2 ciclo trigonometrico

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Trigonometria 
Cilco Trigonométrico 
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Dr. Marcio Eugen 
Revisão Textual:
Prof. Ms. Fatima Furlan 
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• Introdução
• Números Congruentes
• Função Tangente 
• Seno e Cosseno na Circunferência Trigonométrica
• Relação Fundamental
Nesta unidade, estudaremos:
- Definição;
- Correspondência entre número e pontos no ciclo;
- Números congruentes;
- Seno no ciclo trigonométrico;
- Cosseno no ciclo trigonométrico;
- Seno e Cosseno de 30º, 45º e 60º;
- Seno e cosseno de números congruentes;
- Relação fundamental;
- Aplicações. 
Ao término desta Unidade, desejamos que você seja capaz de resolver atividades que 
envolvam os tópicos abordados sobre o ciclo trigonométrico.
 · Iniciaremos pela definição do ciclo trigonométrico, depois 
passaremos a correspondência entre números reias e os 
pontos do ciclo, números congruentes, as relações de seno e 
cosseno no ciclo trigonométrico e a relação fundamental.
 · Situações práticas e aplicações envolvendo os conteúdos 
abordados sobre o ciclo trigonométrico encerram a unidade.
Cilco Trigonométrico
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Unidade: Cilco Trigonométrico
Contextualização
Veja algumas situações-problema em que usamos os tópicos abordados na unidade sobre 
ciclo trigonométrico.
1. Uma colônia de bactérias de população B se prolifera segundo a variação de tempo t, 
obedecendo a função:
B(t) = 275 – 150 cos [ (t+2)л ]/3
Considerando que o tempo é dado em horas. Qual será quantidade de bactérias daqui a 
11 horas?
a) Qual a relação entre o tempo e o tamanho da população de bactérias?
b) Qual função trigonométrica está sendo utilizada nesse exercício?
c) Qual seria o gráfico dessa função? Qual o ponto de partida do gráfico? 
d) Que relações matemáticas estão envolvidas na resolução desse exercício?
2. O lucro de uma grande empresa, em milhões de dólares, é dado por?
L(y) = 200 + 20x + 10. Sen (лy/8), onde:
Y = 0 corresponde ao ano de 2010
Y= 1 corresponde ao ano de 2011
Y= 2 corresponde ao ano de 2012 e assim sucessivamente. 
a) Qual será o lucro dessa empresa em 2018?
b) Qual a relação entre o tempo em anos e o lucro da empresa?
c) Qual relação trigonométrica está sendo utilizada para determinar o lucro 
dessa empresa?. 
3. Um braço de rio lança ao oceano certa quantidade de água em função do tempo. Sabendo 
que o nível da maré influencia a quantidade de água doce despejada ao mar, sendo que 
na maré baixa MB, a água avança em direção ao mar na ordem de 100000 litros por hora, 
enquanto na maré alta MA, avança 50000 litros por hora. 
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Considerando que a função de água lançada ao oceano A(t) é dada pela função A(t) = 1000 
+ sen л.t
a) Qual seria o tópico estudado nessa unidade utilizado para resolver esta 
questão?
b) Qual o relação entre a maré e o despejo de água no oceano? 
c) Qual a diferença entre o despejo na Maré baixa e na Maré alta para um 
período de 2 horas?
d) Que relações podem ser estabelecidas entre a função seno e o despejo de 
água em função do tempo?
4. Depois de três horas, qual será a medida do ângulo formado pelo ponteiro dos minutos? 
a) Qual a relação entre os ponteiros do relógio e o ângulo?
b) Qual o seno e cosseno do ângulo formado? Em qual dos eixos estará o 
resultado dessa relação?
c) E se a pergunta fosse feita em relação ao ponteiro dos segundo, o que 
mudaria?
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Unidade: Cilco Trigonométrico
Introdução
Considere uma circunferência de raio 1 e origem O. Essa circunferência se denomina ciclo 
trigonométrico ou circunferência trigonométrica.
Os pontos 0; л/2; л; 3л/2 e 2л são as intersecções do circulo trigonométrico com os eixos de 
coordenadas x e y, que dividem o ciclo em 4 partes idênticas, denominadas quadrantes.
 
I
r=1
II
III IV
0O
2
pi
2pi
3pi
pi
2
Na figura, pode-se observar que:
• I Quadrante está compreendido entre 0º e 90º ;
• II Quadrante está compreendido entre 90º e 180º;
• III Quadrante está compreendido entre 180º e 270º;
• IV Quadrante está compreendido entre 270º e 360º.
A
O
1
-1
1-1 x
y
Sabendo as divisões do ciclo trigonométrico, podemos identificar a qual quadrante um arco 
pertence e também estabelecer as relações com outros arcos de diferentes valores, que podem 
ser congruentes em certos casos.
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Como base para orientação do comprimento do arco utilizamos o ponto A como ponto 
de partida, origem do ciclo, percorrendo no sentido horário ou anti-horário, dependendo de 
cada caso.
Saber a correspondência entre um número real e ligá-lo a pontos do clico trigonométrico é 
uma tarefa importante. Supondo que um número x tenha valor igual à zero (x=0), podemos 
fazer a correspondência desse número com o ponto de origem do ciclo. 
No caso do número ser diferente de zero, teremos duas opções, para o caso de x >0, deve-se 
percorrer o sentido anti-horário. E para valores de x< 0, percorremos o sentido horário. O ponto 
correspondente no ciclo será a imagem de x e o comprimento do percurso será o modulo de x.
Vamos determinar a imagem do número x= л/2, que representam um quarto do ciclo.
 
Números Congruentes
A congruência ocorre toda vez que uma nova volta se completa sobre um ponto. Por exemplo, 
um ponto x acrescido de uma volta 2л, é exatamente x mais uma volta.
Podemos exemplificar com pontos côngruos ou congruentes:
x; x+2л; x+4л; x+6л; x+8л; etc.
O mesmo vale para x-2л; x-4л; x-6л; x-8л; etc.
Generalizando, temos que x + (número par)л
Vamos ver alguns exemplos de números congruentes:
a) Quais os números congruentes a л/2
• Com o acréscimo de uma volta no sentido anti-horário (+): 
л/2 + 2 л = 5 л/2
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Unidade: Cilco Trigonométrico
• Com o acréscimo de uma volta no sentido horário (-): 
л/2 - 2 л = - 3 л/2 
• Com o acréscimo de duas voltas no sentido anti-horário (+): 
л/2 + 4л = 9 л/2 
• Com o acréscimo de duas voltas no sentido horário (-): 
л/2 - 4л = - 7л/2
b) No circulo trigonométrico, vamos marcar a imagem do número indicado:
• 36л 
36л = 18 . 2л + 0
18 voltas
36л = é congruente a 0 (zero)
• 19л 
19л = 18л + л 
18 voltas (18л)
18л é congruente a л.
• 43л/4
43л/4 = (40л + 3л)/4
43л/4 = 10л + 3л/4
5 voltas (10л)
43л/4 é côngruo a 3л/4.
Seno e Cosseno na Circunferência Trigonométrica
Considerando um arco trigonométrico AB qualquer de medida α, denomina-se cosseno de 
α a abscissa (y) do ponto B, e temos que o seno desse mesmo α é a ordenada (x) do ponto B.
A seguir, apresentamos a tabela com os valores notáveis presentes no ciclo trigonométrico.
0º 90º 180º 270º 360º
Sen 0 1 0 -1 0
Cos 1 0 -1 0 1
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Os pontos da circunferência trigonométrica que interceptam os eixos das coordenadas são: 
A= (1,0) ; B= (0,1) ; C =(-1,0) e D =(0,-1).
Podemos admitir que dado um número x qualquer, o correspondente em y (Abscissa) é o 
cosseno de x, e o correspondente em x (ordenada) é o seno de x. Denomina-se de a o ponto 
referente ao cosseno de x e b o ponto referente ao seno de x no ciclo trigonométrico.
 
A
O
Cosx=a
Senx=b
1
-1
1-1 x
x
y
Algumas observações sobre a função seno e cosseno:
- A imagem da função seno é o intervalo [ -1,1];
- O contradomínio da função seno não é igual a sua imagem, logo a função não é sobrejetora.
- A função seno é impar.
- A função seno também não é injetora, pois para diferentes valores de x temos muitas vezes 
a mesma imagem.
- A função seno é uma função periódica, de período 2л.
- A função cosseno não é injetora e nem sobrejetora.
- A função cosseno é par.
- O período da função cosseno é 2л.
Seno e Cosseno de 30º, 45º e 60º 
As definições já apresentadas na unidade sobre as relações métricas no triangulo retângulo 
em um triangulo agudo são equivalentes com as definições do ciclo trigonométrico.
Sen x = Catetooposto / hipotenusa = b/1 = b
Cos x = Cateto Adjacente / hipotenusa = a/1 =a
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Unidade: Cilco Trigonométrico
Os ângulos mais utilizados em graus ou radianos são apresentados a seguir na tabela, para 
30º = л/6; 45º = л/6; 60º = л/3 e 90º = л.
30º 45º 60º
Seno
1
2
2
2
3
2
Cosseno 3
2
2
2
1
2
Congruência de números no ciclo trigonométrico
Para valores de seno e cosseno de números congruentes, basta lembrar que o valor acrescido 
de uma ou mais voltas nos fornecerá o valor côngruo.
Logo para todo valor de x, real e inteiro, temos:
Sen x = (x+ 2л)
Cos x = (x+ 2л)
Para compreender melhor essas relações, vejamos um exemplo, determinando o seno e 
cosseno do ângulo indicado:
• 1350º 
1350º / 360º 
1350º = 3. 360º + 270º. Então,
Sen 1350º = sen 270º = Sen 3л/2 = -1
Cos 1350º = cos 270º = Sen 3л/2 = 0
• 3780º 
3780º / 360º 
3780º = 10 . 360º + 180º. Então,
Sen 3780º = sen 180º = Sen л = 0
Cos 3780º = cos 180º = Cos л = 0
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Função Tangente 
Definimos função tangente como sendo uma função f(x) = tg x ou y = tg x, com x ≠ л/2.
A tg α = AT
α
T
t
M
O
B
B’
.
Considerando um arco AM presente no ciclo trigonométrico, denomina-se tangente de α a 
ordenada correspondente ao ponto T, que pode ser determinado ao se prolongar a raio, como 
podemos verificar na figura apresentada.
Obtemos os valores de seno e cosseno de um ângulo seguindo a relação:
Tg α = sen α / cos α
 
A função tangente tem o seguinte comportamento quando analisada graficamente;
• 1º quadrante: Se x cresce, a tangente cresce de 0 a + ∞.
• 2º quadrante: Se x cresce, a tangente cresce de - ∞ a 0. 
• 3º quadrante: Se x cresce, a tangente cresce de 0 a + ∞.
• 4º quadrante: Se x cresce, a tangente cresce de - ∞ a 0.
A seguir, apresentamos uma tabela com alguns valores de tangente dos ângulos de 30º, 
45º e 60º. 
30º 45º 60º
Tg 3
3
1 3
 
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Unidade: Cilco Trigonométrico
Para compreender melhor a função tangente, resolveremos a seguir alguns exemplos:
a) Verifique se a tangente é maior ou menor que zero para os seguintes casos:
• Tg 85º 
 Localizado no 1º quadrante, podemos afirmar que x cresce, a tangente cresce de 0 a + ∞. 
Logo, a tangente de 85º é menor que zero para esse ângulo.
• Tg 190º 
 Localizado no 3º quadrante, podemos afirmar que se x cresce, a tangente cresce de 0 a + 
∞. Logo, a tangente de 190º é maior que zero para o ângulo indicado.
• Tg 7л/6
 Sabendo que 7л/6 = (7. 180º) /6 = 210º 
 210º está localizado no terceiro quadrante. Logo, podemos afirmar que se x cresce, a tangente 
cresce de 0 a + ∞. Logo, a tangente de 190º é maior que zero para o ângulo indicado.
A função tangente também é uma função periódica, com período igual a л, que se repetirá 
em [л, 2л] ,[2л, 3л] e assim sucessivamente.
Podemos também ter casos em que precisamos calcular a tangente da soma de dois ângulos. 
Para tal tarefa seguiremos os seguintes passos:
Sabendo que soma dos cossenos e dos senos são dadas por:
Cos ( x + y ) = cos x. cos y – sen x. sen y
Sen ( x + y ) = senx .cosy + seny.cos x
A tangente da soma será:
( )
1 – .
tg x tgy
Tg x y
tgx tgy
++ =
Agora, demonstraremos como calcular o seno, cosseno e a tangente do angulo de 75º 
utilizando os valores dos ângulos notáveis que são os ângulos de 30˚, 45˚ e 60˚. 
Substituindo o valor de 75˚ pela soma de 30˚+ 45˚.
Cos75˚ = cos (30˚+ 45˚) = (cos 30˚.cos 45)˚ - ( sen 30˚.sen 45˚)
Cos75˚ ( )75 3 / 2 . 2 / 2 – 1 / 2 . 2( ( ) )) ( ))/ 2 6 / 4 2 / 4Cos = = −
sen75˚= sen (30˚+ 45˚) =( sen 30˚.cos 45)˚ + (.sen 45˚. cos 30˚)
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sen75˚= (1 /2 . 2 / 2) + ( 2 / 2 . 3 / 2 )= 2 / 4 + 6 / 4
tg75˚ = ( 3 ) ( 3 ) / 3 3 3
( 3 ) ))
/ 3 1 3
75
1 – / 3 .1 (3 – / 33) 33 –
tg
+ += += =
tg75˚ = 
Da mesma forma, podemos também utilizar a subtração entre ângulos conhecidos para se 
determinar o ângulo de 15º.
Considerando que o cosseno, seno e a tangente da diferença são dados por:
Cos( x - y ) = cosx.cosy + senx.seny
Sen( x - y ) = senx.cosy – seny.cosx
Tg ( x – y ) = ( )–
1 .
tg x tgy
Tg x y
tgx tgy
-=
+
Resolvendo:
Cos 15˚= cos ( 60˚ - 45˚ ) = cos 60˚.cos 45˚ + sen60˚.sen45˚
Cos 15˚= .(1 / 2. ( 2 ) / 2 ) ) + (( 3 ) / 2. ( 2 / 2 ) ) = 2 ) / 4 + 6 ) / 4
Sen15˚= sen ( 60˚- 45˚ ) = sen 60˚.cos 45˚ - sen45˚. cos60˚ 
Sen15˚ = ( ) 3 2. 2 /2 2 2 . ½ 6 4( ( ) ) ( 2 /) 4) − = −
tg15˚ = 
 60 45 3 1 3 1
15 (60 45 )
1 60 . 45 1 ( 3.1) 1 3
tg tg
tg tg
tg tg
- - -= - = = =
+ + +
 
  
 
tg 15˚ = 
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Unidade: Cilco Trigonométrico
Relação Fundamental
A relação fundamental pode ser obtida aplicando-se o teorema de Pitágoras no triangulo 
contido na figura, elevando os catetos ao quadrado, no caso os valores de seno e coseno 
resultando no valor da hipotenusa ao quadrado, que é o é valor do raio de medida 1. Logo a 
relação é dada por sen2 + cos2 =1.
 
A
O
Cosx
Senx
1
-1
1
1
-1 x
P
y
Podemos exemplificar a relação fundamental, aplicando tal relação para o cálculo do cosx na 
condição em que senx =3/5 e 0º < x <90º.
É possível afirmar que x está no 1º quadrante do ciclo trigonométrico, portanto o cosseno de 
x deve ser maior que zero.
Aplicando a relação fundamental, temos:
Cosx =
 
2 31 1 2
5
9 16
1 4/5
25 25
Cosx sen x
Cosx
æ ö÷ç= ± - = - ÷ç ÷çè ø
= - = =
Cosx= 
2 31 1 2
5
9 16
1 4/5
25 25
Cosx sen x
Cosx
æ ö÷ç= ± - = - ÷ç ÷çè ø
= - = =
Além de entender as funções trigonométricas, bem como as relações e outros conceitos 
abordados no estudo da trigonometria, é muito importante lembrar um pouco sobre os 
produtos notáveis, que nos auxiliam em diversas situações, que são apresentadas a seguir em 
um breve resumo.
Produtos notáveis
• Quadrado da soma de dois termos
( x + y )2 = x2 + 2.x.y + y2 
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Exemplo:
( x + 2 ) 2 = x2 + 2.x.2 + 22 = x2 + 4x + 4
• Quadrado da diferença de dois termos
( x - y )2 = x2 - 2.x.y + y2 
Exemplo:
( x - 3 ) 2 = x2 - 2.x.3 + 32 = x2 - 6x + 9
• Produto da soma pela diferença de dois termos
x2 - y 2 = ( x + y). ( x – y )
Exemplo:
( x -2 ). ( x + 2 )= x 2 + 2x -2x – 4 = x 2 – 4
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Unidade: Cilco Trigonométrico
Material Complementar
Para aprofundar seus estudos sobre Ciclo trigonométrico, consulte as indicações a seguir:
1. O presente artigo intitulado “Trigonometria no Ensino Médio: A Construção de 
Alguns Conceitos”, de Cristiane Maria Roque Vazquez, investiga com quatro turmas do 
Ensino Médio de uma escola pública os conceitos de trigonometria com a atuação ativa 
dos alunos, permitindo a formulação de conceitos e suas relações. http://www.lematec.net/
CDS/ENEM10/artigos/RE/T11_RE1163.pdf
2. http://www.brasi lescola.com/matematica/identif icando-os-quadrantes-ciclo-
trigonometrico.htm
3. http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm22/circulo_trigonometrico.htm
4. O capitulo 4 do livro Matemática contexto e aplicações, de Luiz Roberto Dante. São 
Paulo, Ática, 2000.
5. A parte 10 do livro Matemática do Ensino Médio (volume I), de Antonio dos Santos 
Machado. São Paulo, Atual, 1996.
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Referências
DANTE, L. R. Matemática: Contexto e aplicações – Vol 1. São Paulo:Ática, 2011.
GIOVANNI, José Ruy. Matemática Completa. 2.ed.. São Paulo: FTD, 2005
IEZZI...[et.al], Gelson. Matemática: Ciência e aplicações: Ensino médio. 6.ed. São Paulo: 
Saraiva, 2010.
MACHADO, Antonio dos Santos. Matemática na escola: Ensino médio – Vol.1. 2.ed. São 
Paulo: Atual, 1996.
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Unidade: Cilco Trigonométrico
Anotações
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