Limites I

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Professor: Joelson de Araújo Delfino 
 
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Neste material você encontrará informações importantes no desempenho para a disciplina de Cálculo I e 
porque não dizer também no seu cotidiano, já que as ferramentas utilizadas estão presentes em nosso dia a dia, nas 
mais diferentes áreas do conhecimento. 
O módulo servirá de base conceitual para a apresentação dos conteúdos que envolvem conceitos 
matemáticos, os quais servirão e nos guiarão no decorrer do curso. 
È bom relatar, que esse material foi confeccionado sem fins lucrativos, utilizando materiais disponíveis na web, por 
vários autores em sites bem como literatura pertinentes a área, com objetivo de colaborar com o bom desempenho 
dos acadêmicos do Curso de Engenharia da FACTO, na disciplina de Cálculo I. 
 
Bons estudos ! 
 
Professor 
Joelson de Araújo Delfino 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apresentação 
 2 
1 – Estudos de limites 
Introdução 
Na atualidade, o desenvolvimento científico e tecnológico nos remete, cada vez mais, a 
conhecimentos de conceitos matemáticos que se consorciam com teorias paralelas de outras 
áreas correlatas. 
O conhecimento e os conceitos das teorias clássicas do cálculo diferencial e integral 
servem como ferramentas indispensáveis à evolução da ciência no mundo contemporâneo. 
São amplamente difundidos e usados em física, química, engenharia, economia, e, em 
especial, na área das novas tecnologias da informática e da comunicação. 
 Visivelmente, as necessidades dos conhecimentos matemáticos crescem conjuntamente 
com a demanda tecnológica e educacional, consolidando o trânsito em disciplinas 
subseqüentes da estrutura curricular para ampliar e consolidar o campo da visão matemática. 
1.1 Definição indutiva de limite 
Seja uma função f definida pela equação 
3x
)3x()1x2(
3x
3x5x2
)x(f
2
-
-
-




 
 
Dividindo o numerador e o denominador por x- 3, resulta na expressão 
3xpara,1x2)x(f 
 
Vamos verificar o comportamento da função, à direita e à esquerda, próximo ao ponto x = 3. 
À direita: 
x 3,5 3,2 3,1 3,01 3,001 
f (x) = 2x + 1, x≠3 8,0 7,4 7,2 7,02 7,002 
 
À esquerda: 
x 2,5 2,7 2,9 2,99 2,999 
f (x) = 2x + 1, x≠3 6,0 6,4 6,8 6,98 6,998 
 
Concluímos que quanto mais o valor de x se aproxima de 3, tanto mais o valor da f(x) se 
aproxima de 7; essa observação vale para valores de x, à direita ou a esquerda de x = 3. 
Nas duas tabelas, tomando valores para x de 2,99 e 3,01, observamos que os valores 
para f(x) correspondem, respectivamente, a 6,98 e 7,02, distando de ∓0,02 de 7. 
Professor: Joelson de Araújo Delfino 
 
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Então, 
01,03x0quando02,07)x(f 
 
Essa condição 
3x0 
 nos leva a uma análise nos valores de f ( x ) nas proximidades de 
7, ou seja, para valores extremamente próximos de x = 3, e isso pode ser melhor demonstrado 
pela figura 1 a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1: Gráfico da função 
3-
352
)(
2
x
xx
xf


 
 Assim, podemos então concluir que não interessa o comportamento da função no ponto 
a; no caso x = 3, temos que: 
71x2lim
3x


 
 
1.2 Definição formal de limite 
 Seja f uma função definida em todos os pontos de um intervalo aberto contendo a, com 
exceção do próprio ponto a. O limite de f(x) quando x se aproxima de a é L , expresso 
por
L)x(fLim
ax


, para todo número positivo , exista um número positivo  tal que 
L)x(f
 
para todo 
 ax0
, (Figura 2). 
 
7 
f (x) = y 
x 3 
f (x) 
2 4 
 4 
 
Figura 2: Gráfico representando a definição formal de limite 
 
Logo, temos que: 


L)x(fax0:quetal,0,0L)x(flim
ax
 
 
Exemplo 1 
 Tomando como exemplo a função f(x) = 2x + 1 já estudada anteriormente, podemos 
determinar um valor para δ > 0 para o valor dado de ε, utilizando a definição formal de limites: 
7)1x2(lim
3x


  = 0,002 
Pela definição temos que: 
7Le002,0,com,L)x(f 
 
  
Assim: 





:olog,axa,sesomenteseax
:quetemos,módulodefiniçãoPela:Obs
002,07)x(f
 
  
002,7)x(f998,6
002,07)x(f002,0


 
Como f(x) = 2x +1, podemos determinar o valor de  através de: 
 
001,3x999,2
002,6x2998,5
002,71x2998,6



 
 
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Assim, se x  3 e x está compreendido no intervalo 2,999 < x < 3,001 podemos afirmar que  
= 0,001 
1.3 Teoremas fundamentais 
 Para facilitar alguns cálculos envolvendo os conceitos de limites, podemos utilizar alguns 
teoremas, demonstrados a seguir. 
Teorema 1 
Se m e c são constantes quaisquer, 
cma)cxm(Lim
ax


 
Exemplo: 
10423)4x3(Lim
2x


 
Teorema 2 
Se c é uma constante, então para qualquer número a, 
1717Lim
Exemplo
ccLim
2x
ax




 
Teorema 3 
5xLim
Exemplo
axLim
5x
ax




 
Teorema 4 
 
27337Limx3Lim)7x3(Lim
Exemplo
QL)x(g)x(fLim
então,Q)x(gLimeL)x(fLim
3x3x3x
ax
axax






 
Teorema 5 
  n21n21
ax
nn
ax
22
ax
11
ax
L.....LL)x(f.....)x(f)x(fLim
entãoL)x(fLim....,,.........L)x(fLim,L)x(fLimSe




 
Teorema 6 
 6 
14)7(28xLim)7x3(Lim
78xLime2)7x3(Lim
Exemplo
QL)x(Lim)x(fLim
então,Q)x(gLimeL)x(fLim
1x3x
1x3x
axax
axax








 
Teorema 7 
  n21n21
ax
nn
ax
22
ax
11
ax
L.....LL)x(f.....)x(f)x(fLim
entãoL)x(fLim....,,.........L)x(fLim,L)x(fLimSe




 
Teorema 8  
  1255)3x(Lim)3x(Lim
:Exemplo
L)x(fLim
então,positivoeirointnúmeroumé"n"e,L)x(fLimSe
3
3
2x
3
2x
nn
ax
ax




 





 
Teorema 9 
4
5
4
5
)8x(
)7x3(
Lim
)8x(Lim
)7x3(Lim
48xLime5)7x3(Lim
Exemplo
0Q,se
Q
L
)x(g
)x(f
Lim
então,Q)x(gLimeL)x(fLim
4x
4x
4x
4x4x
ax
axax

















 
Teorema 10 
.ímparene0Lseou,ne0LSeL)x(fLim
,então,L)x(fLim
nn
ax
ax




 
Professor: Joelson de Araújo Delfino 
 
7 
3
4
x
64
Lim
x
64
Lim
Exemplo
3
33x
3
33x


 
 
 Esses teoremas explicam detalhadamente o processo do cálculo dos limites. Podemos, 
agora, calcular, de maneira mais objetiva, os limites, fazendo uma simples substituição do valor 
da tendência na variável da função. 
Exemplos 
64x4lim)3
32)13332()13xx2(lim)2
3
3
9
3
3
3
3
1
3
1
6
2
333
5343
3x3
5x4x
lim)1
2
4x
2323
3x
22
3x










