Integração de Funções Racionais

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INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS
Leomir Joel Schweig[1: Mestre, Professor da Universidade Luterana do Brasil]
	Introdução
	Se uma função é racional, então e são polinômios. Neste capítulo vamos estudar técnicas ou regras para o cálculo da integral das funções racionais.
	1. Fração parcial
	Considere, por exemplo, a seguinte adição entre duas frações algébricas: 
	Resolvendo esta adição, encontramos:
Ou
	Veja que a fração é uma fração racional e é a soma das duas outras frações mais simples. Estas frações mais simples, e , são chamadas frações parciais.
	Quando escrevemos , a expressão à direita da igualdade é chamada de decomposição em frações parciais.
	Então, para achar a integral da função racional, integramos cada uma das frações parciais que fazem parte da decomposição. Neste caso temos:
	O problema consiste, então, em encontrar as frações parciais da função racional que se quer integrar e aí integrar cada fração parcial.
	As técnicas para integrar por fração parcial são aplicadas somente se o numerador () tiver grau menor do que o grau do denominador (). Se o grau de for maior do que o grau de , devemos, primeiramente, dividir os polinômios para encontrarmos a fração na forma adequada. Por exemplo:
	Na fração o grau do numerador é menor do que o grau do denominador. Então esta fração será decomposta em frações parciais.
	2. Como decompor uma fração em frações parciais (diretrizes)
		1) Se o grau de for maior ou igual ao grau de , divida os polinômios para 
 obter a forma:
 onde o grau de é menor do que o grau de . Após siga as etapas 2, 3 e 4.
 
 2) Fatore o denominador, escrevendo-o como um produto de fatores ou 
 , com e inteiros e não negativos.
		3) Fatores lineares: para cada fator , com , a decomposição em 
 frações parciais contém uma soma de frações parciais da forma:
 
 onde cada numerador é um número real.
		4) Fatores quadráticos: Para cada fator , , a decomposição em 
 frações parciais contém uma soma de frações parciais na forma:
 
onde cada coeficiente e do numerador é um número real.
	3. Exercícios resolvidos
Calcular 
	Veja que o grau do numerador é maior do que o grau do denominador. Portanto devemos dividir o numerador pelo denominador. A fração fica, portanto, na forma:
Logo, temos: (1)
	A primeira integral é direta e a segunda vamos resolver por fração parcial.
 Conforme as diretrizes em 10.2, vamos fatorar o denominador:
	Temos, então, uma fração parcial para cada fator e:
, onde temos que calcular e .
	Reduzindo ao mesmo denominador no segundo membro da igualdade:
 e multiplicando pelo denominador comum temos a equação
		Fazendo : 
 
	 
		Fazendo : 
 
 
	A decomposição em frações parciais é: 
	Resolvendo, então, a integral (1) acima:
Calcular 
Fatorando o denominador, temos: .
	Temos, então, uma fração parcial para cada fator e:
, onde temos que calcular e .
	Reduzindo ao mesmo denominador no segundo membro da igualdade:
 e multiplicando pelo denominador comum temos a equação
		Fazendo : 
 
	 
		Fazendo : 
 
 
	A decomposição em frações parciais é: 
	Resolvendo a integral proposta, temos:
Calcular 
Fatorando o denominador, temos: .
	Temos, então, uma fração parcial para cada fator e:
, onde temos que calcular , e .
	Reduzindo ao mesmo denominador no segundo membro da igualdade:
 
 multiplicando pelo denominador comum temos a equação
		Fazendo : 
 
	 
 
		Fazendo : 
 
 
		Fazendo: 
 
 
 
	A decomposição em frações parciais é: 
Resolvendo a integral proposta, temos:
Calcular 
Fatorando o denominador, temos: .
Temos, então, uma fração parcial para cada potência de e :
, onde temos que calcular , e .
Reduzindo ao mesmo denominador no segundo membro da igualdade:
 
 multiplicando pelo denominador comum temos a equação
		Fazendo : 
 
 
		Fazendo : 
 
 
	Como não existem mais valores para , vamos atribuir e usar os valores de A = 6 e 
C = 9, para calcular o valor de B.
 
 
 
					
					
A decomposição em fração parcial é: 
Resolvendo a integral proposta, temos:
Calcular 
Fatorando o denominador, temos:
.
Temos, então, uma fração parcial para cada fator:
, onde temos que calcular , e .
Reduzindo ao mesmo denominador no segundo membro da igualdade:
 
multiplicando pelo denominador comum temos a equação
Igualando os coeficientes da última igualdade obtemos:
Resolvendo este sistema encontramos: , e 
A decomposição em fração parcial é: 
 
Resolvendo a integral proposta, temos:
4. Exercícios propostos
	Calcule as integrais
	
	
 h) 
	
	
 i) 
	
	
 j) 
	
	
 k) 
	
	
 l) 
	
	
 m) 
	
	 
5. Respostas dos exercícios propostos
a) 			h) 
b) 				i) 
c) 				j) 
d) 		k) 
 e) 		l) 
f) 				m) 
g)