Teoria dos Conjuntos

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1. TEORIA DOS CONJUNTOS 
 
 
Símbolos 
 
: pertence : existe 
: não pertence : não existe 
: está contido : para todo (ou qualquer que seja) 
: não está contido : conjunto vazio 
: contém N: conjunto dos números naturais 
: não contém Z : conjunto dos números inteiros 
/ : tal que Q: conjunto dos números racionais 
: implica que Q'= I: conjunto dos números irracionais 
: se, e somente se R: conjunto dos números reais 
 
 
Símbolos das operações 
 
A  B: A intersecção B 
A B: A união B 
a - b: diferença de A com B 
a < b: a menor que b 
a 

 b: a menor ou igual a b 
a > b: a maior que b 
a

b: a maior ou igual a b 
a b : a e b 
a  b: a ou b 
 
Representação de um conjunto: 
1. Enumeração ou método tabular: 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
2. Designação ou propriedade característica: 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
 
1.1. Conceitos de conjuntos 
 
Conjunto vazio: é um conjunto que não possui elementos. O conjunto vazio é representado por 
{ } ou . 
 
Subconjuntos: quando todos os elementos de um conjunto A qualquer pertencem a um outro 
conjunto B, diz-se, então, que A é um subconjunto de B, ou seja A B. 
Observações: 
 Todo o conjunto A é subconjunto dele próprio, ou seja ; 
 O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de qualquer conjunto, ou seja 
Exemplo: 
Dados A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } e B = { 1, 3, 5 } 
 
B A 
 
 
 
 
 
União de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como união dos conjuntos A e B ao 
conjunto representado por A B, formado por todos os elementos pertencentes a A ou B, ou 
seja: A B = { x / x  A ou x  B } 
 
 
Intersecção de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como intersecção dos 
conjuntos A e B ao conjunto representado por A  B, formado por todos os elementos 
pertencentes a A e B, simultaneamente, ou seja: A  B = { x / x  A e x  B }. 
 
 
Diferença de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como diferença entre A e B 
(nesta ordem) ao conjunto representado por A - B, formado por todos os elementos 
pertencentes a A, mas que não pertencem a B, ou seja A – B = { x / x  A e x  B} 
 
0 
 2 1 
 
3 
4 5 
A 
B 
Produto Cartesiano: dados os conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano A com B, ao conjunto 
A x B, formado por todos os pares ordenados (x,y), onde x é elemento de A e y é elemento de B, ou 
seja A x B = {(x, y) / x  A e y  B }. 
 
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
 Conjunto dos números naturais (N) 
 
 
 
Um subconjunto importante de N é o conjunto N*: 
N* = { 1, 2, 3, 4, 5,...}  o zero foi excluído do conjunto N. 
Podemos considerar o conjunto dos números naturais ordenados sobre uma reta, como mostra o 
gráfico abaixo: 
 
 Conjunto dos números inteiros (Z) 
 
 
 
O conjunto IN é subconjunto de Z. 
Temos também outros subconjuntos de Z: 
Z* = Z-{0} 
Z+ = conjunto dos inteiros não negativos = { 0, 1, 2, 3, 4, 5,...} 
Z_ = conjunto dos inteiros não positivos = {0, -1, -2, -3, -4, -5, ...} 
 
Observe que Z+=IN. 
Podemos considerar os números inteiros ordenados sobre uma reta, conforme mostra o gráfico 
abaixo: 
 
 Conjunto dos números racionais (Q) 
Os números racionais são todos aqueles que podem ser colocados na forma de fração 
(com o numerador e denominador  Z). Ou seja, o conjunto dos números racionais é a união 
do conjunto dos números inteiros com as frações positivas e negativas. 
Assim, podemos escrever: 
 
 
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...} 
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} 
}0b e Zb,Za com , 
b
a
x/x{Q 
 
Exemplos: 
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________ 
 
É interessante considerar a representação decimal de um número racional, que se obtém dividindo a 
por b. 
Exemplos referentes às decimais exatas ou finitas: 
 
Exemplos referentes às decimais periódicas ou infinitas: 
 
Toda decimal exata ou periódica pode ser representada na forma de número racional. 
 
 Conjunto dos números irracionais ( I ) 
Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja, os números que não 
podem ser escrito na forma de fração (divisão de dois inteiros). Como exemplo de números 
irracionais, temos a raiz quadrada de 2 e a raiz quadrada de 3: 
 
Exemplos: 
...1415926535,3
...7320508,13
...4142135,12



 
 
 Conjunto dos números reais (R) 
Dados os conjuntos dos números racionais (Q) e dos irracionais, definimos o conjunto dos 
números reais como: 
 
 
 
O diagrama abaixo mostra a relação entre os conjuntos numéricos: 
 
 
 
 
 
 
 
75,3
20
75
 25,1
4
5
 5,0
2
1

...1666,1
6
7
 ...428571428571,0
7
6
 ...333,0
3
1

R=Q  I = {x / x é racional ou x é irracional} 
R I 
Q 
Z 
N 
 Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais são todos números reais. 
Como subconjuntos importantes de R temos: 
R* = R-{0} 
 R+ = conjunto dos números reais não negativos 
R_ = conjunto dos números reais não positivos 
 
 Obs: entre dois números inteiros existem infinitos números reais. 
 
Exercícios propostos: 
1. Enumere os elementos de cada conjunto: 
a. Conjunto dos números naturais entre 8 e 12 (inclusive): 
b. Conjunto dos números pares entre 0 e 15 (exclusive): 
c. Conjunto dos primos pares positivos: 
d. Conjunto dos primos até 40: 
2. Seja A = {3, 5, 7, 9, 11, 15} 
a. {x  A / x é impar } 
b. { x  A / x é múltiplo de 5 } 
c. { x  A / x é divisor de 60 } 
d. { x  A / x é divisível por 2} 
3. Dados A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = N; C = números inteiros; D = {0, 3, 6, 9, 12, 15} e E = {5, 10, 20, 40}, 
determine: 
a. A  E = 
b. A  B = 
c. A  E = 
d. B  E = 
e. E  D = 
f. A – D = 
g. D – A = 
h. B – C = 
i. C – B = 
j. E – D = 
k. E – A = 
l. A - (D  E) = 
4. Após um jantar, foram servidas as sobremesas X e Y. Sabe-se que das 10 pessoas presentes, 5 
comeram a sobremesa X, 7 comeram a sobremesa Y e 3 comeram as duas. Quantas não 
comeram nenhuma ? 
5. Numa indústria, 120 operários trabalham de manhã, 130 trabalham à tarde, 80 trabalham à noite; 
60 trabalham de manhã e à tarde, 50 trabalham de manhã e a noite, 40 trabalham à tarde e à 
noite e 20 trabalham nos três períodos. 
Assim: 
a) 150 operários trabalham em 2 períodos; 
b) há 500 operários na indústria; 
c) 300 operários não trabalham à tarde; 
d) há 30 operários que trabalham só de manhã; 
e) N.d.a. 
6. Em uma universidade são lidos dois jornais A e B; exatamente 80% dos alunos lêem o jornal A e 
60% o jornal B. Sabendo-se que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, o percentual 
de alunos que lêem ambos é: 
7. Em uma pesquisa de mercado foram entrevistadas várias pessoas acerca de suas preferências 
em relação a três produtos A, B e C. Os resultados da pesquisa indicaram que: 
210 compram o produto A. 
210 compram o produto B. 
250 compram o produto C. 
20 compram os três produtos. 
100 não compram nenhum dos três produtos. 
60 compram os produtos A e B. 
70 compram os produtos A e C.50 compram os produtos B e C. 
Quantas pessoas foram entrevistadas? 
8. Os sócios dos clubes A e B formam um total de 2200 pessoas. Qual é o número de sócios do 
clube B se A tem 1600 e existem 600 que pertencem aos dois clubes? 
9. Uma escola tem 20 professores, dos quais 10 ensinam Matemática, 9 ensinam Física, 7 Química 
e 4 ensinam Matemática e Física. Nenhum deles ensina Matemática e Química. Quantos 
professores ensinam Química e Física e quantos ensinam somente Física? 
10. Um colégio ofereceu cursos de Inglês e Francês, devendo os alunos se matricularem em, pelo 
menos, um deles. Dos 45 alunos de uma classe, 13 resolveram estudar tanto Inglês quanto 
Francês; em Francês, matricularam-se 22 alunos e, em Inglês: 
11. Em uma escola há n alunos. Sabe-se que 56 alunos lêem o jornal A, 21 lêem os jornais A e B, 
106 lêem apenas um dos dois jornais e 66 não lêem o jornal B. O valor de n é: 
12. Numa pesquisa de mercado foram entrevistadas 61 pessoas sobre suas preferências em relação 
a três jornais A, B e C. O resultado da pesquisa foi: 
44 pessoas lêem o jornal A; 
37 pessoas lêem o jornal B; 
32 pessoas lêem os jornais A e C; 
28 pessoas lêem os jornais A e B; 
26 pessoas lêem os jornais B e C; 
20 pessoas lêem os jornais A, B e C; 
7 pessoas não lêem jornal. 
Com base nesse resultado, quantas pessoas lêem o jornal C? 
13. Numa pesquisa sobre a posição de dois partidos políticos, A e B, foram ouvidas 200 pessoas. 
Dessas, 150 aprovavam as reivindicações de A; 130, as de B; e 20 eram contra os dois. O 
número de pessoas que aprovavam ambos os partidos era_____________. 
14. Dos 80 alunos de uma turma, 15 foram reprovados em Matemática, 11 em Física e 10 em 
Química. Oito alunos foram reprovados simultaneamente em Matemática e Física, seis em 
Matemática e Química e quatro em Física e Química. Sabendo que 3 alunos foram reprovados 
nas três disciplinas, determine quantos alunos não foram reprovados em nenhuma dessas 
disciplinas. 
15. Foi consultado um certo número de pessoas sobre as emissoras de TV que habitualmente 
assistem. Obteve-se o resultado seguinte: 300 pessoas ao canal A, 270 assistem ao canal B, dos 
quais 150 assistem ambos os canais A e B e 80 assistem outros canais distintos de A e B. O 
número de pessoas consultadas é: 
16. Objetivando conhecer a preferência musical dos seus ouvintes, certa emissora de rádio realizou 
uma pesquisa, dando como opção três compositores M, B e S. Os resultados são: 
Votos Opções 
27 Gostam de B 
34 Gostam de M 
40 Gostam de S 
16 Gostam de B e M 
12 Gostam de B e S 
14 Gostam de M e S 
6 Gostam de B, M e S 
4 Não gostam de B, M e S 
 
 
Faça o diagrama de Venn e com base nestes dados, assinale V para afirmações verdadeiras e F 
para afirmações falsas, corrigindo ao lado as questões falsas: 
( ) 42 não gostam de B. ___________________________________________________ 
( ) 18 gostam de M e não gostam de B._______________________________________ 
( ) 20 gostam exclusivamente de S.__________________________________________ 
( ) 24 gostam exatamente dois dos compositores._______________________________ 
( ) 25 não gostam de M.___________________________________________________ 
EXERCÍCIOS GERAIS 
1 – Sendo A = {0,1,2,3}, B = {0,2,3,5}, C = {x  |N /x é número par menor que 10} e D = {x  |N /x é 
número ímpar compreendido entre 4 e 10}, determine: 
a) A  B b) A  D c) C  D d) B  C 
 
2 – Sendo A = {0,1,2,3,4}, B = {0,1,2}, C = {x  |N /x é par menor que 10} e D = {x  |N /x é ímpar 
compreendido entre 0 e 6}, determine: 
a) A  B b) B  C c) (A  C)  D d) (B  C)  A 
 
3 – Associe V ou F a cada uma das seguintes afirmações: 
a) A   =  , qualquer que seja A. 
b) A  B, então A  B = A. 
c) (A  B)  C = A  (B  C) 
d) A  B = B  A. 
e) A  X e B  X, então (A  B)  X. 
 
4 – Dados A = {0,1,2,3}, B = {0,2,4}, C = {1,3,5}e D = {2,3}, determine: 
a) (A  B)  C 
b) (B  D)  A 
c) (A  B)  (C  D) 
d) (A  C)  (B  D) 
 
5 – Dados A = {0,1,2,3}, B = {1,2,3} e C = {2,3,4,5}, determine: 
A–B b) B–C c) (A  B) – C d) (A–C)  (B–C) e) A –  
 
 
6 – Dados U = {0,1,2,3,4,5,6,7}, A = {0,2,5}, B = {1,3,5,7} e E = {2,4,6}, determine: 
a) CU
A
 b) CU
B
 c) CU
E
 
 
7 – Dado o diagrama, determine os seguintes conjuntos, escrevendo seus elementos: 
 
 
 E 
 10 
 A B 
 
 1 6 
 2 4 7 
 
 3 5 8 
 
 9 
 11 
 
a) E – A b) E – (A  B) c) E – B d) E – (A  B) 
 
8 – Numa escola de 630 alunos, 350 estudam matemática, 210 estudam física e 90 estudam as duas 
matérias (matemática e física). 
Quantos alunos estudam apenas matemática? (estudam matemática mas não estudam física) 
Quantos alunos estudam apenas física? (estudam física mas não estudam matemática) 
Quantos alunos estudam matemática ou física? 
Quantos alunos não estudam nenhuma das duas matérias? 
 
9 – Uma cidade com 10.000 habitantes tem dois clubes de futebol: A e B. Numa pesquisa feita com 
seus habitantes, constatou–se que 1.200 pessoas não apreciam nenhum dos dois clubes, 1.300 
apreciam os dois clubes e 4.500 apreciam o clube A. 
Quantas pessoas apreciam apenas o clube A? 
Quantas apreciam o clube B? 
Quantas apreciam apenas o clube B?