MD1 AD1 Q2 2017 1 Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da Questa˜o 2 da AD 1 – Me´todos Determin´ısticos I – 2017-1
Questa˜o 2 (2,5 pontos) Em uma cidade, considere os seguintes conjuntos:
• U : Conjunto de todos os habitantes
• A: Conjunto dos adultos da cidade, com idade maior ou igual a 18 anos
• J : Conjunto dos jovens adultos da cidade, com idade maior ou igual a 18 e menor que 30.
• F : conjunto das pessoas da cidade que teˆm filhos.
(a) Represente, por meio de um diagrama de Venn, os conjuntos acima.
(b) Sabendo que
– Maria e´ casada, possui 32 anos e tem dois filhos.
– Pedro e´ casado, possui 27 anos e na˜o possui filhos.
– Joa˜o possui 16 anos e e´ um pai solteiro de 2 filhos.
Coloque Maria, Pedro e Joa˜o em seus respectivos conjuntos no Diagrama de Venn.
Uma ageˆncia de publicidade pretende lanc¸ar uma campanha com o objetivo de impactar todos os
habitantes que sejam jovens adultos ou que sejam adultos sem filhos. Denote por I este conjunto.
(c) No diagrama de Venn do item (a), pinte o conjunto I.
(d) Diga como obter o conjunto I a partir dos conjuntos U , A, J e F e utilizando as operac¸o˜es
entre conjuntos ∪, ∩ e −.
(e) Expresse n(I) a partir de n(A), n(J) e n(F ) e suas intersec¸o˜es.
Soluc¸a˜o:
(a) Repare que todo jovem adulto (idade maior ou igual a 18 e menor que 30) e´ necessariamente
um adulto (idade maior ou igual a 30). Assim, o conjunto J esta´ contido no conjunto A, isto
e´, J ⊂ A. O conjunto F (pessoas que teˆm filho) na˜o esta´ contido em A ou J , pois nada
impede que um menor de 18 tenha filhos. Assim, temos um diagrama como o apresentado
abaixo
Me´todos Determin´ısticos I Gabarito da Questa˜o 1 da AD 1 2
(b) Repare que o estado civil de Maria, Pedro e Joa˜o na˜o influenciam no conjunto em que estara˜o.
Vamos situa´-los nos conjuntos:
– Maria possui 32 anos, logo pertence a A mas na˜o a J , e tem dois filhos, logo Maria
pertence a F .
– Pedro e´ casado, possui 27 anos, logo pertence a J e na˜o possui filhos, logo na˜o pertence
a F .
– Joa˜o possui 16 anos, logo na˜o pertence a A e e´ um pai solteiro de 2 filhos, logo pertence
a F .
Assim, temos
(c) Note que I e´ a unia˜o de J , conjunto dos jovens adultos representado abaixo,
com A− F , conjunto dos adultos sem filhos representado abaixo:
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Me´todos Determin´ısticos I Gabarito da Questa˜o 1 da AD 1 3
Assim, o conjunto I e´ dado abaixo:
(d) Pelo que vimos acima,
I = J ∪ (A− F )
(e) Vamos pensar nos dois conjuntos abaixo, que, juntos formam I:
A− F
J ∩ F.
Estas duas “partes”de I na˜o possuem intersec¸a˜o, logo
n(I) = n(A− F ) + n(J ∩ F )
= [n(A)− n(A ∩ F )] + n(J ∩ F ) = n(A)− n(A ∩ F ) + n(J ∩ F ).
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