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Álgebra Linear Autovalores e Autovetores Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 1 Prof. Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br Autovalores e Autovetores • Dada uma transformação linear de um espaço vetorial nele mesmo, T:V→V, gostaríamos de saber quê vetores seriam levados neles mesmos por essa transformação • Isto é, dada T:V→V, quais os vetores v∈V tais Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 2 • Isto é, dada T:V→V, quais os vetores v∈V tais que T(v) = v? • v é chamado de vetor fixo • Obviamente, a condição é válida para v igual ao vetor nulo (pela definição de transf. linear), logo, vamos desconsiderá-lo Autovalores e Autovetores • Aplicação: �Solução de equações diferenciais �Equações do tipo: a.x’ + bx + c = d, onde x’=dx/dy Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 3 Autovalores e Autovetores • Exemplo 1: � I:R2 → R2 � (x, y) → (x, y) Transformação Identidade Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 4 �Neste caso, todo R2 é fixo uma vez que I(x, y) = (x, y) para todo (x, y)∈R2 Autovalores e Autovetores • Exemplo 2: � rX:R2 → R2 � (x, y) → (x, -y) �Ou Reflexão no Eixo-x x 1 0 x→ → rXw Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 5 �Podemos notar que todo vetor pertencente ao eixo x é mantido fixo pela transformação rx. De fato: x y 1 0 0 -1 x y→ rX(w) x 0 1 0 0 -1 x 0 = Ou seja rx(x, 0) = (x, 0) Autovalores e Autovetores • Exemplo 2: �Ainda mais, esses vetores são únicos com essa propriedade já que: Reflexão no Eixo-x x y 1 0 0 -1 x y = Cont. ⇒ x + 0y = x 0x – y = y Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 6 y0 -1 y = ⇒ 0x – y = y ⇒ x = x y = -y y = 0⇒ Autovalores e Autovetores • Exemplo 3: �N:R2 → R2 � (x, y) → (0, 0) Transformada nula Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 7 �Nesse caso, o único vetor fixo é N(0, 0) = (0, 0) Autovalores e Autovetores • Considere o seguinte problema: dada uma transformação linear de um espaço vetorial T:V→V, estamos interessados em saber quais vetores são levados em um múltiplo de si mesmos; isto é, procuramos um vetor v∈V e um escalar λ∈R tal que: Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 8 escalar λ∈R tal que: �T(v) = λ.v • Neste caso, T(v) será um vetor de mesma direção que v Autovalores e Autovetores • Como v = 0 satisfaz a equação para todo λ, estamos interessados em v≠0 • O escalar λ é chamado de autovalor ou valor característico de T Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 9 característico de T • O vetor v é chamado de autovetor ou vetor característico de T • Chamaremos de Operador Linear à transformação T:V→V Autovalores e Autovetores • Definição: Seja T:V→V um operador linear. Se existirem v∈V, v≠0 e λ∈R tais que Tv = λv, λ é um autovalor de T e v é um autovetor de T associado a λ Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 10 associado a λ • Observe que λ pode ser zero enquanto v não pode ser o vetor nulo Autovalores e Autovetores • Exemplo 1: �T:R2 → R2 �v → 2v x y 2 0 x y→ = = 2 2x 2y x y Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 11 �Neste caso, 2 é um autovalor e qualquer (x, y)≠(0, 0) é um autovetor associado ao autovalor 2 y 2 0 0 2 y → = = 22y y Autovalores e Autovetores • Exemplo 2: Reflexão no eixo x � rx:R2 → R2 � (x, y) → (x, -y) x y 1 0 0 -1 x y→ Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 12 �Os vetores da forma são tais que: y 0 -1 y 0 y 1 0 0 -1 0 y = = -1 0 -y 0 y Assim, todo vetor (0,y), y ≠ 0, é autovetor de rx com autovalor λ=-1 Autovalores e Autovetores • Exemplo 2: Reflexão no eixo x �Como vimos antes, os vetores (x, 0) são fixos por essa transformação • rx (x, 0) = 1.(x, 0) �Ou seja, (x, 0) é um autovetor associado ao autovalor λ = 1, com x ≠ 0 Cont. Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br autovalor λ = 1, com x ≠ 0 �Assim, existem dois autovalores para essa transformação com um autovetor associado a cada autovalor Autovalores e Autovetores • Exemplo 3: Rotação de 90º em torno da origem � rx:R2 → R2 � (x, y) → (-y, x) x y 0 -1 1 0 x y→ = -y x Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 14 �Nenhum vetor diferente de zero é levado por T num múltiplo de si mesmo �Logo, T não tem autovalores (consequentemente, também não tem autovetores) y 1 0 y x Autovalores e Autovetores • Exemplo 4: �Seja A = �Então 2 2 0 1 x yA. = = 2x + 2y y 2 2 0 1 x y Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 15 �e TA(x, y) = (2x + 2y, y) �Para procurar os autovalores e autovetores de TA resolvemos a equação TA(v) = λv �Ou seja.... 0 1 y A. = = yy Autovalores e Autovetores • Exemplo 4: � i) Se y≠0, de (2) temos λ = 1 ⇒ 2x + 2y = x ⇒ y = -½x ⇒ autovalor λ = 1 e autovetores do tipo (x, -½x), x≠0 λx λy= λ. = ⇒ 2x + 2y y x y Cont. 2x + 2y = λx y = λy (1) (2) Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 16 ⇒ autovalor λ = 1 e autovetores do tipo (x, -½x), x≠0 � ii) Se y = 0 ⇒ x ≠ 0 (senão, o autovetor seria o vetor nulo). De (1), 2x + 0 = λx ⇒ λ = 2. Logo, o outro autovalor é 2 com autovetor associado (x, 0), x ≠ 0 �Assim, para essa transformação T temos autovetores (x,-½x), x≠0, associados ao autovalor 1 e os autovetores (x, 0), x ≠ 0, associados ao autovalor 2 Autovalores e Autovetores • Teorema: Dada uma transformação T:V→V e um autovetor v associado ao autovalor λ, qualquer vetor w = ααααv (αααα ≠≠≠≠ 0) também é autovetor de T Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 17 associado a λ • Definição: O subespaço V λ = {v∈V: T(v) = λv} é chamado de subespaço associado ao autovalor λ Polinômio Característico • Exemplo: Seja 4 2 0 -1 1 0 0 1 2 A = Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 18 �Procuramos vetores v∈R3 e escalares λ∈R, tais que A.v = λ.v �Observe que, se I for a matriz identidade de ordem 3, então a equação acima pode ser escrita na forma Av=(λI)v, ou ainda (A – λI)v = 0 �Explicitamente..... Polinômio Característico • Exemplo: 4 2 0 -1 1 0 0 1 2 Cont. — λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ x y z = 0 0 0 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 19 4-λ 2 0 -1 1-λ 0 0 1 2-λ x y z = 0 0 0 ⇒ Polinômio Característico • Exemplo: �Para solução do sistema, se o determinante da matriz dos coeficientes for diferente de zero, a solução única será x = y = z = 0 que não nos interessa (vetor nulo) �Como estamos procurando autovetores v≠0, para satisfazer a condição acima precisamos ter: Cont. Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 20 satisfazer a condição acima precisamos ter: = 0det 4-λ 2 0 -1 1-λ 0 0 1 2-λ Polinômio Característico • Exemplo: ⇒ (4 – λ).(1 – λ).(2 – λ) + 2.(2 – λ) = 0 ⇒ -λ3 + 7λ2 - 16λ + 12 = 0 ⇒ (λ – 2)2(λ - 3) = 0 �Logo, λ = 2 e λ = 3 são soluções do polinômio Cont. Polinômio Característico Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 21 característico de A e, portanto, os autovalores da matriz A são 2 e 3 �Conhecendo os autovalores, podemos buscar os autovetores resolvendo a equação Av = λv para cada autovalor Polinômio Característico • Exemplo: �λ = 2: Cont. 4 2 0 -1 1 0 0 1 2 x y z = 2 x y z 4x + 2y = 2x Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 22 �Logo, os autovetores são do tipo (0, 0, z) para o autovalor λ = 2. Ou seja, pertencem ao subespaço [(0,0,1)] 4x + 2y = 2x -x + y = 2y ⇒ x = y y + 2z = 2z ⇒ y = 0 ⇒ x = 0 Polinômio Característico • Exemplo: �λ = 3: Cont. 4 2 0 -1 1 0 0 1 2 x y z = 3 x y z 4x + 2y = 3x Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 23 �Logo, os autovetores são do tipo (-2y, y, y) para o autovalor λ = 2. Ou seja, pertencem ao subespaço [(-2,1,1)] 4x + 2y = 3x -x + y = 3y ⇒ x = -2y y + 2z = 3z ⇒ y = zPolinômio Característico • De maneira geral, seja A uma matriz de ordem n, os autovalores de A são aqueles que satisfazem det(A – λI) = 0 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 24 • P(λ) = det(A – λI) é um polinômio de grau n e é o polinômio característico da matriz A Autovalores e Autovetores • Exemplo 1: Seja: -3 4 -1 2 A = ⇒ det(A – λI) = det -3-λ 4 -1 2-λ ⇒ (-3 – λ)(2 – λ) + 4 = λ2 + λ – 2 = P(λ) Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 25 ⇒ (-3 – λ)(2 – λ) + 4 = λ2 + λ – 2 = P(λ) ⇒ P(λ) = 0 ⇒ λ2 + λ – 2 = 0 ⇒ (λ - 1)(λ + 2) = 0 ⇒ λ = 1 ou λ = -2 Autovalores e Autovetores • Exemplo 1: Autovetores: � i) Para λ = 1 Cont. -3 4 -1 2 x y = 1. x y Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 26 -3x + 4y = x -x + 2y = y ⇒ x = y ⇒ ⇒ v = (x, x), x ≠ 0 Autovalores e Autovetores • Exemplo 1: Autovetores: � ii) Para λ = -2 Cont. -3 4 -1 2 x y = -2. x y Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 27 -3x + 4y = -2x ⇒ x = -4y -x + 2y = -2y ⇒ x = -4y ⇒ ⇒ v = (-4y, y), y ≠ 0 Autovalores e Autovetores • Exemplo 2: (Questão 8) Encontre a transf. linear T:R2 → R2, tal que T tenha autovalores -2 e 3 associados aos autovetores (3y, y) e (-2y, y) respectivamente. • Solução: Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 28 • Solução: �De maneira geral, temos: a b c d x y x y = λ . ⇒ = ax + by cx + dy λx λy ax + by = λx cx + dy = λy ⇒ ⇒ x(a - λ) + by = 0 cx + y(d - λ) = 0 Autovalores e Autovetores • Exemplo 2: (Questão 8) � i) λ = -2 x(a + 2) + by = 0 cx + y(d + 2) = 0 Cont. Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 29 �Mas, para λ = -2, temos o autovetor (3y, y) ou seja x = 3y: 3y(a + 2) + by = 0 3cy + y(d + 2) = 0 ⇒ 3a + b = -6 3c + d = -2 (I) Autovalores e Autovetores • Exemplo 2: (Questão 8) � i) λ = 3 x(a - 3) + by = 0 cx + y(d - 3) = 0 Cont. Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 30 �Mas, para λ = 3, temos o autovetor (-2y, y) ou seja x = -2y: -2y(a - 3) + by = 0 -2cy + y(d - 3) = 0 ⇒ -2a + b = -6 -2c + d = 3 (II) De (I) e (II): a = 0, b = -6, c = -1, d = 1 Autovalores e Autovetores • Exemplo 2: (Questão 8) �Logo: Cont. a b c dT = = 0 -6 -1 1 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 31 Autovalores e Autovetores • Exemplo 3: (Questão 4) Ache os autovalores e autovetores da transformação T:R3 → R3 tal que (x, y, z) → (x + y, x – y + 2z, 2x + y – z). • Solução: x + y x – y +2z x Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 32 x – y +2z 2x + y - z = λ y z 1 1 0 1 -1 2 2 1 -1 = λ x y z x y z Autovalores e Autovetores • Exemplo 3: (Questão 4) • Solução: Cont. 1-λ 1 0 1 -1-λ 2 2 1 -1-λ det = 0 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 33 2 1 -1-λ (1 – λ)(-1 – λ)2 + 4 – 1.(-1 – λ) – 2.(1 – λ)= 0 (1 – λ)(-1 – λ)2 + 4 + 1 + λ – 2 + 2λ= 0 (1 – λ)(-1 – λ)2 + 3 + 3λ = 0 (1 – λ)(1 + λ)2 + 3(1 + λ) = 0 (1 + λ)[(1 – λ)(1 + λ) + 3] = 0 Autovalores e Autovetores • Exemplo 3: (Questão 4) • Solução: Cont. (1 + λ)[(1 – λ)(1 + λ) + 3] = 0 (1 + λ)[1 – λ2 + 3] = 0 (1 + λ)(4 – λ2) = 0 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 34 (1 + λ)(4 – λ2) = 0 (1 + λ)(2 – λ)(2 + λ) = 0 Autovalores: λ1 = -1, λ2 = 2, λ3 = -2 Autovalores e Autovetores • Exemplo 3: (Questão 4) • Solução: Cont. Autovetores (de forma geral): x + y = λx Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 35 x + y = λx x – y + 2z = λy 2x + y – z = λz Autovalores e Autovetores • Exemplo 3: (Questão 4) • Solução: Cont. Autovetor associado a λ1 = -1: x + y = -1x y = -2x Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 36 x + y = -1x x – y + 2z = -1y 2x + y – z = -1z y = -2x z = -x/2 Logo, o autovetor associado ao autovalor λ1 é: v1 (x, -2x, -x/2) ⇒ [(1, -2, -1/2)] Autovalores e Autovetores • Exemplo 3: (Questão 4) • Solução: Cont. Autovetor associado a λ2 = 2: x + y = 2x y = x Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 37 x + y = 2x x – y + 2z = 2y 2x + y – z = 2z y = x z = x z = x Logo, o autovetor associado ao autovalor λ2 é: v2 (x, x, x) ⇒ [(1, 1, 1)] Autovalores e Autovetores • Exemplo 3: (Questão 4) • Solução: Cont. Autovetor associado a λ3 = -2: x + y = -2x y = -3x Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 38 x + y = -2x x – y + 2z = -2y 2x + y – z = -2z y = -3x z = x z = x Logo, o autovetor associado ao autovalor λ3 é: v3 (x, -3x, x) ⇒ [(1, -3, 1)] Exercícios Sugeridos • 2 • 3 • 4 • 7 a 18 • 22 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 39 • 22 A Seguir... Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 40
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