Gabarito q4ad2 2016 1

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AD2 - GABARITO DA QUESTA˜O 4 - 2016–1
O custo y de produc¸a˜o de x litros de sabonete l´ıquido e´ dado pela equac¸a˜o de uma para´bola, cujo
gra´fico esta´ representado na Figura abaixo, em que x ≥ 0.
-20 5
x
375
525
775
y
Nestas condic¸o˜es,
a) (1.6 pt) Determine a expressa˜o do custo de produc¸a˜o em termos da quantidade x.
b) (0.9 pt) Determine a quantidade de litros produzida que corresponde ao custo de R$ 1125,00.
Soluc¸a˜o:
a) Seja y = ax2 + bx+ c a equac¸a˜o da para´bola que representa o custo de produc¸a˜o em termos da
quantidade x. Temos de determinar a, b e c.
No gra´fico da Figura dada, temos que a para´bola passa pelos pontos (0, 375), (−20, 775) e
(5, 525). Assim, as coordenadas destes pontos tem de satisfazer a equac¸a˜o y = ax2 + bx+ c.
Substituindo x = 0, y = 375 em y = ax2 + bx + c, temos que 375 = a(0)2 + b(0) + c, isto e´,
obtemos que c = 375. Logo, y = ax2 + bx+ 375.
Substituindo, agora, as coordenadas dos pontos (−20, 775), (5, 525) em y = ax2 + bx + 375,
obtemos o sistema linear de equac¸o˜es{
775 = a(−20)2 + b(−20) + 375
525 = a(5)2 + b(5) + 375
⇐⇒
{
400a− 20b = 400
25a+ 5b = 150
⇐⇒
{
20a− b = 20
5a+ b = 30
Em seguida, somamos as duas equac¸o˜es do sistema resultante (cancelando os termos que depen-
dem de b):
Me´todos Determin´ısticos I AD1 - questa˜o 1 2
20a− b = 20
5a+ b = 30
25a + 0b = 50
Da´ı, 25a = 50⇐⇒ a = 50
25
⇐⇒ a = 2.
Em seguida, substituimos a = 2 na segunda equac¸a˜o 5a+ b = 30 para determinar b:
5a+ b = 30 ⇐⇒ 5(2) + b = 30
⇐⇒ 10 + b = 30
⇐⇒ b = 30− 10
⇐⇒ b = 20.
Logo, a = 2 e b = 20 e, portanto, o custo de produc¸a˜o y em termos da quantidade x e´ represen-
tado pela equac¸a˜o y = 2x2 + 20x+ 375 , com x ≥ 0.
b) Quando o custo e´ R$ 1125,00, isto e´, y = 1125, segue que
1125 = 2x2 + 20x+ 375 ⇐⇒ 2x2 + 20x− 750 = 0
⇐⇒ x2 + 10x− 375 = 0
⇐⇒ x = −10±
√
(10)2 − 4(1)(−375)
2
=
−10±
√
1600
2
⇐⇒ x = 15, x = −25.
Como x representa a quantidade de litros, que e´ um nu´mero positivo, segue que a quantidade de
litros produzida que corresponde ao custo de R$ 1125,00 e´ igual a 15 litros.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ