EP1 2018 1 gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
EP1 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2018-1
Neste EP vamos trabalhar o conteu´do estudado na Aula 1 do Caderno Dida´tico, bem como comec¸ar a relembrar
algumas operac¸o˜es aritme´ticas e expresso˜es alge´bricas.
Exerc´ıcio 1 Considerando o conjunto C = {a, b, p, q}, complete convenientemente as lacunas com
∈, /∈, ⊂, 6⊂ ou = .
a) q . . . C
b) {q} . . . C
c) w . . . C
d) {p, q, w} . . . C
e) {p, a, b, q} . . . C
Soluc¸a˜o: Os elementos de C sa˜o formados pelas letras a, b, p e q do alfabeto portugueˆs.
a) q ∈ C, pois q e´ elemento do conjunto C.
b) {q} ⊂ C, pois {q} e´ um conjunto em que todos os seus elementos, neste caso, q e´ seu u´nico
elemento, tambe´m pertencem ao conjunto C.
c) w 6∈ C, pois w na˜o e´ um elemento do conjunto C.
d) {p, q, w} 6⊂ C, pois para que {p, q, w} seja subconjunto de C, todos os seus elementos deveriam
ser elementos de C e, como vimos no item c), w na˜o e´ elemento de C.
e) {p, a, b, q} = C. Apesar dos elementos de {p, a, b, q} e C na˜o aparecerem na mesma ordem, os
dois conjuntos possuem os mesmos elementos, logo eles sa˜o iguais.
Exerc´ıcio 2 Um conjunto A e´ um subconjunto do conjunto B se A ⊂ B, isto e´, se todos os
elementos de A sa˜o elementos de B. Alguns exemplos:
• A = {1, 3} e´ subconjunto de B = {1, 2, 3, 4};
• A e´ subconjunto de A, pois A ⊂ A (todo elemento de A e´ elemento de A, certo?);
• os subconjuntos na˜o vazios de X = {a, b, c} sa˜o {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c} e {a, b, c}.
a) Liste todos os subconjuntos na˜o vazios de B = {a, b}.
b) Liste todos os subconjuntos na˜o vazios de C = {1, 2, 3, 4}.
c) Baseando-se nos itens anteriores, voceˆ consegue dizer quantos subconjuntos na˜o vazios possui
um conjunto de exatamente 2 elementos? E se ele tiver exatamente 3 elementos? E se tiver
exatamente 4?
Me´todos Determin´ısticos I EP1 2
Soluc¸a˜o:
a) Os subconjuntos na˜o vazios de A sera˜o:
{a}, {b}︸ ︷︷ ︸
com 1 elemento
, {a, b}︸ ︷︷ ︸
com 2 elementos
b) Os subconjuntos na˜o vazios de B sera˜o:
{1}, {2}, {3}, {4}︸ ︷︷ ︸
com 1 elemento
, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}︸ ︷︷ ︸
com 2 elementos
,
{1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}︸ ︷︷ ︸
com 3 elementos
, {1, 2, 3, 4}︸ ︷︷ ︸
com 4 elementos
.
c) Repare que, no item (a) acima, na˜o importam quais sejam os dois elementos de A, teremos sem-
pre o mesmo nu´mero de subconjuntos na˜o vazios. Seriam dois subconjuntos com um elemento
em cada, e um subconjunto (o pro´prio A), com dois elementos. Assim, se A tiver exatamente
dois elementos (quaisquer que sejam eles), A tera´ 3 subconjuntos na˜o vazios.
O conjunto X = {a, b, c} do terceiro exemplo do enunciado da questa˜o possui 3 elementos e
7 subconjuntos. Assim como no para´grafo anterior, o nu´mero de subconjuntos na˜o depende de
quais sejam os elementos, apenas do fato de que sa˜o 3. Assim um conjunto de exatamente 3
elementos tera´ 7 subconjuntos na˜o vazios.
A partir do item (b), e pensando como nos para´grafos anteriores, um subconjunto com exatamente
4 elementos tera´ 15 subconjuntos na˜o vazios.
Antes de resolver o pro´ximo exerc´ıcio, assista a videoaula Conjunto 1, produzida pelas
professoras Magda e Anne Michelle, dispon´ıvel na Semana 1 da Plataforma.
Exerc´ıcio 3 Seja o conjunto U = {−3,−5, 1, 3, 4,−1, 0}. Explicite os elementos de cada um dos
conjuntos a seguir.
a) A = {x ∈ U | x < 0}
b) B = {x ∈ U | x2 + x− 20 = 0}
c) C = {x ∈ U | − x− 7 = 10}
d) D = {x ∈ U | x2 ≥ 0}
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Me´todos Determin´ısticos I EP1 3
Soluc¸a˜o:
a) O conjunto A e´ o conjunto dos elementos x pertencentes a U tais que x e´ negativo. Logo,
A = {−3,−5,−1}.
b) B e´ o conjunto dos elementos x pertencentes a U tais que a soma de treˆs termos e´ igual a zero.
O primeiro termo e´ o quadrado de x, o segundo termo e´ x e o terceiro termo e´ o sime´trico de 20.
Para saber quais sa˜o esses elementos, vamos construir uma tabela com duas colunas. Na primeira
coluna escreveremos os valores de x pertencentes a U e na segunda coluna o valor resultante do
ca´lculo de x2 + x− 20.
x x2 + x− 20
−3 (−3)2 + (−3)− 20 = 9− 3− 20 = −14
−5 (−5)2 + (−5)− 20 = 25− 5− 20 = 0
1 (1)2 + (1)− 20 = 1 + 1− 20 = −18
3 (3)2 + (3)− 20 = 9 + 3− 20 = −8
4 (4)2 + (4)− 20 = 16 + 4− 20 = 0
−1 (−1)2 + (−1)− 20 = 1− 1− 20 = −20
0 (0)2 + (0)− 20 = 0 + 0− 20 = −20
Notamos que a soma e´ zero quando x assume os valores −5 e 4.
Portanto, B = {−5, 4}.
c) C e´ o conjunto dos elementos x pertencentes a U tais que o resultado do ca´lculo de −x− 7 seja
igual a 10. Para saber quais sa˜o esses elementos, vamos construir uma tabela com duas colunas.
Na primeira coluna escreveremos os valores de x pertencentes a U e na segunda coluna o valor
resultante do ca´lculo de −x− 7.
x −x− 7
−3 −(−3)− 7 = 3− 7 = −4
−5 −(−5)− 7 = 5− 7 = −2
1 −(1)− 7 = −1− 7 = −8
3 −(3)− 7 = −3− 7 = −10
4 −(4)− 7 = −4− 7 = −11
−1 −(−1)− 7 = 1− 7 = −6
0 −(0)− 7 = 0− 7 = −7
Notamos que o resultado do ca´lculo de −x− 7, na˜o e´ igual a 10 para nenhum valor de x em U .
Portanto, B = ∅.
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Me´todos Determin´ısticos I EP1 4
d) D e´ o conjunto dos elementos x pertencentes a U tais que o quadrado de x e´ maior ou igual
a zero. Como o quadrado de qualquer nu´mero e´ maior ou igual a zero, segue que D = U =
{−3,−5, 1, 3, 4,−1, 0}.
Exerc´ıcio 4 Seja o conjunto U = {3, 5,−1,−7,−5,−2}. Verifique se os conjuntos A e B, a seguir,
sa˜o iguais.
a) A =
{
x ∈ U ∣∣ x− 3
2x
= 0
}
, B =
{
x ∈ U ∣∣ x > 0}.
b) A =
{
x ∈ U ∣∣ x < −2}, B = {x ∈ U ∣∣ x2 + 12x+ 35 = 0}.
Soluc¸a˜o:
a) Vamos explicitar os elementos de A e B, para determinar se os conjuntos sa˜o iguais. Temos que
• A =
{
x ∈ U ∣∣ x− 3
2x
= 0
}
= {3}.
Pois, pela Tabela 1, somente para x = 3, temos que a expressa˜o
x− 3
2x
e´ igual a zero.
• B = {x ∈ U ∣∣ x > 0} = {3, 5}.
Pois somente os elementos 3 e 5 de U sa˜o positivos.
Portanto, como A e B na˜o tem os mesmos elementos, segue que A e B na˜o sa˜o iguais.
Tabela 1: Exerc´ıcio 4–a)
x
x− 3
2x
3
3− 3
2(3)
=
0
6
= 0
5
5− 3
2(5)
=
2
10
=
1
5
−1 (−1)− 3
2(−1) =
−1− 3
−2 =
−4
−2 =
4
2
= 2
−7 (−7)− 3
2(−7) =
−7− 3
−14 =
−10
−14 =
5
7
−5 (−5)− 3
2(−5) =
−5− 3
−10 =
−8
−10 =
4
5
−2 (−2)− 3
2(−2) =
−2− 3
−4 =
−5
−4 =
5
4
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Me´todos Determin´ısticos I EP1 5
b) Vamos explicitar os elementos de A e B, para determinar se os conjuntos sa˜o iguais. Temos que
• A = {x ∈ U ∣∣ x < −2} = {−5,−7}.
Pois, somente os elementos −5 e −7, de U , sa˜o menores que −2.
• B = {x ∈ U ∣∣ x2 + 12x+ 35 = 0} = {−5,−7}.
Pois pela Tabela 2, somente quando x assume os valores −5, −7, temos que a expressa˜o
x2 + 12x+ 35 e´ igual a zero.
Portanto, como A e B tem os mesmos elementos, segue que A e B sa˜o iguais.
Tabela 2: Exerc´ıcio 4–b)
x x2 + 12x+ 35
3 (3)2 + 12(3) + 35 = 9 + 36 + 35 = 80
5 (5)2 + 12(5) + 35 = 25 + 60 + 35 = 120
−1 (−1)2 + 12(−1) + 35 = 1− 12 + 35 = 24
−7 (−7)2 + 12(−7) + 35 = 49− 84 + 35 = 0
−5 (−5)2 + 12(−5) + 35 = 25− 60 + 35 = 0
−2 (−2)2 + 12(−2) + 35 = 4− 24 + 35 = 15
Exerc´ıcio 5 Pinte nos diagramas, a seguir, os conjuntos indicados.
a) A ∩ (B − A)
(B − A) A ∩ (B − A)
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Me´todos Determin´ısticos I EP1 6
b) (A ∩B) ∩ C
(A ∩B) (A ∩B) ∩ C
c) O complementar de C em A ∩B
U O complementar de C em U
d) (A ∪B) ∩ C
(A ∪B) (A ∪B) ∩ C
Exerc´ıcio 6 Considere os conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5} e C. Ainda, na˜o conhecemos o
conjunto C.
a) Determine A ∪B.
b) Determine A ∩B.
c) Determine B − A.
d) Determine A−B.
e) DetermineB × A.
f) Determine A×B.
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Me´todos Determin´ısticos I EP1 7
g) Sabendo que C ∪ A = {1, 2, 3, 6} e´ poss´ıvel saber qual e´ o conjunto C?
h) Sabendo que C ∪ A = {1, 2, 3, 6} e que C ∩ A = {2, 3} e´ poss´ıvel saber qual e´ o conjunto C?
Soluc¸a˜o:
a) A ∪B = {1, 2, 3, 4, 5}.
b) A ∩B = {3}.
c) B − A = {4, 5}.
d) A−B = {1, 2}.
e) B × A = {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3)}.
f) A×B = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 3), (3, 4), (3, 5)}.
g) Na˜o e´ poss´ıvel saber qual e´ o conjunto C pois ele poderia ser qualquer um dos seguintes conjuntos:
{1, 2, 3, 6}, {2, 3, 6},{1, 2, 6}, {1, 3, 6}, {1, 6}, {2, 6},{3, 6}, {6}. (Verifique fazendo a unia˜o de
cada um destes conjuntos com A).
h) Sim, e´ poss´ıvel saber qual e´ o conjunto C. Ja´ que dos conjuntos declarados acima, o u´nico cuja
intersec¸a˜o com A da´ {2, 3} e´ o {2, 3, 6}. Logo, C = {2, 3, 6}.
Exerc´ıcio 7 Se A = {−1, 0, 1, 2, 3} e B = {−4,−1, 0, 1, 4},
a) Determine A×B.
b) Determine o conjunto R = {(x, y) ∈ A×B|x2 = y} (isto e´, o conjunto dos pares (x, y) ∈ A×B,
ou seja, com x ∈ A e y ∈ B, satisfazendo x2 = y).
c) Determine o conjunto S = {(x, y) ∈ A × B|x < y} (isto e´, o conjunto dos pares (x, y) com
x ∈ A e y ∈ B satisfazendo x < y).
Soluc¸a˜o:
a) Lembre-se de que A× B e´ o conjunto de todos os pares ordenados da forma (x, y), com x ∈ A
e y ∈ B. Assim,
A×B = { (−1,−4), (−1,−1), (−1, 0), (−1, 1), (−1, 4),
(0,−4), (0,−1), (0, 0), (0, 1), (0, 4),
(1,−4), (1,−1), (1, 0), (1, 1), (1, 4),
(2,−4), (2,−1), (2, 0), (2, 1), (2, 4),
(3,−4), (3,−1), (3, 0), (3, 1), (3, 4) }
b) O conjunto R pedido e´ o subconjunto de A × B, satisfazendo a propriedade dada. No caso, R
e´ o subconjunto de A× B formado por todos os pares ordenados da forma (x, y) ∈ A× B que
satisfac¸am x2 = y.
Vamos verificar quais dos elementos (x, y) ∈ A×B satisfazem a` propriedade. Primeiro, faremos
testando os pares um a um. Depois, resolveremos de uma forma mais direta.
Testando cada par, temos a tabela abaixo:
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Me´todos Determin´ısticos I EP1 8
Tabela 3: Exerc´ıcio 7–b)
(x, y) x2 y
(−1,−4) (−1)2 = 1 −4 Logo x2 6= y, e enta˜o (−1,−4) /∈ R
(−1,−1) (−1)2 = 1 −1 Logo x2 6= y, e enta˜o (−1,−1) /∈ R
(−1, 0) (−1)2 = 1 0 Logo x2 6= y, e enta˜o (−1, 0) /∈ R
(−1, 1) (−1)2 = 1 1 Logo x2 = y, e enta˜o (−1, 1) ∈ R
(−1, 4) (−1)2 = 1 4 Logo x2 6= y, e enta˜o (−1, 4) /∈ R
(0,−4) 02 = 0 −4 Logo x2 6= y, e enta˜o (0,−4) /∈ R
(0,−1) 02 = 0 −1 Logo x2 6= y, e enta˜o (0,−1) /∈ R
(0, 0) 02 = 0 0 Logo x2 = y, e enta˜o (0, 0) ∈ R
(0, 1) 02 = 0 1 Logo x2 6= y, e enta˜o (0, 1) /∈ R
(0, 4) 02 = 0 4 Logo x2 6= y, e enta˜o (0, 4) /∈ R
(1,−4) 12 = 1 −4 Logo x2 6= y, e enta˜o (1,−4) /∈ R
(1,−1) 12 = 1 −1 Logo x2 6= y, e enta˜o (1,−1) /∈ R
(1, 0) 12 = 1 0 Logo x2 6= y, e enta˜o (1, 0) /∈ R
(1, 1) 12 = 1 1 Logo x2 = y, e enta˜o (1, 1) ∈ R
(1, 4) 12 = 1 4 Logo x2 6= y, e enta˜o (1, 4) /∈ R
(2,−4) 22 = 4 −4 Logo x2 6= y, e enta˜o (2,−4) /∈ R
(2,−1) 22 = 4 −1 Logo x2 6= y, e enta˜o (2,−1) /∈ R
(2, 0) 22 = 4 0 Logo x2 6= y, e enta˜o (2, 0) /∈ R
(2, 1) 22 = 4 1 Logo x2 6= y, e enta˜o (2, 1) /∈ R
(2, 4) 22 = 4 4 Logo x2 = y, e enta˜o (2, 4) ∈ R
(3,−4) 32 = 9 −4 Logo x2 6= y, e enta˜o (3,−4) /∈ R
(3,−1) 32 = 9 −1 Logo x2 6= y, e enta˜o (3,−1) /∈ R
(3, 0) 32 = 9 0 Logo x2 6= y, e enta˜o (3, 0) /∈ R
(3, 1) 32 = 9 1 Logo x2 6= y, e enta˜o (3, 1) /∈ R
(3, 4) 32 = 9 4 Logo x2 6= y, e enta˜o (3, 4) /∈ R
Com isso, R = {(−1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)}.
Poder´ıamos ter feito de uma forma mais direta, escolhendo os valores de x ∈ A e descobrindo
qual(is) valor(es) de y ∈ B satisfazem a` propriedade dada.
• Se x = −1 ∈ A, o u´nico y ∈ B que satisfaz x2 = y e´ o 1, pois (−1)2 = 1
• Se x = 0 ∈ A, o u´nico y ∈ B que satisfaz x2 = y e´ o 0, pois 02 = 0
• Se x = 1 ∈ A, o u´nico y ∈ B que satisfaz x2 = y e´ o 1, pois 12 = 1
• Se x = 2 ∈ A, o u´nico y ∈ B que satisfaz x2 = y e´ o 4, pois 22 = 4
• Se x = 3 ∈ A, na˜o ha´ y ∈ B tal que x2 = y. Note que x2 = 32 = 9, e 9 /∈ B, logo na˜o e´
um valor poss´ıvel para y.
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Me´todos Determin´ısticos I EP1 9
Assim, como na soluc¸a˜o anterior, R = {(−1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)}.
c) Como no item (b), vamos resolver de duas formas, testando cada par e escolhendo x para procurar
os valores de y adequados.
Testando cada par:
Tabela 4: Exerc´ıcio 7–c)
(x, y) x y
(−1,−4) −1 −4 Logo x > y, e enta˜o (−1,−4) /∈ R
(−1,−1) −1 −1 Logo x = y, e enta˜o (−1,−1) /∈ R
(−1, 0) −1 0 Logo x < y, e enta˜o (−1, 0) ∈ R
(−1, 1) −1 1 Logo x < y, e enta˜o (−1, 1) ∈ R
(−1, 4) −1 4 Logo x < y, e enta˜o (−1, 4) ∈ R
(0,−4) 0 −4 Logo x > y, e enta˜o (0,−4) /∈ R
(0,−1) 0 −1 Logo x > y, e enta˜o (0,−1) /∈ R
(0, 0) 0 0 Logo x = y, e enta˜o (0, 0) /∈ R
(0, 1) 0 1 Logo x < y, e enta˜o (0, 1) ∈ R
(0, 4) 0 4 Logo x < y, e enta˜o (0, 4) ∈ R
(1,−4) 1 −4 Logo x > y, e enta˜o (1,−4) /∈ R
(1,−1) 1 −1 Logo x > y, e enta˜o (1,−1) /∈ R
(1, 0) 1 0 Logo x > y, e enta˜o (1, 0) /∈ R
(1, 1) 1 1 Logo x = y, e enta˜o (1, 1) /∈ R
(1, 4) 1 4 Logo x < y, e enta˜o (1, 4) ∈ R
(2,−4) 2 −4 Logo x > y, e enta˜o (2,−4) /∈ R
(2,−1) 2 −1 Logo x > y, e enta˜o (2,−1) /∈ R
(2, 0) 2 0 Logo x > y, e enta˜o (2, 0) /∈ R
(2, 1) 2 1 Logo x > y, e enta˜o (2, 1) /∈ R
(2, 4) 2 4 Logo x < y, e enta˜o (2, 4) ∈ R
(3,−4) 3 −4 Logo x > y, e enta˜o (3,−4) /∈ R
(3,−1) 3 −1 Logo x > y, e enta˜o (3,−1) /∈ R
(3, 0) 3 0 Logo x > y, e enta˜o (3, 0) /∈ R
(3, 1) 3 1 Logo x > y, e enta˜o (3, 1) /∈ R
(3, 4) 3 4 Logo x < y, e enta˜o (3, 4) ∈ R
Com isso, R = {(−1, 0), (−1, 1), (−1, 4), (0, 1), (0, 4), (1, 4), (2, 4), (3, 4)}.
De forma mais direta,
• Se x = −1 ∈ A, os valores de y ∈ B que satisfazem x < y sa˜o y = 0, y = 1 e y = 4.
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Me´todos Determin´ısticos I EP1 10
• Se x = 0 ∈ A, os valores de y ∈ B que satisfazem x < y sa˜o y = 1 e y = 4.
• Se x = 1 ∈ A, o u´nico valor de y ∈ B que satisfaz x < y e´ y = 4.
• Se x = 2 ∈ A, o u´nico valor de y ∈ B que satisfaz x < y e´ y = 4.
• Se x = 3 ∈ A, o u´nico valor de y ∈ B que satisfaz x < y e´ y = 4.
Assim, como na soluc¸a˜o anterior, R = {(−1, 0), (−1, 1), (−1, 4), (0, 1), (0, 4), (1, 4), (2, 4), (3, 4)}.
Exerc´ıcio 8 Sendo W um conjunto, vamos denotar por n(W), o nu´mero de elementos em W .
Sabendo que A e B sa˜o dois conjuntos em que n(A) = 15, n(B) = 11 e n(A∪B) = 23, determine:
a) n(A ∩B)
b) n(A−B).
c) n(B − A).
Soluc¸a˜o: Vamos denotar por x, y e z, o nu´mero de elementos em A ∩B, A−B e B −A, ou seja
n(A ∩B) = x, n(A−B) = y, n(B − A) = z.
Vamos representar no diagrama de Venn essas informac¸o˜es.
Como n(A ∪B) = 23, segue que x+ y + z = 23.
Como n(A) = 15, segue que x+ y = 15.
Como n(B) = 11, segue que x+ z = 11.
Assim,substituindo x + y = 15 em x + y + z = 23, obtemos que 15 + z = 23. O que significa que
z = 8.
Substituindo z = 8 em x+ z = 11, obtemos que x+ 8 = 11, donde segue que x = 3.
E, finalmente substituindo x = 3 em x+ y = 15, obtemos que 3 + y = 15, ou seja, y = 12.
Portanto,
n(A ∩B) = 3, n(A−B) = 12, n(B − A) = 8.
Antes de resolver o pro´ximo exerc´ıcio, assista a videoaula Conjunto 2, produzida pela
professora Anne Michelle, dispon´ıvel na Semana 1 da Plataforma.
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Me´todos Determin´ısticos I EP1 11
Exerc´ıcio 9 Em um grupo de 100 crianc¸as:
• 80 sa˜o meninas.
• 50 teˆm menos de 10 anos.
O nu´mero m´ınimo de meninas com 10 ou mais anos nesse grupo e´:
(a) 0 (b) 10 (c) 20 (d) 30 (e) 50.
Observac¸a˜o: Este exerc´ıcio e´ uma questa˜o da prova para te´cnico em administrac¸a˜o geral da Eletroba´s em 2007. Prova
elaborada pelo CNE/UFRJ
Soluc¸a˜o: Na figura abaixo, o retaˆngulo, o c´ırculo a` esquerda e o c´ırculo a` direita representam,
respectivamente, o conjunto das crianc¸as, das meninas e das crianc¸as com menos de 10 anos.
Conformea figura, representamos pelas letras x, y, z e w o nu´mero de elementos dos seguintes
conjuntos.
x: nu´mero de elementos do conjunto das meninas que teˆm menos de 10 anos;
y: nu´mero de elementos do conjunto das meninas que na˜o tem 10 anos;
z: nu´mero de elementos do conjunto dos meninos que teˆm menos de 10 anos;
w: nu´mero de elementos dos meninos que na˜o teˆm menos de 10 anos.
Queremos determinar qual e´ o menor valor que pode ser assumido por y.
Sabemos que x+ z = 50. Isto significa que x e´ no ma´ximo 50.
Como x+ y = 80, devemos ter y maior ou igual a 30.
Logo, a resposta correta e´ a alternatica (d).
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Me´todos Determin´ısticos I EP1 12
Exerc´ıcio 10 Em uma pesquisa entre 3600 pessoas sobre os jornais que costumam ler, obteve-se o
seguinte resultado:
1100 leˆem o JB;
1300 leˆem o Estado;
1500 leˆem a Folha;
300 leˆem a JB e o Estado;
500 leˆem a Folha e o Estado;
400 leˆem a Folha e o JB;
100 leˆem a Folha, o JB e o Estado;
E´ correto afirmar que:
(a) 600 pessoas leˆem apenas o JB.
(b) 500 pessoas leˆem apenas o Estado.
(c) 900 pessoas na˜o leˆem nenhum dos treˆs jornais.
(d) 400 pessoas leˆem apenas o Estado e a Folha.
(e) 1200 pessoas leˆem mais de um dos treˆs jornais.
Ao final desta EP, encontra uma sugesta˜o para a resoluc¸a˜o desta questa˜o.
Observac¸a˜o: Este exerc´ıcio e´ uma questa˜o retirada de um concurso para te´cnico em financ¸as e contabilidade elaborado
pela ESAF.
Soluc¸a˜o: Para resolver uma questa˜o deste tipo e´ importante que voceˆ saiba que quando se diz algo
como “1500 leˆem a Folha”, isso significa que ha´ 1500 pessoas no conjunto das pessoas que leˆem
a Folha, mas que algumas destas 1500 podem pertencer a outros conjuntos, isto e´, podem estar
na intersec¸a˜o do conjunto das pessoas que leˆem a Folha com o das pessoas que leˆem o JB, por
exemplo. Uma sugesta˜o para resolver este tipo de questa˜o e´ desenhar o diagrama de Venn e comec¸ar
a escrever o nu´mero de elementos sempre a partir das intersec¸o˜es. Neste caso, por exemplo, vamos
usar as informac¸o˜es que foram dadas (contidas no resultado) de baixo para cima, isto e´, comec¸amos
anotando a u´ltima informac¸a˜o no diagrama de Venn, pois ela e´ a que fornece a intersec¸a˜o entre os
treˆs conjuntos de leitores. Ou seja, 100 leˆem a Folha, o JB e o Estado.
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Me´todos Determin´ısticos I EP1 13
Depois, usamos as informac¸o˜es que dizem respeito a intersec¸a˜o de dois conjuntos. A saber:
400 leˆem a Folha e o JB : observemos que dentre estas pessoas ha´ 100 que tambe´m leˆem
o Estado, logo as que leˆem apenas a Folha e o JB sa˜o 300 (= 400− 100);
500 leˆem a Folha e o Estado: observemos que dentre estas pessoas ha´ 100 que tambe´m
leˆem o JB, logo as que leˆem apenas a Folha e o Estado sa˜o 400 (= 500− 100);
300 leˆem a JB e o Estado: observemos que dentre estas pessoas ha´ 100 que tambe´m leˆem
a Folha, logo as que leˆem apenas a Folha e o Estado sa˜o 200 (= 300− 100);
A seguir, usamos as outras informac¸o˜es obtidas no resultado
1100 leˆem o JB : observemos que dentre estas pessoas esta˜o sendo consideradas tambe´m,
aquelas pessoas que leˆem o Estado ou a Folha, isto e´, 600 pessoas (= 300+100+200). Logo,
sa˜o 500 (= 1100− 600) pessoas que leˆem apenas o JB.
1300 leˆem o Estado: observemos que dentre estas pessoas esta˜o sendo consideradas tambe´m,
aquelas pessoas que leˆem o JB ou a Folha, isto e´, 700 pessoas (= 400 + 100 + 200). Logo,
sa˜o 600 (= 1300− 700) pessoas que leˆem apenas o Estado.
1500 leˆem a Folha: observemos que dentre estas pessoas esta˜o sendo consideradas tambe´m,
aquelas pessoas que leˆem o Estado ou o JB, isto e´, 800 pessoas (= 400 + 100 + 300). Logo,
sa˜o 700 (= 1500− 800) pessoas que leˆem apenas a Folha.
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Me´todos Determin´ısticos I EP1 14
Finalmente, na˜o podemos nos esquecer que ha´ pessoas que na˜o leˆem nenhum dos 3 jornais. No
total foram entrevistadas 3600 pessoas. Ja´ temos 2800 no diagrama. Conclu´ımos que 800 (=
3600− 1800) pessoas na˜o leˆem nenhum dos 3 jornais:
Portanto, a resposta e´ a alternativa (d).
Exerc´ıcio 11 Numa pesquisa sobre o consumo de ervilhas, milho e palmito foram entrevistadas 3000
pessoas em um supermercado, sendo constatado que:
1440 consomem ervilhas;
1350 consomem milho;
1500 consomem palmito;
540 consomem ervilhas e milho;
750 consomem milho e palmito;
450 ervilhas e palmito;
150 na˜o consomem nenhum dos produtos selecionados;
a) Determine a quantidade de entrevistados que consomem os treˆs produtos.
b) Determine quantos entrevistados consomem um e apenas um dos produtos selecionados.
Observac¸a˜o: Este exerc´ıcio e´ uma questa˜o retirada de um concurso para te´cnico em financ¸as e contabilidade elaborado pela ESAF.
Soluc¸a˜o: Vamos resolver este exerc´ıcio representando as informac¸o˜es dadas no diagrama de Venn.
Sabemos que neste tipo de questa˜o devemos comec¸ar com o nu´mero de consumidores na intersec¸a˜o
dos conjuntos envolvidos. Vamos chamar este nu´mero de x. Ou seja, x representa o nu´mero de
elementos do conjunto dos consumidores de palmito, de milho e de ervilha.
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Me´todos Determin´ısticos I EP1 15
Em seguida, utilizamos as informac¸o˜es sobre a intersec¸a˜o de dois conjuntos.
540 entrevistados consomem ervilhas e milho : observemos que dentre estas pessoas ha´
x pessoas que tambe´m consomem palmito, logo as que consomem apenas ervilhas e milho sa˜o
540− x;
750 entrevistados consomem milho e palmito: observemos que dentre estas pessoas ha´ x
pessoas que tambe´m consomem ervilhas, logo as que consomem apenas milho e palmito sa˜o
750− x;
450 entrevistados consomem ervilhas e palmito: observemos que dentre estas pessoas ha´
x pessoas que tambe´m consomem milho, logo as que consomem apenas ervilhas e palmito sa˜o
450− x;
A seguir, usamos as informac¸o˜es sobre o nu´mero de elementos de cada conjunto.
1440 entrevistados consomem ervilhas : observemos que dentre estas pessoas esta˜o sendo
consideradas tambe´m, aquelas pessoas que, ale´m de consumirem ervilhas, consomem tambe´m
milho ou palmito.Ou seja, que representam as
(540− x) + x+ (450− x) = 990− x
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Me´todos Determin´ısticos I EP1 16
pessoas que ja´ anotamos na figura acima. Logo, sa˜o
1440− (990− x) = 450 + x
as pessoas que consomem apenas ervilhas.
1350 entrevistados consomem milho: notemos que neste nu´mero tambe´m esta˜o sendo con-
tadas aquelas pessoas que, ale´m de consumirem milho, consomem tambe´m ervilhas ou palmito,
que representam as
(540− x) + x+ (750− x) = 1290− x
pessoas que anotamos na figura acima. Logo, sa˜o
1350− (1290− x) = 60 + x
as pessoas que consomem apenas milho.
1500 entrevistados consomem palmito: notemos que neste nu´mero tambe´m esta˜o sendo
contadas aquelas pessoas que, ale´m de consumirem palmito, consomem tambe´m ervilhas ou
milho, que representam as
(450− x) + x+ (750− x) = 1200− x
pessoas que anotamos na figura acima. Logo, sa˜o
1500− (1200− x) = 300 + x
as pessoas que consomem apenas palmito.
Finalmente, na˜o podemos nos esquecer que ha´ 150 entrevistados que na˜o consomem nenhum dos
produtos. Vamos, colocar essa informac¸a˜o no diagrama de Venn.
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Me´todos Determin´ısticos I EP1 17
Observe que o nu´mero de entrevistados que consomem milho ou ervilha ou palmito e´ igual a
(300 + x) + (750− x) + x+ (450− x) + (60 + x) + (540− x) + (450 + x) = 2550 + x.
Desta forma, como, no total, foram entrevistadas 3000 pessoas e descobrimos que 2550+x consomem
milho ou ervilha ou palmito e 150 na˜o consomem nenhum dos treˆs produtos, conclu´ımos que
3000 = (2550 + x) + 150.
Resolvendo a equac¸a˜o acima, segue que
3000 = 2700 + x.
De modo que
x = 300.
Conhecendo o valor de x, podemosresponder os itens.
a) O nu´mero de entrevistados que consomem os treˆs produtos e´ representado por x. Desta forma,
temos que 300 entrevistados consomem os treˆs produtos.
b) O nu´mero de entrevistados que consomem apenas um dos treˆs produtos e´ obtido a partir do
diagrama. Temos que
• 300 + x = 300 + 300 = 600 consomem apenas palmito;
• 60 + x = 60 + 300 = 360 consomem apenas milho;
• 450 + x = 450 + 300 = 750 consomem apenas ervilha.
Portanto, os entrevistados que consomem apenas um dos treˆs produtos e´ dado pela soma 600 +
360 + 750 = 1710.
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Me´todos Determin´ısticos I EP1 18
Exerc´ıcio 12 A operadora de telefonia mo´vel Chabu oferece diversas opc¸o˜es de pacotes de dados e
minutos de voz. As opc¸o˜es de pacote de dados, em gigabytes, sa˜o 0.5, 1, 2, 5, 10 e as opc¸o˜es de
minutos de voz sa˜o 100, 150, 200, 300, 500 e 1000.
Um plano comercializado e´ um par ordenado (p, v) formado por um pacote de dados p e uma
escolha de minutos de voz v, dentre os oferecidos pela empresa (listados acima) e de forma que
sejam satisfeitas, ao mesmo tempo, as desigualdades:
v ≥ 100p e v ≤ 300p.
Por exemplo, (2, 300) e´ um plano comercializado, pois, nele, p = 2 e v = 300, e temos 300 ≥ 100 · 2
e 300 ≤ 300 · 2, de modo que as desigualdades v ≥ 100p e v ≤ 300p sa˜o ambas satisfeitas. Por
outro lado, (0.5, 300) na˜o e´ um plano comercializado, pois a desigualdade 300 ≤ 300 · 0.5 e´ falsa e,
com isso, na˜o e´ satisfeita a segunda condic¸a˜o, v ≤ 300p. Da mesma forma, (10, 100) tambe´m na˜o e´
um plano comercializado, pois a desigualdade 100 ≥ 100 · 10 e´ falsa, na˜o sendo portanto satisfeita a
primeira condic¸a˜o v ≥ 100p. Lembre-se de que, em um plano comercializado, as duas desigualdades
precisam ser satisfeitas.
a) Determine o conjunto PD de pacotes de dados.
b) Determine o conjunto MV de minutos de voz.
c) Determine o conjunto dos planos comercializados pela Chabu.
Soluc¸a˜o:
a) O conjunto PD de pacotes de dados e´ dado por
PD = {0.5, 1, 2, 5, 10}.
b) O conjunto MV de minutos de voz e´ dado por
MV = {100, 150, 200, 300, 500, 1000}.
c) Vamos escolher os elementos p ∈ PD e descobrir quais sa˜o os elementos v ∈MV tais que (p, v)
seja um plano comercializado, isto e´, que
v ≥ 100p e v ≤ 300p.
• Fazendo p = 0.5, temos
v ≥ 100 · 0.5 = 50 e v ≤ 300 · 0.5 = 150,
logo 50 ≤ v ≤ 150. Assim, v pode assumir os valores 100 e 150 em MV . Logo, sa˜o planos
comercializados:
(0.5, 100) e (0.5, 150).
• Fazendo p = 1, temos
v ≥ 100 · 1 = 100 e v ≤ 300 · 1 = 300,
logo 100 ≤ v ≤ 300. Assim, v pode assumir os valores 100, 150, 200 e 300 em MV . Logo,
sa˜o planos comercializados:
(1, 100), (1, 150), (1, 200) e (1, 300).
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Me´todos Determin´ısticos I EP1 19
• Fazendo p = 2, temos
v ≥ 100 · 2 = 200 e v ≤ 300 · 2 = 600,
logo 200 ≤ v ≤ 600. Assim, v pode assumir os valores 200, 300 e 500 em MV . Logo, sa˜o
planos comercializados:
(2, 200), (2, 300) e (2, 500).
• Fazendo p = 5, temos
v ≥ 100 · 5 = 500 e v ≤ 300 · 5 = 1500,
logo 500 ≤ v ≤ 1500. Assim, v pode assumir os valores 500 e 1000 em MV . Logo, sa˜o
planos comercializados:
(5, 500), e (5, 1000).
• Fazendo p = 10, temos
v ≥ 100 · 10 = 1000 e v ≤ 300 · 10 = 3000,
logo 1000 ≤ v ≤ 3000. Assim, v pode assumir o apena o valor 1000 em MV . Logo, e´
plano comercializado:
(10, 1000).
Com isso, os planos comercializados pela Chabu sa˜o dados pelo conjnuto
{ (0.5, 100), (0.5, 150), (1, 100), (1, 150), (1, 200), (1, 300), (2, 200),
(2, 300), (2, 500), (5, 500), (5, 1000), (10, 1000) }
Exerc´ıcio 13 A empresa Vaimall S.A. deseja enviar um funciona´rio em uma viagem a um cliente,
para agilizar a aprovac¸a˜o de alguns contratos pendentes. O funciona´rio deve embarcar para o cliente
na semana que comec¸a no dia 1 e termina no dia 7 e deve retornar na semana que comec¸a no dia 8
e termina no dia 14.
Chamaremos de poss´ıvel viagem a cada escolha de data de ida i e de volta v nos crite´rios acima.
Por exemplo, ida no dia 2 e volta no dia 11 e´ uma poss´ıvel viagem, ida em 3 e volta em 9 e´ outra
poss´ıvel viagem. Ida em 1 e volta em 6 na˜o e´ uma poss´ıvel viagem, pois a volta na˜o esta´ na semana
de 8 a 14.
O nu´mero de dia´rias de uma poss´ıvel viagem e´ a diferenc¸a entre as datas de ida e volta, isto e´, v− i,
onde i e´ a data de ida e v a de volta. Por exemplo, a poss´ıvel viagem que comec¸a no dia 2 e termina
no dia 11 tem 11− 2 = 9 dia´rias.
i. Explique como e por que uma poss´ıvel viagem pode ser representada por um par ordenado.
Este par ordenado pertence ao produto cartesiano de quais conjuntos?
ii. De acordo com sua resposta ao item acima, determine o conjunto V de todas as poss´ıveis
viagens.
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Me´todos Determin´ısticos I EP1 20
iii. Como o funciona´rio tera´ muito trabalho em sua ida ao cliente, uma poss´ıvel viagem e´ consi-
derada proveitosa se tiver a durac¸a˜o de, no m´ınimo, 9 dia´rias. Se P e´ o conjunto de todas
as viagens proveitosas, represente o conjunto P por meio de uma propriedade e diga por que
P ⊂ V .
iv. Represente o conjunto P enumerando seus elementos.
O prec¸o da passagem de ida no dia i e´ representado por p(i). Assim, p(2) e´, por exemplo, o prec¸o da
passagem de ida no dia 2. Da mesma forma, o prec¸o da passagem de volta no dia v e´ representado
por p′(v). Assim, p′(10) e´ o prec¸o da passagem de volta no dia 10. Os prec¸os das passagens, para
cada dia, sa˜o dados abaixo:
Viagem de ida:
Dia da viagem 1 2 3 4 5 6 7
Prec¸o em R$ 2000,00 1500,00 1000,00 700,00 500,00 300,00 300,00
Viagem de volta:
Dia da viagem 8 9 10 11 12 13 14
Prec¸o em R$ 500,00 500,00 600,00 700,00 800,00 900,00 1200,00
Como exemplo, temos p(3) = 1000, 00 e p′(12) = 800, 00.
O custo de uma poss´ıvel viagem e´ dado pela soma dos prec¸os das passagens de ida e de volta,
adicionados de R$ 300,00 reais por cada dia´ria.
Assim, por exemplo, a viagem com ida em 3 e volta em 12 tem custo
p(3) + p′(12) + (12− 3)× 300, 00 = 1000, 00 + 800, 00 + 9× 300, 00 = 4.500, 00.
Note que 12− 3 e´ o nu´mero de dia´rias.
O custo-benef´ıcio de uma poss´ıvel viagem e´ obtido dividindo o custo pelo nu´mero de dia´rias. Assim,
a viagem do exemplo acima, de 3 a 12, tem custo-benef´ıcio igual a 4500, 00/9 = 500, 00.
Como a crise obrigou a empresa a fazer cortes de gastos, uma poss´ıvel viagem e´ considerada via´vel,
se o custo benef´ıcio for menor do que R$ 500,00.
v. Qual e´ o custo de uma viagem de data de ida i e data de volta v? Qual o custo-benef´ıcio
desta viagem?
vi. Se A e´ o conjunto das viagens via´veis, represente o conjunto A por meio de uma propriedade.
Diga por que A ⊂ V .
vii. A empresa quer que a viagem de seu funciona´rio seja proveitosa e via´vel. Represente, por meio
de uma expressa˜o envolvendo os conjuntos V , P e A (na˜o necessariamente todos), bem como
as operac¸o˜es entre conjuntos, o conjunto das viagens que se enquadram nestes crite´rios.
Por razo˜es de foro ı´ntimo, o funciona´rio diz que na˜o pode voar a`s quintas-feiras e sextas-feiras, que
caem nos dias 5, 6, 12 e 13. As poss´ıveis viagens que possuem algum voo nestas datas sa˜o chamadas,
pelo funciona´rio, de amaldic¸oadas, e o conjunto das viagens amaldic¸oadas e´ denotado por M .
viii. Represente, por uma propriedade, o conjunto M .
ix. Represente, enumerando seus elementos, o conjunto M .
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Me´todos Determin´ısticos I EP1 21
x. A empresa resolveu compreender as questo˜es ı´ntimas de seu funciona´rio e na˜o deseja sub-
meteˆ-lo a uma viagem amaldic¸oada, afinal, ele na˜o seria nada produtivo nessas circunstaˆncias.
Determine, por uma expressa˜o envolvendo os conjuntos V, P,A e M (na˜o necessariamente
todos) e suas operac¸o˜es, o conjunto D das viagens que o funciona´rio podera´ fazer.
xi. Represente o conjunto
D
enumerando seus elementos.[Em algum momento, voceˆ precisara´ calcular o custo-benef´ıcio
das viagens. Se prestar atenc¸a˜o ao que esta´ sendo pedido, voceˆ na˜o precisara´ calcular o
custo-benef´ıcio de todas as poss´ıveis viagens (que sa˜o muitas!!!)]
Soluc¸a˜o:
(a) Uma poss´ıvel viagem pode ser pensado como um par ordenado, pois e´ determinada pela escolha
de dois valores, a data de ida e a data de volta, sendo importante a ordem destes valores. Este
par pode ser escrito como (i, v), onde i e´ a data de ida e v a de volta.
(b) I = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e R = {8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}.
(c) A data de ida de uma poss´ıvel viagem pertence ao conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e a de volta a
{8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}. Assim, (i, v) ∈ I ×R. Portanto,
V = I ×R.
(d) P = {(i, v) ∈ V | v − i > 9}. Temos que P ⊂ V pois todas as viagens proveitosas (isto e´,
todos os elementos de P ) sa˜o, pela pro´pria definic¸a˜o, poss´ıveis viagens (isto e´, elementos de V ).
(e) P = {(1, 10), (1, 11), (1, 12), (1, 13), (1, 14), (2, 11), (2, 12), (2, 13), (2, 14), (3, 12), (3, 13), (3, 14),
(4, 13), (4, 14), (5, 14)}
(f) O custo da viagem de ida em i e volta em v e´ dado pela soma do prec¸o p(i) da passagem de
ida e com o prec¸o p′(v) da volta, adicionados de R$ 300,00 reais por cada dia´ria, que sendo o
nu´mero de dia´rias e´ dado por v − i. Assim, o custo desta viagem sera´
p(i) + p′(v) + (v − i) · 300, 00.
O custo-benef´ıcio desta viagem sera´ o custo dividido pelo nu´mero de dia´rias, isto e´,
p(i) + p′(v) + (v − i) · 300, 00
v − i .
(g) Utilizando o item acima, podemos escrever
A =
{
(i, v) ∈ V
∣∣∣∣ p(i) + p′(v) + (v − i)× 300, 00v − i 6 500, 00
}
O subconjunto das viagens via´veis e´ um subconjunto de V pela pro´pria definic¸a˜o de viagem
via´vel: “uma poss´ıvel viagem e´ considerada via´vel, se...”. Assim, viagens via´veis sa˜o aquelas,
escolhidas dentre as poss´ıveis, que cumpram uma dada propriedade, logo, toda viagem via´vel
(todo elemento de A) e´ tambe´m uma poss´ıvel viagem (um elemento de V ).
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Me´todos Determin´ısticos I EP1 22
(h) As viagens que a empresa gostaria que o funciona´rio fizesse sa˜o proveitosas, logo pertencem a
P , e via´veis, pertencendo portanto a A. Assim, o conjunto destas viagens e´ dada pelo conjunto
P ∩ A.
(i) As viagens amaldic¸oadas sa˜o as poss´ıveis viagens (i, v) ∈ V para as quais a data de ida i seja 5
ou 6 ou a de volta seja 12 ou 13. Assim
M = {(i, v) ∈ V | i = 6 ou i = 5 ou v = 12 ou v = 13}
(j) Listando os elementos, temos
M = {(5, 8), (5, 9), (5, 10), (5, 11), (5, 12), (5, 13), (5, 14),
(6, 8), (6, 9), (6, 10), (6, 11), (6, 12), (6, 13), (6, 14),
(1, 12), (2, 12), (3, 12), (4, 12), (5, 12), (7, 12),
(1, 13), (2, 13), (3, 13), (4, 13), (5, 13), (7, 13)}.
(k) O conjunto M das viagens que o funciona´rio podera´ fazer sera´ o conjunto das viagens ao mesmo
tempo proveitosas e via´veis, obtido no item vi, excluindo as amaldic¸oadas, logo
D = (P ∩ A)−M.
(l) Para encontrarmos os elementos do conjunto D = (P ∩ A) −M , precisamos descobrir os que
esta˜o em (P ∩A) e retirar os que estejam em M . Os elementos de (P ∩A) sa˜o os que esta˜o ao
mesmo tempo em P em em A, logo, para cada elemento de P , vamos verificar se ele tambe´m
esta´ em A.
Pelo item (e),
P = {(1, 10), (1, 11), (1, 12), (1, 13), (1, 14), (2, 11), (2, 12), (2, 13),
(2, 14), (3, 12), (3, 13), (3, 14), (4, 13), (4, 14), (5, 14)},
Por agora, vamos calcular o custo benef´ıcio de todas estas viagens para descobrir quem tambe´m
e´ elemento de A (no final da questa˜o, veremos que nem seria necessa´rio fazer todas estas contas,
mas, por enquanto, vamos com cuidado).
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Me´todos Determin´ısticos I EP1 23
Elemento de P Custo-benef´ıcio
(1, 10)
2000 + 600 + 9 · 300
9
' 588, 89
(1, 11)
2000 + 700 + 10 · 300
10
= 570, 00
(1, 12)
2000 + 800 + 11 · 300
11
' 554, 55
(1, 13)
2000 + 900 + 12 · 300
12
' 541, 67
(1, 14)
2000 + 1200 + 13 · 300
13
' 546, 15
(2, 11)
1500 + 700 + 9 · 300
9
' 544, 44
(2, 12)
1500 + 800 + 10 · 300
10
= 530, 00
(2, 13)
1500 + 900 + 11 · 300
11
' 518, 18
(2, 14)
1500 + 1200 + 12 · 300
12
= 525, 00
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP1 24
Elemento de P Custo-benef´ıcio
(3, 12)
1000 + 800 + 9 · 300
9
= 500, 00
(3, 13)
1000 + 900 + 10 · 300
10
= 490, 00
(3, 14)
1000 + 1200 + 11 · 300
1
= 500, 00
(4, 13)
700 + 900 + 9 · 300
9
' 477, 78
(4, 14)
700 + 1200 + 10 · 300
10
= 490, 00
(5, 14)
500 + 1200 + 9 · 300
9
' 488, 89
Assim,
P ∩ A = {(3, 12), (3, 13), (3, 14), (4, 13), (4, 14), (5, 14)}
Como
M = {(5, 8), (5, 9), (5, 10), (5, 11), (5, 12), (5, 13), (5, 14),
(6, 8), (6, 9), (6, 10), (6, 11), (6, 12), (6, 13), (6, 14),
(1, 12), (2, 12), (3, 12), (4, 12), (5, 12), (7, 12),
(1, 13), (2, 13), (3, 13), (4, 13), (5, 13), (7, 13)}.
temos
(P ∩ A)−M = {(3, 14), (4, 14)}.
Pode parecer que fizemos muitas contas na tabela acima, e fizemos mesmo! Mas se tive´ssemos
pensado antes de sair calculando, ter´ıamos percebido que na˜o era necessa´rio calcular o custo-
benef´ıcio das viagens (1, 12), (1, 13), (2, 12), (2, 13), (3, 12), (3, 13), (4, 13) e (5, 13), pois
estas viagens sa˜o elementos de M e, assim, na˜o estariam em (P ∩ A) −M , independente do
custo-benef´ıcio. Assim, bastava termos calculado os custos benef´ıcio de (1, 10), (1, 11), (1, 14),
(2, 11), (2, 14), (3, 14) e (4, 14). As contas se reduziriam a` metade!
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ