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Álgebra Linear
Autovalores e Autovetores
Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello
cabm@cin.ufpe.br 1
Prof. Carlos Alexandre Mello
cabm@cin.ufpe.br
Autovalores e Autovetores
• Dada uma transformação linear de um espaço 
vetorial nele mesmo, T:V→V, gostaríamos de 
saber quê vetores seriam levados neles mesmos 
por essa transformação
• Isto é, dada T:V→V, quais os vetores v∈V tais 
Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello
cabm@cin.ufpe.br 2
• Isto é, dada T:V→V, quais os vetores v∈V tais 
que T(v) = v?
• v é chamado de vetor fixo
• Obviamente, a condição é válida para v igual ao 
vetor nulo (pela definição de transf. linear), logo, 
vamos desconsiderá-lo
Autovalores e Autovetores
• Aplicação:
�Solução de equações diferenciais
�Equações do tipo: a.x’ + bx + c = d, onde x’=dx/dy
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cabm@cin.ufpe.br 3
Autovalores e Autovetores
• Exemplo 1:
� I:R2 → R2
� (x, y) → (x, y)
Transformação Identidade
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�Neste caso, todo R2 é fixo uma vez que I(x, y) = (x, y) 
para todo (x, y)∈R2
Autovalores e Autovetores
• Exemplo 2:
� rX:R2 → R2
� (x, y) → (x, -y)
�Ou
Reflexão no Eixo-x
x 1 0 x→
→
rXw
Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello
cabm@cin.ufpe.br 5
�Podemos notar que todo vetor pertencente ao eixo x é 
mantido fixo pela transformação rx. De fato:
x
y
1 0
0 -1
x
y→
rX(w)
x
0
1 0
0 -1
x
0 = Ou seja rx(x, 0) = (x, 0)
Autovalores e Autovetores
• Exemplo 2:
�Ainda mais, esses vetores são únicos com essa 
propriedade já que:
Reflexão no Eixo-x
x
y
1 0
0 -1
x
y
=
Cont.
⇒
x + 0y = x
0x – y = y
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y0 -1 y
= ⇒
0x – y = y
⇒
x = x
y = -y y = 0⇒
Autovalores e Autovetores
• Exemplo 3:
�N:R2 → R2
� (x, y) → (0, 0)
Transformada nula
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�Nesse caso, o único vetor fixo é N(0, 0) = (0, 0)
Autovalores e Autovetores
• Considere o seguinte problema: dada uma 
transformação linear de um espaço vetorial 
T:V→V, estamos interessados em saber quais 
vetores são levados em um múltiplo de si 
mesmos; isto é, procuramos um vetor v∈V e um 
escalar λ∈R tal que:
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escalar λ∈R tal que:
�T(v) = λ.v
• Neste caso, T(v) será um vetor de mesma direção 
que v
Autovalores e Autovetores
• Como v = 0 satisfaz a equação para todo λ, 
estamos interessados em v≠0
• O escalar λ é chamado de autovalor ou valor 
característico de T
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característico de T
• O vetor v é chamado de autovetor ou vetor 
característico de T
• Chamaremos de Operador Linear à 
transformação T:V→V
Autovalores e Autovetores
• Definição: Seja T:V→V um operador linear. Se 
existirem v∈V, v≠0 e λ∈R tais que Tv = λv, λ é 
um autovalor de T e v é um autovetor de T 
associado a λ
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associado a λ
• Observe que λ pode ser zero enquanto v não 
pode ser o vetor nulo
Autovalores e Autovetores
• Exemplo 1:
�T:R2 → R2
�v → 2v
x
y
2 0 x
y→ = = 2
2x
2y
x
y
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�Neste caso, 2 é um autovalor e qualquer (x, y)≠(0, 0) 
é um autovetor associado ao autovalor 2
y
2 0
0 2 y
→ = = 22y y
Autovalores e Autovetores
• Exemplo 2: Reflexão no eixo x
� rx:R2 → R2
� (x, y) → (x, -y)
x
y
1 0
0 -1
x
y→
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�Os vetores da forma são tais que:
y 0 -1 y
0
y
1 0
0 -1
0
y = = -1
0
-y
0
y
Assim, todo vetor (0,y),
y ≠ 0, é autovetor de
rx com autovalor λ=-1
Autovalores e Autovetores
• Exemplo 2: Reflexão no eixo x
�Como vimos antes, os vetores (x, 0) são fixos por
essa transformação
• rx (x, 0) = 1.(x, 0)
�Ou seja, (x, 0) é um autovetor associado ao 
autovalor λ = 1, com x ≠ 0
Cont.
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cabm@cin.ufpe.br
autovalor λ = 1, com x ≠ 0
�Assim, existem dois autovalores para essa 
transformação com um autovetor associado a cada 
autovalor
Autovalores e Autovetores
• Exemplo 3: Rotação de 90º em torno da origem
� rx:R2 → R2
� (x, y) → (-y, x)
x
y
0 -1
1 0
x
y→ =
-y
x
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�Nenhum vetor diferente de zero é levado por T num 
múltiplo de si mesmo
�Logo, T não tem autovalores (consequentemente, 
também não tem autovetores)
y 1 0 y x
Autovalores e Autovetores
• Exemplo 4:
�Seja A = 
�Então 2 2
0 1
x
yA. = =
2x + 2y
y
2 2
0 1
x
y
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�e TA(x, y) = (2x + 2y, y)
�Para procurar os autovalores e autovetores de TA
resolvemos a equação TA(v) = λv
�Ou seja....
0 1 y
A. = =
yy
Autovalores e Autovetores
• Exemplo 4:
� i) Se y≠0, de (2) temos λ = 1 ⇒ 2x + 2y = x ⇒ y = -½x 
⇒ autovalor λ = 1 e autovetores do tipo (x, -½x), x≠0
λx
λy= λ. = ⇒
2x + 2y
y
x
y
Cont.
2x + 2y = λx
y = λy
(1)
(2)
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⇒ autovalor λ = 1 e autovetores do tipo (x, -½x), x≠0
� ii) Se y = 0 ⇒ x ≠ 0 (senão, o autovetor seria o vetor 
nulo). De (1), 2x + 0 = λx ⇒ λ = 2. Logo, o outro 
autovalor é 2 com autovetor associado (x, 0), x ≠ 0
�Assim, para essa transformação T temos autovetores 
(x,-½x), x≠0, associados ao autovalor 1 e os 
autovetores (x, 0), x ≠ 0, associados ao autovalor 2
Autovalores e Autovetores
• Teorema: Dada uma transformação T:V→V e um 
autovetor v associado ao autovalor λ, qualquer 
vetor w = ααααv (αααα ≠≠≠≠ 0) também é autovetor de T 
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associado a λ
• Definição: O subespaço V
λ
= {v∈V: T(v) = λv} é 
chamado de subespaço associado ao autovalor λ
Polinômio Característico
• Exemplo: Seja
4 2 0
-1 1 0
0 1 2
A = 
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�Procuramos vetores v∈R3 e escalares λ∈R, tais que 
A.v = λ.v
�Observe que, se I for a matriz identidade de ordem 3, 
então a equação acima pode ser escrita na forma 
Av=(λI)v, ou ainda (A – λI)v = 0
�Explicitamente.....
Polinômio Característico
• Exemplo:
4 2 0
-1 1 0
0 1 2
Cont.
—
λ 0 0
0 λ 0
0 0 λ
x
y
z
=
0
0
0
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4-λ 2 0
-1 1-λ 0
0 1 2-λ
x
y
z
=
0
0
0
⇒
Polinômio Característico
• Exemplo:
�Para solução do sistema, se o determinante da matriz 
dos coeficientes for diferente de zero, a solução única 
será x = y = z = 0 que não nos interessa (vetor nulo)
�Como estamos procurando autovetores v≠0, para 
satisfazer a condição acima precisamos ter:
Cont.
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satisfazer a condição acima precisamos ter:
= 0det
4-λ 2 0
-1 1-λ 0
0 1 2-λ
Polinômio Característico
• Exemplo:
⇒ (4 – λ).(1 – λ).(2 – λ) + 2.(2 – λ) = 0
⇒ -λ3 + 7λ2 - 16λ + 12 = 0
⇒ (λ – 2)2(λ - 3) = 0
�Logo, λ = 2 e λ = 3 são soluções do polinômio 
Cont.
Polinômio Característico
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característico de A e, portanto, os autovalores da 
matriz A são 2 e 3
�Conhecendo os autovalores, podemos buscar os 
autovetores resolvendo a equação Av = λv para cada 
autovalor
Polinômio Característico
• Exemplo:
�λ = 2:
Cont.
4 2 0
-1 1 0
0 1 2
x
y
z
= 2
x
y
z
4x + 2y = 2x
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�Logo, os autovetores são do tipo (0, 0, z) para o 
autovalor λ = 2. Ou seja, pertencem ao subespaço 
[(0,0,1)]
4x + 2y = 2x
-x + y = 2y ⇒ x = y
y + 2z = 2z ⇒ y = 0 ⇒ x = 0
Polinômio Característico
• Exemplo:
�λ = 3:
Cont.
4 2 0
-1 1 0
0 1 2
x
y
z
= 3
x
y
z
4x + 2y = 3x
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�Logo, os autovetores são do tipo (-2y, y, y) para o 
autovalor λ = 2. Ou seja, pertencem ao subespaço 
[(-2,1,1)]
4x + 2y = 3x
-x + y = 3y ⇒ x = -2y
y + 2z = 3z ⇒ y = zPolinômio Característico
• De maneira geral, seja A uma matriz de ordem n, 
os autovalores de A são aqueles que satisfazem 
det(A – λI) = 0
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• P(λ) = det(A – λI) é um polinômio de grau n e é o 
polinômio característico da matriz A
Autovalores e Autovetores
• Exemplo 1: Seja:
-3 4
-1 2
A = ⇒ det(A – λI) = det -3-λ 4
-1 2-λ
⇒ (-3 – λ)(2 – λ) + 4 = λ2 + λ – 2 = P(λ)
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⇒ (-3 – λ)(2 – λ) + 4 = λ2 + λ – 2 = P(λ)
⇒ P(λ) = 0 ⇒ λ2 + λ – 2 = 0
⇒ (λ - 1)(λ + 2) = 0 ⇒ λ = 1 ou λ = -2
Autovalores e Autovetores
• Exemplo 1: Autovetores:
� i) Para λ = 1
Cont.
-3 4
-1 2
x
y = 1.
x
y
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-3x + 4y = x
-x + 2y = y ⇒ x = y
⇒
⇒ v = (x, x), x ≠ 0
Autovalores e Autovetores
• Exemplo 1: Autovetores:
� ii) Para λ = -2
Cont.
-3 4
-1 2
x
y = -2.
x
y
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-3x + 4y = -2x ⇒ x = -4y
-x + 2y = -2y ⇒ x = -4y
⇒
⇒ v = (-4y, y), y ≠ 0
Autovalores e Autovetores
• Exemplo 2: (Questão 8) Encontre a transf. linear 
T:R2 → R2, tal que T tenha autovalores -2 e 3 
associados aos autovetores (3y, y) e (-2y, y) 
respectivamente.
• Solução:
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• Solução:
�De maneira geral, temos:
a b
c d
x
y
x
y
= λ . ⇒ = ax + by
cx + dy
λx
λy
ax + by = λx
cx + dy = λy
⇒ ⇒
x(a - λ) + by = 0
cx + y(d - λ) = 0
Autovalores e Autovetores
• Exemplo 2: (Questão 8)
� i) λ = -2
x(a + 2) + by = 0
cx + y(d + 2) = 0
Cont.
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�Mas, para λ = -2, temos o autovetor (3y, y) ou seja x = 
3y:
3y(a + 2) + by = 0
3cy + y(d + 2) = 0
⇒
3a + b = -6
3c + d = -2
(I)
Autovalores e Autovetores
• Exemplo 2: (Questão 8)
� i) λ = 3
x(a - 3) + by = 0
cx + y(d - 3) = 0
Cont.
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�Mas, para λ = 3, temos o autovetor (-2y, y) ou seja x = 
-2y:
-2y(a - 3) + by = 0
-2cy + y(d - 3) = 0
⇒
-2a + b = -6
-2c + d = 3
(II)
De (I) e (II): a = 0, b = -6, c = -1, d = 1
Autovalores e Autovetores
• Exemplo 2: (Questão 8)
�Logo: 
Cont.
a b
c dT = = 
0 -6
-1 1
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Autovalores e Autovetores
• Exemplo 3: (Questão 4) Ache os autovalores e 
autovetores da transformação T:R3 → R3 tal que 
(x, y, z) → (x + y, x – y + 2z, 2x + y – z).
• Solução:
x + y
x – y +2z
x
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x – y +2z
2x + y - z
= λ y
z
1 1 0
1 -1 2
2 1 -1
= λ
x
y
z
x
y
z
Autovalores e Autovetores
• Exemplo 3: (Questão 4) 
• Solução:
Cont.
1-λ 1 0
1 -1-λ 2
2 1 -1-λ
det = 0
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2 1 -1-λ
(1 – λ)(-1 – λ)2 + 4 – 1.(-1 – λ) – 2.(1 – λ)= 0
(1 – λ)(-1 – λ)2 + 4 + 1 + λ – 2 + 2λ= 0
(1 – λ)(-1 – λ)2 + 3 + 3λ = 0
(1 – λ)(1 + λ)2 + 3(1 + λ) = 0
(1 + λ)[(1 – λ)(1 + λ) + 3] = 0
Autovalores e Autovetores
• Exemplo 3: (Questão 4) 
• Solução:
Cont.
(1 + λ)[(1 – λ)(1 + λ) + 3] = 0
(1 + λ)[1 – λ2 + 3] = 0
(1 + λ)(4 – λ2) = 0
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(1 + λ)(4 – λ2) = 0
(1 + λ)(2 – λ)(2 + λ) = 0
Autovalores:
λ1 = -1, λ2 = 2, λ3 = -2
Autovalores e Autovetores
• Exemplo 3: (Questão 4) 
• Solução:
Cont.
Autovetores (de forma geral):
x + y = λx
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x + y = λx
x – y + 2z = λy
2x + y – z = λz
Autovalores e Autovetores
• Exemplo 3: (Questão 4) 
• Solução:
Cont.
Autovetor associado a λ1 = -1:
x + y = -1x y = -2x
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x + y = -1x
x – y + 2z = -1y
2x + y – z = -1z
y = -2x
z = -x/2
Logo, o autovetor associado ao autovalor λ1 é:
v1 (x, -2x, -x/2) ⇒ [(1, -2, -1/2)]
Autovalores e Autovetores
• Exemplo 3: (Questão 4) 
• Solução:
Cont.
Autovetor associado a λ2 = 2:
x + y = 2x y = x
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x + y = 2x
x – y + 2z = 2y
2x + y – z = 2z
y = x
z = x
z = x
Logo, o autovetor associado ao autovalor λ2 é:
v2 (x, x, x) ⇒ [(1, 1, 1)]
Autovalores e Autovetores
• Exemplo 3: (Questão 4) 
• Solução:
Cont.
Autovetor associado a λ3 = -2:
x + y = -2x y = -3x
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x + y = -2x
x – y + 2z = -2y
2x + y – z = -2z
y = -3x
z = x
z = x
Logo, o autovetor associado ao autovalor λ3 é:
v3 (x, -3x, x) ⇒ [(1, -3, 1)]
Exercícios Sugeridos
• 2
• 3
• 4
• 7 a 18
• 22
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cabm@cin.ufpe.br 39
• 22
A Seguir...
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