1ª Lista de Cálculo I CPIME 2017

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CP/IME 2017 
1ª LISTA DE EXERCÍCIOS DE CÁLCULO I 
(FUNÇÕES, LIMITE E DERIVADA) 
 
 
1ª Parte (Continuidade, Limite e Funções Hiperbólicas) 
 
Continuidade de Funções 
Q01) Dê a definição matemática de função contínua em um ponto 𝑝. 
Q02) Prove que 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 é contínua em 𝑝 = 1. 
Q03) Quais são os quatro tipos de descontinuidade? 
 
Limite de uma Função 
Q04) Enuncie e demonstre o Teorema do Confronto. 
Q05) Calcule ou mostre que não existe, sem aplicar regra de L’Hospital, 
derivação e/ou aproximações polinomiais: 
a) lim𝑥→5
√𝑥+5−√10
√𝑥−√5
 
b) lim𝑥→0
1−cos 𝑥
𝑥2
 
c) lim𝑥→2
√𝑥
3 − √2
3
𝑥−2
 
d) lim𝑥→−1
√𝑥+2
3
−1
𝑥+1
 
e) lim𝑥→𝑝
𝑡𝑔(𝑥−𝑝)
𝑥2−𝑝2
, 𝑝 ≠ 0 
f) lim𝑥→0
𝑥−tg 𝑥
𝑥+tg 𝑥
 
g) lim𝑥→+∞(√𝑥 + √𝑥 − √𝑥 − 1) 
h) lim
𝑥→0
(1 + 2𝑥)
1
𝑥 
i) lim
𝑥→0
5𝑥−1
𝑥
 
 
Assíntotas 
Q06) Determine todas as assíntotas existentes das seguintes funções: 
a) 𝑓(𝑥) = √𝑥2 + 1 
b) 𝑓(𝑥) = √𝑥3 − 𝑥2
3
 
c) 𝑓(𝑥) =
𝑥
𝑥+1
 
 
Funções Hiperbólicas e suas inversas 
Q07) Dê as expressões matemáticas que definem as seis funções 
hiperbólicas 
Q08) Por que elas são chamadas de funções “hiperbólicas”? 
Q09) Faça um esboço dos gráficos das funções senh x, cosh x e tgh x. 
Q10) Verifique as propriedades das funções hiperbólicas listas a seguir, e 
as compare, sempre que possível, com as propriedades correspondentes 
das funções trigonométricas: 
a) 𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛ℎ2𝑥 = 1 
b) 𝑠𝑒𝑛ℎ(−𝑥) = −𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 
c) 𝑐𝑜𝑠ℎ(−𝑥) = 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 
d) cosh 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 = 𝑒𝑥 
e) cosh 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 = 𝑒−𝑥 
f) 𝑡𝑔ℎ2𝑥 + 𝑠𝑒𝑐ℎ2𝑥 = 1 
g) 𝑐𝑜𝑡𝑔ℎ2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐ℎ2𝑥 = 1 
 
Q11) Dado que 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑎 =
4
3
 e que 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑏 =
3
4
, encontre cosh(𝑎 + 𝑏). 
 
Q12) Faça uma tabela contendo o Domínio e a Imagem das seis funções 
hiperbólicas inversas 
Q13) Mostre que 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 = ln(𝑥 + √𝑥2 + 1) 
Q14) Se 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑡𝑔ℎ 𝑥 = ln (𝑔(𝑥)), então determine 𝑔(2). 
 
 
2ª Parte (Derivadas e suas aplicações) 
 
Derivabilidade e Continuidade 
Q15) Prove o seguinte Teorema: 
“Se f for derivável em p, então f será contínua em p”. 
 
Q16) Seja 𝑓(𝑥) = {𝑥
2 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 1
1 𝑠𝑒 𝑥 > 1
, f é contínua em 1? f é diferenciável em 1? 
Q17) Mostre que 𝑓(𝑥) = |𝑥| não é derivável em 𝑝 = 0. 
 
Derivada de funções em geral 
Q18) Calcule 𝑓′(𝑝), pela definição, sendo 𝑓(𝑥) = √𝑥 e 𝑝 = 3. 
Q19) Utilizando o conceito de derivada, mostre que 𝑠𝑒𝑛′𝑥 = cos 𝑥 
Q20) Seja 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥, calcule 𝑓′(
𝜋
4
) 
Q21) Seja 𝑥 = 𝑡2𝑠𝑒𝑛 𝑡, calcule 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
|
𝑡=𝜋
 
Q22) Calcule a derivada das seguintes funções: 
a) 𝑓(𝑥) =
1
𝑥7
+ √𝑥
9 
b) 𝑓(𝑥) = 𝜋𝑥 + log5 𝑥 
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥 𝑡𝑔 𝑥 
d) 𝑓(𝑥) =
𝑥2+1
sec 𝑥
 
e) 𝑓(𝑥) = 𝑥2𝑙𝑛𝑥 + 2𝑒𝑥 
f) 𝑓(𝑥) =
𝑥+1
𝑥 𝑙𝑛𝑥
 
g) 𝑓(𝑥) = (
𝑥+1
𝑥2+1
)4 
h) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑠𝑒𝑛 𝑥 + sec 3𝑥 
i) 𝑓(𝑥) = √𝑥2 + 𝑒√𝑥 + 𝑐𝑜𝑠3𝑥3 
j) 𝑓(𝑥) = ln(sec 3𝑥 + 𝑡𝑔 3𝑥) + sec(𝑡𝑔 𝑥) 
k) 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑥 
l) 𝑓(𝑥) = 8𝑥 + log2 𝑥 
m) 𝑓(𝑥) = (4 + 𝑠𝑒𝑛 3𝑥)𝑥 
Q23) Dado que 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(cos 𝑥) + 𝑥𝑒
1
𝑥, encontre 𝑓′′(𝑥). 
Q24) Seja 𝑦 = 𝑡3𝑥 em que 𝑥 = 𝑥(𝑡) é uma função derivável até a 2ª 
ordem. Verifique que 
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
= 6𝑡𝑥 + 6𝑡2
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 𝑡3
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
 
Q25) Seja 𝑓: ℝ → ℝ uma função derivável, e seja 𝑔(𝑥) = 𝑓(cos 𝑥). Calcule 
𝑔′(
𝜋
3
) supondo 𝑓′ (
1
2
) = 4. 
Q26) Calcule 𝑓′′′(𝑥) 𝑠𝑒 𝑓(𝑥) = 3𝑥3 − 6𝑥 + 1 +
1
𝑥
 
 
Derivadas das Funções Hiperbólicas e de suas Inversas 
Q27) Prove as seguintes fórmulas de diferenciação: 
a) 𝐷 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 = cosh 𝑥 
b) 𝐷 cosh 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 
c) 𝐷 tgh 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐ℎ2𝑥 
d) 𝐷 cotgh 𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐ℎ2𝑥 
e) 𝐷 sech 𝑥 = −𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑥 𝑡𝑔ℎ 𝑥 
f) 𝐷 cossech 𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑔ℎ 𝑥 
Q28) Encontre a derivada das seguintes funções: 
a) y = cosh(𝑥3) b) 𝑦 = ln (𝑡𝑔ℎ 𝑥) c) 𝑦 = 𝑐𝑜𝑡𝑔ℎ (ln 𝑥) 
d) 𝑦 = √4𝑥 + 𝑐𝑜𝑠ℎ2(5𝑥) e) 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛ℎ (𝑥 3⁄ ) 
f) 𝑦 =
1
𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔ℎ 𝑥
 
 
Derivação Implícita 
Q29) Use a diferenciação implícita para encontrar 𝑑𝑦 𝑑𝑥⁄ se 
a) 5𝑦2 + 𝑠𝑒𝑛 𝑦 = 𝑥2 b) 𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑦 = 𝑡𝑔 𝑦 
Q30) Use a diferenciação implícita para encontrar 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2⁄ se 
4𝑥2 − 2𝑦2 = 9 
Q31) Encontre as inclinações das retas tangentes nos pontos (2,-1) e (2,1) 
da curva 𝑦2 − 𝑥 + 1 = 0. 
Q32) Encontre por derivação implícita 𝑦′(𝑥) 𝑠𝑒 𝑦(𝑥) = √𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑥
3 
 
 
Derivada como Taxa de Variação 
Q33) Uma escada de 5 m de comprimento está encostada em uma parede. Se 
a extremidade inferior da escada for afastada do pé da parede a uma 
velocidade constante de 2 m/s, com que velocidade (em m/s) a extremidade 
superior estará descendo no instante em que a distância da extremidade 
inferior ao pé da parede for o dobro da distância da extremidade superior ao 
chão? 
Q34) Um ponto move-se ao longo do gráfico de 𝑦 = 𝑥2 + 1 de tal modo que a 
sua abscissa x varia a uma velocidade constante de 3 (cm/s). Qual é, quando 
x=4 (cm), a velocidade da ordenada y? 
Q35) O raio r de uma esfera está variando, com o tempo, a uma taxa constante 
de 5(m/s). Com que taxa estará variando o volume da esfera no instante em 
que r=2(m)? 
 
Reta tangente e reta normal ao gráfico de uma função 
Q36) Seja 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥. Determine as equações das retas tangente e 
normal no ponto de abscissa 0. 
Q37) Determine a equação da reta que é perpendicular à reta 2𝑦 + 𝑥 = 3 
e tangente ao gráfico de 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥. 
 
Derivada da Função Inversa 
Q38) Encontre a derivada das funções a seguir. Em cada caso, a função 𝑦 é 
considerada estar definida para todo 𝑥 real para o qual a expressão da 
função dada tem significado. 
a) 𝑦 = arccos 𝑥 
b) 𝑦 = arcsen 𝑒𝑥 
c) 𝑦 = arccotg 𝑥 
d) 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 + 
1
3
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (𝑥3) 
e) 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥 + √1 + 𝑥2) 
f) 𝑦 = ln (arccos
1
√𝑥
) 
Q39) Seja 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 𝑒𝑥 e seja g a função inversa de f. Calcule 𝑔′(1) e 
𝑔′′(1) 
 
 
Regras de L’Hospital 
Q40) Calcule: 
a) lim𝑥→1
𝑥5−6𝑥3+8𝑥−3
𝑥4−1
 
b) lim𝑥→+∞(𝑥 + 1)
1
ln 𝑥 
c) lim𝑥→0
𝑥−𝑡𝑔 𝑥
𝑥3
 
 
Esboço de Gráficos 
Q41) Esboce os gráficos (encontre pontos de intercepto, pontos de 
máximo e mínimos locais, intervalos de crescimento e de decrescimento, 
concavidade e pontos de inflexão, assíntotas, etc) das seguintes funções: 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥 + 1 
b) 𝑓(𝑥) =
4𝑥+5
𝑥2−1
 
 
Q42) Estude a função 𝑓(𝑥) =
𝑥2
𝑥2−2
 com relação à concavidade e pontos 
de inflexão. 
 
Problemas de Máximos e Mínimos 
Q43) Determine dois números positivos cuja soma seja 4 e tal que a soma 
do cubo do menor com o quadrado do maior seja mínima. 
Q44) Deseja-se construir uma caixa, de forma cilíndrica, de 1𝑚3 de 
volume. Nas laterais e no fundo será utilizado material que custa R$10 o 
metro quadrado e na tampa material de R$20 o metro quadrado. 
Determine as dimensões da caixa que minimizem o custo do material 
empregado. 
Q45) Determine o ponto M, pertencente ao gráfico de 𝑦 = 𝑥3, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 
de modo que a área do triângulo de vértices (0,0), (1,1) e M seja máxima.