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Álgebra Linear
Determinante e Matriz Inversa
Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello
cabm@cin.ufpe.br 1
Determinante e Matriz Inversa
Prof. Carlos Alexandre Mello
cabm@cin.ufpe.br
Conceitos Preliminares
• Considere o sistema ax = b, a ≠ 0.
• A solução para este sistema é x = b/a
• Observe que o denominador está associado à matriz 
dos coeficientes do sistema
Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello
cabm@cin.ufpe.br 2
dos coeficientes do sistema
• Em um sistema 2x2 teríamos:
a11x1 + a12x2 = b1
a21x1 + a22x2 = b2
x1 = b1a22 – b2a12
a11a22 – a12a21
x2 = b2a11 – b1a21
a11a22 – a12a21
Denominadores
iguais
Determinante
• Quando nos referimos ao determinante, isto é, ao 
número associado a uma matriz quadrada A = [aij], 
escreveremos
� det A ou |A| ou det[aij]
Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello
cabm@cin.ufpe.br 3
• Então:
� det[a] = a
� det = = a11a22 – a12a21
� det[A3x3] = = .... 
a11 a12
a21 a22
a11 a12
a21 a22
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
Determinante 3x3
( )
121
121112211
211
112
121
det −××+××+××=










Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello
cabm@cin.ufpe.br 4
112
121
211
112
Determinante 3x3
( )
( )111111222
121112211
211
112
121
det
××+××+××−
−××+××+××=










Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello
cabm@cin.ufpe.br 5
112
121
211
112
121
Determinante 3x3
( )
( )
121
4106111111222
121112211
211
112
121
det
−=−=××+××+××−
−××+××+××=










Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello
cabm@cin.ufpe.br 6
112
121
211
112
121
Determinante
• Definição: Permutação é o ordenamento de um 
grupo de objetos, em que a ordem na qual estes 
objetos estão dispostos, faz diferença.
• Exemplo: (1, 2, 3)
Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello
cabm@cin.ufpe.br 7
Exemplo: (1, 2, 3)
– Permutações: {(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), 
(3, 2, 1)}
Determinante
• Definição: Dada uma permutação dos inteiros 1, 2, 
..., n, existe uma inversão quando um inteiro precede 
outro menor do que ele.
• Exemplo: 1, 2, 3
Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello
cabm@cin.ufpe.br 8
Exemplo: 1, 2, 3
Permutação no. de inversões inversões
(1 2 3) 0 -
(1 3 2) 1 (3 e 2)
(2 1 3) 1 (2 e 1)
(2 3 1) 2 (2 e 1) e (3 e 1)
(3 1 2) 2 (3 e 1) e (3 e 2)
(3 2 1) 3 (3 e 2), (3 e 1) e (2 e 1)
Determinante
• Exemplo: 1, 2, 3, 4
Permutação no. de inversões inversões
(3 2 1 4) 3 (3 e 2), (3 e 1) e (2 e 1)
(4 3 2 1) 6 (4 e 3), (4 e 2), (4 e 1)
(3 e 2), (3 e 1) e (2 e 1)
Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello
cabm@cin.ufpe.br 9
(3 e 2), (3 e 1) e (2 e 1)
Determinante
• Considere o determinante de:
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
= a11a22a33 – a11a23a32 – a12a21a33
+ a12a23a31 + a13a21a32 – a13a22a31
det
Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello
cabm@cin.ufpe.br 10
Observe que:
1) temos, no resultado, cada parcela da forma a1ia2ja3k, 
onde i, j, k são todas as permutações de 1, 2, 3:
(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1)
2) o sinal é negativo quando a permutação tem um
número ímpar de inversões.
Determinante
• Definição: det[aij] = Σρ(-1)
Ja1j1a2j2...anjn, onde J = J(j1, ..., 
jn) é o número de inversões da permutação (j1,j2...,jn) 
e ρ indica que a soma é estendida a toda as n! 
permutações de (1 2... n)
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• OBS:
� Se J é par, (-1)J = 1; se J é ímpar (-1)J = -1
� Em cada termo do somatório, existe um e apenas um 
elemento de cada linha, e um e apenas um elemento de 
cada coluna da matriz
Determinante
• Propriedades:
� Se todos os elementos de uma linha ou uma coluna de 
uma matriz A são nulos, então det(A) = 0
� det(A) = det(A’)
� Se multiplicarmos uma linha da matriz por uma constante, 
Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello
cabm@cin.ufpe.br 12










−=










−
162
321
510
det3
162
963
510
det
� Se multiplicarmos uma linha da matriz por uma constante, 
o determinante fica multiplicado por esta constante
• Propriedades:
� Uma vez trocada a posição de duas linhas, o determinante 
muda de sinal
 − 963510
Determinante
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cabm@cin.ufpe.br 13
� O determinante de uma matriz que tem duas linhas ou 
colunas iguais é zero









 −
−=










−
162
510
963
det
162
963
510
det
Determinante
• Propriedades:
� O determinante não se altera se somarmos a uma linha 
outra linha multiplicada por uma constante
� det (A.B) = det(A).det(B)
� det(A + B) ≠ det(A) + det(B), mas:
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cabm@cin.ufpe.br 14
� det(A + B) ≠ det(A) + det(B), mas:
a11 …. a1n
… …
bi1+ci1 …. bin + cin
… …
an1 …. amn
det = det + det
a11 ... a1n
… …
bi1 …. bin
… …
an1 …. amn
a11 ... a1n
… …
ci1 …. cin
… …
an1 …. amn
Determinante
Desenvolvimento de Laplace
• Vimos que:
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
= a11a22a33 – a11a23a32 – a12a21a33
+ a12a23a31 + a13a21a32 – a13a22a31
det
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cabm@cin.ufpe.br 15
= a11(a22a33 – a23a32) – a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 –a22a31)
= a11.det - a12.det + a13.det
Observe o padrão do determinante…
a22 a23
a32 a33
a21 a23
a31 a33
a21 a22
a31 a32
Determinante
Desenvolvimento de Laplace
= a11.det a22 a23a32 a33
a a
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11 a12 a13
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cabm@cin.ufpe.br 16
- a12.det
+ a13.det
a21 a23
a31 a33
a21 a22
a31 a32
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
Determinante
Desenvolvimento de Laplace
• Assim, det A = a11∆11 + a12∆12 + a13∆13
• Onde
� ∆ij = (-1)i+j|Aij| = cofator
� e A é a submatriz da matriz inicial, retiradas a i-
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cabm@cin.ufpe.br 17
� e Aij é a submatriz da matriz inicial, retiradas a i-
ésima linha e j-ésima coluna
• Para matrizes de ordem n:
� det Anxn = Σj=1
n aij ∆ij
Determinante
Desenvolvimento de Laplace
• Exemplo:
|A| = = -2.∆12 + 1.∆22 + (-1)∆32
1 -2 3
2 1 -1
-2 -1 2
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….
Determinante
Desenvolvimento de Laplace
• O desenvolvimento de Laplace é uma fórmula 
de recorrência que permite calcular o 
determinante de uma matriz de ordem n, a 
partir dos determinantes das submatrizes 
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partir dos determinantes das submatrizes 
quadradas de ordem n-1
Matriz Adjunta
• Dados todos os possíveis cofatores de A (∆ij), 
podemos montar uma matriz cujos elementos 
são esses cofatores (A)
� Lembrando que ∆ij = (-1)i+j|Aij| 
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cabm@cin.ufpe.br 20
� Lembrando que ∆ij = (-1)i+j|Aij| 
• A matriz adjunta de A e a transposta da matriz 
dos cofatores de A
� ( A )’
• Teorema: A.A’ = A.(adj A) = (det A).In
Matriz identidade
de ordem n
Adjunta de A
Matriz Inversa
• Definição: Dada uma matriz quadrada A de 
ordem n, chamamos de inversa de A a uma 
matriz B tal que A.B – B.A = In, onde In é a 
matriz identidade de ordem n
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cabm@cin.ufpe.br 21matriz identidade de ordem n
� Escrevemos A-1 para indicar a inversa de A
Matriz Inversa
• Exemplo: Se A = , encontre a inversa 
de A
� Ou seja, queremos encontrar
6 2
11 4
a b
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cabm@cin.ufpe.br 22
� tal que A.A-1 = A-1.A = I3
a b
c dA
-1
= 
Matriz Inversa
6 2
11 4
a b
c d
=
1 0
0 1
Temos assim: Resolvendo o sistema
Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello
cabm@cin.ufpe.br 23
Temos assim:
6a + 2c = 1
6b + 2d = 0
11a + 4c = 0
11b + 4d = 1
Resolvendo o sistema
encontramos:
a = 2
b = -1
c = -11/2
d = 3
Matriz Inversa
• Observações:
� Se A e B são matrizes quadradas de mesma 
ordem, (AB)-1 = B-1.A-1
� Se A é uma matriz quadrada e existe uma matriz B 
Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello
cabm@cin.ufpe.br 24
� Se A é uma matriz quadrada e existe uma matriz B 
tal que BA = I, então A é inversível e B = A-1
� Nem toda matriz tem inversa
0 2
0 1
Matriz Inversa
• Teorema: Uma matriz quadrada A tem inversa 
se, e somente se, det A ≠ 0
� A-1 = (1/det A).(adj A)
• Exemplo: 6 2
Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello
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• Exemplo:
• Exemplo: 
6 2
11 4
6 2
12 4
Procedimento para Inversão de 
Matrizes
• Exemplo
(A : I) → (I : A-1)
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2 1 0 0
1 0 -1 1
0 1 1 1
-1 0 0 3
A =
Procedimento para Inversão de 
Matrizes
• Exemplo
2 1 0 0 1 0 0 0
1 0 -1 1 0 1 0 0
0 1 1 1 0 0 1 0
Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello
cabm@cin.ufpe.br 27
0 1 1 1 0 0 1 0
-1 0 0 3 0 0 0 1
Procedimento para Inversão de 
Matrizes
• Exemplo (cont.)
1 0 -1 1 0 1 0 0
2 1 0 0 1 0 0 0
0 1 1 1 0 0 1 0
Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello
cabm@cin.ufpe.br 28
0 1 1 1 0 0 1 0
-1 0 0 3 0 0 0 1
L2 = -2.L1 + L2
L3 = L3
L4 = L1 + L4
Procedimento para Inversão de 
Matrizes
• Exemplo (cont.)
1 0 -1 1 0 1 0 0
0 1 2 -2 1 -2 0 0
0 1 1 1 0 0 1 0
Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello
cabm@cin.ufpe.br 29
0 1 1 1 0 0 1 0
0 0 -1 4 0 1 0 1
L1 = L1
L3 = -1.L2 + L3
L4 = L4
Procedimento para Inversão de 
Matrizes
• Exemplo (cont.)
1 0 -1 1 0 1 0 0
0 1 2 -2 1 -2 0 0
0 0 -1 3 -1 2 1 0
Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello
cabm@cin.ufpe.br 30
0 0 -1 3 -1 2 1 0
0 0 -1 4 0 1 0 1
L3 = -1.L3
L1 = L3 + L1 L4 = L3 + L4
L2 = -2.L3 + L2
Procedimento para Inversão de 
Matrizes
• Exemplo (cont.)
1 0 0 -2 1 -1 -1 0
0 1 0 4 -1 2 -2 0
0 0 1 -3 1 -2 -1 0
Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello
cabm@cin.ufpe.br 31
0 0 1 -3 1 -2 -1 0
0 0 0 1 1 -1 -1 1
L4 = L4
L1 = 2.L4 + L1 L3 = 3.L4 + L3
L2 = -4.L4 + L2
Procedimento para Inversão de 
Matrizes
• Exemplo (cont.)
1 0 0 0 3 -3 -3 2
0 1 0 0 -5 6 2 -4
0 0 1 0 4 -5 -4 3
Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello
cabm@cin.ufpe.br 32
0 0 1 0 4 -5 -4 3
0 0 0 1 1 -1 -1 1
Exercícios Sugeridos
• 4
• 6
• 8a
• 9a
Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello
cabm@cin.ufpe.br 33
• 9a
• 12
A Seguir...
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