1ª Unidade Bio

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Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnolo´gicas - CETEC
Universidade Federal do Recoˆncavo da Bahia - UFRB
1a Unidade - Estat´ıstica Descritiva
Talita Costa Dias
28 de outubro de 2017
28 de outubro de 2017 1 / 62
Programa da Unidade
23 de Outubro
Aula 1 :Conceitos iniciais e objetivos da estat´ıstica; introduc¸a˜o ao pensamento cient´ıfico;
fases de um trabalho estat´ıstico; populac¸a˜o e amostra; Exerc´ıcios.
Laborato´rio
Aula 2 :Conhecendo um conjunto de dados; Estudo das varia´veis: quantitativas e
qualitativas; cont´ınuas e discretas. Representac¸a˜o Tabular. Exerc´ıcios.
30 de Outubro
Aula 3 :Continuac¸a˜o de representac¸a˜o tabular. Distribuic¸a˜o de Frequeˆncias: Varia´veis
Qualitativas e Quantitativas Discretas. Exerc´ıcios.
Laborato´rio
Aula 4 :Frequeˆncia Acumulada e Distribuic¸a˜o de Frequeˆncias: Varia´veis Quantitativas
Cont´ınuas. Exerc´ıcios.
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Programa da Unidade
06 de Novembro
Aula 5 :Representac¸a˜o Gra´fica. Medidas de tendeˆncia central (me´dia aritme´tica (simples
e ponderada), mediana e moda). Exerc´ıcios.
Laborato´rio
Aula 6 :Representac¸a˜o Gra´fica e Medidas de Tendeˆncia Central no Excel.
13 de Novembro
Aula 7 :Separatrizes (quartil, decil, centil). Medidas de dispersa˜o (amplitude total,
desvio-padra˜o, variaˆncia, coeficiente de variac¸a˜o). Exerc´ıcios.
Laborato´rio
Aula 8 :Continuac¸a˜o de Medidas de dispersa˜o. Box-Plot e Exerc´ıcios.
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Programa da Unidade
20 de Novembro (Feriado?)
Aula 9 :Medidas de Assimetria. Aula de Du´vidas.
Laborato´rio
Aula 10 :Avaliac¸a˜o
Observac¸a˜o
Devido a` dinaˆmica pro´pria da disciplina e da turma, este cronograma podera´ sofrer
alterac¸o˜es durante a unidade; os discentes sera˜o previamente notificados, e sempre que
poss´ıvel, fara˜o parte da alterac¸a˜o.
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Avaliac¸a˜o
Avaliac¸a˜o 1
2 Pontos: Atividades em sala de aula.
As avaliac¸o˜es sera˜o realizadas individualmente.
Avaliac¸a˜o 2
8 Pontos: Semina´rio de Ana´lise Descritiva dos Dados
Sera˜o sorteados banco de dados em que os alunos ira˜o fazer ana´lises e sera´ apresentado
no u´ltimo dia da unidade.
A avaliac¸a˜o sera´ realizada em grupo.
Bibliografia
Sera˜o disponibilizadas uma apostila e as notas de aulas no SIGAA.
No final das notas de aulas estara˜o os livros dispon´ıveis na biblioteca.
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O que e´ a Estat´ıstica?
Para muitos, a estat´ıstica na˜o passa de conjuntos de tabelas de dados nume´ricos. Os
estat´ısticos sa˜o pessoas que coletam esses dados.
A estat´ıstica originou-se com a coleta e construc¸a˜o de tabelas de dados para os
governos.
A situac¸a˜o evoluiu e esta coleta de dados representa somente um dos aspectos da
estat´ıstica.
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Definic¸a˜o de Estat´ıstica
A Estat´ıstica e´ uma metodologia cient´ıfica que permite;
organizar,
descrever,
analisar e
interpretar
dados oriundos de estudos ou experimentos, realizados em qualquer a´rea do
conhecimento.
Aplicac¸o˜es
Indu´stria (Controle de qualidade)
Economia (Econometria)
Cieˆncias Sociais (Demografia)
Psicologia (Psicometria)
Agronomia (Experimentac¸a˜o Agr´ıcola)
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A´reas da Estat´ıstica
1 Estat´ıstica Descritiva
2 Probabilidade
3 Infereˆncia Estat´ıstica
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Estat´ıstica Descritiva
Etapa inicial da ana´lise utilizada para descrever, organizar e resumir os dados coletados.
A disponibilidade de uma grande quantidade de dados e de me´todos computacionais
muito eficientes revigorou esta a´rea da Estat´ıstica.
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Probabilidade
A teoria das probabilidades auxilia na modelagem de fenoˆmenos aleato´rios, ou seja,
aqueles em que esta´ presente a incerteza.
E´ uma ferramenta fundamental para a infereˆncia estat´ıstica.
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Infereˆncia Estat´ıstica
Conjunto de te´cnicas que permite, a partir de dados amostrais, tirar concluso˜es sobre a
populac¸a˜o de interesse, controlando erros.
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Conceitos Ba´sicos
Populac¸a˜o
Conjunto de elementos (indiv´ıduos ou objetos) que apresentam pelo menos uma
caracter´ıstica em comum (a ser estudada).
Amostra
Suconjunto de uma populac¸a˜o, que mesmo tendo tamanho reduzido, seja capaz de
representa´-la.
Censo
Pesquisas nas quais toda uma populac¸a˜o sa˜o avaliadas estatisticamente.
Problemas:
Custos
Tempo
Dificuldades na obtenc¸a˜o de dados...
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Etapas da Analise Estat´ıstica
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Amostragem
Uma a´rea importante em muitas aplicac¸o˜es Estat´ısticas e´ a da Tecnologia de
Amostragem.
Exemplos de Aplicac¸a˜o:
Pesquisa de mercado,
Pesquisa de opinia˜o,
Avaliac¸a˜o do processo de produc¸a˜o,
Praticamente em todo experimento.
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Atividade 1
Caracterize uma poss´ıvel amostra para cada populac¸a˜o:
Populac¸a˜o (ou Universo): alunos de uma escola.
Populac¸a˜o: casais residentes em uma cidade.
Populac¸a˜o: pec¸as produzidas por certa ma´quina.
Populac¸a˜o: pec¸as produzidas por certa ma´quina.
Populac¸a˜o: dados de uma estac¸a˜o meteorolo´gica de uma cidade.
Populac¸a˜o: dados da Bolsa de Valores de Sa˜o Paulo - IBOVESPA.
Populac¸a˜o: funciona´rios de uma empresa.
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Conjunto de Dados
Exemplo 1
Informac¸a˜o do estado civil, grau de instruc¸a˜o, nu´mero de filhos, idade e procedeˆncia de
36 funciona´rios sorteados ao acaso da empresa MB.(Bussab e Morettin)
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Resumo dos Dados
Primeira Etapa
Resumo dos Dados=Estat´ıstica Descritiva
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Varia´vel
Os valores obtidos para cada empregado (cada linha) da empresa MB e´ representado nas
colunas e os consideramos como caracter´ısticas.
As caracter´ısticas perguntadas aos funciona´rios, como estado civil, grau de instruc¸a˜o,
entre outras, e´ denominada de Varia´vel.
Varia´vel: Estado Civil
Solteiro
Casado
Varia´vel: Nu´mero de Filhos
Assume valores de 0(sem filhos) a` 5(filhos).
Tais varia´veis teˆm naturezas diferentes com relac¸a˜o aos valores que podem assumir.
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Classificac¸a˜o de Varia´veis
Varia´vel
Qualquer caracter´ıstica associada a uma populac¸a˜o.
Classificac¸a˜o de Varia´veis
Observac¸a˜o
A varia´vel idade, medida em anos, e´ considerada discreta, entretanto se levarmos em
conta os dias, ou seja, 2, 5 ou 2, 85 anos, iremos classifica´-la como cont´ınua.
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Atividade 2
Classifique as varia´veis:
Populac¸a˜o (ou Universo): alunos de uma escola. Varia´vel: cor dos cabelos
Populac¸a˜o: casais residentes em uma cidade. Varia´vel: no de filhos
Populac¸a˜o: pec¸as produzidas por certa ma´quina. Varia´vel: no de pec¸as produzidas
por hora
Populac¸a˜o: pec¸as produzidas por certa ma´quina. Varia´vel: diaˆmetro externo
Populac¸a˜o: dados de uma estac¸a˜o meteorolo´gica de uma cidade. Varia´vel:
precipitac¸a˜o pluviome´trica, durante o ano
Populac¸a˜o: dados da Bolsa de Valores de Sa˜o Paulo - IBOVESPA. Varia´vel:
nu´mero de ac¸o˜es negociadas
Populac¸a˜o: funciona´rios de uma empresa. Varia´vel: sala´rios
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Organizac¸a˜o e Representac¸a˜o dos Dados
Uma das formas de organizar e resumir a informac¸a˜o contida em dados observados e´ por
meio de tabela de frequeˆncias e gra´ficos.
Representac¸a˜o Tabular
Consiste em dispor os dados em linhas e colunas distribu´ıdas de modo ordenado,
obedecendo a` Resoluc¸a˜o n◦ 886, de 26 de outubro de 1966, do Conselho Nacional de
Estat´ıstica, editadas pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estat´ıstica- IBGE.
Tabela de Frequeˆncia
Relaciona categorias (ou classes) de valores, juntamente com contagem (ou frequ¨eˆncias)
do nu´mero de valores que se enquadram em cada categoria ou classe.
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Representac¸a˜o Tabular
Representac¸a˜o Esquema´tica
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Representac¸a˜o Tabular
T´ıtulo
Define o que esta´ sendo estudado;
O que? (Assunto a ser representado (Fato))
Onde? (O lugar onde ocorreu o fenoˆmeno (local))
Quando? (A e´poca em que se verificou o fenoˆmeno (tempo)).
Cabec¸alho
E´ a parte da tabela na qual e´ designada a natureza do conteu´do de cada coluna.
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Representac¸a˜o Tabular
Corpo
E´ a parte da tabela composta por linhas e colunas.
Linhas: e´ a parte do corpo que conte´m uma sequeˆncia horizontal de informac¸o˜es.
Colunas: e´ a parte do corpo que conte´m uma sequeˆncia vertical de informac¸o˜es.
Coluna Indicadora: e´ a coluna que conte´m as discriminac¸o˜es correspondentes aos
valores distribu´ıdos pelas colunas nume´ricas.
Casa ou ce´lula: e´ a parte da tabela formada pelo cruzamento de uma linha com
uma coluna.
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Representac¸a˜o Tabular
Rodape´
E´ o espac¸o aproveitado em seguida ao fecho da tabela, onde sa˜o colocados as notas de
natureza informativa (fonte, notas e chamadas).
Fonte: refere-se a` entidade que organizou ou forneceu os dados expostos.
Notas e Chamadas: sa˜o esclarecimentos contidos na tabela (nota - conceituac¸a˜o
geral; chamada - esclarecer minu´cias em relac¸a˜o a uma ce´lula).
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Representac¸a˜o Tabular
Varia´veis Qualitativas ou Quantitativas Discretas
Podemos construir tabelas de frequeˆncias que os quantificam por categoria de
classificac¸a˜o.
Exemplo 1 (Varia´vel Qualitativa)
Tabela 1: Frequencias e porcentagens dos 36 empregados da Companhia MB no ano de
2017.
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Representac¸a˜o Tabular
Notac¸a˜o
ni : Frequeˆncia Absoluta da categoria i (nu´mero de indiv´ıduos que pertencem a`
categoria i).
fi =
ni
n
: Frequeˆncia Relativa da categoria i .
fi (%) =
ni
n
∗ 100% : Frequeˆncia Relativa Percentual da categoria i .
Exemplo 2 (Varia´vel Quantitativa Discreta)
Tabela 2: Distribuic¸a˜o de frequ¨eˆncias de funciona´rios da empresa MB, segundo o
nu´mero de filhos.
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Representac¸a˜o Tabular
Para varia´veis cujos valores possuem ordenac¸a˜o natural (Qualitativas Ordinais e
Quantitativas) faz sentido incluirmos tambe´m uma coluna contendo frequeˆncias
acumuladas fac .
Frequeˆncia Acumulada (fac)
E´ obtida pela soma das frequeˆncias de todos os valores da varia´vel, menores ou iguais ao
valor considerado. S ua principal utilidade e´ estabelecer pontos de corte com uma
determinada frequeˆncia nos valores da varia´vel.
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Representac¸a˜o Tabular
Quantitativas Cont´ınuas
Construir classes ou faixas de valores e contar o nu´mero de ocorreˆncias em cada faixa.
Metodologia tambe´m pode ser empregada para uma grande quantidade de valores de
varia´veis Quantitativas Discretas.
Para construir a distribuic¸a˜o de frequeˆncia por classes e´ necessa´rio:
1 determinar o nu´mero de classes;
2 determinar quem sa˜o as classes;
3 contar as frequeˆncias dos seus dados em cada classe.
Cabe ao pesquisador escolher esse nu´mero ou recorrer a um dos me´todos que existem
para calcular esse nu´mero.
1 Me´todo da Raiz: Para n = 25, k = 5 e para n > 25,K =
√
n;
2 Fo´rmula de Sturges: k = 1 + 3, 33 log n;
Os softwares estat´ısticos calculam automaticamente as classes.
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Representac¸a˜o Tabular
Amplitude Total (R)
E´ a diferenc¸a entre o maior valor e o menor valor observado R = xmax − xmin
Amplitude da classe (h)
E´ a divisa˜o inteira entre a amplitude total e o nu´mero de classes: h = R
k
.
Limites das Classes
1 LI `a LS considera os valores entre o limite inferior, LI , e o limite superior, LS ,
incluindo ambos intervalos;
2 LI ` LS considera os valores entre o limite inferior, LI , e o limite superior, LS ,
incluindo LI e excluindo LS ;
3 LI a LS considera os valores entre o limite inferior, LI , e o limite superior, LS ,
excluindo LI e incluindo LS ;
Exemplo 3 (Varia´vel Quantitativa Cont´ınua)
Tabela 3: Distribuic¸a˜o de frequ¨eˆncias de funciona´rios da empresa MB, por faixa de
sala´rio.
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Representac¸a˜o Tabular
Os seguintes dados sa˜o provenientes do Hospital Pedia´trico HPC, da cidade de Co´rdoba
ano de 2014 e se referem ao teor de gordura (g) de algumas crianc¸as selecionadas no
setor pedia´trico deste hospital.
4.23 1.30 0.69 0.94 3.80 0.92 1.68 3.29
4.56 1.00 3.52 3.49 0.25 1.55 4.61 3.23
3.84 4.12 2.60 0.39 1.30 4.06 3.57 2.30
3.82 1.58 2.16 1.28 3.10 1.25 3.63 0.99
1.75 2.55 4.57 4.35 3.21 3.82 3.37 1.34
1 Identifique a populac¸a˜o, amostra, caracter´ıstica de interesse e classifique a varia´vel.
2 Construa a distribuic¸a˜o de frequeˆncia por classes simples e acumulada mais
adequada para estes dados.
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Representac¸a˜o Gra´fica
Varia´vel Qualitativa
Gra´fico de Barras
Diagrama circular, de sectores ou em forma de pizza
Gra´fico de Barras
Consiste em construir retaˆngulos ou barras, em que uma das dimenso˜es e´
proporcional a` magnitude a ser representada (ni ou fi ).
As barras sa˜o dispostas paralelamente umas a`s outras, horizontal ou verticalmente.
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Representac¸a˜o Gra´fica
Gra´fico em Setores (Pizza)
Este gra´fico e´ apropriado para representar varia´veis qualitativas e quantitativas
discretas quando o nu´mero de categorias e´ pequeno.
Adequado quando o objetivo for a ana´lise da participac¸a˜o de cada categoria em
relac¸a˜o ao total.
As frequeˆncias devem somar 100%.
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Representac¸a˜o Gra´fica
Varia´vel Quantitativa
Histograma
Boxplot
Observac¸a˜o
Gra´ficos que tambe´m podem ser empregados para uma grande quantidade de valores de
varia´veis Quantitativas Discretas.
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Representac¸a˜o Gra´fica
Histograma
Representa uma distribuic¸a˜o de frequeˆncias por meio de retaˆngulos justapostos,
cujas a´reas sa˜o proporcionais a`s frequeˆncias das classes.
Dadas as classes, da distribuic¸a˜o de frequeˆncia, constru´ımos retaˆngulos com base na
classe e altura proporcional a frequeˆncia relativa.
28 de outubro de 2017 35 / 62
Representac¸a˜o Gra´fica
Histograma
28 de outubro de 2017 36 / 62
Medidas Sintetizadoras
Medidas sintetizadoras
Anteriormente, vimos diversas formas de sintetizar os dados atrave´s de distribuic¸o˜es
de frequeˆncias e gra´ficos.
E´ importante saber que tambe´m podemos sintetizar as informac¸o˜es dos dados
atrave´s de medidas descritivas.
Estas medidas sintetizadoras podem ser classificadas como medidas de tendeˆncia
central (ou posic¸a˜o), de dispersa˜o ou de posic¸a˜o relativa.
28 de outubro de 2017 37 / 62
Medidas Sintetizadoras
Medidas sintetizadoras
Veremos as seguintes medidas de tendeˆncia central: me´dia, mediana e moda.
Veremos as seguintes separatrizes: quartis, decis, percentis.
Veremos as seguintes medidas de dispersa˜o: amplitude total, variaˆncia, desvio
padra˜o, coeficiente de variac¸a˜o de Pearson.
28 de outubro de 2017 38 / 62
Medidas de Tendeˆncia Central
Me´dia aritme´tica simples
E´ a medida de tendeˆncia central mais conhecida.
E´ denotada por µ ou X , e representa o valor me´dio do conjunto de dados.
A me´dia aritme´tica simples e´ calculada a partir da soma de todas as observac¸o˜es da
amostra divida pelo nu´mero total de dados da amostra.
28 de outubro de 2017 39 / 62
Medidas de TendeˆnciaCentral
Me´dia aritme´tica simples
A me´dia aritme´tica simples e´ calculada atrave´s da seguinte expressa˜o:
X =
n∑
i=1
Xi
n
=
X1 + . . .+ Xn
n
onde
1
∑
denota o somato´rio;
2 n representa o tamanho da amostra;
3 X1, . . . ,Xn representa o conjunto de valores da varia´vel X .
28 de outubro de 2017 40 / 62
Medidas de Tendeˆncia Central
Exemplo ilustrativo - me´dia aritme´tica simples
Os seguintes dados amostrais se referem ao diaˆmetro (m) do tronco de a´rvores de
jatoba´.
1.71 2.63 3.63 1.94 3.69 2.77 1.42 2.48
Calcule o valor me´dio do diaˆmetro do tronco das a´rvores amostradas.
28 de outubro de 2017 41 / 62
Medidas de Tendeˆncia Central
Func¸o˜es estat´ısticas na calculadora cientifica
1 Tecla : MODE CLR → 2.
2 Introduzimos o primeiro nu´mero e apertamos a tecla: M+.
3 Observamos que ao introduzir cada nu´mero, na tela aparece que quantidade de
nu´meros ja´ foi gravada na memoria.
4 Repetimos o processo anterior ate´ o u´ltimo nu´mero.
5 Tecla: SHIFT 2
6 Se estamos interessados na me´dia, tecla: 1=
7 Se estamos interessados no desvio padra˜o populacional, tecla: 2=
8 Se estamos interessados no desvio padra˜o amostral, tecla: 3=
28 de outubro de 2017 42 / 62
Medidas de Tendeˆncia Central
Me´dia Aritme´tica Ponderada - Dados Brutos
E´ a soma dos produtos de cada valor observado pelo seu respectivo peso, dividida
pela soma dos pesos.
X =
∑n
i=1 xipi∑n
i=1 pi
Exemplo ilustrativo - me´dia aritme´tica ponderada para dados brutos
Um estudante obteve na 1a unidade a nota 7,0, na 2a nota 9,0 e na 3a nota 8,0. A
nota final do semestre e´ uma me´dia ponderada, em que as treˆs unidades teˆm pesos
2, 3 e 5, respectivamente. Logo, qual sera´ a nota final deste aluno?
28 de outubro de 2017 43 / 62
Medidas de Tendeˆncia Central
Mediana
E´ o valor que divide o conjunto de observac¸o˜es ordenados em duas partes iguais.
E´ denotada por Md .
E´ o valor que ocupa o centro da distribuic¸a˜o, isto e´, 50% dos elementos do conjunto
esta˜o abaixo da mediana e 50% dos elementos do conjunto esta˜o acima da mediana.
Podemos encontrar a mediana de um conjunto de dados da seguinte forma:
1 se n e´ impar: a mediana sera´ o valor central do conjunto de dados ordenados.
2 se n e´ par: teremos dois valores centrais e a mediana sera´ a me´dia entre esses dois
valores centrais.
28 de outubro de 2017 44 / 62
Medidas de Tendeˆncia Central
Exemplo ilustrativo - mediana
Os seguintes dados amostrais se referem ao diaˆmetro (m) do tronco de a´rvores de
jatoba´.
1.71 2.63 3.63 1.94 3.69 2.77 1.42 2.48
Calcule a mediana do diaˆmetro do tronco das a´rvores amostradas.
28 de outubro de 2017 45 / 62
Medidas de Tendeˆncia Central
Moda
E´ o valor que ocorre com maior frequeˆncia no conjunto das observac¸o˜es, e e´
denotada por Mo.
A moda pode na˜o existir. Neste caso o conjunto de dados e´ considerado amodal.
A moda pode na˜o ser u´nica e ale´m disso na˜o e´ influenciada por valores extremos.
A moda e´ a medida de tendeˆncia central menos empregada. No entanto, e´ adequada
para caracterizar situac¸o˜es onde estejam em causa os casos ou valores mais usuais.
Por exemplo: Em estudos de mercado, o empresa´rio pode estar interessado nos
produtos que mais se vendem.
28 de outubro de 2017 46 / 62
Medidas de Tendeˆncia Central
Relac¸a˜o entre a me´dia aritme´tica simples, mediana e moda
Me´dia = Moda = Mediana → distribuic¸a˜o de dados sime´trica.
Me´dia > Mediana > Moda → distribuic¸a˜o de dados assime´trica positiva.
Me´dia < Mediana < Moda → distribuic¸a˜o de dados assime´trica negativa.
28 de outubro de 2017 47 / 62
Separatrizes
Separatrizes
Permitem calcular valores da varia´vel que dividem a distribuic¸a˜o em partes iguais.
Existem quatro tipos de separatrizes, tambe´m chamada de quantis:
1 Mediana.
2 Quartis.
3 Decis.
4 Centis ou Percentis.
28 de outubro de 2017 48 / 62
Separatrizes
Separatrizes
Enquanto a mediana separa a distribuic¸a˜o em duas partes iguais, a caracter´ıstica
principal das outras separatrizes e´:
1 Quartis - Qi - dividem a distribuic¸a˜o em quatro partes iguais.
2 Decis - Di - dividem em dez partes iguais.
3 Centis ou Percentis - Pi - dividem em cem partes iguais.
28 de outubro de 2017 49 / 62
Separatrizes
Separatrizes
Ca´lculo da posic¸a˜o da separatriz de ordem i :
1 Ordenar os dados de forma crescente.
2 Para o quartil de ordem i : Qi = i .
n
4
3 Para o decil de ordem i : Di = i .
n
10
4 Para o centil de ordem i : Pi = i .
n
100
28 de outubro de 2017 50 / 62
Medidas de dispersa˜o
Medidas de dispersa˜o absoluta
Sa˜o expressas na mesma unidade de medida da varia´vel em estudo.
Amplitude total.
Variaˆncia.
Desvio padra˜o.
Medidas de dispersa˜o relativa
Independem da unidade de medida da varia´vel observada. Servem para estudar
comparativamente a variabilidade de duas ou mais distribuic¸o˜es.
Coeficiente de variac¸a˜o de Pearson.
Varia´vel padronizada.
28 de outubro de 2017 51 / 62
Medidas de dispersa˜o
Medidas de dispersa˜o
A produc¸a˜o dia´ria da pec¸a Z de uma certa indu´stria foi observada em treˆs
empregados no per´ıodo de 15 a` 19 de abril de 2000.
Suponha que o interesse do administrador da empresa e´ que os empregados
apresentem produc¸a˜o elevada e a mais homogeˆnea poss´ıvel. Qual dos treˆs
empregados apresentou melhor desempenho no trabalho no per´ıodo observado?
28 de outubro de 2017 52 / 62
Medidas de dispersa˜o
Medidas de dispersa˜o
Considerando agora apenas dois empregados com produc¸a˜o me´dia dia´ria diferente.
Quem apresentou melhor desempenho no trabalho no per´ıodo observado, Antoˆnio ou
Benedito?
28 de outubro de 2017 53 / 62
Medidas de dispersa˜o
Amplitude total
E´ a diferenc¸a entre os valores extremos do conjunto.
E´ calculada atrave´s da seguinte expressa˜o:
R = xmax − xmin
Exemplo - amplitude total
Calcule a amplitude total da produc¸a˜o da pec¸a Z para cada empregado da indu´stria
e identifique qual empregado apresentou a menor dispersa˜o e qual apresentou a
maior dispersa˜o na produc¸a˜o dia´ria.
Seriam ideˆnticas as produc¸o˜es dia´rias observadas de Daniel e Eduardo?
28 de outubro de 2017 54 / 62
Medidas de dispersa˜o
Desvio padra˜o
O desvio-padra˜o, tambe´m denominado desvio quadra´tico me´dio, e´ definido como a
me´dia quadra´tica dos desvios em relac¸a˜o a me´dia aritme´tica.
Utilizamos a seguinte expressa˜o para calcular o desvio-padra˜o amostral:
s =
√∑n
i=1(xi − x¯)2
n − 1
Utilizamos a seguinte expressa˜o para calcular o desvio-padra˜o populacional:
σ =
√∑n
i=1(xi − µ)2
n
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Medidas de dispersa˜o
Exemplo ilustrativo - desvio padra˜o
Calcule o desvio padra˜o da produc¸a˜o da pec¸a Z para cada empregado da indu´stria.
Exemplo ilustrativo - desvio padra˜o
Os seguintes dados amostrais (n=10) se referem ao diaˆmetro (m) do tronco de
a´rvores de jatoba´:
1.50 1.60 1.70 1.8 1.90 1.90 1.90 2 2 2.1
Calcule o desvio padra˜o referente ao diaˆmetro do tronco das a´rvores amostradas.
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Medidas de dispersa˜o
Variaˆncia
Se denota por σ2X , ou Var(X ).
Representa a dispersa˜o de um conjunto de dados em torno da me´dia.
E´ uma quantidade na˜o negativa e expressa em unidades quadradas do conjunto de
dados.
E´ calculada atrave´s da soma de quadrados dos desvios com relac¸a˜o a` media, dividida
pelo nu´mero de elementos.
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Medidas de dispersa˜o
Variaˆncia
Utilizamos a seguinte expressa˜o para calcular a variaˆncia amostral:
S2 =
n∑
i=1
(
Xi − X
)2
n − 1
Utilizamos a seguinte expressa˜o para calcular a variaˆncia populacional:
σ2 =
n∑
i=1
(
Xi − X
)2
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Medidas de dispersa˜o
Exemplo ilustrativo - variaˆncia
Calcule a variaˆncia da produc¸a˜o da pec¸a Z para cada empregado da indu´stria.
Exemplo ilustrativo - variaˆncia
Os seguintes dados amostrais (n=10) se referem ao diaˆmetro (m) do tronco de
a´rvores de jatoba´.
1.50 1.60 1.70 1.8 1.90 1.90 1.90 2 2 2.1
Calcule a variaˆncia referente ao diaˆmetro do tronco das a´rvores amostradas.
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Medidas de dispersa˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Trata-se de uma medida relativa de dispersa˜o, u´til para comparar a variabilidade de
duas ou mais distribuic¸o˜es.
E´ calculado a partir da seguinte expressa˜o: CV =
S
X
.
E´ uma medida de dispersa˜o relativa utilizada para comparar dois ou mais conjuntos
de dados com unidades de medidas diferentes.
Como o CV e´ uma medida que exprime a variabilidade relativa a` me´dia, e´
usualmente expresso em porcentagem.
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Medidas de dispersa˜o
Exemplo ilustrativo - coeficiente de variac¸a˜o
Os seguintes dados amostrais (n=10) se referem ao X = diaˆmetro (m) do tronco de
a´rvores de jatoba´:
1.50 1.60 1.70 1.8 1.90 1.90 1.90 2 2 2.1
Os seguintes dados amostrais (n=10) se referem ao Y = peso do fruto (g) da a´rvore
de jatoba´:
115 120 113 107 116 112 111 109 108 121
Calcule e interprete o CV para ambos conjuntos de dados.
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Box-Plot
Box-Plot
E´ um me´todo alternativo ao histograma para representar os dados.
Sa˜o convenientes para revelar tendeˆncias centrais, dispersa˜o, distribuic¸a˜o dos dados
e a presenc¸a de outliers (valores extremos).
Utiliza: valor m´ınimo,Md = Q2,Q1,Q3 e o valor ma´ximo do conjunto de dados.
U´til para comparar dois ou mais conjuntos de dados.
O box-plot pode ser desenhado na posic¸a˜o vertical (mais comum) ou horizontal.
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Box-Plot
Box-plot
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Box-Plot
Interpretac¸a˜o do gra´fico Box-plot
A dispersa˜o e´ representada pela altura do retaˆngulo (Q3− Q1), amplitude
interquartil.
Assimetria: a proximidade da linha da mediana em relac¸a˜o a Q1 e Q3 informa sobre
a assimetria.
1 Se a mediana esta´ no centro do retaˆngulo, a distribuic¸a˜o dos dados e´ sime´trica.
2 Se a mediana e´ pro´xima de Q1, a distribuic¸a˜o e´ assime´trica positiva.
3 Se a mediana e´ pro´xima de Q3, a distribuic¸a˜o e´ assime´trica negativa.
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Box-Plot
Interpretac¸a˜o do gra´fico Box-plot
Os pontos que esta˜o fora do intervalo dado pela amplitude interquart´ılica sa˜o
considerados valores at´ıpicos ou discrepantes (outliers), ou seja, valores muito
grandes ou muito pequenos em relac¸a˜o aos demais. Geralmente sa˜o representados
pelos s´ımbolos ∗ ou ?
O que fazer se forem detectados outliers em um conjunto de dados?
Abandonar a observac¸a˜o quando houver uma justificativa convincente: observac¸a˜o
incorreta ou erro na execuc¸a˜o do experimento. A ana´lise deve ser refeita sem o
outlier.
Conservar quando nenhuma explicac¸a˜o pode ser dada a` observac¸a˜o at´ıpica. Neste
caso e´ preciso um tratamento especial na ana´lise desses dados.
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Bibliografia
MAGALHA˜ES, Marcos N. LIMA, Antonio C. P. Noc¸o˜es de Probabilidade e
Estat´ıstica. Sa˜o Paulo. Edusp, 2004.
MORETTIN, Pedro A. BUSSAB, Wilton. Estat´ıstica Ba´sica. Sa˜o Paulo. Saraiva,
2006.
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	Bibliografia