AP2-MetDet1-2017-2-gabarito-final2

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AP2 - Me´todos Determin´ısticos I - 2017-2
ORIENTAC¸O˜ES PARA PROVA COM CORREC¸A˜O ONLINE
Orientac¸o˜es gerais
I
1. Voceˆ esta´ recebendo do aplicador um Caderno com os enunciados das Questo˜es e, inicial-
mente, uma Folha de Resposta para o registro das suas respostas, com sua identificac¸a˜o
em uma etiqueta.
2. Confira se o Caderno de Questo˜es corresponde a` disciplina em que devera´ realizar a prova
e se na Folha de Respostas constam corretamente o seu nome e nu´mero de matr´ıcula.
Caso contra´rio, verifique com o aplicador a soluc¸a˜o cab´ıvel.
3. Apo´s a confereˆncia e se estiver tudo certo, assine a Folha de Resposta no local indicado
para este fim.
4. Confira e assine cada nova Folha de Resposta solicitada.
5. E´ expressamente proibido o uso de aparelho e qualquer outro aparelho que per-
mita a conexa˜o a` Internet durante a aplicac¸a˜o da prova. Qualquer irregularidade
detectada sera´ reportada a` Direc¸a˜o do Polo e a` Coordenac¸a˜o para aplicac¸a˜o das sanc¸o˜es
devidas.
6. Ao te´rmino da prova, entregue ao aplicador todas as Folhas de Respostas utilizadas,
devidamente assinadas, o Caderno de Questo˜es e rascunhos.
Orientac¸o˜es para o preenchimento das Folhas de Respostas
I
1. Somente utilize caneta esferogra´fica com tinta azul ou preta, para registro das
resoluc¸o˜es das questo˜es nas Folhas de Respostas.
2. Apresente as resoluc¸o˜es de forma clara, leg´ıvel e organizada. Na˜o se esquec¸a de numera´-
las de acordo com as questo˜es!
3. As Folhas de Respostas sera˜o o u´nico material considerado para correc¸a˜o.
Portanto, quaisquer anotac¸o˜es feitas fora delas, mesmo que em folha de rascunho, sera˜o
ignoradas.
4. As respostas devem vir acompanhadas de justificativas.
5. NA˜O AMASSE, DOBRE OU RASURE as Folhas de Respostas, pois isto pode inviabilizar
a digitalizac¸a˜o e a correc¸a˜o.
Orientac¸o˜es espec´ıficas para esta disciplina:
I1. E´ expressamente proibido o uso de qualquer instrumento que sirva para ca´lculo assimcomo de qualquer material que sirva de consulta.
ATENC¸A˜O: O descumprimento de quaisquer das orientac¸o˜es podera´ implicar em preju´ızo na sua
avaliac¸a˜o, o que sera´ de sua inteira responsabilidade.
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP2 – Me´todos Determin´ısticos I – 28/10/2017
Nome: Matr´ıcula:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando nome e matr´ıcula. • Sua prova sera´ corrigida online. Siga as
• Resoluc¸o˜es feitas nesta folha ou no rascunho na˜o sera˜o corrigidas. instruc¸o˜es na capa deste caderno.
• Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao aplicador.
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 1, 2 e 3.)
Dinorah procura um plano de telefonia que atenda melhor suas necessidades. Como utiliza muito
a internet a partir de seu telefone celular, ela esta´ comparando os planos com internet ilimitada
oferecidos pelas principais operadoras, levando em considerac¸a˜o apenas o prec¸o mensal e os minutos
de chamadas. Dinorah apurou que:
• A operadora Escuro, oferece um plano com minutos ilimitados, por um custo mensal fixo de
R$ 200,00.
• A operadora Morto, oferece um plano que tem um custo mensal formado por uma parte fixa
de R$ 50,00, mais um custo adicional de R$1,00 por minuto de chamada.
• A operadora Tchau oferece um plano que possui com 100 minutos de chamada inclu´ıdos, cujo
custo mensal e´ formado por uma parte fixa R$ 80,00 e com um custo adicional de R$ 2,00 por
minuto excedente a` franquia de 100 minutos.
• A operadora Maia possui um plano com custo mensal dado por R$ 2,00 por minuto de chamada
feita.
Questa˜o 1 (1.5 pt) (Esta questa˜o deve ser respondida na folha anexa, com o sistema
de eixos coordenados. Na˜o deixe de verificar se o responsa´vel pela aplicac¸a˜o da prova
etiquetou corretamente essa folha junto, bem como as demais folhas de resposta. Inde-
pendentemente da etiqueta, preencha a folha com seu nome, polo e matr´ıcula)
Construa, no sistema de eixos coordenados ja´ impresso na folha anexa, os gra´ficos do custo
mensal de cada plano, em func¸a˜o dos minutos de chamadas feitos em um meˆs. Observe que o eixo
horizontal esta´ representando os minutos m e o eixo vertical o custo mensal.
Identifique, no esboc¸o, o gra´fico de cada plano, utilizando os seguintes nomes para as func¸o˜es: E
para a Escuro, M para a Morto, T para Tchau e A para Maia. Tenha especial atenc¸a˜o aos pontos
de intersec¸a˜o entre os gra´ficos.
Soluc¸a˜o: (Veja os gra´ficos na u´ltima folha deste gabarito)
Me´todos Determin´ısticos I AP2 3
Questa˜o 2 (1.0 pt) Deˆ as expresso˜es, em func¸a˜o dos minutos m utilizados no meˆs, do custo men-
sal de cada um dos planos.
Soluc¸a˜o: O valor a ser pago no plano da Escuro em um meˆs, e´ dado por E(m) = 200, independen-
temente do valor de m.
O valor a ser pago no plano da Morto e´ de M(m) = 50+m, isto e´, um custo fixo de R$ 50,00 mais
R$ 1,00 por minuto.
O custo do plano da Tchau e´ de 80, se m 6 100, acrescidos de 2 · (m− 100), isto e´, R$ 2,00 para
cada minuto apo´s 100 minutos, caso m > 100. Assim,
T (m) =
{
80, se m 6 100
80 + 2 · (m− 100), se m > 100.
O custo do plano da Maia e´ de A(m) = 2 ·m, isto e´, R$ 2,00 por minuto.
Questa˜o 3 (1.0 pt) Se Dinorah utiliza, em me´dia, cerca de 120 minutos de chamadas telefoˆnicas
por meˆs, qual operadora oferece o plano com menor custo mensal?
Soluc¸a˜o: Para 120 minutos, temos os custos
E(120) = 200,
M(120) = 50 + 120 = 170,
T (120) = 80 + 2 · (120− 100) = 80 + 2 · 20 = 120,
A(120) = 2 · 120 = 240.
Com isso, a operadora Tchau oferece o plano mais em conta para Dinorah.
Questa˜o 4 (1.5 pt) Jessikah, amiga de Dinorah, tambe´m esta´ interessada em planos de telefonia,
mas cogita contratar um plano sem internet fixa. Como na˜o entende muito sobre mega/gigabytes
e utiliza a internet apenas para coisas simples, Jessikah esta´ avaliando planos em que a internet e´
tarifada por minutos de navegac¸a˜o, e na˜o por volume de dados. A operadora Escuro oferece um
plano sem custo fixo, com o prec¸o de R$ 2,00 por minuto de chamada e R$ 0,50 por minuto de
navegac¸a˜o.
Jessikah estima que, em um meˆs, o tempo que utiliza o celular para acesso a` internet seja o dobro
do tempo que gasta com chamadas. Com isso, acredita que pagara´ R$ 90,00 mensais. Quantos
minutos mensais Jessikah acredita que utilizara´ em chamadas?
Soluc¸a˜o: Sejam m a quantidade de minutos de chamadas e i os minutos de navegac¸a˜o na internet.
Como o tempo de uso da internet e´ o dobro do tempo de chamadas, temos
i = 2m.
Como cada minuto de chamada custa R$ 2,00 e cada minuto de internet custa R$ 0,5, o valor que
Jessikah pagara´ sera´ 2m+ 0.5i, ou seja,
2m+ 12i = 90.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP2 4
Assim, temos o sistema {
i = 2m
2m+ 12i = 90.
Substituindo i = 2m na segunda equac¸a˜o, temos
2m+ 12 · 2m = 90,
logo
2m+m = 90 ∴ 3m = 90 ∴ m = 30.
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 5 a 8 a seguir.)
A operadora Escuro esta´ revendo seus planos e estuda o valor mais adequado para a mensalidade de
seu plano ilimitado. Segundo a ana´lise de consultoria contratada pela empresa, cobrando de cada
usua´rio uma mensalidade de P reais, este plano sera´ contratado por 1000−4P milhares de usua´rios,
isto e´, a demanda D(P ) sera´ dada por
D(P ) = (1000− 4P ) · 1000.
Questa˜o 5 (0.5 pt) Determine o valor ma´ximo da mensalidade do plano (valor acima do qual na˜o
ha´ demanda).
Soluc¸a˜o: Temos D(P ) = 0 se, e so´ se
1000− 4P = 0⇔ 1000 = 4P ⇔ P = 250.
Questa˜o 6 (0.5 pt) Determine a func¸a˜o F que representa o faturamento mensal da operadora com
este plano, em func¸a˜o do prec¸o mensal P . Por faturamento, entenda o valor bruto apurado com a
venda do plano, antes de descontar quaisquer custos operacionais.
Soluc¸a˜o: Para cadavalor de P , o plano tera´ D(P ) = (1000− 4P ) · 1000 clientes. Cada um destes
clientes pagara´ P reais, temos o faturamento
F (P ) = P · (1000− 4P ) · 1000.
Questa˜o 7 (1.0 pt) Se cada cliente que contratar o plano ilimitado representar um custo operacio-
nal mensal, para a Escuro, de R$50,00, deˆ a expressa˜o da func¸a˜o que representa o custo operacional
total do plano C em func¸a˜o do prec¸o mensal P .
Soluc¸a˜o: O custo operacional total sera´ dado por R$ 50,00 multiplicado pelo nu´mero D(P ) de
clientes, logo
C(P ) = 50 ·D(P ) = 50 · (1000− 4P ) · 1000 = 50.000 · (1000− 4P ) .
Questa˜o 8 (1.5 pt) Deˆ a expressa˜o do lucro L da venda do plano (faturamento – custo operacional
total), em func¸a˜o da mensalidade P e determine o valor de P que deve ser praticado para que o
lucro mensal seja ma´ximo.
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Me´todos Determin´ısticos I AP2 5
Soluc¸a˜o: O lucro com a venda deste plano sera´ dado por
L(P ) = F (P )− C(P ) = P · (1000− 4P ) · 1000− 50.000 · (1000− 4P )
= (1000P − 50.000) · (1000− 4P )
= 1.000.000P − 4.000P 2 − 50.000.000 + 200.000P
= −4.000P 2 + 1.200.000P − 50.000.000
O valor ma´ximo desta func¸a˜o quadra´tica e´ dado quando
P = − b2a = −
1.200.000
2 · (−4.000) =
300
2 = 150.
Assim, o plano dara´ lucro ma´ximo quando o prec¸o P for de R$150,00.
Questa˜o 9 (1.5 pt) Represente, na forma de intervalo ou de uma unia˜o finita de intervalos, o con-
junto soluc¸a˜o da equac¸a˜o |x− 4| < |x+ 2|. Como ferramenta para a resoluc¸a˜o da inequac¸a˜o, voceˆ
pode utilizar a interpretac¸a˜o geome´trica do mo´dulo.
Soluc¸a˜o: O mo´dulo |x−4| representa a distaˆncia entre x e 4. Ja´ o mo´dulo |x+2|, a distaˆncia entre
x e −2. com isso, a soluc¸a˜o da inequac¸a˜o e´ dada pelos valores de x cuja distaˆncia ao 4 e´ menor que
a distaˆncia ao −2. Esboc¸ando, temos
Note que o ponto
4 + (−2)
2 = 1 esta´ exatamente na metade entre −2 e 4. Assim, a soluc¸a˜o e´ dada
pelos pontos do intervalo (1,+∞).
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Colar aqui a etiqueta 1
Nome: Polo: Matr´ıcula:
Folha de resposta da questa˜o 1
Esta folha deve ser etiquetada como uma folha de resposta; pec¸a ao aplicador que o fac¸a.
Independentemente da etiqueta, preencha com seu nome, polo e matr´ıcula.