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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Gabarito da Questa˜o 2 da AD 1 – Me´todos Determin´ısticos I – 2017-1 Questa˜o 2 (2,5 pontos) Em uma cidade, considere os seguintes conjuntos: • U : Conjunto de todos os habitantes • A: Conjunto dos adultos da cidade, com idade maior ou igual a 18 anos • J : Conjunto dos jovens adultos da cidade, com idade maior ou igual a 18 e menor que 30. • F : conjunto das pessoas da cidade que teˆm filhos. (a) Represente, por meio de um diagrama de Venn, os conjuntos acima. (b) Sabendo que – Maria e´ casada, possui 32 anos e tem dois filhos. – Pedro e´ casado, possui 27 anos e na˜o possui filhos. – Joa˜o possui 16 anos e e´ um pai solteiro de 2 filhos. Coloque Maria, Pedro e Joa˜o em seus respectivos conjuntos no Diagrama de Venn. Uma ageˆncia de publicidade pretende lanc¸ar uma campanha com o objetivo de impactar todos os habitantes que sejam jovens adultos ou que sejam adultos sem filhos. Denote por I este conjunto. (c) No diagrama de Venn do item (a), pinte o conjunto I. (d) Diga como obter o conjunto I a partir dos conjuntos U , A, J e F e utilizando as operac¸o˜es entre conjuntos ∪, ∩ e −. (e) Expresse n(I) a partir de n(A), n(J) e n(F ) e suas intersec¸o˜es. Soluc¸a˜o: (a) Repare que todo jovem adulto (idade maior ou igual a 18 e menor que 30) e´ necessariamente um adulto (idade maior ou igual a 30). Assim, o conjunto J esta´ contido no conjunto A, isto e´, J ⊂ A. O conjunto F (pessoas que teˆm filho) na˜o esta´ contido em A ou J , pois nada impede que um menor de 18 tenha filhos. Assim, temos um diagrama como o apresentado abaixo Me´todos Determin´ısticos I Gabarito da Questa˜o 1 da AD 1 2 (b) Repare que o estado civil de Maria, Pedro e Joa˜o na˜o influenciam no conjunto em que estara˜o. Vamos situa´-los nos conjuntos: – Maria possui 32 anos, logo pertence a A mas na˜o a J , e tem dois filhos, logo Maria pertence a F . – Pedro e´ casado, possui 27 anos, logo pertence a J e na˜o possui filhos, logo na˜o pertence a F . – Joa˜o possui 16 anos, logo na˜o pertence a A e e´ um pai solteiro de 2 filhos, logo pertence a F . Assim, temos (c) Note que I e´ a unia˜o de J , conjunto dos jovens adultos representado abaixo, com A− F , conjunto dos adultos sem filhos representado abaixo: Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I Gabarito da Questa˜o 1 da AD 1 3 Assim, o conjunto I e´ dado abaixo: (d) Pelo que vimos acima, I = J ∪ (A− F ) (e) Vamos pensar nos dois conjuntos abaixo, que, juntos formam I: A− F J ∩ F. Estas duas “partes”de I na˜o possuem intersec¸a˜o, logo n(I) = n(A− F ) + n(J ∩ F ) = [n(A)− n(A ∩ F )] + n(J ∩ F ) = n(A)− n(A ∩ F ) + n(J ∩ F ). Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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