[Distribuições de probabilidade normal

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Professor Dr. Morun Bernardino NetoProfessor Dr. Morun Bernardino Neto
Módulo Módulo 66
Revisão da aula anterior
�Distribuição de probabilidades discretas
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•Distribuição de probabilidades binomial
Média, variância e desvio-padrão
•Confiabilidade e validade
•Distribuição de probabilidades de Poisson
Poisson como aproximação da distribuição de probabilidades binomial
•Distribuição de probabilidades discreta uniforme
•Distribuição de probabilidades de Bernoulli
•Distribuição de probabilidades geométrica
•Distribuição de probabilidades hipergeométrica
•Distribuição de probabilidades multinomial
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Distribuição de Probabilidade Normal
Curvas de Densidade
O gra ́fico de uma distribuic ̧a ̃o de probabilidade conti ́nua e ́ chamado de curva de
densidade e deve satisfazer os seguintes requisitos:
(1) A a ́rea total sob a curva tem que ser igual a 1.
(2) Cada ponto na curva tem que ter uma altura vertical maior ou igual a 0
Como a área total sob a curva de densidade é igual a 1, existe uma
correspondência entre área e probabilidade (ou frequência relativa)
Distribuição uniforme de probabilidades 
para as voltagens possíveis
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Distribuição de Probabilidade Normal
Distribuição de Probabilidade Normal
É aquela em que a variável aleatória contínua tem uma distribuic ̧a ̃o com um gráfico 
simétrico em forma de sino e que pode ser descrita pela fórmula abaixo:
média
Desvio-padrão
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Distribuição de Probabilidade Normal
Distribuição Normal Padrão
A distribuição normal padrão é uma distribuição de probabilidade normal 
com média μ=0 e desvio-padrão σ=1, sendo que a área total sob a curva de 
densidade é 1.
μ=0 e σ=0,2
μ=0 e σ=1
μ=0 e σ=5
μ=-2 e σ=0,5
0
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Distribuição de Probabilidade Normal
Determinação de Probabilidades para Valores dados de Escores z
Escore z: distância (valor em dp) na escala horizontal da distribuição normal padrão
Área abaixo da curva: corresponde a probabilidade ou frequência relativa
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Distribuição de Probabilidade Normal
Uso da tabela de escores z
Determinação de Probabilidades para Valores dados de Escores z
Há uma probabilidade p=0,8980 de selecionarmos um escore z 
menor que 1,27 TRIOLA, Mario F.. Introdução à Estatística - Atualização da Tecnologia, 11ª edição. LTC,
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Distribuição de Probabilidade Normal
Aplicação 1
Companhia de Instrumentos Científicos de Precisa ̃o fabrica termômetros que devem
informar temperaturas de 0°C no ponto de congelamento da água. Testes em uma 
grande amostra desses instrumentos revelam que, no ponto de congelamento da 
a ́gua, alguns termômetros indicam temperaturas abaixo de 0° (indicadas por nu ́meros 
negativos) e alguns da ̃o temperaturas acima de 0° (indicadas por nu ́meros positivos). 
Suponha que a leitura me ́dia seja 0°C e que o desvio-padra ̃o das leituras seja 1,00°C. 
Suponha, tambe ́m, que as leituras sejam normalmente distribui ́das. Se um termo ̂metro 
e ́ selecionado aleatoriamente, ache a probabilidade de que, no ponto de congelamento 
da a ́gua, a leitura seja menor que 1,27°.
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Aplicação 1
TRIOLA, Mario F.. Introdução à Estatística - Atualização da Tecnologia, 11ª edição. LTC,p = 0,8980
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Distribuição de Probabilidade Normal
Aplicação 2
Usando os termômetros do exemplo anterior, ache a probabilidade de selecionarmos 
aleatoriamente um termômetro que apresente leitura (no ponto de congelamento da 
a ́gua) superior a -1,23°.
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Aplicação 2
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p = 0,8907
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Distribuição de Probabilidade Normal
Aplicação 3
Faça uma seleção aleat:ria da mesma amostra de termômetros do exemplo 
da aplicação 1 e ac<e a probabilidade de que o termômetro escol<ido 
apresente leitura =no ponto de congelamento da água) entre -2,00° e 1,50°.
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Aplicação 3
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p = 0,9104
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Distribuição de Probabilidade Normal
Probabilidade de valor único exato
Para qualquer distribuic ̧a ̃o de probabilidade conti ́nua, tal como a distribuic ̧a ̃o normal, a 
probabilidade de se obter qualquer valor u ́nico exato e ́ 0. Isto e ́, p (z=a) = 0. o que
significa que p (a < z < b) = p (a ≤ z ≤ b).
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Distribuição de Probabilidade Normal
Determinação de escores z a partir de áreas conhecidas
Aplicação 4
Usando os mesmos termômetros do exemplo anterior, ache as temperaturas 
separando os 2,5% inferiores e os 2,5% superiores.
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Distribuição de Probabilidade Normal
Determinação de escores z a partir de áreas conhecidas
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Distribuição de Probabilidade Normal
Determinação de escores z a partir de áreas conhecidas
Casos especiais
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Distribuição de Probabilidade Normal
Valores críticos (Zα)
Para uma distribuic ̧a ̃o normal, um valor crítico e ́ um escore z na fronteira que separa 
os escores z que te ̂m ocorre ̂ncia prova ́vel daqueles são improváveis (valores não
usualmente alto ou não usualmente baixo) de ocorrer.
Aplicação 5
Encontre o valor de Z0,025
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Distribuição de Probabilidade Normal
Aplicações da distribuição normal
Para dados com valores de µ diferentes de zero e σ diferentes de 1
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Distribuição de Probabilidade Normal
Aplicação 6
Uma porta típica de casa tem uma altura de 6 pés e 8 polegadas, ou 80 polegadas (2 
metros). Como os homens tendem a ser mais altos do que as mulheres, 
consideraremos apenas os homens ao investigar as limitaço ̃es para alturas de portas-
padra ̃o. Dado que as alturas de homens sa ̃o normalmente distribui ́das, com média de 
69,0 polegadas (1,725 m) e desvio-padra ̃o de 2,8 polegadas (7 cm), ache a 
porcentagem de homens que passara ̃o por uma porta-padra ̃o sem se curvar e sem 
bater a cabec ̧a. Essa porcentagem e ́ alta o bastante para que se continue a usar 80 
polegadas como padra ̃o de altura?
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Aplicação 6
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Aplicação 6
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Distribuição de Probabilidade Normal
Aplicação 7
No planejamento de um ambiente, um crite ́rio comum e ́ que se ajuste a 95% da 
populac ̧a ̃o. Qual a altura de uma porta se 95% dos homens devem passar por ela sem 
se abaixar e sem bater a cabec ̧a? Isto e ́, ache o 95o percentil das alturas dos homens, 
que sa ̃o normalmente distribui ́das, com me ́dia de 69,0 polegadas e desvio-padra ̃o de
2,8 polegadas.
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Distribuição de Probabilidade Normal
Aplicação 7
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Aplicação 7
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x = 73,60 
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Distribuição de Probabilidade Normal
Distribuições amostrais e estimadores
A distribuic ̧a ̃o amostral de uma estati ́stica e ́ a distribuic ̧a ̃o de todos os valores da 
estatística quando sa ̃o extraídas, da mesma populac ̧a ̃o, todas as amostras possi ́veis 
de mesmo tamanho n. (A distribuic ̧a ̃o amostral e ́ tipicamente representada como uma 
distribuic ̧a ̃o de probabilidade)
Considere a repetic ̧a ̃o deste processo: jogue um dado 5 vezes e ache a média 
amostral dos resultados. O que você sabe sobre o comportamento de todas as médias 
amostrais que sa ̃o geradas a ̀ medida que esse processo continua indefinidamente?
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Distribuição de Probabilidade Normal
Distribuição amostral da média
Resultados para 10.000 tentativas
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A distribuic ̧a ̃o amostral da me ́dia e ́ a distribuic ̧a ̃o das me ́dias amostrais, com todas as 
amostras de mesmo tamanho n extrai ́das da mesma populac ̧a ̃o.
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Distribuição de Probabilidade Normal
Conclusões importantes
(1) As médias amostrais tendem para o valor da média populacional (isto é, a 
me ́dia de todas as médias amostrais e ́ a me ́dia populacional). O valor esperado 
da média amostral é igual à média populacional).
(2) A distribuiça ̃o das médias amostrais tende a ser uma distribuiça ̃o normal.
Distribuição amostral da média
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Distribuição de Probabilidade Normal
Distribuição amostral da variância 
A distribuic ̧a ̃o amostral da variância e ́ a distribuic ̧a ̃o das variâncias amostrais, com 
todas as amostras de mesmo tamanho n extrai ́das da mesma populac ̧a ̃o.
Resultados para 10.000 tentativas
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Conclusões importantes
(1) A variância amostral tende para o valor da variância populacional (a média
das variâncias amostrais é a variância populacional). O valor esperado da
variância amostral é igual à variância populacional.
(2) A distribuição amostral das variâncias tende a ser uma distribuição
assimétrica à direita.
Distribuição amostral da variância 
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Distribuição de Probabilidade Normal
Estimadores não viesados
São aqueles em que suas distribuic ̧o ̃es amostrais tem uma me ́dia que e ́ igual ao
parâmetro populacional correspondente.
Considere o exemplo abaixo e acompanhe os desenvolvimentos com o professor
Tre ̂s famílias selecionadas aleatoriamente são entrevistadas em um projeto 
piloto para uma pesquisa maior a ser realizada posteriormente. Os números de 
pessoas nas famílias são 2, 3 e 10. Considere os valores de 2, 3, e 10 como uma 
populaça ̃o. Suponha que amostras de tamanho n = 2 sejam selecionadas 
aleatoriamente, com reposiça ̃o, da populaça ̃o de 2, 3 e 10. A média é um
estimador não viesado? E a amplitude? Por que sim ou porque não?
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Estimadores não viesados
São aqueles em que suas distribuic ̧o ̃es amostrais te ̂m uma média que e ́ igual ao 
para ̂metro populacional correspondente.
AMOSTRA POPULAÇÃO
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Distribuição de Probabilidade Normal
Estimadores viesados e não viesados
Estimadores NÃO viesados Estimadores viesados
Média Mediana
Variância Amplitude
Proporção Desvio-padrão*
* Vies relativamente pequeno para grandes amostras
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Teorema limite central
(1) Para uma populac ̧a ̃o com qualquer distribuic ̧a ̃o, a distribuic ̧a ̃o das me ́dias 
amostrais (amostras aleatórias simples) se aproxima de uma distribuic ̧a ̃o normal, a ̀
medida que o tamanho amostral aumenta.
(2) Se a populac ̧a ̃o original tem média µ e desvio-padra ̃o σ, a média das me ́dias 
amostrais sera ́ também µ, e o desvio-padra ̃o das médias (erro padrão das médias) 
amostrais sera ́ igual a
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Aplicação do teorema limite central
Na avaliação de carga segura em elevadores, aviões, barcos ou outros devemos nos 
preocupar com valores de médias amostrais. 
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Distribuição de Probabilidade Normal
Aplicação do teorema limite central
Considere a situação descrita abaixo e acompanhe os desenvolvimentos mostrados 
pelo professor
Na avaliação de carga segura em elevadores, aviões, barcos ou outros devemos nos 
preocupar com valores de médias amostrais. Com base em dados da Pesquisa 
Nacional do Exame de Sau ́de e Nutriça ̃o, suponha que os pesos dos homens sejam 
normalmente distribuídos, com µ = 172 libras e σ = 29 libras.
(a) Ache a probabilidade de que, para um indivi ́duo selecionado aleatoriamente, seu
peso seja superior a 175 libras (79,3 kg).
(b) Ache a probabilidade de que 20 homens selecionados aleatoriamente tenham 
peso me ́dio superior a 175 libras (de modo que o peso total dos 20 excede a
capacidade de seguranc ̧a de 3500 libras).
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Distribuição de Probabilidade Normal
Aplicação do teorema limite central
Z=0,10
Modificado de Elementary Statistics, Mario F Triola 11th Edition
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Distribuição de Probabilidade Normal
Aplicação do teorema limite central
Z=0,46
Modificado de Elementary Statistics, Mario F Triola 11th Edition
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ExercíciosExercícios
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