EP3 2018 1 questoes

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
EP3 – Me´todos Determin´ısticos I – 2018-1
Neste EP vamos trabalhar o conteu´do estudado na Aula 3 do Caderno Dida´tico.
Algumas palavras
E´ preciso que voceˆ estude com especial cuidado este EP e o pro´ximo. Eles sa˜o essenciais para que
voceˆ consiga entender e se expressar na Linguagem da Lo´gica, pois e´ a partir deste conte´udo que
podem ser criadas muitas das armadilhas das provas de racioc´ınio lo´gico em concursos.
A Matema´tica necessita de uma linguagem bem definida, em que cada sentenc¸a ou expressa˜o possua
um significado bem estabelecido, isto e´, este significado deve ser sempre o mesmo, independente-
mente de quem esteja lendo. E, neste sentido, a linguagem da Lo´gica de proposic¸o˜es, atende muito
bem a` Matema´tica. Esta linguagem estabelece significados bastante estritos para palavras da L´ıngua
Portuguesa (no nosso caso) que tambe´m sa˜o empregadas cotidianamente. Por isso, e´ importante
que estas palavras sejam sempre consideradas com o significado lo´gico que foi definido, e na˜o com o
significado cotidiano. Pense no significado de lo´gico estabelecido para cada palavra como se fossem
as regras do jogo.
Para que voceˆ tenha uma ideia do que estamos querendo dizer, imagine a seguinte afirmac¸a˜o:
Se eu for a` regia˜o Sul do Brasil, visitarei o Rio Grande do Sul ou o Parana´
ou Santa Catarina ou a Bahia.
Esta afirmac¸a˜o esta´ correta? Pense um pouco...
Pode parecer estranho para algumas pessoas, mas dentro das regras do nosso jogo, esta afirmac¸a˜o
esta´ correta. Mas na˜o se preocupe se isto parece estranho para voceˆ, nas pro´ximas aulas tudo ficara´
claro.
Como outro exemplo, considere a situac¸a˜o hipote´tica a seguir. Imagine que um pai disse para o seu
filho Julio:
Julio, se voceˆ for aprovado no ENEM, enta˜o tera´ um carro novo.
Admita que o pai de Julio esteja dizendo a verdade.
Depois do resultado da divulgac¸a˜o do ENEM, Julio foi visto com um carro novo. E´, enta˜o, verdade
que Julio foi aprovado no ENEM?
A resposta e´ “Na˜o!” pois Julio poderia, por exemplo, na˜o ter sido aprovado no ENEM e ter ganho
o carro num sorteio.
O equ´ıvoco esta´ em que na linguagem do cotidiano, e´ comum assumir que se a sentenc¸a:
Julio, se voceˆ for aprovado no ENEM, enta˜o tera´ um carro novo.
Me´todos Determin´ısticos I EP3 2
e´ verdadeira, tambe´m e´ verdadeira a sentenc¸a
Se Julio tem um carro novo, enta˜o ele foi aprovado no ENEM.
Boa parte das questo˜es ditas de “racioc´ınio lo´gico” exigem racioc´ınio, tanto quanto o conhecimento
da linguagem empregada na Lo´gica.
O que faremos neste EP e no pro´ximo e´ estudar cuidadosamente o significado das proposic¸o˜es (sen-
tenc¸as lo´gicas) para que voceˆ se familiarize com a linguagem da Lo´gica, sabendo emprega´-la bem,
inclusive na Matema´tica.
Antes de prosseguir, sugerimos que voceˆ assista a` videoaula Lo´gica Proposicional (em 3
partes), produzida pelas professoras Magda e Anne Michelle, dispon´ıvel na Semana 3 da
Plataforma.
Abaixo, o link direto para cada parte da videoaula:
• Parte 1
• Parte 2
• Parte 3
Proposic¸o˜es
No material impresso, voceˆ aprendeu que nem todas as frases sa˜o proposic¸o˜es lo´gicas. As proposic¸o˜es
lo´gicas sa˜o as afirmac¸o˜es que podem ser classificadas como verdadeiras ou falsas. Por exemplo, “A
Terra e´ um planeta.” e´ uma proposic¸a˜o lo´gica. Ja´ quando algue´m lhe pede “Por favor, passe o sal.”
na˜o se trata de uma afirmativa verdadeira ou falsa, na˜o e´ uma proposic¸a˜o lo´gica.
Da mesma forma, sa˜o proposic¸o˜es:
• O ano de 2018 comec¸ou em um domingo.
• pi > 3
• A reitoria da UFRRJ se localiza em Serope´dica.
• 1 6 0
E na˜o sa˜o proposic¸o˜es:
• Corra, Lola, corra!
• Quem quer dinheiro?
E´ muito comum darmos nomes a`s proposic¸o˜es, para podermos nos referir a elas posteriormente. Nos
exemplos acima, poder´ıamos ter “batizado”as proposic¸o˜es da seguinte forma:
p: O ano de 2018 comec¸ou em um domingo.
q: pi > 3
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Me´todos Determin´ısticos I EP3 3
r: A reitoria da UFRRJ se localiza em Serope´dica.
s: 1 6 0
Usualmente, utilizaremos letras latinas minu´sculas, como feito acima, mas isto e´ apenas uma questa˜o
de estilo!
Sentenc¸as abertas
Algumas expresso˜es afirmativas conte´m varia´veis e so´ podem ser classificadas em verdadeiras ou
falsas quando estas varia´veis assumem valores estabelecidos. Por exemplo, na˜o podemos dizer que
seja verdadeira ou falsa que
x e´ um nu´mero inteiro par.
Esta afirmac¸a˜o e´ verdadeira quando x = −2, x = 0 ou x = 3432, por exemplo. Por outro lado, e´
falsa, por exemplo, quando x = 1, x =
√
2, x = 152 ou x = melancia.
Sentenc¸as afirmativas contendo varia´veis e que possam ser classificadas em verdadeiras ou falsas
quando as varia´veis assumem valores, sa˜o chamadas de sentenc¸as abertas, ou ainda func¸o˜es propo-
sicionais.
Usualmente se representa uma sentenc¸a aberta que possua uma varia´vel x escrevendo algo da forma
p(x). Um exemplo
p(x): x e´ um nu´mero inteiro par
Isto significa que, para cada valor de x, teremos uma proposic¸a˜o, obtida substituindo x por aquele
valor. Por exemplo, a proposic¸a˜o p(2) e´ dada por
p(2): 2 e´ um nu´mero inteiro par
e e´ verdadeira! Por outro lado, a proposic¸a˜o
p(1): 2 e´ um nu´mero inteiro par
e´ falsa.
Outros exemplos:
q(n): n2 e´ positivo. [A varia´vel aqui e´ n]
r(t): t > 1
t
[A varia´vel aqui e´ t]
s(professor): professor e´ coordenador de MD1 [A varia´vel aqui e´ professor]
Nas sentenc¸as abertas acima, sa˜o verdadeiras, por exemplo, as proposic¸o˜es (verifique!): q(1), r(2),
s(Denise). Por outro lado, sa˜o falsas q(0), r
(
1
2
)
, s(Pedro A´lvares Cabral).
Um outro exemplo:
Fulano estuda administrac¸a˜o.
A varia´vel, no caso, e´ fulano... a na˜o ser que haja uma pessoa cujo nome seja Fulano, neste caso,
ter´ıamos uma proposic¸a˜o, e na˜o uma sentenc¸a aberta!
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Me´todos Determin´ısticos I EP3 4
Os conectivos lo´gicos “e”e “ou”
Vamos agora comec¸ar a estabelecer um sentido muito estrito para palavras usuais de nossa l´ıngua.
Vamos comec¸ar pelas palavras “e”e “ou”que, de agora em diante em nossa disciplina, devem ser
lidas e utilizadas apenas com este sentido. Esta e´ a regra do jogo!
O conectivo e, tambe´m representado por ∧, e´ utilizado para juntar duas proposic¸o˜es e gerar uma
nova proposic¸a˜o que sera´ verdadeira apenas quando as duas proposic¸o˜es originais forem verdadeiras.
Na˜o ficou claro? Imagine que tenhamos as proposic¸o˜es p e q. Podemos formar uma nova proposic¸a˜o,
que daremos o nome (aleato´rio) de r, fazendo
r : p e q,
ou, o que significa a mesma coisa,
r : p ∧ q.
A proposic¸a˜o r sera´ verdadeira apenas quando p e q forem ambas verdadeiras. Se qualquer uma das
duas proposic¸o˜es p e q for falsa, ou ainda se as duas o forem, a proposic¸a˜o r sera´ falsa.
Por exemplo, juntando a proposic¸a˜o verdadeira p : a Terra e´ um planeta com a proposic¸a˜o
falsa q : ca˜es sa˜o re´pteis atrave´s do conectivo e, podemos formar a seguinte proposic¸a˜o:
A Terra e´ um planeta e ca˜es sa˜o re´pteis.
que e´ uma proposic¸a˜o falsa, pois q e´ falsa.
Por outro lado, a proposic¸a˜o
A Terra e´ um planeta e ca˜es sa˜o mam´ıferos.
e´ verdadeira, pois tanto A Terra e´ um planeta quanto ca˜es sa˜o mam´ıferos. sa˜o verdadeiras.
O conectivo ou, tambe´m representado por ∨, junta duas proposic¸o˜es e gera uma nova, que sera´
verdadeira apenas quando pelo menos uma das duas proposic¸o˜es originais forem verdadeiras.
Com as afirmac¸o˜es do exemplo acima, a proposic¸a˜o
A terra e´ um planeta ou ca˜es sa˜o re´pteis.
e´ uma afirmac¸a˜o verdadeira, pois A terra e´ um planeta e´ verdadeira.
Vejamosum outro exemplo. A afirmac¸a˜o
Joa˜o estudou ou Joa˜o foi a` praia.
sera´ verdadeira se
• Joa˜o tiver estudado, mas na˜o tiver ido a` praia;
• Joa˜o na˜o tiver estudado, mas tiver ido a` praia;
• Joa˜o tiver estudado, e tambe´m tiver ido a` praia.
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Me´todos Determin´ısticos I EP3 5
Vamos pensar um pouco mais sobre a u´ltima condic¸a˜o acima. A proposic¸a˜o p ∨ q (isto e´, p ou q) e´
verdadeira se pelo menos uma das proposic¸o˜es p e q forem verdadeiras. Se ambas forem verdadeiras,
p ∨ q sera´, portanto, verdadeira.
Este exemplo ilustra bem a necessidade de estabelecermos uma regra clara. O conectivo ou definido
e´ ligeiramente diferente do que utilizamos no portugueˆs. No cotidiano, uma frase como
Voceˆ estuda ou vai a` praia.
costuma ser entendida como uma exclusa˜o, isto e´, ela na˜o seria admitiria a possibilidade de voceˆ
tanto estudar quanto ir a` praia. Lembramos que na˜o e´ assim que definimos o nosso conectivo ou;
o nosso e´ mais legal, deixa voceˆ ir a` praia e estudar! Imagina voceˆ la´, curtindo a brisa debaixo
do guarda-sol, fazendo uns exerc´ıcios de Me´todos Determin´ısticos, bebendo um mate gelado... so´
felicidade!
Um u´ltimo exemplo de uso do conectivo ou, que nem sempre e´ percebido como tal. A sentenc¸a
3 > 1
e´ uma forma abreviada de escrevermos
3 > 1 ou 3 = 1.
A sentenc¸a e´ verdadeira, pois e´ verdade que 3 > 1. Da mesma forma, a sentenc¸a
1 > 1,
que e´ uma forma abreviada de escrevermos
1 > 1 ou 1 = 1
tambe´m e´ verdadeira, pois e´ verdade que 1 = 1.
No pro´ximo exerc´ıcio, trabalharemos com os conectivos e e ou.
Exerc´ıcio 1 Determine se as proposic¸o˜es compostas abaixo sa˜o verdadeiras ou falsas:
a) O Brasil fica na Ame´rica do Sul e a Inglaterra fica na A´frica.
b) A China fica na Ame´rica do Sul ou o Canada´ fica na Ame´rica do Norte.
c) A Argentina fica na Ame´rica do Sul ou o Chile fica na Ame´rica do Sul.
d) A Coloˆmbia fica na A´frica e Portugal fica na Ame´rica do Sul.
e) Cuba fica na Europa ou o Japa˜o fica na Ame´rica do Norte.
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Me´todos Determin´ısticos I EP3 6
Negac¸a˜o
Se tivermos uma proposic¸a˜o p, representaremos por ∼ p a negac¸a˜o da proposic¸a˜o p. Certo, mas o
que e´ a negac¸a˜o de uma proposic¸a˜o?
A negac¸a˜o ∼ p e´ proposic¸a˜o que e´ verdadeira se p for falsa e falsa se p for verdadeira, isto e´, ∼ p e´
uma proposic¸a˜o que tem valor lo´gico contra´rio ao de p. Por exemplo, se consideramos a proposic¸a˜o
p: Pedro e´ alto
sua negac¸a˜o seria a proposic¸a˜o
∼ p: Pedro na˜o e´ alto.
Na˜o vamos aqui entrar em uma discussa˜o filoso´fica sobre o que e´ ser alto ou baixo, mas observe que
na˜o poder´ıamos dizer que a negac¸a˜o de p e´ Pedro e´ baixo. Se Pedro tiver estatura mediana,
enta˜o e´ falso que Pedro e´ alto, logo e´ verdadeiro que Pedro na˜o a´ alto, mas isto na˜o quer
dizer que seja verdade que Pedro e´ baixo. Deu para entender?
Tentando resumir esta discussa˜o, podemos dizer que negac¸a˜o na˜o esta´ associada ao conceito lingu´ıstico
de antoˆnimo, mas sim a oposto lo´gico. Se ficou complicado entender, pense na seguinte expressa˜o:
p : x > 1.
Qual e´ a negac¸a˜o ∼ p de p? A primeira resposta que ocorre e´ ∼ p : x < 1, pois “menor”e´ o antoˆnimo
(no portugueˆs) de “maior”, mas vamos pensar melhor.
Para que valores de x, a proposic¸a˜o p e´ verdadeira?
Quando x e´ menor que 1 p e´ falsa
Quando x e´ igual a 1 p e´ falsa
Quando x e´ maior que 1 p e´ verdadeira
Vamos chamar nosso palpite, a proposic¸a˜o x < 1, de q. Quando q : x < 1 e´ verdadeira?
Quando x e´ menor que 1 q e´ verdadeira
Quando x e´ igual a 1 q e´ falsa
Quando x e´ maior que 1 q e´ falsa
Opa!!! Repare que na˜o e´ bem por a´ı... pode acontecer de p ser falsa e q ser falsa. Logo, na˜o e´
verdade que q e´ a negac¸a˜o de p, pois q deveria ser verdadeira sempre que p fosse falsa.
Certo, mas enta˜o qual e´ a negac¸a˜o de p?
A resposta correta e´
∼ p : x 6 1.
Veja abaixo que o valor verdadeiro/falso de x 6 1 e´ sempre o oposto de p : x > 1:
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Me´todos Determin´ısticos I EP3 7
Quando x e´ menor que 1 x 6 1 e´ verdadeira*
Quando x e´ igual a 1 x 6 1 e´ verdadeira*
Quando x e´ maior que 1 x 6 1 e´ falsa
* Lembre-se de que “x 6 1” equivale a “x < 1 ou x = 1”
Uma negac¸a˜o ∼ p pode tambe´m ser lida como “na˜o p”ou ainda “e´ falso que p”.
Vamos agora trabalhar um exerc´ıcio envolvendo negac¸o˜es.
Exerc´ıcio 2 Qual a negac¸a˜o das proposic¸o˜es abaixo:
a) p: Hoje e´ sexta-feira
b) q: O meu pai era paulista
c) r: Amanha˜ na˜o sera´ sa´bado
d) Antes de pensarmos em quantificadores ou coisa do tipo, tente, usando apenas sua intuic¸a˜o
lo´gico-matema´tica, dizer qual e´ a negac¸a˜o da proposic¸a˜o abaixo:
s: Ningue´m e´ forte o bastante para me deter!
Antes que voceˆ diga que
∼ s: Todo mundo e´ forte o bastante para me deter!
lembre-se de que a negac¸a˜o e´ o oposto lo´gico, na˜o o antoˆnimo no portugueˆs. Tente pensar o que
precisa acontecer para que eu esteja mentindo ao fazer a afirmac¸a˜o p.
Uma observac¸a˜o: negac¸a˜o da negac¸a˜o
Se considerarmos uma proposic¸a˜o p, vimos que a negac¸a˜o ∼ p sera´ verdadeira se p for falsa e falsa
se p for verdadeira. Em outras palavras, o valor verdadeiro/falso de ∼ p e´ o oposto do de p. Enta˜o,
qual e´ o valor de ∼ (∼ p)?
Primeiramente, vamos tentar entender o que esta´ escrito. A proposic¸a˜o ∼ p e´ a negac¸a˜o da pro-
posic¸a˜o p e assim ∼ (∼ p) e´ a negac¸a˜o de ∼ p, logo e´ a negac¸a˜o da negac¸a˜o de p.
Se p for verdade, ∼ p e´ falsa, logo ∼ (∼ p) e´ verdade. Se, por outro lado, p for falsa, enta˜o ∼ p e´
verdade, logo ∼ (∼ p) e´ falsa. Ou seja, ∼ (∼ p) equivale a` pro´pria p!
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Me´todos Determin´ısticos I EP3 8
Exerc´ıcio 3 Surfo ou estudo. Fumo ou na˜o surfo. Velejo ou na˜o estudo. Ora, na˜o velejo. Assim,
(A) Estudo e fumo.
(B) Na˜o fumo e surfo.
(C) Na˜o velejo e na˜o fumo.
(D) Estudo e na˜o fumo.
(E) Fumo e surfo.
Observac¸a˜o: Este exerc´ıcio e´ uma questa˜o da prova da ANEEL (Ageˆncia Nacional de Energia Ele´trica – Aneel – 2004
– Esaf) e e´ uma questa˜o t´ıpica em provas de racioc´ınio lo´gico. Como exemplo, vamos resolveˆ-la.
Soluc¸a˜o: Nesse tipo de questa˜o, primeiro nos da˜o algumas proposic¸o˜es como “fatos”, isto e´, pro-
posic¸o˜es que devemos considerar que sa˜o verdadeiras. Chamamos a essas proposic¸o˜es de premissas.
Neste caso, as premissas sa˜o as seguintes:
Premissas:
Surfo ou estudo.
Fumo ou na˜o surfo.
Velejo ou na˜o estudo.
Na˜o velejo.
Geralmente as premissas sa˜o formadas por proposic¸o˜es compostas (como as treˆs primeiras acima).
A partir delas temos que descobrir quais proposic¸o˜es simples sa˜o verdadeiras e quais sa˜o falsas. Ado-
taremos o seguinte me´todo para resolver estas questo˜es:
1) Escrever as proposic¸o˜es simples e escolher uma letra diferente para designar cada proposic¸a˜o:
Proposic¸o˜es:
s: surfo
e: estudo
f : fumo
v: velejo
Nosso objetivo e´ determinar quais dessas proposic¸o˜es simples sa˜o verdadeiras e quais sa˜o falsas.
2) Escrever as premissas usando as letras que designam as proposic¸o˜es e os s´ımbolos dos conectivos
lo´gicos (o s´ımbolo de “e” e´ ∧ e o de “ou” e´ ∨. A negac¸a˜o e´ representada por ∼.)
Premissas:
s ∨ e
f ∨ ∼ s
v ∨ ∼ e
∼ v
3) Analisar as premissas para descobrir quais proposic¸o˜es simples sa˜o verdadeiras e quais sa˜o falsas:
Comec¸ando pela u´ltima premissa, sabemos que e´ verdade ∼ v (pois isso foi dado como premissa).
Da´ı podemos concluir que v e´ falso (dizer que e´ verdade que na˜o velejo e´ o mesmo que dizer que e´
falso que velejo).
Agora avaliando a penu´ltima premissa, sabemos que v∨ ∼ e e´ verdade. Mas isso significa que pelo
menos uma das duas proposic¸o˜es elementares envolvidas deve ser verdadeira (pois ∨ significa“ou”).
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Me´todos Determin´ısticos I EP3 9
Ja´ sabemos que v e´ falsa (conclu´ımos isso acima). Logo, ∼ e tem que ser verdadeiro. Da´ı podemos
concluir que e e´ falso.
Sabendo que e e´ falso, e olhando a primeira premissa, descobrimos que s e´ verdadeiro (pois se s
fosse falso, a premissa na˜o seria verdadeira, e premissas sempre sa˜o verdadeiras).
Finalmente, a segunda premissa nos garante que f e´ verdadeiro (pois ja´ vimos que ∼ s e´ falso).
Observando as alternativas da questa˜o, conclu´ımos que a correta e´ a letra E: surfo e fumo.
Pode parecer complicado a` primeira vista, mas e´ so´ uma questa˜o de pra´tica.
Exerc´ıcio 4 Leio jornal ou passeio. Passeio ou na˜o como fora. Como fora ou cozinho. Leio jornal
e na˜o cozinho.
a) Escreva as proposic¸o˜es simples envolvidas no enunciado acima (escreva-as na forma afirmativa)
e designe para cada uma delas uma letra diferente.
b) Usando os s´ımbolos lo´gicos e as letras escolhidas no item anterior, escreva as premissas dadas
no enunciado.
c) Analise as premissas e marque verdadeiro ou falso nos pareˆnteses abaixo:
( ) Leio jornal.
( ) Passeio.
( ) Como fora.
( ) Cozinho.
Exerc´ıcio 5 Sou brasileiro ou sou engenheiro. Sou magro ou na˜o sou brasileiro. Sou engenheiro ou
sou advogado. Na˜o sou magro ou na˜o sou engenheiro. Sou advogado ou sou pedreiro. Na˜o sou
magro e na˜o sou pedreiro.
a) Escreva as proposic¸o˜es simples envolvidas no enunciado acima (escreva-as na forma afirmativa)
e designe para cada uma delas uma letra diferente.
b) Usando os s´ımbolos lo´gicos e as letras escolhidas no item anterior, escreva as premissas dadas
no enunciado.
c) Analise as premissas e marque verdadeiro ou falso nos pareˆnteses abaixo:
( ) Sou brasileiro.
( ) Sou engenheiro.
( ) Sou magro.
( ) Sou advogado.
( ) Sou pedreiro.
d) Para resolver o item anterior voceˆ precisou usar todas as premissas?
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Me´todos Determin´ısticos I EP3 10
Exerc´ıcio 6 Considere os conjuntos A = {1, 3} e B = {a, b}. Decida se sa˜o verdadeiras ou falsas
as proposic¸o˜es a seguir.
a) 3 ∈ A e a ∈ A;
b) 1 ∈ A ou b ∈ A;
c) 3 ∈ A e {a} ⊂ B;
d) 1 6∈ A ou {b} ⊂ B
Observac¸a˜o: Nesta questa˜o continua-se a trabalhar com os conectivos “e”e “ou”, e se reve as relac¸o˜es de pertineˆncia
e inclusa˜o de conjuntos estudados na Semana 1.
Os quantificadores existencial e universal
Vamos trabalhar um pouco com os quantificadores ∃ (“existe”) e ∀ (“para todo”), vistos na Aula 3
do Caderno Dida´tico.
O quantificador de existeˆncia, denotado por ∃ (“existe”), e´ utilizado para afirmar que uma proposic¸a˜o
aberta p (uma sentenc¸a que possui valor verdadeiro/falso dependendo do valor de sua varia´vel) e´
verdadeira para pelo menos algum valor da varia´vel, dentro de um certo conjunto de valores que ela
pode assumir.
Por exemplo, vamos considerar o conjunto dos nu´meros reais N. A proposic¸a˜o
q : ∃n ∈ N | n2 − 4n+ 3 = 0.
deve ser lida da seguinte forma:
q: existe algum valor de n pertencente a N tal que n2 − 4n+ 3 = 0.
Esta afirmac¸a˜o sera´ verdadeira se, de fato, existir pelo menos um valor de n, que so´ pode ser esco-
lhido dentre os nu´meros naturais, para o qual n2 − 4n+ 3 = 0.
A afirmac¸a˜o, no caso, e´ verdadeira, pois fazendo n = 1, temos 12 − 4 · 1 + 3 = 0. Mas repare que
tambe´m e´ verdade para n = 3, pois 32 − 4 · 3 + 3 = 0. Bom, na˜o importa que existam mais de um
valor para n que satisfac¸a a igualdade, a proposic¸a˜o p seria verdadeira se existisse um so´, dois ou
qualquer outro nu´mero de valores, mesmo que fossem infinitos.
Se considerarmos o conjunto A = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...} a proposic¸a˜o
q : ∃n ∈ A | n2 − 4n+ 3 = 0
seria falsa. Qualquer valor de n que escolheˆssemos em A (o n tem que existir em A, na˜o mais em
N), nos daria n2 − 4n + 3 < 0 (Por que mesmo? Tente relembrar func¸a˜o do segundo grau!), logo
n2 − 4n+ 3 6= 0.
Um exemplo interessante:
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Me´todos Determin´ısticos I EP3 11
q: Algue´m gosta de Lo´gica.
Esta sentenc¸a pode ser lida como
q: Existe x ∈ P | x gosta de lo´gica
onde P e´ o conjunto das pessoas.
Sendo um pouco mais precisos, se temos um conjunto A e uma sentenc¸a aberta p(x) (veja mais
sobre isso na sec¸a˜o Sentenc¸as Abertas deste EP), a proposic¸a˜o
q : ∃x ∈ A | p(x)
e´ lida como
Existe algum valor de x escolhido no conjunto A para o qual a proposic¸a˜o
p(x) e´ verdadeira.
Note que, acima, escrevemos “a proposic¸a˜o p(x)”, e na˜o a “sentenc¸a aberta p(x)”, pois p(x) sera´
considerada com um valor de x, no caso um elemento de A.
O quantificador universal, denotado por ∀, e´ utilizado para afirmar que uma proposic¸a˜o aberta q e´
verdadeira para todo valor da varia´vel, escolhido dentro de um certo conjunto.
Por exemplo, a proposic¸a˜o
q : ∀n ∈ N, 2n e´ par
e´ lida como
q: para todo valor de n pertencente a N, e´ verdadeiro que 2n e´ par.
Note que sentenc¸a q acima e´ verdadeira.
Um outro exemplo:
q : ∀n ∈ Z, n2 > 0.
Esta afirmac¸a˜o e´ lida como
q: para todo valor de n pertencente a Z, e´ verdadeiro que n2 > 0.
Esta afirmac¸a˜o e´ falsa! Se considerarmos n = 0, temos n2 = 02 = 0, logo n2 > 0 e´ falsa. Com isso,
existe pelo menos um valor de n ∈ Z para o qual n2 > 0. Isto faz com que a afirmac¸a˜o q seja falsa,
pois ela dizia que n2 > 0 seria verdadeira para todo valor de n.
Para que uma proposic¸a˜o com o ∀ seja falsa, basta que exista pelo menos um valor de n dentro do
conjunto especificado para o qual a proposic¸a˜o aberta dada seja falsa, como no exemplo acima.
Vejamos um outro exemplo.
q : ∀n ∈ Z, n2 > n.
Note que, para n = 0, teremos n2 = 0 = n e, para n = 1, temos n2 = 1 = n. Assim, em ambos os
casos e´ falso que n2 > n, logo q e´ falsa.
Mais um exemplo:
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Me´todos Determin´ısticos I EP3 12
q: Todo mundo gosta de lo´gica.
pode ser lida como
q: Para todo x ∈ P , x gosta de lo´gica
onde P denota, mais uma vez, o conjunto das pessoas.
Mais precisamente, dados o conjunto A e a sentenc¸a aberta p(x), a proposic¸a˜o
q : ∀x ∈ A, p(x)
e´ lida como
Para todo valor de x no conjunto A, a proposic¸a˜o p(x) e´ verdadeira.
Os dois exerc´ıcios seguintes trabalham com quantificadores. Divirta-se com eles!
Exerc´ıcio 7 Considere os conjuntos A =
{
−1
2
, −3 , −1
6
}
, B =
{
−6 , −1
3
, 2
}
e C = {6 , 10}.
Escreva por extenso as proposic¸o˜es matema´ticas abaixo, e decida se elas sa˜o verdadeiras ou falsas.
Justifique suas respostas.
a) ∀ x ∈ A, 1/x ∈ B.
b) ∃ x ∈ A | 1/x ∈ B.
c) ∃ x ∈ B | ∀ y ∈ C, y/x e´ ı´mpar.
d) ∀ x ∈ B, ∃ y ∈ C | ∃z ∈ A | x = yz.
Observac¸a˜o: Nesta questa˜o e na pro´xima, trabalha-se com os quantificadores em proposic¸o˜es matema´ticas. Tenha
atenc¸a˜o especial com os dois u´ltimos ı´tens. O que voceˆ observa neles? Eles dizem a mesma coisa?
Exerc´ıcio 8 Escreva por extenso as proposic¸o˜es matema´ticas abaixo, e decida se sa˜o verdadeiras ou
falsas. Justifique suas respostas.
a) ∀x ∈ Q; x > 1
b) ∃y ∈ Z | y + 1 = −3
c) ∃z ∈ Z | z + 3 = 1/3
d) ∀m ∈ N; m+ 1 > 3
e) ∀p ∈ Z; ∃q ∈ Z | p+ q = 0
f) ∃q ∈ Z | ∀p ∈ Z, p+ q = 0
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Me´todos Determin´ısticos I EP3 13
Exerc´ıcio 9 Em uma sala de aula, estudam:
• Ana, que na˜o usa o´culos e e´ loira.
• Joa˜o, que na˜o usa o´culos e e´ ruivo.
• Maria, que na˜o usa o´culos e tem cabelos castanhos.
• Matheus Reis, que usa o´culos e tem cabelos azuis.
• Matheus Vieira, que na˜o usa o´culos e tambe´m tem cabelos azuis.
• Pedro, que usa o´culos e tem cabelos castanhos.
• Zulmira, que na˜o usa o´culos e e´ ruiva.
Sobre esta turma, sa˜o feitas as seguintes afirmac¸o˜es.
p: Se usa o´culos, enta˜o e´ homem.
q: Se e´ homem, enta˜o usa o´culos.
r: Se tem cabelos azuis, enta˜o se chama Matheus
s: Se se chama Matheus, enta˜otem cabelos azuis
t: Se tem cabelos azuis, enta˜o e´ homem.
u: Se na˜o usa o´culos, enta˜o e´ mulher
v: Se aluno e´ mulher, enta˜o na˜o usa o´culos
w: Se e´ ruivo, enta˜o na˜o usa o´culos
Preencha as lacunas abaixo com V (verdadeiro) ou F (falso), justificando minuciosamente:
( ) r e s
( ) u e v
( ) v ou t
( ) q ou w
( ) (∼t e q) ou u
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Negac¸a˜o de quantificadores
Em uma discussa˜o que fizemos sobre anteriormente neste EP, vimos que a negac¸a˜o ∼ p de uma pro-
posic¸a˜o p na˜o e´ exatamente o seu antoˆnimo no sentido lingu´ıstico da palavra, mas sim uma espe´cie
de oposto lo´gico. A negac¸a˜o, no sentido lo´gico, tem a ver com valores contra´rios verdadeiro/falso.
No item (d) do Exerc´ıcio 2, voceˆ percebeu que, por mais que a expressa˜o “todo mundo”tenha a
ideia contra´ria a` “ningue´m”, “todo mundo”na˜o e´ a negac¸a˜o lo´gica de “ningue´m”. Volte e reveja o
exerc´ıcio.
Agora, esquecendo o exemplo, pense no que precisa acontecer para que uma afirmac¸a˜o do tipo
Todas as pessoas gostam de chocolate.
seja uma mentira. Ora, ela sera´ falsa na˜o apenas se ningue´m gostar de chocolate; para que ela falsa,
basta que exista uma u´nica pessoa que na˜o goste de chocolate. Assim, a negac¸a˜o da proposic¸a˜o
acima seria
Existe alguma pessoa que na˜o gosta de chocolate.
ou ainda, equivalentemente,
Algue´m na˜o gosta de chocolate.
Na˜o faz sentido? Afirmar que algo e´ verdade para todas as pessoas e´ muito forte! Basta uma u´nica
pessoa na˜o cumprir com o afirmado para fazer com que voceˆ esteja errado.
De maneira mais geral, pense na proposic¸a˜o
q : ∀x ∈ A, p(x).
Aqui estamos dizendo dizendo que p(x) e´ verdeira para todos os valores de x no conjunto A. Esta e´
uma afirmac¸a˜o muito forte! Para estarmos errados, basta que exista pelo menos um elemento de A
para o qual p(x) na˜o seja verdadeira quando se substitui x por aquele valor. assim, para que q seja
falsa, basta que
∃x ∈ A | p(x) e´ falsa.
Mas podemos substituir “p(x) e´ falsa”por ∼ p(x), e temos enta˜o
∼ q : ∃x ∈ A | ∼ p(x).
Exemplo: A Negac¸a˜o de
∀x ∈ N, x = 1
x
e´
∃x ∈ N |x 6= 1
x
.
Pense agora na afirmac¸a˜o
Algue´m gosta de cha´ de boldo.
Esta afirmac¸a˜o pode ser lida como
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Existe alguma pessoa que gosta de cha´ de boldo.
O que precisa acontecer para que esta afirmac¸a˜o seja desmentida? Se voceˆ encontrar uma u´nica
pessoa que na˜o goste de cha´ de boldo, voceˆ ja´ tera´ desmentido? Pense...
Se existir uma pessoa que na˜o goste de cha´ de boldo, ainda assim a afirmac¸a˜o podera´ ser verdadeira.
Ora, existe algue´m que na˜o gosta, mas ainda assim podem existir pessoas que gostem, e enta˜o a
afirmac¸a˜o sera´ verdadeira.
Neste caso, para garantir que a afirmac¸a˜o e´ falsa, precisamos mostrar que
Na˜o existe alguma pessoa que gosta de cha´ de boldo
ou seja, que
Todas as pessoas na˜o gostam de cha´ de boldo.
Ou seja, a negac¸a˜o da afirmac¸a˜o
q : ∃x ∈ P |x gosta de cha´ de boldo.
e´
∼ q : ∀x ∈ P , x na˜o gosta de cha´ de boldo.
ou ainda
∼ q : ∀x ∈ P , ∼ (x gosta de cha´ de boldo).
(Uma pergunta que nada tem a ver com a discussa˜o lo´gica acima... Quem neste mundo, em sa˜
conscieˆncia, gosta de cha´ de boldo???)
Em termos simbo´licos, percebemos que a negac¸a˜o de
q : ∃x ∈ A | p(x)
e´
∼ q : ∀x ∈ A, ∼ p(x).
Se algue´m diz que existe algum valor de x em A que torne p(x) verdadeira, a forma de contradi-
zer quem afirmou e´ exatamente argumentar que p(x) e´ falsa para todos os valores de x em A. Na˜o e´?
Exemplo: A negac¸a˜o de
q : ∃x ∈ Z |x2 < 1
e´
q : ∀x ∈ Z, x2 > 1.
Agora e´ hora de praticar!
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Exerc´ıcio 10 Escreva a negac¸a˜o das afirmativas abaixo:
a) Toda casa tem um dono.
b) Existe gato que gosta de a´gua.
c) Existe cachorro que na˜o persegue gato.
d) Toda menina baiana tem um jeito que Deus da´.
e) Todo boteco que se preza diz que na˜o vende fiado. (Cuidado com este item...)
Nos exerc´ıcios abaixo, vamos relacionar os conectivos lo´gicos e quantificadores com as operac¸o˜es
entre conjuntos.
Exerc´ıcio 11 O conjunto A∪B pode ser descrito, por uma propriedade satisfeita por seus elementos,
como
A ∪B = {x|x ∈ A ∨ x ∈ B}.
Descreva, por meio de uma propriedade satisfeita por seus elementos (isto e´, na forma {x|...}), os
conjuntos
a) A ∩B
b) A−B
c) A ∩B ∩ C
d) (A ∪B)− C
Exerc´ıcio 12 A proposic¸a˜o “A ⊂ B”pode ser escrita, utilizando quantificadores, como
“∀x ∈ A, x ∈ B”. Note que as duas expresso˜es sa˜o equivalentes. Escreva, utilizando quantifi-
cadores, expresso˜es equivalentes a
a) A 6⊂ B
b) A ⊂ (B ∪ C)
c) A−B = ∅
Exerc´ıcio 13 Considere os conjuntos A = {7, 8} e B = {9, 10}.
a) Escreva por extenso a proposic¸a˜o abaixo e decida se ela e´ verdadeira ou falsa, justificando cuida-
dosamente sua resposta.
p : ∀a ∈ A, ∃b ∈ B | b = a+ 2.
b) Escreva por extenso a proposic¸a˜o abaixo e decida se ela e´ verdadeira ou falsa, justificando cuida-
dosamente sua resposta.
q : ∃b ∈ B | ∀a ∈ A, b = a+ 2.
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