx
x3
Exerc´ıcio 16. Nas func¸o˜es abaixo, estude cresci-
mento, decrescimento e pontos cr´ıticos. A seguir,
classifique estes pontos cr´ıticos em ma´ximo local,
mı´nimo local ou sela.
a) f(x) = x3 − 3x2 + 3x− 1
b) f(x) = x2e−x
c) f(x) = x3 − 1
d) f(x) = x3 − 2x2
e) f(x) = x4 − x3
f) f(x) = ln(x)x
Exerc´ıcio 17. Qual das seguintes afirmac¸o˜es sobre
o gra´fico de f(x) = 1x2+1 e´ correta:
(A) ha´ mudanc¸a de concavidade em x = ±
√
3
3 .
(B) tem ass´ıntotas verticais em x = ±1.
(C) e´ estritamente crescente.
(D) e´ estritamente decrescente.
(E) tem ass´ıntota horizontal em y = 1.
Exerc´ıcio 18. Um modelo para o crescimento de
certo tipo de bacte´ria num determinado meio e´
dado por:
x(t) = 10 · e− 1t2
onde o tempo t e´ dado em horas e x(t) expressa
o nu´mero de bacte´rias em func¸a˜o do tempo (dado
em milho˜es), ambos valores positivos. Devido a`s
condic¸o˜es do meio, como disponibilidade de ali-
mento entre outros, o nu´mero de bacte´rias na˜o pode
exceder 10 milho˜es. Enta˜o, em determinado ins-
tante, o crescimento de bacte´rias entra em desace-
lerac¸a˜o (justamente o ponto onde o gra´fico muda
de concavidade). Pergunta-se em que instante de
tempo ocorre essa mudanc¸a:
(A) t = e2
(B) t =
√
5
2
(C) t =
√
6
3
(D) t = 12
(E) t = e−1
Exerc´ıcio 19. Construa o gra´fico das seguintes
func¸o˜es:
a) f(x) = −x3 + 8x2 − 20x+ 16
b) f(x) = x4 − 4x2
c) f(x) = 3 + 2x2−9
d) f(x) =
√
x2 + 1
e) f(x) = x
2−5x+7
x2−5x+6
f) f(x) = e−x
2
g) f(x) = x
3+x2+1
x2+1
Exerc´ıcio 20. Esboce os gra´ficos das func¸o˜es
abaixo:
a) f(x) = x3 − 3x2 + 3x
b) f(x) = x3 − x2 + 1
c) y =
√
x2 − 4
d) y = xx+1
e) y = x
2
x+1
f) g(x) = xe−3x
g) f(x) = 2x+ 1 + e−x
3
h) f(x) = e−x
2
i) y = x
4
4 − 3x
2
2 + 2x+ 1
j) f(x) = 3
√
x3 − x
k) y = x
3
x2+4
l) y = x
3
x2−1
m) y = x
3−x+1
x2
n) y = ex − e3x
o) f(x) = x4 − 2x2
p) y =
√
x2 + 2x+ 5
q) y = x−1x2
r) y = x
2
x2−x−2
s) y = x
2−x+1
x2
t) y = 4x+3x
2
1+x2
Exerc´ıcio 21. Determine dois nu´meros reais po-
sitivos cuja soma seja igual a 4 e tal que a soma
do cubo do menor com o quadrado do maior seja
mı´nima.
Exerc´ıcio 22. Seja f(x) = x3−3x2 + 3. Encontre
os ma´ximos e mı´nimos de f e determine os valores
ma´ximo e mı´nimo de f no intervalo [−2, 3]. Em
que pontos esses valores sa˜o atingidos?
Exerc´ıcio 23. Construa um cilindro circular reto
de a´rea total S dada e cujo volume seja ma´ximo.
Exerc´ıcio 24. Determine o ponto da para´bola y =
1− x2 que se encontra mais pro´ximo da origem.
Exerc´ıcio 25. Dado o triaˆngulo retaˆngulo de cate-
tos 3 e 4, determine o retaˆngulo de maior a´rea nele
inscrito, de modo que um dos lados esteja contido
na hipotenusa.
Exerc´ıcio 26. De um tronco redondo de diaˆmetro
d deve-se cortar uma viga de sec¸a˜o retangular.
Quais devera˜o ser a largura x e a altura y desta
sec¸a˜o para que a viga tenha resisteˆncia ma´xima
poss´ıvel:
a) na compressa˜o?
b) na flexa˜o?
Observac¸a˜o: A resisteˆncia da viga a` compressa˜o
e´ proporcional a` a´rea de sua sec¸a˜o transversal e a
resisteˆncia a` flexa˜o e´ proporcional ao produto da
largura desta sec¸a˜o pelo quadrado de sua altura.
Exerc´ıcio 27. Uma faixa de lata de largura a
deve ser encurvada em forma de canalete cil´ındrico
aberto (veja Figura 1). Que aˆngulo central φ deve-
se tomar para que o canalete tenha a maior capa-
cidade poss´ıvel?
Figura 1: Faixa de lata de largura a
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